第六章平方根与立方根 导学案模板

的算术平方根是_ .并说明另外三个式子的意义：_______________________

六、课后反思？

“分组合作，自信高效”导学案

课题:_6.1 平方根（2）_ 课型新授 __七_年级教者张强

教学目标：

知识与能力：1了解有的正数的算术平方根开不尽方；2．了解无限不循环小数特点；3．会用计算器算术求平方根；4．会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.

过程与方法：通过拼正方形，体验解决问题方法的多样性，培养估算意识，了解从两个方向无限逼近的数学思想，并学会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小

情感态度价值观：认识数学和生活实际的密切关系，建立自信心，提高学习热情

教学重点：初步感受无理数，能进行比较

教学难点：探究2大小

教学过程：

一、课前展示（前奏版-5分钟）

（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分）

二、创境激趣（启动板—教师创设情境）

用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，并求出这个大正方形的边长. 三、自主探究，展示汇报（核心板：教师明确目标——学生自学——小组交流讨论——分组展示和汇报——强化训练）

1.拼法：

按下图所示，很容易用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形.

2．问题：

①拼成的大正方形的边长是多少？

②你能像上节课那样得到一个平方等于2的正有理数吗？③我们只能把边长表示为2，那么2是多大呢？

3.两端逼近法探究2的大小：

∵12=1,22=4，

∴1<2<4；

∵1.42=1.96，1.52=2.25，

∴1.4<2<1.5；

∵1.412=1.988,1.422=2.0164，∴1.41<2<1.42；

∵1.4142=1.999396,1.4152=2.002225，

∴1.414<2<1.415；

……如此进行下去，可以得到2的更精确地近似值.事实上，2=1.414 213 56…，同π一样，是一个无限不循环小数，这样的数与以前学的有理数一样吗？

得到：小数位数无限且小数部分不循环的小数叫无限不循环小数.像7

,5

,3

,2这样，所有开方开不尽的正数的算术平方根都是无限不循环小数.

4.用计算器计算算术平方根的三个步骤：①进入()；②输入(被开方数)；③输出()

用计算器计算，并将计算结果填在表中.

观察上表，你发现什么了吗？

(1)被开方数增大，算术平方根怎样变化？(2)被开方数与算术平方根的小数点有何移动规律？(3)直接写出：

_____

625000

;

_____

62500=

=

5.例题讲解

用一块面积为400cm2的正方形纸片沿边的方向，能否裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2？

四、实践创新，知识反馈（升华板—拓展延伸训练）

1．已知164

.1

354

.1≈，则≈

4.

135，≈

01354

.0.

2．一个正方形的面积扩大为原来的100倍，则它的边长扩大为原来的倍.

3．与30最接近的两个整数是.

414012；

2

1

2

1

5-.

5．一个数的算术平方根大于2小于3，那么它的整数位上可能取到的数值为

___________________．

6．7的整数部分是，小数部分可表示为.

7．若a<4

40-

8．用计算器计算：2010=______(精确到0.001)

9. 8

56

7<

<，那么与56最接近的两个数是7和8，与哪一个更接近呢？

可以这样考虑：25

.

56

5

.

72=，因为56<56.25，所以56<7.5，那么56更应靠近

7.按以上的方法判断：与72最接近的一个数是什么？

五、板书设计

0625

.0625

.025

.65.

626256250

六、课后反思？

“分组合作，自信高效”导学案

课题:_6.1 平方根（3）_ 课型新授 __七_年级教者张强

教学目标：

知识与能力：1．理解平方根的概念，知道开平方是平方逆运算.

2. 会用符号表示平方根，并会求平方数的平方根.

3. 知道平方根的特性，会判别一个式子有无意义

过程与方法：类比算术平方根概念探究平方根，利用平方与开平方互逆揭示开平方运算的本质，经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的特征.

情感态度价值观：使学生深入体验平方与开平方的互逆关系，培养学生逆向思维解决问题的习惯

教学重点：理解平方根概念，会用符号表示一个正数的平方根

教学难点：理解平方根的意义

教学过程：

一、课前展示（前奏版-5分钟）

（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分）

二、创境激趣（启动板—教师创设情境）

通过前面的学习，我们已经知道3的平方等于9，3是9的算术平方根，那么，除了3以外，还有没有别的数的平方也等于9呢？

三、自主探究，展示汇报

1．填表：

2. 问题：如果不论正负，所有平方等于9的数都叫做9的平方根，你能类比算术平方根的定义，给平方根下定义吗？.

3.归纳：①a的平方根或二次方根.的定义＿＿＿＿＿＿＿＿；即如果a

x=

2，那么x叫做a的平方根.用符号：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

②求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方这两种运算互为逆运算.

基本运算一共有六种：加、减、乘、除、乘方、开方.

③结合上表可以看出正数，0，负数的平方根各有什么特点？

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.

