解析函数与调和函数.doc

§4.解析函数与调和函数

一、教学目标或要求：

掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算

二、教学内容(包括基本内容、重点、难点)：

基本内容：解析函数与调和函数的关系例题

重点：解析函数与调和函数的关系

难点：例题

三、教学手段与方法：

讲授、练习

四、思考题、讨论题、作业与练习：

16、17、18

§4.解析函数与调和函数

在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。因此, 在区域D内它的实部与虚部都冇二阶连续偏导数。现在我们來研究应该如何选择才能使函数/⑵九+小在区域D内解析。

设/(z)二比+ “在区域D上解析，则C—R条件成立

du _ dv

dx dy dx dy

下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数

d2u __ d2v

沪_ 丽’ 3y2

两式相加可得

d2u d2u n

—+ r = 0

舐2 dy2

同理可得

a 2v a 2v

定义3. 5若二元实函数在区域二内冇二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方

则丄为运算符号，称为拉普拉斯算了。

定义3. 6在区域D 内满足C. — R.条件

du _ dv

du _ dv dx dy dy dx

的两个调和函数中/心，y), v(x, y)中,v(x, y)称为比(兀,y)的轨调和函数.

共轨调和函数的几何意义

设/(?)二班兀刃+ IV (X ?7)是区域D 上的解析函数，则

Sc dy

两式相乘得

即所以

w-（更 7+更 7）?（空 7+空 7）

dx 另 dx 0

=—-—+ —?—=

dx dx dy dy 则称Hg 为区域二内的调和函数。记

du 3 弧 S

—? — + — ? — = 0 dx dx dy dy

就是说，梯度

dx dy 正交.我们知道，也和

3 dx dy

E分别是曲线族“心刃=常数”和"(2)=常数”的法向矢量,因而上式表示5(XJ)=常数”与“吩丁)=常数”两族曲线相互正交.这就解析函数实部《(兀，y)与虚部uO, y)的几何意义。

定理3. 18若f(z) = u(x, y)4-iv(x, y)在区域D内解析，则在区域D内v(x, y)必

为讥兀，刃的辘调和函数.

证由/何在三内解析知，％?勺，吟,从而。又解析

函数具有的无穷可微性保证吟，卞在二内均连续，故必相等，于是在二内+V o同理牛％即二，、匚满足拉普拉斯方程。

定理3.19设若讥兀，刃是在单连通区域D内的调和函数，则存在由(3.22)式所确定的函数v(x, y),使/(z) = w(x, y) + iv(x, y)在区域D内解析.

解析函数的又一等价定理

f(z) = u(x, y) + iv(x, y)在区域D内解析当且仅当在区域D内v(x, y)是u(x, y) 的共饥调和函数。

函数于(z)在区域D内为解析函数的充分必要条件是Tm[/(z)]为Re[.f(z)]的共辘调和函数。

从已知解析函数的实(虚)部求它的虚(实)部的方法。

1?线积方法

定理3.19设召刃是在单连通区域二内的调和函数，则存在

咻刃T；；严严叫妙址

使是二内的解析函数。(其中(辛6＞是二内定点，⑴刃是二内动点，芒为任意常数，积分与路径无关)

证要使世4■加成为解析函数，则必须满足条件

% ■叫吟?F(CJ?条件)，

又故亦又％”在单连通区域二可微，故

々J) ■丄二(3血“严2

积分与路径无关，从而

2.CR条件

由弓■叫，两边对匸求积分

=>■軌3”冷）,两边同时求兰的偏导 =>片■期耐力4卩1W,曲CLR条件牛

h幻■"（（磊（丄刃"?］两边对工求积分求得go的表达式，从Ifu

=> 吒2）■掙a』” ?

