初中数学压轴题动态几何证明及实验题

动态几何证明及实验题

所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查．动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。解动态几何题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系（如图形的特殊状态、图形间的特殊关系）等进行研究考察．抓住变化中的“不变量”，以不变应万变．

实验操作

【要点导航】

通过实验操作——观察猜想——科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法. 实验操作探索——理解题意、实验操作是基本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实. 【典例精析】

例1取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得R t△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图3．利用展开图4探究：

（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论；

（2）对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由．

【思路分析】

1．图形翻折后能重叠部分的图形全等，所以∠BEA=∠AEB'=∠FEC，它们都是60°角，所以△AEF是等边三角形．

2．由操作可知AF>AD时，不能完整折出这种三角形．当图3中的点F、D重合时，便可求得矩形的长与宽的比例为2︰3．

解（1）△AEF是等边三角形．由折叠过程可得：60

BEA AEF FEC

∠=∠=∠=?．因为BC∥AD，所以60

AFE FEC

∠=∠=?．所以△AEF是等边三角形．

图1 图2

图3 图4

（2）不一定．当矩形的长恰好等于等边△AEF 的边AF 时，即矩形的宽∶长＝AB ∶AF ＝2:3时正

好能折出．如果设矩形的长为A ，宽为B ，可知当a b 2

3

≤

时，按此种方法一定能折叠出等边三角形；当a b a ＜＜2

3

时，按此法无法折出完整的等边三角形． 〖方法点睛〗要从操作实验题中抽象出数学模型来，并借助图形运动的基本性质求解．

例2 已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，M 为BC 中点．操作：将三角板的90°角的顶点与点M 重合，并绕着点M 旋转，角的两边分别与边AB 、AC 相交于点E 、F ．

（1）探究1：线段BE 、EF 、FC 是否能构成三角形？如果可以构成三角形，那么是什么形状的三角形？请证明你的猜想．

（2）探究2：若改变为：“角的两边分别与边AB 、直线AC 相交于点E 、F ．”其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证明你的猜想． 〖思路分析〗

1．由点M 是BC 中点，所以构造绕点M 旋转180°重合的全等三角形，将线段BE 、EF 、FC 移到同一个三角形中．

2．当角的两边分别与边AB 、直线AC 相交于点E 、F 时，构造和证明的方法不变．

证明（1）线段BE 、EF 、FC 可以构成直角三角形．如图1，延长EM 到G ，使得EM =M G ，联结GC 、FG ．因为M 为BC 中点，所以BM =CM ，又因为∠EMB =∠GMC ，EM =M G ，所以△EMB ≌△GMC ，所以BE =GC ，EM =MG ，∠B =∠MCG ．因为FM 垂直平分EG ，所以FE =FG ．又因为∠BAC =90°，所以∠B +∠ACB =90°，所以∠MCG +∠ACB =90°，即∠FCG =90°，所以2

2

2

FG FC GC =+，所以2

2

2

EF FC BE =+．

（2）如图2，当点F 在CA 的延长线上时，延长EM 到G ，使得EM =M G ，联结GC 、FG ．因为M 为BC 中点，所以BM =CM ，又因为∠EMB =∠GMC ，EM =EG ，所以△EMB ≌△GMC ，所以BE =GC ，EM =MG ，∠B =∠MCG ．因为FM 垂直平分EG ，所以FE =FG ．又因为

C

M

A

C

M E

F

G

A

E

A

B C

M E F

G 图2

△FCG 为阴影 △FCG 为阴影

标注三

角板为阴影

标注三角板为阴影 标注三角板为阴影

∠BAC =90°，所以∠B +∠ACB =90°，所以∠MCG +∠ACB =90°，即∠FCG =90°，所以

222FG FC GC =+，所以222EF FC BE =+．

如图3，当点F 在AC 的延长线上时，同理可证

222EF FC BE =+．

〖方法点睛〗线段之间常见的关系是和差关系或者满足勾股定理．若能将所要求线段移动到同一条直线上，则线段之间是和差关系的可能性较大，若能将所要求线段移动后能构成三角形，则线段之间满足勾股定理的可能性较大．

【星级训练】

第 天 ，年 月 日

1. ★★★如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．

（1）操作：由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；

（2）连结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）如果正方形的边长为2，FG 的长为2

5

，求点C 到直线DE 的距离．

2. ★★★操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并

使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ． 探究：设A 、P 两点间的距离为x ．

（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论； （2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域； G F E