于是，当a≥0时a有意义，a＜0时，a无意义.

4.例题讲解例1.求下列各数的平方根：

(1)16 (2)0 (3)15

例2.求下列各式的值：

(1) 144 (2) 81

.0

- (3) 225

±

例3.已知0

2

1=

+

+

-y

x，求x，y的值

四、实践创新，知识反馈（升华板—拓展延伸训练）

1．7的平方根是_______.

2．如果数a只有一个平方根，则a=______.

3．如果数b没有平方根，则b_______.

4．如果23是x的一个平方根，那么x= ，x的另一个平方根是. 5．若一个正数的一个平方根是a，则它的另一个平方根是_____.

6．若a的两个平方根分别为m、n，则m+n=_____.

7．若0

)4

(

32=

-

+

+b

a，则b

a+=______.

8．一个负数的平方等于1225，这个数是______.

9．下列式子中正确的是（）

A.2

4±

= B.2

4=

±

C. ()2

22-

=

- D.2

22-

=

-

10．下列说法正确的有（）

A．3是3的平方根

B．3的平方根是3

C．3

±是3

±的平方根

D．3

-是-3的一个负的平方根

11．求下列各数的负的平方根：

(1) 256 (2)324 (3)137

12．下列各式如果有意义请说明它表示的意义，并求值。

(1)

9

4

-(2)64

.0

±(3)100

-

13、若0

3

)2

(

12=

-

+

-

+

-z

y

x，

则z

y

x+

+=________.

14.4

1

4

4

1+

-

+

-

=x

x

y，则=

+y

x____

五、板书设计：

六、课后反思？

“分组合作，自信高效”导学案

课题:_6.2 立方根（1）_课型新授 __七_年级教者张强

教学目标：

知识与能力：1.了解立方根的概念；

2.掌握立方根的特性，会用符号表示一个数的立方根；

3.会求一个立方数的立方根.

过程与方法：从实际问题出发，揭示立方根概念，领会立方根的求法.

情感态度价值观：使学生进一步体验立方与开立方的互逆关系，培养学生逆向思维解决问题的习惯

教学重点：理解立方根概念，会用根号表示一个数的立方根

教学难点：理解立方根的意义

教学过程：

一、课前展示（前奏版-5分钟）

（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分）

二、创境激趣（启动板—教师创设情境）

要制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？

三、自主探究，展示汇报

㈠立方根的概念

1.抛开实际问题，不考虑正负，立方等于27的数有几个？

这种求一个数x使它的立方等于a的运算，与立方运算是什么关系？

2.类比前面的知识，猜想：如果a

x=

3，那么___是____的立方；____是____的立方根.

3.你能类比平方根的内容，对立方根的概念、运算关系作出归纳吗？

4.你能像归纳平方根的特性那样，通过探究归纳出立方根的特性吗？

得到：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.即如果a

x=

3，那么x叫做a的立方根.

求一个数a的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方和平方互为逆运算一样，开立方与立方这两种运算也互为逆运算.

㈡例题讲解

例1.求下列各数的立方根

1000；0.125；

64

27；0；-8；

27

8

-

归纳：

①与求平方根类似，求一个数的立方根实质就是求哪个数的立方等于这个数.

②任何一个数都有唯一的一个立方根，且正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的

立方根是0.

③一个数a的立方根用符号“3a”表示，读作“三次根号a”其中a是被开方数，3是根

指数.例如38表示8的立方根，2

8

3=；38

-表示-8的立方根，2

8

3-

=

-

注意：①a取任意数，3a都有意义;

②根指数3不可以省略不写.

例2 求下列各式的值：

（1）327（2）327

-（3）3

27

10

2

-（4）3

64

27

-

-（5）36

10（6）39

10

㈢立方根与平方根的异同.

四、实践创新，知识反馈（升华板—拓展延伸训练）

1．-27的立方根是 .

2．如果0.2是x的立方根，那么x= .

3．整数a是整数b的平方根，又是整数c的立方根，且c是b的2倍，则a=____；b=____；c=____.

4．64的立方根的算术平方根是______.

5．8的立方是8的立方根的______倍.

6．下列说法正确的是（）

A. 27的立方根是±3

B.

8

1

-的立方根是

2

1 C. -5是-125的立方根 D. -6的立方根是-216 7．下列说法正确的是（）

A．-3是-9的立方根B．3

±是27的立方根C．12的立方根是4 D．3的立方根是33 8．下列说法中，不正确的是（）

A．任何一个数都有立方根B．一个数只有一个立方根

C．正、负数的立方根与被开方数同号D．立方根与本身相等的数只有0和1

9.

