公路测量中平面坐标系之间的转换方法

公路测量中平面坐标系之间的转换方法

一、公路测量中产生不同平面坐标系的原因

近二十年来，我国公路基础设施建设实现了跨越式的发展，取得了举世瞩目的成就。据交通部最新发布的统计数据，1989年全社会交通投资仅156亿元，“八五”期间年均投资619亿元，“九五”期间年均已达2062亿元，2002年达3150亿元，“十一五”开局之年的2006年，公路投资更高达6231.05亿元。1989年我国高速公路通车里程仅为271公里，到1999年突破1万公里，2002年已达2.52万公里，跃居世界第二，2006年更高达4.53万公里，至2020年，还将重点建设3.5万公里高等级公路，组成国道主干线“五纵七横”十二条路线。

公路基础设施的建设并不是一蹴而就的，是随着我国国民经济综合实力的不断增强，分段分批建设的，每一段建设的公路项目之间由于下列原因，所采用的平面测量坐标系是不相同的。

1、根据《公路勘测规范》规定，选择路线平面控制测量坐标系时，应使测区内投影长度变形值不大于2.5cm/km。大型构造物平面控制测量坐标系，其投影长度变形值不应大于1cm/km。

当采用标准高斯正形投影的3°带或6°带分带，投影基准为1954年北京坐标系或1980西安坐标系时，6°带边缘最大变形值可达1.4m/km，3°带边缘最大变形值可达0.4m/km，测量面高度为2000m时，投影变形将达到0.3m/km，因此，测量长度投影变形对公路、桥梁和隧道施工产生较大的影响是客观存在的，如果投影变形值大到一定程度，该部分因素对施工影响的程度比测量误差的影响还要显著。鉴于此，根据公路设计、施工的需要，《公路勘测规范》规定，选择路线平面控制测量坐标系时，应使测区内投影长度变形值不大于2.5cm/km。大型构造物平面控制测量坐标系，其投影长度变形值不应大于1cm/km。

根据这一规定，对于一个具体的公路工程项目，就要根据工程所处的位置和高度，采用选择任一中央子午线和投影面的方法，建立变形值符合要求的独立坐标系。这是造成不同的公路项目具有不同坐标系统的主要原因。

2、由于原有国家控制网精度较差以及测量误差积累的原因，即就是采用统一的标准高斯正形投影的3°带或6°带分带，投影基准为1954年北京坐标系或1980西安坐标系，不同时期以及不同公路工程段落相互衔接时，同样存在相互不能很好兼容的问题。某种意义上看，相当于两个相互衔接的公路工程项目采用了不同的坐标系统。

3、由于《公路勘测规范》和《公路勘测细则》]对路线平面控制测量和大型构造物平面控制测量的投影长度变形值要求不一样，导致在同一个公路工程项目中可能采用不同的坐标系统，大型构造物平面控制测量可能采用与路线平面控制测量相对独立的坐标系统。

上述原因导致了在公路工程建设中，经常出现相互衔接的路段出现不同平面坐标系统的问题，因此在公路设计、施工过程中必然经常遇到平面坐标系之间相互转换的问题。

二、平面坐标系之间的转换方法

1、三参数转换法

假设两椭球体的长、短轴相互平行，零经线为格林威治本初子午线，从原坐标系转换到新坐标系可以采用三平移参数dX 、dY 、dZ 进行解算，转换公式为：

Xt=Xs+dX

Yt=Ys+dY

Zt=Zs+dZ

式中：Xs 、Ys 、Zs ——原坐标系的坐标值；

Xt 、Yt 、Zt ——新坐标系的坐标值。

利用上述公式前，首先将原坐标系中的坐标平面直角坐标通过大地反算转换为纬度φs 、经度λs 和椭球高hs ，利用公式(2)将纬度φs 、经度λs 和椭球高hs 转换为地心直角坐标Xs 、Ys 、Zs ，然后利用公式(1)求取新坐标系中的地心直角坐标，再利用公式(3)即可求出新坐标系中的大地坐标纬度φt 、经度λt 和椭球高ht ，最后通过大地正算转换为新坐标系中的平面直角坐标。其中椭球高ht 为从采用椭球的椭球面起算，如果需要换算到海平面高程必需作大地水准面高度校正。

X=(v+h)cosφcosλ

Y=(v+h)cosφsin λ

Z=((1-e 2)v+h)sin φ

φ=tg -1[(Z+e 2vsin φ)(X 2+Y 2)0.5]

λ=tg -1(Y/X)

h=Xsec λsec φ-v

式中：v ——纬度φ处的卯酉圈曲率半径，v=a(1-e2sin φ)0.5；

φ、λ——坐标点的纬度和经度，λ从格林威治本初子午线起算；

h ——相对椭球面的高度；

e ——椭球第一偏心率。

dX 、dY 、dZ 为坐标系转换的三参数，可以通过比较两个地心直角坐标系已知点的坐标求得。 h 为相对椭球面的高度，也就是通过GPS 卫星定位观测得到的高度值，而不是通常的与重力相关的大地测量高程值。重力相关的高程(H)通常是相对海平面，或某一水准面的高度。如果重力高程H 已知，那么在使用以上公式时必须将其转换成椭球高程h=H+N ，其中N 为大地水准面相对椭球面的高度，N 有时为负值。大地水准面是近视于海平面的重力面。

