导学案(导数的含义几何意义与运算)

导数的概念、几何意义及运算

考纲要求：

1.了解导数概念的实际背景．

2.理解导数的几何意义．

3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数．

4.［理］能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax +b ）的复合函数）的导数. 考情分析

1.导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般不单独命题，而在考查导数应用的同时进行考查．

2.导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解析几何知识交汇命题．

3.多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步. 教学过程

基础梳理： 1、函数的平均变化率：一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为__________ 。 2、导数的概念：设函数()y f x =在区间(),a b 上有定义，()0,x a b ∈，若x V 无限趋近于0时，

比值____________y

x

=V V 无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在0x x =处__________，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的__________，记作__________.

若

()f x 对于区间(),a b 内任一点都可导，就称()f x 在区间(),a b 内可导，其导数称为()f x 的

导函数，简称导数，记作__________.

3、导数的几何意义：曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的__________，即0().k f x '=

4、导数的物理意义：

（1）设()s s t =是位移函数，则0()s t '表示物体在0t t =时刻的__________. （2）设()v v t =是速度函数，则0()v t '表示物体在0t t =时刻的__________. 5、基本函数的导数公式

（1）()_______(a x a '=为常数），（2）(sin )________,(cos )___________x x ''==； （3）()________(0x a a '=>且1a ≠），()________x e '=； （4）(log )________(01),a x a a '=>≠且(ln )________x '=。

7、导数的运算法则：（1）[()()]__________f x g x '±=；（2）

,[()()]_______f x g x '?=； （3）[()]________.cf x '= （4）()

[

]________.()

f x

g x '= 8（理）、若(),,_____________x y f u u ax b y '==+=则.

双基自测：

1、如图，函数()

f x的图象是折线段ABC，其中A B C

，，的坐标分别为(04)(20)(64)

，，，，，，则

((0))

f f=；

(1)(1)

0,_______ f

x f

x

x

+?-

→→

?

V．（用数字作答）

2、在曲线21

y x

=+的图象上取一点(12)

，及附近一点(12)

x y

++

V V

，，则________

y

x

=

V

V

．

3、设()2sin

f x x x

=-，若0

()0

f x

'=且

(0,)

xπ

∈，则

____

x=．

4、一质点的运动方程为210

S t=+，则该质点在3

t s

=的瞬时速度为________/

m s．（选修

2-2

12

P练习1）

5、已知函数()()cos sin

4

f x f x x

π

'

=+，则()________

4

f

π

=．

6、(2011·江西高考)曲线y＝e x在点A(0,1)处的切线斜率为()

A．1B．2

C．e D.

1

e

．典例分析

考点一、利用导数的定义求函数的导数

例1、用定义法求下列函数的导数．

(1)y＝x2；(2)y＝

4

x2.

变式1．一质点运动的方程为s＝8－3t2.

(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；

(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法)．

根据导数的定义，求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的方法是

(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

(2)求平均变化率

Δy

Δx＝

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx；

(3)计算导数f′(x0)＝

lim

x

?→

Δy

Δx.

考点二、利用导数公式及运算法则求导数

[例2](2011·江西高考)若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为

()

A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0)

变式2.(2012·嘉兴模拟)函数f(x)＝sin x

x的导数是()

A.x sin x＋cos x

x2 B.

x cos x＋sin x

x2

C.x sin x－cos x

x2 D.

x cos x－sin x

x2

求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.

考点三、导数的几何意义

[例3] (2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ()

A．－9 B．－3

C．9 D．15

变式3.若例3变为：曲线y＝x3＋11，求过点P(0,13)且与曲线相切的直线方程．

[例4](2010·全国卷Ⅱ)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()

A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1

变式4.(2012·郑州联考)设f(x)＝e x＋x，若f′(x0)＝2，则f(x)

在点(x0，y0)处的切线方程为________．

求曲线的切线方程有两种情况，一是求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，其方法如下：(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴，由切线定义可知，切线方程为x ＝x0.二是求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程，其方法如下：(1)设切点A(xA，f(xA))，求切线的斜率k＝f′(xA)，写出切线方程．(2)把P(x0，y0)的坐标代入切线方程，建立关于xA的方程，解得xA的值，进而写出切线方程．

[考题范例]

(2011·湖南高考)曲线y ＝

sin x sin x ＋cos x

－12在点M ? ????

π4，0处的切线的斜率为( )

A ．－12B.1

2 C ．－22D.2

2

[失误展板]

错解：y ′＝

cos x (sin x ＋cos x )＋sin x (cos x －sin x )

(sin x ＋cos x )

2

＝

sin 2x ＋cos 2x 1＋sin 2x

当x ＝π4时，y ′＝1

2

错因：本题解题有误，但结果正确，其错误在于应用公式出错，求函数导数时，易误点一是对cos x ，log ax ，ax 求导出错，二是商运算出错．

[正确解答]

y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2

＝11＋sin 2x

，把x ＝π4代入得导数值为1

2.

一个区别

曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别：

曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝

f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 两种法则

(1)导数的四则运算法则． (2)复合函数的求导法则． 三个防范

1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别． 3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．

本节检测

1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )

A ．2(x 2－a 2)

B ．2(x 2＋a 2)

C ．3(x 2－a 2)

D ．3(x 2＋a 2)

2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3

t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为

( )

A.194

B.174

C.154

D.134

3．(2012·江南十校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝( )

A ．－1

B ．－2

C ．1

D ．2

4．与直线2x －6y ＋1＝0垂直，且与曲线f (x )＝x 3＋3x 2－1相切的直线方程是________．

5（理）．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1? ????π2＋f 2? ????π2＋…＋f 2 012? ??

??

π2＝______

6．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．

自我反思