第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)

第五专题矩阵的数值特征

（行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）

一、行列式

已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA|

证明一：参照课本194页，例4.3.

证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；

从而I p+AB，I q+BA中不等于1的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。

行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以二者相等。

二、矩阵的迹

矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。

定义：

n n

ii i

i1i1

tr(A)a

==

==λ

∑∑，etrA=exp(trA)

性质：

1. tr(A B)tr(A)tr(B)

λ+μ=λ+μ，线性性质；

2. T

tr(A )tr(A)=；

3. tr(AB)tr(BA)=；

4. 1

tr(P AP)tr(A)-=；

5. H H

tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；

6. n

n

k k

i i i 1

i 1

tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;

从Schur 定理（或Jordan 标准形）和（4）证明； 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0；

8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥，且等号成立的充要条件是A=B （i i A B (A)(B)≥?λ≥λ）；

9. 对于n 阶方阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。

若干基本不等式

对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式

[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]

得

定理：对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)

这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。特别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时

0≤|tr(AB)|≤

定理：设A和B为两个n阶Hermite阵,且A≥0，B≥0，则

0≤tr(AB)≤λ1(B)tr(A) ≤tr(A)﹒tr(B)

λ1(B)表示B的最大特征值。

证明：

tr(AB)= tr(A1/2BA1/2) ≥0，又因为

A1/2[λ1(B)I-B]A1/2≥0，所以λ1(B)tr(A)≥A1/2BA1/2，得

tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≤tr(λ1(B) A)

=λ1(B) tr(A)≤tr(A)﹒tr(B)

推论：设A为Hermite矩阵，且A>0，则

tr(A)tr(A-1)≥n

另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考《矩阵论中不等式》。

三、矩阵的秩

矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的。它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩阵秩的一些性质和不等式。

定义：矩阵A 的秩定义为它的行（或列）向量的最大无关组所包含的向量的个数。记为rank(A)

性质：

1. rank(AB)min(rank(A),rank(B))≤；

2. rank(A B)rank(A,B)rank(A)rank(B)+≤≤+；

3.

H H

rank(AA )rank(A )rank(A)==； 4. rank(A)rank(XA)rank(AY)rank(XAY)===，其中X 列满秩，Y 行满秩（消去法则）。

定理（Sylvester ）：设A 和B 分别为m×n 和n×l 矩阵，则

rank(A)rank(B)n rank(AB)+-≤

m i n (r a n k (A ),r a

≤ Sylveste 定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。

其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的《矩阵论中不等式》，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。

四、相对特征根

定义：设A 和B 均为P 阶实对称阵，B>0，方程 |A-λB |=0的根称为A 相对于B 的特征根。

性质：|A-λB |=0等价于|B -1/2AB -1/2-λI|=0

(因为B>0，所以B 1/2>0)

注：求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。

定义：使(A-λi B)l i=0的非零向量l i称为对应于λi 的A相对于B的特征向量。

性质：

①设l是相对于λ的A B-1的特征向量，则

A B-1l=λl 或 A (B-1l)=λB( B-1l)

B-1l 为对应λ的A相对于B的特征向量

（转化为求A B-1的特征向量问题）。

②设l是相对于λ的B-1/2AB-1/2的特征向量，则

B-1/2AB-1/2l=λl

可得

A (B-1/2l)=λB(B-1/2l)

则B-1/2l 为对应λ的A相对于B的特征向量

（转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题）。

五、向量范数与矩阵范数

向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。先讨论向量范数。

1. 向量范数定义：设V为数域F上的线性空间，若对于V的任一向量x，对应一个实值函数x，并满

足以下三个条件：

（1）非负性 x 0≥，等号当且仅当x=0时成立； （2）齐次性 x x ,k,x V;α=α?α∈∈ （3）三角不等式x y x y ,x,y V +≤+∈。 则称x 为V 中向量x 的范数，简称为向量范数。定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。

例1. n

x C

∈，它可表示成[]

T

12n x =ξξξ ，i C ξ∈，

1n

2

2i 2i 1x ?