D A C

B

D A

C

B

供试验操作用

（3）当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）

3. ★★★在△ABC 中，AB =AC ，CG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F ，一条直角边与AC 边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B ．

（1）在图1中请你通过观察、测量BF 与CG 的长度，猜想并写出BF 与CG 满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC 方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC 边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D ，过点D 作DE ⊥BA 于点E ．此时请你通过观察、测量DE 、DF 与CG 的长度，猜想并写出DE ＋DF 与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC 方向继续平移到图3所示的位置（点F 在线段AC 上，且点F 与点C 不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）

4. ★★如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线． 实验与探究：

（1）由图观察易知A （0，2）关于直线l 的对称点A '的坐标为（2，0），请在图中分别标明B (5,3) 、C (-2,5) 关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标：

D

A

C

B

图5

D

A

C

B

图6

D

A

C

B

图7

A

B

E F G

D

A

B

C D

E F

G

图3

A

B

F

G

图1

B ' 、

C ' ；

归纳与发现：

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P (a ,b )关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）； 运用与拓广：

（3）已知两点D (1,-3)、E (-1,-4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小，并求出Q 点坐标．

探索性问题

探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．

条件探索

【要点导航】

“探索”是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，数学中的“条件探索”题型，是指命题中缺少一定的题设，需经过推断、补充并加以证明的命题，因而必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由结论去探索未给予的条件。由于题型新颖、综合性强、结构独特，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，因而具体操作时要更注重数学思想方法的综合应用．

【典例精析】

例1 如图，在线段AE 的同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG （BE AB <），连结EG 并延长交

DC 于点M ，过M 作MN AB ⊥，垂足为N ，MN 交BD 于点P ．设正方形ABCD 的边长为1．

（1）证明△CMG ≌△NBP ；

（2）设BE =x ，四边形MGBN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域． （3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP 是菱形，求BE 的长．

1

2

345

6-1

-2-3-4-5-6-1-2-3

-4-5

-6

1

234567O x

y

l

A

B

A

'

D

'

E '

C

(?22??)

C

M D

（4）联结PG ，若BPG ?能否成为直角三角形？如果能，求BE 的长； 如果不能，请说明理由．

（5）联结AC 、AF 、CF ，求证△ACF 的面积为定值． 〖思路分析〗

1．第（3）小题把四边形BGMP 是菱形作为条件探索BE 的长． 2．BPG ?中∠PBG 始终是45°，而∠BPG 和∠PGB 有可能为90°，要分情况讨论．

．第（5）小题即可用割补法求也可用利用AC ∥BF 将△ACF 的面积转化为△ABC 的面积．

证明（1）因为 正方形ABCD ，所以?=45，同理?=∠45BEG ．因为 ?=∠=∠45BEG CMG AB MN ⊥?=∠90MNB NB CM =?=∠=∠90PNB C ?=∠=∠45NBP CMG x BE BG ==x CG -=1x CM -=122121)1)(1(21)(21x x x BN MN BG y -=-+=?+=10<

x -=121=x 212(1)x x =-32=x 3211111(1)(1)2222ACF ADHE ACD AEF HCF S S S S S x x x x x ????=---=+--+--=1(1)2AEF

S x x ?=+1(1)2BCFE S x x =+AEF S ?=BCFE S ABQ CFQ S S ??=2ACF ABC S S ??==12ACF ABC S S ??==BEFG =L

Q ≠a Q 6=a L 9=≠a Q 6=a L 9=Q 2=L 3Q 2=L 323L

31232b (4)0a a ++-=BD CE ABC △AC AB M BC MD ME DE ?<∠90BAC D E AC AB EM DM =?>∠90BAC D E AC AB

?=∠135BAC DEM △BAC ∠x DME ∠y y x （1）如图2，当BP =BA 时，∠EBF = °，猜想∠QFC = °；

（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；

（3）已知线段AB =32，设BP =x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式． A N B E F G C M D P 图2

A N

B E F G

C M

D P 图3 A

B

E F

C

D

图4 Q

H G A B

O y x

N M D

图3 A B C H

P O

y x 图2 x

y O P H C B A 图1 A B C （备用图） A

B

C

D

M E

图2

A

B

C

D

E

图1

Q

A

Q A C M N 图1

A B C M N 图2 A B C M N 图3

A

B C

M N

图4

P A

B C D M N

图5

P

结论探索

【要点导航】

探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．

探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、正、反比例和一次函数的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．