3.观察法

例验证叫"）■H-3p a是匚平面上的调和函数，并求出以吩>刃为实部的解析函数弘），使/? 解

⑴叫?31环宀亠

(2) 方法

一

?篇E严WC

-^6jpA+(3?-3A*r*(7

■『皿叮"-矽1SC -3?jr-/+C

故

/(z) -tt+iv ■d _3亍~^^C)

~(x+iyf^ic~^+ic

又 /TO -i 故; = 1,从而/?-^+i o

方法二

由于"■咎■3』-^ 故v-3^jr-y + ff(x)

于是”6W1?? ??6p,从而材e?Q,

于是貳0?鑑，即

故/倒?*加?兰也，以下同方法一（略）。

方法三

由于

故心力■对余下（略）。

咻0 ■cvcft—（X >0）

例验证實在右半平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数*）。

解（1）

2卩

故h分即丁在右半平面内是调和函数。

it ■ ——――—★~v ■———

又72F2 M八尸，故bS?o,于是vox,故

从而

/(x) ■丄 HaKtg —

2 JC ■ ln|N|*iag 富亠/ ?hi 富

在右半平面单值解析。

例设i 心，y) = P_2兀y-)“，试求以讥心刃为实部的解析函数

/(z) = w(x, y) + iv(x, y),使得/(0) = i ?

解依C ?一R ?条件有 v v =u x =2x-2y 于是 v = J(2x - 2y)dy - 2xy - y 2 +(p{x)

由此得 v x = 2y +(p\x) = -u v = 2x + 2y

从而有 (p{x) = x 2 +c

因此 v(x, y) = 2xy - y 2 +x 2 +c ( c 为任意常数)

故得 f(z) = x 2 -2xy- y 2 +i(2xy- y 2 + x 2 +c)

= (l + i)z 2+ic

将/(0) = i 代入上式，得 /(O) = ic = i

由此得c = 1,故得 f(z) = (l + i)r+i

经验证，所得/(z)既为所求。

本章内容课后讨论

1.何谓复变函数的围道积分？它与二元实线积分冇何关系?

何意义有何不同？不等式盘卜说明了什么几何性质?

3.计算复变函数的积分冇哪几种方法？

4. 复变函数的基木性质是什么？

5. 若-0,能否说丿在川人必解析?试举例说明.fr>Q)

2. 设/是？平面上以A 为起点B 为终点的光滑曲线，试问

与jPI 的几

6.对于什么样的闭曲线厶有f "a■硏

7.到此，我们能计算哪些复变函数的围道积分?总结一下计算这些复变函数围道积分的公式？

8.何谓原函数?如何计算解析函数的积分？

9.以下二论断是否均正确?试举例说明.

(1)对于复变函数丿而言，若7 -(刃存在，则严〃(刃亦存在.

(2)对于实变函数f (x)\{\\言，若广&丿存在，则严"69亦存在.

10.解析函数的导数是否仍为解析函数？

11?以下论断是否正确？为什么？

若曲在曲线/上连续，则积分±|7?血必定义一一个不在/上的解析函

2?J c-r

数,且严?哙1為M

Cauchy不等式成立，其屮M为的上界, s头J 1的全长，d 12?若f 0丿在区域h内解析，在闭区域S-

和z离边界上最近的一点的距离。

13.IJouville定理实际指出「'在整个复平面可微且冇界的复变函数必是常数”。

由此我们是否可推断：“在整个数轴(F8)上可微且有界的实函数一定是常数” ？试举例说明。

14.如何从Cauchy积分公式來理解解析函数其值之间的内在联系?

(完整版)复变函数试题库

《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题（一） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n ...lim 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. 9. z z sin 的孤立奇点为________ . 10.若0z 是 )(z f 的极点，则___ )(lim 0 =→z f z z . 三.计算题（40分）： 1. 设 )2)(1(1 )(--= z z z f ，求)(z f 在} 1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式. 2. .cos 1 1||?=z dz z 3. 设 ? -++=C d z z f λ λλλ1 73)(2，其中 }3|:|{==z z C ，试求).1('i f + 4. 求复数 11 +-= z z w 的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数 )(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在 D 内为常数. 2. 试证 : ()f z = 在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.