3

2010的值大约在（ ）

A ．11~12之间

B ．12~13之间

C ．13~14之间

D ．14~15之间

五、板书设计：

六、课后反思？

“分组合作，自信高效”导学案

课题:___6.2 立方根（2）_______课型 新授 __七_年级 教者 张强 教学目标：

知识与能力：1.会用计算器求一个数的立方根.2.知道互为相反数的两个数的立方根之间的

关系.3.知道被开方数与立方根的小数点移动规律

过程与方法：经历从特殊到一般的探究过程，通过计算，观察，分析，讨论，进行归纳 情感态度价值观：向学生渗透从特殊到一般的研究方法和转化思想 教学重点：公式3

3

a a -

=-；被开方数与立方根的小数点移动规律

教学难点：理解公式3

3

a a -=-

教学过程：

一、课前展示（前奏版-5分钟）

（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分）

二、创境激趣（启动板—教师创设情境）

1.复习提问：立方根；开立方；立方根的特征；立方根和平方根的异同.

2.计算：=-38 ，=-

3

8 ，

=-3

27 ，=-

3

27 .

通过计算，你发现了什么？

三、自主探究，展示汇报

㈠、探究公式33a a -=-：

1．若数a 的立方根是7，则a -的立方根是____. 2．若已知503-=a ，则3a -=____；3

a

-=____.

3．3

3,a a -

-各表示什么意义？

4.

3

3

a a -=-是否对于任意数a 都成立？

得到：33a a -=-（a 是任意数）.

即：一个数的立方根等于它的相反数的立方根的相反数. ㈡、用计算器计算求一个数的立方根

实际上，同平方根一样，很多有理数的立方根是无限不循环小数.例如32，33，34等都是无限不循环小数，为了需要，通常可以用有理数近似的表示它们. ㈢、被开方数与立方根的小数点移动规律 1．计算：

()=

3

01.0 ; ()=31.0 ; =31 ; =310 ; =

3

100

.

2．化简：

=

3

000001.0 ;

=

3

001.0 ; =31 ; =31000 ; =

31000000

.

3．归纳：你发现了什么规律？

得到：被开方数的小数点向左（或右）移动三位，它的立方根的小数点就相应的向左（或右）移动一位. ㈣、例题讲解 求下列各式中x 的值：

(1) x 3=0.125； (2) (x -4)3+64=0

四、实践创新，知识反馈（升华板—拓展延伸训练）

1．3118的值是3118.0的值的 倍. 2．比较3，4，350的大小 . 3．与330最接近的整数是 .

4．39的整数部分是 ，小数部分可表示为 .

5．已知一个正方体的体积扩大为原来的27倍，则它的边长扩大为原来的 倍. 6．下列各组的两个数中，互为相反数的是（ ） A ．

3

8

-与38- B ．

2

2

与()2

2-

C ．()32

1-与()32

1+ D ．327-与327

7．若125+b 和31-a 都是5的立方根，你能求a 、b 的值吗？说明你的理由.

8．一个正方体纸箱，体积是7000cm 3，这个纸箱能否装得下长为20cm 、宽为20cm 、高为10cm

的长方体包裹

五、板书设计：

六、课后反思？

“分组合作，自信高

效”导学案

课题:__6.3 实数（1）________课型 新授 __七_年级 教者 张强 教学目标：

知识与能力：1.了解无理数和实数的概念以及实数的分类；2知道实数与数轴上的点具有一

一对应关系

过程与方法：让学生经历对实数进行分类的过程，通过无理数的引入使学生对数的认识由

有理数扩充到实数，借助数轴对无理数研究，从形的角度体会无理数，同时感受实数与数轴的一一对应关系

情感态度价值观：发展学生的分类意识，体会数系扩充，进一步渗透数形结合思想 教学重点：了解无理数和实数的概念；掌握实数的分类 教学难点：了解无理数和实数的概念；掌握实数的分类 教学过程：

一、课前展示（前奏版-5分钟）

（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分）

二、创境激趣（启动板—教师创设情境）

1．任何有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，利用计算器，尝试把下列分数化为小数：53

=______；

8

47=________；

11

9=________.

2. 反过来，任何有限小数也都能化成分数：0.7=________；1.23=_______；

3.141=_______. 3．无限循环小数是不是也能化成分数呢？

事实上，任何一个无限循环小数都能化成分数，

分子是小数部分与不循环部分的差，分母是“几位循环几个9，不循环位数用0补”.如：

11

9998118

.0== ，99900

23433999002323456654

23.0=-= ，

尝试一下：5

.0 =________，21.0 =________. 由上面的探究可以知道，有限小数(包括整数)和无限循环小数都是有理数，那么，像π，

2这样的无限不循环小数又是什么数呢？

三、自主探究，展示汇报

㈠、无理数概念及实数分类

1.无限不循环小数又叫做无理数.常见的无理数：①无限不循环小数，如：0.1010010001…；②圆周率π；③开方开不尽的数，如2、15、33-等.

2.有理数和无理数统称为实数.