【典例精析】

例1 如图1，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC ，AB = 8，CD ⊥AB ，垂足为点D ．M 为边AB 上任意一点，点N 在射线CB 上（点N 与点C 不重合），且MC = MN ，NE ⊥AB ，垂足为点E ．当点M 在边AB 上移动时，试探索线段ME 的长是否会改变？说明你的理由． 〖思路分析〗

射线CB 包括线段CB 和线段CB 的延长线两部分，点N 在射线

CB 上运动时，可证明△CMD 和△MEN 全等，所以线段ME 的长始终和线段CD 相等，所以不会改变长度．

解：当点M 在边AB 上移动时，线段ME 的长不变，ME = 4．由点N 在射线CB 上，可知点N 在边BC 上或点N 在边CB 的延长线上．

（ⅰ）如图1，如果点N 在边BC 上，可知点M 在线段AD 上．因为 AC = BC ，∠ACB = 90°，所以 ∠A =∠B = 45°．又因为 AC = BC ，CD ⊥AB ，AB = 8，所以 CD = BD = 4．即得 45BCD ∠=?．因为 MC = MN ，所以 ∠MCN =∠MNC ．因为 ∠MCN =∠MCD +∠BCD ，∠MNC =∠B +∠BMN ，所以 ∠MCD =∠NME ． A

B C

图1

D

N

M E

又因为 CD ⊥AB ，NE ⊥AB ，所以 ∠CDM =∠ MEN = 90°．所以 △MCD ≌△MNE （A ．A ．S ）．所以 ME = CD = 4．

（ⅱ）如图2，如果点N 在边CB 的延长线上，可知点M 在线段BD 上，且点E 在边AB 的延长线上．

因为∠ABC =∠MNC +∠BMN = 45°， ∠BCD =∠MCD +∠MCN = 45°，∠MCN =∠MNC ，所以∠MCD =∠BMN ．因为MC = MN ，∠CDM =∠MEN = 90°，所以△MCD ≌△NME （A ．A ．S ）．所以 ME = CD = 4．所以由（ⅰ）、（ⅱ）可知，当点M 在边AB 上移动时，线段ME 的长不变，ME = 4．

〖方法点睛〗点M 在AB 上和在AB 的延长线上，从图1到图2是图形的变式题．随着点M 的运动线段之间的关系不变，所以证明思路不变．

例2 如图，已知在正方形ABCD 中，AB = 2，P 是边BC 上的任意一点，E 是边BC 延长线上一点，联结AP ．过点P 作PF ⊥AP ，与∠DCE 的平分线CF 相交于点F ．联结AF ，与边CD 相交于点G ，联结PG ．

（1）求证：AP = FP ；

（2）探索线段BP 、DG 、PG 之间的数量关系，并给出证明过程；

A

B C

图2

D N

M

E

B A

C

D E

P F

G

F D B A D M A B C P F E A B E P D M C

（3）当BP 取何值时，PG 222PG CG PC =+222)2()2()2(x x x =-+-222x =-(222)BP =-5cm 11cm 1cm 2cm kx y =x x y 2-=A A 2-k kx y =x x y 122+-=x y ?45ADE ??135BMD ?ADE ?BMD ??45?135BMD ?BMD ?212121BMD ?ABE ?BCF ?ABE ?FBC

?0

90=∠=∠FBC ABE MBN ?ABE ?BCF

?α

=∠=∠FBC ABE MBN ?=∠MBN ABE ?MBN ?α

21

2

12

224x AE AD +=+DE FG S DGF

?=?21242x y +=20<

5

21=??h 58=

h 58x 2

2

x 22x 22x 22121x

222142212

1

x

2x

2221x 423212

1

x

22

1

x

22

2x 222

1x

22

1

x

22

2x 2

2

2

22x 22x 22x 2

2

x 22x

22

1

(3,5)B '(5,2)C '-D 'D 'D 'b kx y +=314k b k b -+=??-+=-?，．52132k b ?

=-???

?=-??，．

513

22y x =--51322y x y x ?

=--??

?=?，．137137x y ?

=-????=-??

，．137-137-2b (4)0

a a ++-=1

2

1212121212BD CE ABC △?=∠=∠90BEC BDC BDC △CM BM =BC DM 21=BC

EM 2

1

=EM DM =?>∠90BAC EM DM =?=∠135BAC DEM △BM DM =MDB MBD ∠=∠BDM

DBM DMC ∠+∠=∠ABC

EMC ∠=∠2ACB

DMB ∠=∠2)

(180DMB EMC DME ∠+∠-?=∠)

(2180ABC ACB ∠+∠-?)