复变函数与积分变换课后习题答案详解

… 复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社） / ——课后习题答案

习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππ2222e cos isin i i 44-??????=-+-= +-=- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+); 3 3 31313;;;.n i i z i ???? -+-- ? ? ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解：设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 3 2 2 222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ () ()()()(){ }3 3 2 3 2 1i 31i 311313313388-+??-+? ???== --?-?+?-?- ? ?????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1?? -+= ? ??? , 1i 3Im 0??-+= ? ???． ④解： ∵ () ()() ()()2 3 3 23 1313 3133i 1i 38 ??--?-?-+?-?- ?? ??-+? ? = ? ??? ()1 80i 18 = += ∴1i 3Re 1??-+= ? ?? ? , 1i 3Im 0??-+= ? ??? ． ⑤解： ∵()()1, 2i 211i, k n k n k k n k ?-=?=∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =；当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=． 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=?=． ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 2 22++== ()1i 11i 222i ++-??= = ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈，则z x x ==．

解析函数与调和函数的关系

§3.7 解析函数与调和函数的关系内容简介在§3.6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。

. ),() 00: ),(22 2 2 内的调和函数为则称即（方程续偏导数且满足内具有二阶连在若二元实变函数 D y x y x Laplace D y x ??? ??=?=??+??定义是，内解析在区域若D y x v v y x u u D y x iv y x u z f ),(),(),(),()( ==?+=定理

证明：设f (z )=u (x ,y )+i v (x ,y )在区域D 内解析，则 x v y u y v x u R C ??- =????= ??- 方程由y x v y u x y v x u ???-=?????=??22 222 2从而有x y v y x v y x v y x u ???= ???∴?22.) ,(),,(具有任意阶的连续导数理由解析函数高阶导数定,0 D 22 22 =??+??y u x u 内有故在0 22 22 =??+??y v x v 同理有

,0=?=?v u 2 2 22y x ?? +??≡?其中即u 及v 在D 内满足拉普拉斯(Laplace )方程: 是，D y x v v y x u u ),(),(==∴. ),(),(D ,),(的共轭调和函数为函数内构成解析函数的调和在称使得内的调和函数为设y x u y x v iv u D y x u +定义

§4.解析函数与调和函数解读

§4. 解析函数与调和函数一、教学目标或要求：掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：解析函数与调和函数的关系例题重点：解析函数与调和函数的关系难点: 例题三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习： 16、17、18 §4. 解析函数与调和函数在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。因此，在区域D内它的实部与虚部都有二阶连续偏导数。现在我们来研究应该如何选择才能使函数在区域D内解析。设在区域D上解析，则C--R条件成立，. 下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数 , 两式相加可得同理可得

定义3.5若二元实函数在区域内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程，则称为区域内的调和函数。记，则为运算符号，称为拉普拉斯算子。定义3.6 在区域D 内满足C.— R.条件 y v x u ??=??， x v y u ??-=?? 的两个调和函数中),(y x u ,),(y x v 中， ),(y x v 称为),(y x u 的轭调和函数. 共轭调和函数的几何意义设是区域D 上的解析函数，则，两式相乘得即所以就是说，梯度跟梯度正交. 我们知道，和分别是曲线族“”和“ ”的法向矢量，因而上式表示“ ”与“ ”两族曲线相互正交. 这就解析函数

实部),(y x u 与虚部),(y x v 的几何意义。定理3.18 若),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为),(y x u 的轭调和函数. 证由在内解析知，，从而。又解析函数具有的无穷可微性保证，在内均连续，故必相等，于是在内。同理，即，满足拉普拉斯方程。定理3.19 设若),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由（3.22）式所确定的函数),(y x v ，使),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析. 解析函数的又一等价定理 ),(i ),()(y x v y x u z f +=在区域D 内解析当且仅当在区域D 内),(y x v 是) ,(y x u 的共轭调和函数。函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是)](Im[z f 为)](Re[z f 的共轭调和函数。从已知解析函数的实(虚)部求它的虚(实)部的方法。 1.线积方法定理3.19 设是在单连通区域内的调和函数，则存在，使是内的解析函数。（其中是内定点, 是内动点,为任意常数，积分与路径无关）证要使成为解析函数,则必须满足条件 ( 条件), 又 ,故，又在单连通区域可微，故积分与路径无关，从而