=?

?=ξ ?

??

∑就是一种范数，称为欧氏范数或2-范数。

证明：

（i ）非负性 1n

2

2i 2i 1x 0=?

?=ξ≥ ?

??

∑，

当且仅当()i 0i 1,2,,n ξ== 时，即x ＝0时，2

x

＝0

（ii ）齐次性

11

n

n 2

2

22i i 22i 1i 1x x ==??

??

α=αξ=α?ξ=α? ?

?

??

??

∑∑

（iii ）三角不等式

[]T

1

2n y =ηηη ，i C η∈

[]T

1122n n x y +=ξ+ηξ+ηξ+η n

2

2

i i 2i 1x y =+=ξ+η∑

()

222

22

i i i i i i i i i i 2Re 2ξ+η=ξ+η+ξη≤ξ+η+ξη

n

222

i i 222i 1

x y x y 2=+≤++ξη∑

()2

2

2

222222x y x y 2x y +=++

根据H?lder 不等式：

11

n

n

n

p

q

p q i i i i i 1i 1i 1a b a b ===????≤ ? ???

??∑∑∑，i i 11p,q 1,1,a ,b 0p q >+=> 1

1

n

n

n

22

22i i i i 2

2i 1i 1i 1

x y ===???

?=ξη≥ξη ? ?

????

∑∑∑

∴ 222x y x y +≤+

2. 常用的向量范数（设向量为[]

T

12n x =ξξξ ）

1-范数：n

i 1

i 1

x

==ξ∑；

∞-范数：1i n

x i max ∞≤≤=ξ；

P-范数：1

n

p

p i p i 1x =?

?=ξ ???

∑ （p>1, p=1, 2,…,∞,）;

2-范数：(

)

1

H

2

2x x x

=;

椭圆范数(2-范数的推广):

(

)

1

H

2

A

x

x Ax

=，A 为Hermite 正定阵.

加权范数：

1n

2

2i i w

i 1x

w =??=ξ ???

∑，

当[]12n A W diag w w w == ，i w 0> 证明：

p

x

显然满足非负性和齐次性

（iii ）[]

T

1

2n y =ηηη

1n

p

p i p i 1x =?

?=ξ ?

??

∑，1n p

p i p i 1y =??

=η ?

??∑，1

n

p

p i

i p i 1x y =??

+=ξ+η ???

∑

(

)

n

n

p

p

p 1

i i i i

i i

p

i 1

i 1

n

n

p 1

p 1

i i

i i i

i

i 1

i 1

x y

-==--==+=ξ+η=ξ+ηξ+η≤ξ+ηξ+ξ+ηη∑∑∑∑

应用H?lder 不等式

()1

1

n

n

n

q

p

p 1

p 1q p i i

i i i

i i 1i 1i 1--===??

?

?ξ+η

ξ≤ξ+ηξ??

??????∑∑∑ ()1

1

n

n

n

q

p

p 1

p 1q p i i

i i i

i i 1

i 1i 1--===???

?ξ+η

η≤ξ+ηη??

????

??∑∑∑

()11

1p 1q p p q

+=?-= ∴

1

1

1n

n

n

n

q

p

p

p

p p p i

i

i i i i i 1

i 1i 1

i

1

====???

???????ξ+η≤ξ+ξ+η ? ? ?????

??

???

?

∑∑∑∑ 11

1

n

n

n p

p

p

p p p i

i i i i 1i 1i 1===???

??

?ξ+η≤ξ+η ? ? ?????

??