2、简化莫洛金斯基(Molodenski)转换

三参数法是最简单的坐标系转换方法，通过两坐标系的原点位移就可以实现，莫洛金斯基(Molodenski)在此基础上提出了相应三参数的直接转换方法：

φt =φs +d φ

λt =λs +d λ

h t =h s +d h

式中：dφ"=(-dX·sinφ·cosλ-dY·sinφ·sinλ+dZ·cosφ+[a·df+f·da]·sin2φ)/(ρ·sin1")

d λ"=(-dX·sin λ+dY·cos λ)/(v·cos φ·

sin1")

(1)

(4)

(2) (3)

dh=dX·cos φ·cos λ+dY·cos φ·sin λ+dZ·sin φ+(a·df+f·da)·sin2φ-da

其中：dX 、dY 、dZ ——两椭球参心差值，也就是椭球体原点平移参数；

ρ——原椭球体纬度φ处的子午圈曲率半径 ρ=a(1-e2)/(1-e2sin φ)3/2；

v ——为原椭球体纬度φ处的卯酉圈曲率半径 v=a/(1-e2sin2φ)1/2；

da ——为新椭球体与原椭球体的长半轴之差 da=at-as ；

df ——为新椭球体与原椭球体的扁率之差 df=ft-fs=1/(1/ft)-1/(1/fs)；

d φ、d λ——φ、λ的偏差值，以弧度为单位。

3、赫尔默特(Helmert)转换

从一个大地坐标系转换到另一个大地坐标系(俗称为基准面转换)一般需要经过三个环节：大地坐标到地心坐标→地心坐标到地心坐标→地心坐标到大地坐标。三参数法和简化莫洛金斯基(Molodenski)转换法都是假设两个大地坐标系的直角坐标轴相互平行，当两椭球体的长、短轴不相互平行并且考虑到位置矢量的比例因子时，就要使用7参数转换法，通常称为7参数赫尔默特(Helmert)转换，将转换公式用7参数矩阵表示，即得到著名的布尔莎—沃尔夫(Bursa-Wolf)公式：

式中：(Xs 、Ys 、Zs)为原坐标系中的点坐标，(Xt 、Yt 、Zt)为新坐标系中的点坐标。

(dX 、dY 、dZ)：两坐标系的原点平移矢量(平移参数)，原坐标系中的点位置矢量加上原点平移矢量即得到该点在新坐标系中的位置矢量。平移参数也就是原坐标系的原点在新坐标系中的坐标值。

(Rx 、Ry 、Rz)：位置矢量的旋转角(旋转参数)。参数符号约定如下：从直角坐标系原点沿轴正向看，位置矢量绕轴顺时针旋转为正。从原坐标系转换到新坐标系，如果绕Z 轴的旋转角度为正，那么转换后坐标点的经度将增大。

M ：位置矢量的比例因子(尺度比参数)，位置矢量从原坐标系转换到新坐标系的尺度伸缩量。M=(1+dS*10-6)，其中dS 为尺度校正量，以百万分之一计(ppm)。

4、莫洛金斯基—巴德卡斯(Molodenski-Badekas)转换

为了消除赫尔默特(Helmert)方法中平移与旋转参数之间的强相关性，引入了另一旋转中心点，也就是旋转中心由原来的地心坐标系原点，改为一个特定的位置，转换公式变为：

参数定义如下：

(Xp 、Yp 、Zp)：旋转中心点的坐标。

(dX 、dY 、dZ)：两坐标系的原点平移矢量(平移参数)，原坐标系中的点位置矢量加上原点平移矢量即得到该点在新坐标系中的位置矢量。平移参数也就是原坐标系的原点在新坐标系中的(5)

??????????+???????????????? ??+--++-?=??????????dZ dY dX Z Y X R R R R R R M Z Y X S S S X Y X Z Y Z T T T 111(6) ????

??????+??????????+??????????---?????? ??-++--+?=??????????dZ dY dX Z Y X Z Z Y Y X X R R R R R R M Z Y X p p p p S p S p S X Y X Z Y Z T T T 111

坐标值。

(Rx 、Ry 、Rz)：坐标参考框架的旋转角(旋转参数)。参数符号约定如下：从直角坐标系原点沿轴正向看，位置矢量绕轴顺时针旋转为正。从原坐标系转换到新坐标系，如果绕Z 轴的旋转角度为正，那么转换后坐标点的经度将变小。

M ：位置矢量的比例因子(尺度比参数)，位置矢量从原坐标系转换到新坐标系的尺度伸缩量。M=(1+dS*10-6)，其中dS 为尺度校正量，以百万分之一计(ppm)。

5、多项式转换方法

多项式转换方法是假设两个坐标系统间坐标换算关系服从一个2次、3次或更高次的多项式，将已知的公用点坐标代入多项式，利用最小二乘法的方法求取多项式的系数，从而得到两个坐标系的转换关系。