复变函数与解析函数

复变函数与解析函数专业：工程力学姓名：李小龙学号：10110756在此仅对基础知识加以总结归纳。 1、基本概念 1、复数指数表示：宗量：一个函数的自变量是一个复杂的对象，这是通常称为宗量。若是z的辐角，则也是其辐角，其中是整数集合，若限制，所得的单值分支称为主值分支，记作argz。做球面与复平面相切于原点O，过O点作直线OZ垂直于复平面，与球面交于N，即球的北极。设z是任意复数，连接Nz，与复球面交于P，z与P一一对应，故复数也可用球面上的点P表示，该球面称为复球面。当，作为N的对应点，我们把复平面上无穷远点当做一点，记作，包括的复平面称为扩充复平面。 2、复变函数领域：由等式所确定的点集，称为的领域，记作，即以为中心，为半径的开圆（不包括圆周）。区域：非空点集D若满足：一、D是开集，二、D是连通的，即D中任意两点均可以用全属于D的折线连接。则我们称D为区域。单通与复通区域：在区域D内画任意简单闭曲线，若其内部全含于D,则D称为单通区域，否则称为复通区域。复变函数：以复数为自变量的函数。记则：所以一个复变函数等价于两个二元实变函数。它给出了z平面到w平面的映射或变换。复变函数的连续性：如果则称在处连续。 3、解析函数

复变函数的导数：复变函数定义在区域D上，，如果极限存在且有限，则称在处可导或可微（differentiable），且该极限称为在处的导数或微商（derivative），记作：解析函数：若函数f(z)在区域D内可导，则称为区域D内的解析函数，也称全纯函数。奇点：若函数f（z）在某点不解析，但在的任意领域内都有它的解析点，则称为f(z)的奇点（singular point）。 Cauchy-Riemann条件（CR条件）此为f(z)在z点可微的必要条件。充要条件：（1）二元函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微。（2）u(x,y),v(x,y)在点(x,y)满足CR条件。另外我们有推论：若f(z)在D内解析，则f(z)在D内具有任意阶导数。 4、初等单值函数初等函数（elementary function）是由基本初等函数（通常认为包括常数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数）经过有限次的加减乘除和复合所构成的函数。令称为有理分式，也称有理函数。除去满足的点外，f(z)在复平面上处处解析，是f(z)的奇点。复变量的三角函数（trigonometric function）是通过指数函数来定义的：显然都是周期函数，周期为，且他们的绝对值都能大于1. 如：，显然可以大于任意数。双曲函数：复变量的双曲函数也是通过指数函数来定义的。称为双曲余弦函数和双曲正弦函数。他们在整个复平面上解析。 5、解析函数的物理意义调和函数：如果二元实变函数在区域D内具有连续的二阶偏导数，且满足二维Laplace方程则称为区域D内的调和函数。若是区域D内的解析函数，则、均为D内的调和函数。

关于复变函数的书pdf

引言复数是16世纪人们在解代数方程时引入的。在17世纪和18世纪随着微积分的发明与发展，人们研究复变函数，特别是把实变函数初等函数推广到复变数情形，得到一些重要结果。复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。在很长时间里，人们对这类数不能理解。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。复数的一般形式是：a+bi，其中i是虚数单位。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。复变函数论的发展简况复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为

这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数论的内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函

调和函数与解析函数的关系研究

学生毕业论文课题名称调和函数与解析函数的关系研究姓名学号院系数学与计算科学学院专业信息与计算科学指导教师 ※※※※※※※※※ ※※ ※※ ※※ ※※※※※※※※※ 2017届学生毕业论文材料（四）

湖南城市学院本科毕业论文诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本科毕业论文作者签名：二〇一五年五月二十二日

目录摘要 (1) 关键词 (1) ABSTRACT (1) KEY WORDS (2) 1.解析函数 (3) 1.1 解析函数的概念 (3) 1.2函数解析的充要条件 (3) 2.调和函数 (4) 2.1 调和函数的定义 (4) 2.2 共轭调和函数 (6) 3.调和函数和解析函数之间的关系 (6) 3.1从调和函数观点研究解析函数的性质 (6) 3.1.1 调和函数的性质 (6) 3.1.2 解析函数的性质 (6) 3.2解析函数的等价刻画及应用 (8) 3.3由调和函数构造相关解析函数的方法 (9) 3.4调和函数与解析函数的关系 (12) 3.4.1 解析函数与调和函数的关系 (12) 3.4.2 调和函数与共轭调和函数的关系 (12) 3.4.3 解析函数与共轭调和函数的关系 (12) 结论 (12) 参考文献 (13) 致谢 (13)