180(2180BAC ∠-?-?=?=??-?=90452180?=∠135BAC DEM △)

(180DMB EMC DME ∠+∠-?=∠)(2180ABC ACB ∠+∠-?)180(2180BAC ∠-?-?)180(2180x y --=1802-=x y ?<

∠3AB 180180906030AEQ AEB =?-∠-∠=?-?-?=?QFC ∠EBF BEF ∠+∠=

3030?+?=32=∠EBF 32

BE BG ==x )2(23+=

=x QH y 32

3

+=32

3

+=

x y A B C M N D A B C P E D 300 （图1） A B D C Q P x y C B A O 图1 图2 图3 A O x C D B y 图1 B A C D E P F G M 图3 B A C D E P F G 图2 H A B C D E M 图1 A B C D E M 图2 A B C D E M 图3 A B C D E M 图4 A B C D E M 图5 N A B C D E M 图6 N P A B C D E F 图1 A B C D E F 图2 A B C D E F 图3 N F E D C B A M N F E D C B A M A E F D B N C M A B C E F M N 图1 A B C E F M N 图2 A B C E F M N 图3 A

B C D E F G 图1 A B C D E F G 图2 A B C D E F G 图3 F B A D C E G 图1 F B A D C E G 图2 F B A C E 图3 D Q 123456-1-2-3-4-5-6-1-2

-3-4

-5

-61234567O x y l A B A '

D '

E '

C (第22题图）B '

C '

D ' G F

E D A C B H 图1 D A C B 图1 M N P Q D A C B 图2 M N P Q T D A C B 图3 M N P Q 标注△DAE 和△FHG 为阴影 △BMP 和△PNQ 为阴影 △PCQ 为阴影 A B C E

F

G 图7

H D A B C M E D 图3 A C B E Q F P G 图4 A B E Q P F C H

ACP ABP ABC S S S ???+=BH AC S ABC ?=

?21DP AB S ABP ?=?2

PE AC S ACP

?=?21PE AC ?21DP AB ?+21BH AC ?2

1

BH

PD PE =+ACP

ABP ABC S S S ???-=BH AC S ABC ?=

?2

1

DP AB S ABP ?=?21PE AC S ACP ?=?2

1

BH AC ?21PE AC ?21DP AB ?2

1PD

BH PE =+212121212121-212

1

)4(21x y -=2

21

+-=x y DK x MH x ??=?+215)4(213

8=x x AE 21=2)221(214214=+---=--=x x y x DE 221-=x CD 2212214+=-+=x x AD x AE 21=221

221=-+=-=x x AE AD DE 343838385165

16A BC AE ⊥E

D BC DF ⊥F DF A

E //E

F AD //6=-=+EF BC CF BE 4

22=-=

BE AB AE AE BQ AP S ABQP ?+=

)(21x BQ x AP x PD 2,5,=-==x x x y 2104)25(21

+=?+-=50<

1

)(21-=?-+=?+=QCDP ABQP S S =x x 222210-=+3

=x 3=x x x 25=-35=x CQ PD =x x 211-=311=

x 35=x 3

11kx y =x y 2

-=A A 2-2=y A 2

,2(-k 22-=1-=k x y -=BC 4+-=x y OB OBDP P x y -=4==OB OP P

)22,22(1-P )22,22(2-P OBPD D C )4,4(3P OB P x y -=)2,2(4-P P )22,22(1-P )22,22(2-P )4,4(3P )2,2(4-P 122+-=x y )0,6()12,0()6,3()0(≠=k kx y )6,3(2=k x

y 2=)4,2()0(≠+=k b kx y )0,6()4,2(1-=k 6=b 6+-=x y )6,(+-x x 36)6()6(22=-+-x x 236±=x 1P 2P )23,236(-)23,236(-+1Q 2Q )23,23(-)23,23(-3P )6,0(3Q )

6,6(4P )3,3(4Q )3,3(-以∠EAB ＝∠GAD ，EF ＝FG ．所以∠DAG +∠BAF ＝∠BAE +∠BAF

=∠EAF =

2

1

∠BAD ．所以∠GAE =∠EAF ．因为AF ＝AF ，所以△AFG ≌△AFE .所以FG ＝EF ，因为FG =DF －DG 所以EF =DF －BE ．