∑∑∑

即 p p p

x y x y

+≤+

3. 向量范数的等价性 定理 设

α

、β

为n

C 的两种向量范数，则必定存

在正数m 、M ，使得

m x

x M x

α

βα

≤≤，（m 、M 与x

无关），称此为向量范数的等价性。

同时有1

1x x x M

m

βα

β

≤≤

注：

（1）对某一向量X 而言，如果它的某一种范数小（或大），那么它的其它范数也小（或大）。

（2）不同的向量范数可能大小不同，但在考虑向量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。

4、矩阵范数

向量范数的概念推广到矩阵情况。因为一个m ×

n 阶矩阵可以看成一个mn 维向量，所以m n

C ?中任何

一种向量范数都可以认为是m ×n 阶矩阵的矩阵范数。

1. 矩阵范数定义：设m n C ?表示数域C 上全体m n

?阶矩阵的集合。若对于m n C ?中任一矩阵A ，均对应一个实值函数A ，并满足以下四个条件：

（1）非负性：A 0≥ ，等号当且仅当A=0时成立； （2）齐次性：A A ,C;α=αα∈

（3）三角不等式：m n A B A B ,A,B C ?+≤+∈,则称

A 为广义矩阵范数；

（4）相容性：AB A B ≤?,则称A 为矩阵范数。

5. 常用的矩阵范数

（1）Frobenius 范数（F-范数）

F-范数：

12

n

2ij F

i j 1A

a =?

?= ???

∑，

=

矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要考虑矩阵范数与向量范数的协调性。

定义：如果矩阵范数A 和向量范数x 满足

Ax A x ≤?

则称这两种范数是相容的。

给一种向量范数后，我们总可以找到一个矩阵范数与之相容。 （2）诱导范数

设A ∈C m ×n ，x ∈C n

, x 为x 的某种向量范数， 记

x 1

A max Ax == 则A 是矩阵A

的且与x 相容的矩阵范数，也称之为

A 的诱导范数或算子范数。 （3）p-范数：

p

p

p

Ax A

max

x

=，

()

ij m n

A a ?=,x 为所有可能的向量，[]

T

12n x =ξξξ ，

p p

x x

α=α，

()

p p

1

Ax A x =αα

()0α≠

∴

p p

p

x 1

A

max Ax

==

111x 1

A max Ax ==，n

i 1i 1

x 1==ξ=∑，n n

ij j

1i 1j 1

Ax a ===ξ∑∑

可以证明下列矩阵范数都是诱导范数： （1）

n

ij

11j n

i 1A max a ≤≤==∑ 列（和）范数；

（2

）21i n A ≤≤= 谱范数； H A A 的最大特征值称为H A A 的谱半径。

当A 是Hermite 矩阵时，i 21i n

A max (A)≤≤=λ是

A 的谱

半径。

注：谱范数有许多良好的性质，因而经常用到。

2

H

H

2222

A

A ; A A A == （3）n

ij

1i m

j 1

A

max a ∞

≤≤==∑ 行（和）范数

（

x

∞

=1n

p

p i i

1i n

i 1p max ≤≤=→∞

?

?ξ=ξ ???

∑ ，

2x =1

n

2

2i i 1=?

?ξ ?

??

∑）

定理 矩阵A 的任意一种范数A 是A 的元素的连

续函数；矩阵A 的任意两种范数是等价的。 定理 设A ∈C n ×n

，x ∈C n , 则F A 和2x 是相容的

即

2

F 2Ax A x ≤?