调和函数与解析函数的关系研究1109302-26熊瑶

学生毕业论文课题名称调和函数与解析函数的关系研究姓名熊瑶学号 1109302-26 院系数学与计算科学学院专业信息与计算科学指导教师李俊锋教授 2015年 5月 22日 ※※※※※※※※※ ※※ ※※ ※※ ※※※※※※※※※ 2015届学生毕业论文材料（四）

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§4.解析函数与调和函数一、教学目标或要求：掌握解析函数与调和函数的关系熟练计算二、教学内容(包括基本内容、重点、难点)：基本内容：解析函数与调和函数的关系例题重点：解析函数与调和函数的关系难点：例题三、教学手段与方法：讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习： 16、17、18 §4.解析函数与调和函数在前一节，我们已经证明了，在区域D内解析的函数具有任何阶的导数。因此, 在区域D内它的实部与虚部都冇二阶连续偏导数。现在我们來研究应该如何选择才能使函数/⑵九+小在区域D内解析。设/(z)二比+ “在区域D上解析，则C—R条件成立 du _ dv dx dy dx dy 下一章将证明，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数 d2u __ d2v 沪_ 丽’ 3y2 两式相加可得 d2u d2u n —+ r = 0 舐2 dy2 同理可得

a 2v a 2v 定义3. 5若二元实函数在区域二内冇二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方则丄为运算符号，称为拉普拉斯算了。定义3. 6在区域D 内满足C. — R.条件 du _ dv du _ dv dx dy dy dx 的两个调和函数中/心，y), v(x, y)中,v(x, y)称为比(兀,y)的轨调和函数. 共轨调和函数的几何意义设/(?)二班兀刃+ IV (X ?7)是区域D 上的解析函数，则 du Sc dy 两式相乘得即所以 w-（更 7+更 7）?（空 7+空 7） dx 另 dx 0 =—-—+ —?—= dx dx dy dy 则称Hg 为区域二内的调和函数。记 du dx du 3 弧 S —? — + — ? — = 0 dx dx dy dy 就是说，梯度 dx dy 正交.我们知道，也和 3 dx dy

解析函数与调和函数的关系

第六讲解析函数与调和函数的关系

. ),() 00: ),(22 2 2 内的调和函数为则称即（方程续偏导数且满足内具有二阶连在若二元实变函数 D y x y x Laplace D y x ??? ??=?=??+??定义内的调和函数。是，内解析在区域若D y x v v y x u u D y x iv y x u z f ),(),(),(),()( ==?+=定理

,0=?=?v u 2 2 22y x ?? +??≡?其中即u 及v 在D 内满足拉普拉斯(Laplace )方程: 内的调和函数。是，D y x v v y x u u ),(),(==∴. ),(),(D ,),(的共轭调和函数为函数内构成解析函数的调和在称使得内的调和函数为设y x u y x v iv u D y x u +定义

《复变函数与积分变换》习题册

第一章复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算；熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式；了解区域的概念；理解复变函数的概念；理解复变函数的极限和连续的概念。一、填空题 1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______. 2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y = 3、若1231i z i i +=--，则z = 4、若(3)(25) 2i i z i +-= ，则Re z = 5、若4 21i z i i +=- +，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z = 7复数1z i =-的三角表示式为，指数表示式为。 8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为 _________________. 9、设i z 21=,i z -=12 ，则)(21z z Arg = _ _____. 10、设4 i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。z = 11、.方程0273=+z 的根为_________________________________. 12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为。 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数1 2 +-= z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________.