3.实数可以按以下两种方式分类：

㈡例题讲解：

1.把下列各数填入相应的集合内：

13

，

289

9，

7

2，38-，0.35， -π，0.3131131113…

①有理数集合}{ ；②无理数集合}{ ； ③正实数集合}{

；④负实数集合}{

㈢实数与数轴上的点的关系

问题：每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数是否也可以用数轴上的点表示出来？你能在数轴上找到表示π、2的点吗？

四、实践创新，知识反馈（升华板—拓展延伸训练）

1．下列说法中错误的是（ ）

A ．3.14是无理数

B ．π是无理数

C ．2是无理数

D ．2是实数 2．下列说法中正确的是（ ）

A ．小数都是有理数

B ．有理数是实数

C ．无限小数都是无理数

D ．实数是无理数 3． 下列说法中正确的有（ ）

A ．数轴上的每一个点都表示一个有理数

B ．数轴上的每一个点都表示一个无理数

C ．数轴上的每一个点都表示一个整数

D ．数轴上的每一个点都表示一个实数

4．下列说法中正确的有（ ）①带根号的数是无理数②无理数是带根号的数③每个实数都有平方根 ④每个实数都有立方根 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．比较它们的大小（用“<”号连接）： -1.4， 3.3， π，2 ，1.5， 3- 1．在数轴上作出线段：“12-=

a ”.

2．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，

请化简：3

3

2

)

(b a b

a -+

+

五、板书设计： 六、课后反思？

分组合作，自信高效”导学案

课题:_6.3 实数（2）_________课型 新授 __七_年级 教者 张强 教学目标： 知识与能力： 过程与方法：

情感态度价值观： 教学重点： 教学难点： 教学过程：

一、课前展示（前奏版-5分钟）

（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分）

二、创境激趣（启动板—教师创设情境）

通过上节课的学习，我们已经知道实数与数轴上点是一一对应的，也就是说有理数和无理数都能用数轴上的点来表示，而且同有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大，那么有理数范围内的相反数和绝对值的意义以及运算法则和性质，在实数范围内还适用吗？

三、自主探究，展示汇报

㈠、实数范围内的相反数和绝对值意义

填空：2的相反数是 ，32的相反数是 ，

π-的相反数是 ，0的相反数是 . 2= ，

3

2= ，π-= ，0= .

得到：①数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数.

②一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

也就是说有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数. 例1 ⑴ 分别写出6-

，14.3-π的相反数；

⑵ 指出5-

，3

31-

各是什么数的相反数；

⑶ 求364-的绝对值；

⑷ 已知一个数的绝对值是3，求这个数

㈡实数范围内的运算法则和运算性质

当数从有理数扩充到实数后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除、乘方，而且非负数可以进行开平方，任意一个实数可以进行开立方.在进行实数的运算时，有理数的运算法则和运算性质等同样适用. 例2 计算下列各式的值： ⑴

(

)

223-

+；⑵ 3233+.

四、实践创新，知识反馈（升华板—拓展延伸训练）

1．实数分为（ ）

A ．整数和分数 B.有理数和无理数 C ．正数和负数 D.无限循环小数和无限不循环小数 2．与数轴上的点一一对应的是（ ）A ．整数

B ．有理数

C ．无理数

D ．实数 3．在数轴上到原点距离为2的点表示的数是（）A ．±2 B ．2 C ．2- D ．2或2- 4．下列各式错误的是（ ）

A ．3＞2

B ．－2＞－3

C ．2＜1.5

D ．3＜1.7 5．0.00048的算术平方根在（ ）

A ．0.0002~0.0003之间

B ．0.002~0.003之间

C ．0.02~0.03之间

D ． 0.2~0.3之间 6．5是无限不循环小数，由整数部分和小数部分组成，它的整数部分是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

7．2003的整数部分是（ ）A ．43 B ．44 C ．45 D ．46 8．计算器面板上

键所表示的含义是（ ）

A ．y 的x 次方

B ．x 的y 次方

C ．y 的x 次方根

D ．x 的y 次方根

9．在-1.732，2，π，3.14， 41

.3 ，32+，3.212212221…，这些数中，无理数的个数

为( ) A ．5 B ．2 C ．3 D ．4 10．下列各式中，没有意义的是（ ）

A ．2)2(-

B ．4

)3(- C ．34- D ．π-14.3

11．已知2＝1.414，20＝4.472，则2000等于（ ）A ．14.14 B 141.4 C ．44.72 D ．447.2

12．1－2的相反数是____，绝对值是_____．13．把2a 写成一个数的平方的形式是_______. 14．若一个数的平方根是42+m 和m 52-，则它的立方根是______. 15．计算下列各式的值：

(1)535+ (2)71573+- (3) 436+ (4)3

216196-

16．已知实数a 满足a a a =-+

-21，求a 的值.