证明：由于2

22F 2Ax

A x A x ≤?≤?成立。

定理 设A ∈C n ×n ，则F A 是酉不变的，即对于任意酉矩阵U,V ∈C n ×n ，有

F

F A

UAV =

证明：

F UAV =

==

F A ===

定义 设A ∈C n ×n ，A 的所有不同特征值组成的集合称为A 的谱；特征值的模的最大值称为A 的谱半径，记为ρ(A)。

定理 ρ(A)不大于A 的任何一种诱导范数，即

ρ(A)≤A

证明：设λ是A 的任意特征值，x 是相应的特征向

量，即

Ax=λx

则

|λ|·||x||= ||Ax||≤||A||·||x||, ||x||≠0

即

|λ|≤||A||

试证：设A是n阶方阵，||A||是诱导范数，当||A||<1时，I-A可逆，且有

||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1

证明：

若I-A不可逆，则齐次线性方程组

(I-A)x=0

有非零解x，即x=Ax，因而有

||x||=||Ax||≤||A||﹒||x||<||x||

但这是不可能的，故I-A可逆。

于是(I-A)-1=[ (I-A)+A] (I-A)-1=I+A (I-A)-1

因此||(I-A)-1||≤||I||+||A(I-A)-1||=1+||A(I-A)-1||

≤1+||A||﹒|| (I-A)-1||

即证

||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1

补充证明||I||=1：

由相容性可知：

||A||﹒||A -1||≥||A A -1||=||I||

x Ix I x I 1=≤?≥

对于诱导范数( x 1

A max Ax ==) x 1I max Ix 1===。

六、条件数

条件数对研究方程的性态起着重要的作用。 定义：设矩阵A 是可逆方阵，称||A||﹒||A -1||为矩阵A 的条件数，记为cond(A)，即

cond(A)= ||A||﹒||A -1||

性质：

（1）cond(A) ≥1,并且A 的条件数与所取的诱导范数的类型有关。

因cond(A)= ||A||﹒||A -1||≥||A A -1||=||I||=1 （2）cond(kA)= cond(A)=cond(A -1)，这里k 为任意非零常数。

当选用不用的范数时，就得到不同的条件数，如：

cond 1(A)= ||A||1﹒||A -1||1 cond ∞(A)= ||A||∞﹒||A -1||∞ cond 2(A)= ||A||2﹒||A -1

||2

=

1n ,λλ分别

为A H A 的特征值的模的最大值和最小值。谱条件数

特别地，如果A 为可逆的Hermite 矩阵，则有

cond 2(A)=

1

n

λλ

这里1n ,λλ分别为A 的特征值的模的最大值和最小值。

如果A 为酉阵，则cond 2(A)= 1

例 求矩阵A 的条件数cond 1(A)，cond ∞(A)

1

52A 210382-?? ?=- ? ?-??

解：

||A||1=max{6;14;4}=14; ||A||∞=max{8;3;13}=14;

1

2621A 4844132311-?? ?=- ? ???

故

||A -1||1=17/4; ||A -1||∞=47/4;

cond 1(A)= ||A||1﹒||A -1||1=14×17/4=259/2; cond ∞(A)= ||A||∞﹒||A -1||∞=611/4。

例 设线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 可逆。讨论当b 有误差δb 时，解的相对误差δx 的大小。

解：因矩阵A 可逆，所以Ax=b 有唯一解x=A -1b ，设解的误差为δx ，由

A(x+δx)=b+δb

得

A δx=δb 或δx=A -1δb 得

11x A b A b --δ=δ≤?δ （1）

又Ax=b ，可得

b A x ≤?，或A 1x b ≤ （2）

所以由（1）和（2），得

1

x b b A A cond(A)x b b -δδδ≤??=?

这说明相误差x

x δ的大小与条件数cond(A)密切相关；当右端b 的相对误差b

b δ一定时，cond(A)越大，

解的相对误差就可能越大；cond(A)越小，解的相对误差就可能越小。因而条件数cond(A)可以反映A 的特性。

一般来说：条件数反映了误差放大的程度，条件

数越大，矩阵越病态。条件数在最小二乘估计的稳定性研究中有重要应用。

鉴于矩阵A 的条件数范数cond(A)有多种，但最常用的条件数是由谱范数||A||2导出的，称为谱条件数。在本章中，若无特别声明，讨论的条件数都是谱条件数。

2A =

12

A -= 谱条件数：()

cond A =

若A 是m ×n 阶矩阵，且rank(A) =t≤n ，则A 的条件数定义为

()()

()

max min A cond A A σ=

σ 即最大奇异值与最小非零奇异值的商。 （3）其它性质

对任意酉矩阵Q ，cond(QAQ H )= cond(A -1)；

()()H 2cond AA cond A cond(A)=≥。

（因

()()()

()H max H

2H min AA cond AA cond A AA σ==σ）