复变函数习题答案习题详解

第一章习题详解 1．求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1) i 231 + 解： ()()()13 2349232323231231i i i i i i -=+-=-+-=+ 实部：13 3 231= ??? ??+i Re 虚部：132231-=?? ? ??+i Im 共轭复数：1323231i i += ?? ? ??+ 模：131 1323231 2 22=+= +i 辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 232213 3132 2231231+? ?? ??-=+-=+??? ??+=??? ??+arg 2) i i i -- 131 解： ()()()2 532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=-- 实部：2 3131=??? ??--i i i Re 虚部：25131-=?? ? ??--i i i Im 共轭复数：253131 i i i i +=?? ? ??-- 模：2 34 4342531312 22= =+= --i i i 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+??? ??-=+???? ? ??-=+??? ??--=??? ??--arg

3) ()()i i i 25243-+ 解： ()()()2 26722672 72625243i i i i i i i --= -+= --= -+ 实部：()()2725243-=?? ? ??-+i i i Re 虚部：()()1322625243-=- =?? ? ??-+i i i Im 共轭复数：()()226725243i i i i +-= ?? ? ??-+ 模： ()() 292522627252432 2 =?? ? ??-+??? ??-=-+i i i 辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+??? ??=+????? ? ?--=??? ??-+ 4) i i i +-21 8 4 解：i i i i i i 3141421 8-=+-=+- 实部：( )1421 8=+-i i i Re 虚部：( )3421 8-=+-i i i Im 共轭复数：() i i i i 314218+=+- 模：103142221 8 =+=+-i i i 辐角：( )()πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 2321324421821 8 +-=+?? ? ??-=++-=+-arg 2．当x 、y 等于什么实数时，等式 ()i i y i x +=+-++13531成立？解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。有： ()()()i i i y i x 8235131+=++=-++ ?? ?=-=+8321y x ? ??==?111 y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。

(完整版)复变函数习题答案第2章习题详解

第二章习题详解 1．利用导数定义推出： 1) ()1 -=n n nz z ' （n 为正整数）解： () ()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-??????++-++=-+=--→→Λ2210 0121lim lim ' ()()1 1210121----→=????? ?++-+= n n n n z nz z z z n n nz ???Λlim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： ()()2 0001111 11z z z z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=- +=??? ??→→→?????????lim lim lim ' 2．下列函数何处可导？何处解析？ 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2 x u =，y v -= x x u 2=??，0=??y u ，0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。只有12-=x ，即2 1 -=x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在直线2 1 -=x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3332y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 26x x u =??，0=??y u ，0=??x v ，29y y v =??都是连续函数。只有2 296y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 22+= 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 =

复变函数习题答案习题详解

第一章习题详解1．求下列复数z的实部与虚部，共轭复数、模与辐角：解： () ()()13 2 3 4 9 2 3 2 3 2 3 2 3 1 2 3 1i i i i i i - = + - = - + - = + 实部： 13 3 2 3 1 = ? ? ? ? ? +i Re 虚部： 13 2 2 3 1 - = ? ? ? ? ? +i Im 共轭复数： 13 2 3 2 3 1i i + = ? ? ? ? ? + 模： 13 1 13 2 3 2 3 1 2 2 2 = + = +i 辐角：π π πk arctg k arctg k i i Arg2 3 2 2 13 3 13 2 2 2 3 1 2 3 1 + ? ? ? ? ? - = + - = + ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? + arg 解： () ()()2 5 3 2 3 3 2 1 1 3 3 1 1 1 3 1 3 1 2 i i i i i i i i i i i i i i - = - + - = + + - - - = + - + - = - - 实部： 2 3 1 3 1 = ? ? ? ? ? - - i i i Re 虚部： 2 5 1 3 1 - = ? ? ? ? ? - - i i i Im 共轭复数： 2 5 3 1 3 1i i i i + = ? ? ? ? ? - - 模： 2 34 4 34 2 5 3 1 3 1 2 2 2 = = + = - - i i i 辐角：π π πk arctg k arctg k i i i i i i Arg2 3 5 2 2 3 2 5 2 1 3 1 1 3 1 + ? ? ? ? ? - = + ?? ? ? ? ? ?- = + ? ? ? ? ? - - = ? ? ? ? ? - -arg 解：()()() 2 26 7 2 26 7 2 7 26 2 5 2 4 3i i i i i i i- - = - + = - - = - + 实部： ()() 2 7 2 5 2 4 3 - = ? ? ? ? ?- + i i i Re