北京交通大学《复变函数和积分变换》期末试卷及其答案

北 京 交 通 大 学

2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B ）

学院_____________ 专业_________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________ 任课教师

一．（1） 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ； （2） 复数3i 1+的指数形式是 ； （3） 函数

(

)

2

2

4

z z 1z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点；

（4） 计算

（5） 若∑

==

n n

n 2

nz )(z f ，则其收敛半径 ；

（6） 计算留数：??

?

??0,z

cosz Res 3 ； （7） 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件

为 ；

（8） 曲线y x :=C 在映射z

1)(=

z f 下的像是 ；

（9） C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()

?

-C

n

a z dz

（n 为正整数） ；

（10） 判断n

1

n 25i 1∑∞

=?

?? ??+的敛散性 .

二、计算题（25分，每小题各5分） (1)、计算积分?C

Rezdz 其中积分路径C 为：

①连接由原点到1+i 的直线段；

②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折线.

(2)、已知：()()

3

z

e 1zsinz

z f -=

求：]0),z (f [Re s

(3)、计算()()10dz z 1ln r

z <<+?

=r

（4）、计算()()

dz i z z 9z

C

2

?+-，其中2||=z C 为正向圆周：。

（5）计算dz e 1

z z 1

2

?=.

三、求积分()dz 1z z

e

4

z 2

2

z

?=-（7分）

四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233xy x y ,x u -= ，且()i 0f =.

（7分）

五、验证()()0x x

y

a r c t g y ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即

0,0=?=?ψ?；其中2

2

y

x

??+

??=

?， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8

分）

六、（8分）求函数()()()

2z 1z 1

z f --=

分别在如下区域展成洛朗展式

（1）.1|1|0<-

七、求实轴在映射i

z 2i +=ω下的象曲线（8分）

八、求函数()()0t 0,t 1,t f >?????>≤=δ

δ

δ的傅立叶变换（7

分）

一、(1)直线y=x

(2)i

32k 2e

??? ?

?

+ππ

(3)一;二 (4)()()3i 12

;2

;3i 123

13

23

1--+-

-

(5)2 (6)2

1-

(7)①函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微

②u(x,y),v(x,y)在(x,y)满足C.-R.条件.即x y y x v u ,v u -==. (8)x=-y

(9)?

??>=1n ,01

n ,i 2π

(10发散

二、(1) ①连接原点到点1+i 的直线段的参数方程为：

z=(1+i)t 1)t (0≤≤

故

?C

R e z d z =()[]{}()dt i 1t i 1Re 1

++?

=()?+1

tdt i 1

=

2

i 1+

②连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t 1)t (0≤≤,

连接由点1到点1+i 的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t 1)t (0≤≤, 即 z=1+it 1)t (0≤≤,

故

?C

Rezdz =()[]??++

1

1

0idt

it 1Re Retdt

=??+1

1

dt i tdt

=

i 2

1+

(2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。 将被积函数展为罗朗级数

()

3

2

3

23

2

3

3

z

2!z 1!3z 1z

z !2z

z !3z

z z e 1zsinz

??

?

??++???

? ??+-?

-

=???

? ??++-???

? ??+-=

- ，

后面那个分式在z=0为解析，故可展为z 的幂级数： ++z a 11 （其中1a 及以下各项不需关心） 于是在z=0的去心邻域内有

()

---

=-13

z

a z

1e 1zsinz

由此即得

()

10,e

-1zsinz

Res 3

z

-=???

?

??

?? 故由留数定理，原积分等于π2-i.

(3)因为()z 1ln +在积分区域内解析，在边界连续，

故由柯西积分定理 原积分等于0。

(4)因为z=-i 在积分区域内，

所以 原积分=()

dz i z z

9z

C

2

?

---

=5

|z

9z i 2i z 2

π

π=

-?

-=

(5)在单位圆周1z =内，函数2

z 1

e 只有一个本性奇点z=0.在该点的去心邻域内有罗朗展式

,z

1!21z

11e 4

2

z 1

2

++

+

=

于是 00,e Res 2z 1=???

?

????

故由留数定理 原积分等于00,Re 22

1=???

?

???

?

?z

e

s i π. 三、函数在4z =内有两个奇点：z=0,1.由复合闭路定理有

()

dz 1z z

e

4

z 2

2

z

?

=-=()()

?

?

=

=

-+

-2

11-z 2

2

z 2

1z 2

2

z

dz 1z z

e

dz z

1z e

()()i

e ei

i z e i z e i z z z z -=-=???

?

??+?

?

????-===32262121

'

20

'

2πππππ

四、由C.-R.条件中的一个得

(),

x y -y 3x v ,

3y 3x

u v 32

2

2

x y ?+=-==

再由C.-R.条件中的另一个得 (),6xy u x 6xy v y '

x =-=+=?

故 ()(),C x 0x '==??即 因此 ()C y y 3x y ,x v 32+-=

故

()()

().

iC iy x C

y y 3x i y 3x x iv u z f 3

3

2

2

3

++=+-+-=+=

要满足 f(i)=0,必C=1，故f(z)=i z 3+. 五、解：

()()0x y x x x

y 1x 1

v 0x y

x y x y 1x y

v 222

2y 2

22

22x >+=+

=

>+-=+

-=

()

()

2

2

2

yy ,

22

2

xx y

x

2xy

v y

x

2xy

v +=

+-

=(x>0)

于是 ()0x 0v v yy xx >=+

故在右半z 平面内，v(x,y)是调和函数。

()()y dx u

y ,x u x

ψ+=

?()y dx v

y

ψ+=

? =()(

)()y y

x ln 2

1y dx y

x x 2

22

2

ψψ++=++?

两端对y 求导

()2

2

x y '

2

2

y

x y v u y y

x 2y

21+=

-==

+?

ψ

所以 ()()()，

任意常数从而C y ,0y '

==ψψ

()(

)C y

x

ln 21y ,x u 2

2

++=

故 ()(

)()0x x

y iarctg

C y

x

ln 2

1z f 2

2

>+++=

C

lnz C iarctgz z ln +=++=

六、由题可知被积函数在z 平面内只有两个奇点z=1及z=2.

则

(1) 在去心邻域 .1|1|0<-

2z 1z 1

z f --=

=2

z 11

z 1-+--

=()()∑∞

=--

--

=--+

--

n n

1z 1

z 11

1z 1

1

z 1

(2) 在去心邻域0<2z -<1内 ()()()

2z 1z 1

z f --=

1

2z 12

z 1+---=

=()()n

n n 2z 12

z 1---

-∑∞

=.

七、在实轴上取三点1z ,0z ,z 321==∞=，则对应的三个象点为i 1,2,0321+===ωωω.由此得到象曲线为.11=-ω进一步还可得到，上半平面

被映射到圆的内部，而下半平面被映射到圆的外部。 八、由题意知

所求函数的傅立叶变换等于()()dt e

dt e

t f F t

j -t

j ??

-

+∞

∞

--=

=

δ

δ

ωωω

()

δω

δω

δ

ω

δω

ω

ω

ωδ

ωδ

δ

δ

ωsin 2sin 2

e

e

j 1e

j 1j j t

j ==--

=-=

---