（4）△CEF 的周长：CE +EF +FC =EF +FC +BE +BC =FG +BE +2+4=7+2+4=13． C D

E A B H P 图

2 C D E A

B H P 图1 图

2 A B C P E D A

O x

C D

B y

P 1 P 2

Q 2 Q 1

图2

O

x

C D

B

y P 3 Q 3 A

P 4

Q 4

图3 标注菱形AP 1Q 1O 和菱形AP 2Q 2O 为阴影 标注菱形OP 4AQ 4和菱形OA Q 3P 3为阴影 A B C D E

F 图4 G

1． 解（1）EG =CG ，EG ⊥CG ．

（2）EG =CG ，EG ⊥CG ．证明，如图4，延长FE 交DC 延长线于M ，连MG ． 因为∠AEM =90°，∠EBC =90°，∠BCM =90°，所以四边形BEMC 是矩形．所以BE =CM ，∠EMC =90°，又因为BE =EF ，所以EF =CM ．因为∠EMC =90°，FG =DG ，所以MG =

1

2

FD =FG ．因为BC =EM ，BC =CD ，所以EM =CD ．因为EF =CM ，所以FM =DM ，所以∠F =45°．又FG =DG ，∠CMG =

1

2

∠EMC =45°，所以∠F =∠GMC ．所以△GFE ≌△GMC ．所以EG =CG ，∠FGE =∠MGC ．因为∠FMC =90°，MF =MD ，FG =DG ，所以MG ⊥FD ，所以∠FGE +∠EGM =90°，所以∠MGC +∠EGM =90°，即∠EGC =90°，所以EG ⊥CG ．

2． 解（1）CG =EG

（2）（1）中结论没有发生变化，即EG =CG ．证明：如图2，联结AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点．在△DAG 与△DCG 中，因为 AD =CD ，∠ADG =∠CDG ，DG =DG ，所以 △DAG ≌△DCG ．所以 AG =CG ． 在△DMG 与△FNG 中，因为 ∠DGM =∠FGN ，FG =DG ，∠MDG =∠NFG ，所以 △DMG ≌△FNG ．所以 MG =NG ，在矩形AENM 中，AM =EN ．在R t △AMG 与R t △ENG 中，因为 AM =EN ， MG =NG ，所以 △AMG ≌△ENG ．所以 AG =EG ．所以 EG =CG ． （3）（1）中的结论仍然成立．

3． 解（1）判断：EN =MF ，点F 在直线NE 上．

证明：如图1，连结DE 、DF 、EF ．因为△ABC 是等边三角形， 所以AB =AC =BC ．又因为D 、E 、F 是三边的中点， 所以DE 、DF 、EF 为△ABC 的中位线．所以DE =DF =EF ，所以∠FDE =∠DFE ＝60°．因为△DMN 是等边三角形，所以∠MDN ＝60°，DM =DN ．所以∠FDE ＋∠NDF =∠MDN +∠NDF ， 所以∠MDF =∠NDE ． 在△DMF 和△DNE 中，DF =DE ，∠MDF =∠NDE ， DM =DN ，所以△DMF ≌△DNE ． 所以 A

B

C D

E

F

G

图4

M

F A

D

E

G

M N 图2

F

B A

D E

图3

G A

B C

D E F

M

N

P

MF=NE．设EN与BC交点为P，连结NF．由△ABC是等边三角形且D、F 分别是AB、BC的中点可得△DBF是等边三角形，所以∠MDN=∠BDF＝60°，所以∠MDN－∠BDN=∠BDF－∠BDN，即∠MDB=∠NDF．在△DMB和△DNF中，DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，所以△DMB≌△DNF．所以∠DBM=∠DFN．因为∠ABC=60°，所以∠DBM=120°，所以∠NFD=120°．所以∠NFD+∠DFE =120°+60°=180°．

所以N、F、E三点共线，所以F与P重合，F在直线NE上．

（2）成立。

证明：如答图2，连结DE、DF、EF．因为△ABC是等边三角形，所以AB=AC=BC．又因为D，E，F是三边的中点，所以DE，DF，EF为△ABC 的中位线．所以DE=DF=EF，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°，∠NDE+∠FDN=60°，所以∠MDF=∠NDE．在△DMF和△DNE中，DF=DE，∠MDF=∠NDE，DM=DN，所以△DMF≌△DNE．所以MF=NE．

（3）MF=NE仍成立．

N

A

D E

F

E

D

C B

A

M

N

图2