多项式函数本身具有适应各种变化的能力，因为不同的情况可通过不同的多项式逼近。最简单的多项式是一般多项式函数，但这类多项式可能产生数值不稳定问题，为此需要将原坐标系及新坐标系中的坐标值减小到“可控制”的数值，至多在-10～10之间，这可通过坐标值归化实现，也就是设定一个中间参照值，计算各点相对该参照点的坐标差值，然后再通过一个比例因子将该差值归化到期望的数值范围。

设定原坐标系的参照点(XS0、YS0)，新坐标系的参照点(XT0、YT0)，通常，这两个参照点不是同一个物理点，而是各自坐标系中的同坐标点，因为当两个参照点坐标相同时，公式中的相关参数就能互相消除。

两坐标系的参照点选定后，就可计算相对各自参照点的相对坐标值，分别为：

0000

T T T T S S S S Y Y X X Y Y X X ----和 相对坐标值的单位应该与坐标系采用的单位一致，如果原坐标系或新坐标系的坐标用经纬度表示，则坐标单位可以是度、分、秒。通过一个比例因子，将相对坐标值调整到一个期望的数值范围，以减小多项式数值计算误差：

)()

(00S S S S S S Y Y m V X X m U -?=-?= 式中：XS 、YS ——原坐标系中的点坐标；

XS0、YS0——原坐标系中的参照点坐标；

mS ——原坐标系中相对坐标值的比例因子。

将归化后的相对坐标值U 、V 代入多项式转换公式。

6、相似变换

由图可见，相似变换的代数表达式为：

θθθ

θcos sin sin cos 00??+??+=??-??+=dS Y dS X Y Y dS Y dS X X X S S T T S S T T (7) (8)

(9)

或用矩阵表示为：

???? ??????? ??-?+???? ??=???? ??S S T T T T Y X dS Y X Y X θθθθcos sin sin cos 00 式中：XT0、YT0——原坐标系的原点在新坐标系中的坐标值；

dS ——原坐标系一个单位长度，以新坐标系的长度单位表示；

θ——原坐标系两坐标轴旋转到与新坐标系对应坐标轴重合需要转动的角度，逆时针旋转为正。

三、平面坐标转换方法分析 三参数法转换法是假定两个大地坐标系的直角坐标轴相互平行，尽管这种假设通常是不成立的，但对一个国家或地域的局部地区来说，该假设引起的误差可以忽略，一般小于数据的观测精度。对公路勘测而言，在特定的区域内，三参数转换法一般是能够满足精度要求的，当精度要求较高时，三参数转换法不适合在全球范围应用，也不适合地域广大的国家与地区。

莫洛金斯基(Molodenski)法是在三常数转换法基础上提出的，实质内容和三参数转换法相同。 赫尔默特(Helmert)转换法是一个比较完善的坐标转换方法，不仅考虑到两椭球体的长、短轴不相互平行，同时还考虑到位置矢量的比例因子，它适合任意两个坐标系统之间的坐标转换。

多项式转换方法一般用于误差分布不均匀的坐标系转换，因为这些误差引起的失真可近视通过经、纬度或北、东向坐标的多项式函数模拟，多项式的阶次可按失真的程度而定，可以是2次、3次或更高次的多项式。在坐标系转换中，由地图投影及基准面变换误差引起的失真也可以通过多项式逼近函数调整。

当需要相互转换的两个坐标系纵横比例尺一致时，也就是从原坐标系转换到新坐标系两坐标轴的比例因子相等，而且两个坐标系均为平面直角坐标系的情况下，可以使用相似变换。

三参数法转换法、莫洛金斯基法、赫尔默特转换法适合面积较大的情况下坐标系之间的转换，计算方法比较复杂，实际使用时必须借助专业的坐标系转换软件才能进行坐标的转换，应用时很不方便。

多项式转换方法和相似变换法适合于面积较小范围内的坐标转换，另外多项式转换方法和(10)

相似变换示意图

相似变换法只有在利用公用点求取多项式系数或相似变换四参数时需要借助专业的测量软件，但当系数或参数求出后，实现坐标系之间的坐标转换时比较方便。特别是相似变换法，简洁明了，易于理解。因此，当两个相互衔接的工程，其相互衔接处的坐标转换采用相似变换法比较方便、实用。

四、公路平面坐标转换实例

下表为相互衔接的两个公路工程重合处公用点的坐标：

利用相似变换法求取了从a坐标系转换至b坐标系的转换参数为：

X T0=3784045.6455

Y TO=574660.7109

dS=1.0000946896855

θ=-0.0090950449995714 (弧度)

将上述参数代入公式(9)或(10)得：

Xb=3784045.6455+1.0000946896855×(Xa×COS(-0.0090950449995714)

-Ya×SIN(-0.0090950449995714))

Yb= 574660.7109+1.0000946896855×(Xa×SIN(-0.0090950449995714)

+Ya×COS(-0.0090950449995714)) 可见，求得转换公式后，具体使用时还是比较方便的，只要放入EXCEL表中，很容易实现坐标的转换。