矩阵及矩阵运算坐标变换

3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵

3.2矢量坐标变换原理和变换矩阵矢量控制系统的坐标变换包括精致坐标系间的变换、旋转与静止坐标系间的变换以及指直角坐标系与极坐标系间的变换。其中三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称3s/2s 变换（也称Clarke 变换）、两相静止坐标系和两相旋转坐标系间的变换，简称2s/2r 变换（也称Park 变换）。坐标变换和矩阵变换的原理放在交流电机里头介绍比较容易理解，所以下面介绍的坐标变换和变换矩阵都以交流电机模型来说明。 3.2.1坐标变换的基本思路不同电动机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。众所周知，在交流电动机三相对称的静止绕组A 、B 、C 中，通以三相平衡的正弦电流a i ，b i ，c i 时，所产生的合成磁动势F ，它在空间呈正弦分布，以同步转速1ω（即电流角频率）顺着A-B-C 的相序旋转。这样的物理模型绘于图3.3中的定子部分。图3.3 二极直流电动机的物理模型 F-励磁绕组 A-电枢绕组 C-补偿绕组

图3.4 等效的交流电动机绕组和直流电动机绕组物理模型（a ）三相交流绕组（b ）两相交流绕组（c ）旋转的直流绕组然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、四相……等任意对称的多相绕组，通入平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。图3.4中绘出了两相静止绕组α和β，它们在空间互差900，通入时间上互差900的两相平衡交流电流，也能产生旋转磁动势F 。当图3.4a 和b 的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图3.4b 的两相绕组与图3.4a 的三相绕组等效。再看图3.4c 中的两个匝数相等且互相垂直的绕组d 和q ，其中分别通过以直流电流d i 和q i ，产生合成磁动势F ，其位置相对于绕组来说是固定的。如果认为地让包含两个绕组在内的整个铁芯以同步转速旋转，则磁动势F 自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。把这个旋转磁动势的大小和转速也控制呈与图3.4a 和图3.4b 中的旋转磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察着也站到铁芯上和绕组一起旋转时，在他看来，d 和q 是两个通入直流而相互垂直的静止绕组。如果控制磁通Φ的位置在d 轴上，就和图3.3的直流电机物理模型没有本质上区别了。这时，绕组d 相当于励磁绕组，q 相当于伪静止的电枢绕组。由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图3.4a 的三相交流绕组、图3.4b 的两相交流绕组和图3.4c 中整体旋转彼此等效。或者说，在三相坐标系下的a i ，b i ，c i 和在两相坐标系下的i α、i β以及在旋转两相坐标系下的直流d i 、q i 都是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。有意思的是，就图3.4c 中的d 、q 两个绕组而言，当

微分几何第二章矩阵和坐标变换

二、矩阵和坐标变换 2.1 矩阵及矩阵的运算由m n ?个数排列形成的一个矩形数阵，称为m 行n 列矩阵。如1111 n m m n a a A a a ?? ? = ? ??? ,其中ij a 称为矩阵元素。若两个矩阵A 、B 的行数和列数都相同，并且对应元素相等，则两个矩阵相等，记为A B = 。矩阵的加(减)法两个矩阵A 、B ，它们的行数和列数分别相等，把它们的对应元素相加减，得到一个新矩阵C ,则称为A 与B 之和（差），记为C A B =± 。矩阵加法适合交换律：A B B A +=+ 矩阵加法适合结合律：()()A B C A B C ++=++ 数乘矩阵用数λ和矩阵A 相乘，则将A 中的每一个元素都乘以λ，称为λ与A 之积，记为A λ 或A λ 。数乘矩阵适合结合律：()()A A λμλμ= 数乘矩阵适合分配率：()A B A B λλλ+=+ 矩阵乘法两个矩阵A 、B ，它们相乘得到一个新矩阵C ，记为C AB = 。矩阵A 和B 的乘积C 的第i 行和第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和。即 11221 n ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b ==+++= ∑ 注意：只有第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，才能相乘。矩阵乘法适合结合律：()()A B C A B C = 矩阵乘法适合分配率：()A B C AC BC +=+ 矩阵乘法不适合交换律：AB BA ≠

2.2坐标变换空间中不同坐标系下，同一点有不同的坐标，同一矢量有不同的分量。由于运算时要在同一坐标系下进行，为此，要考察两个坐标系之间的相互关系，就要用坐标变换的方式。 2.2.1底失的变换给出两个直角坐标系[]123;,,O e e e σ= ，123;,,O e e e σ??'''''=? ? ，其中σ称为旧坐标系， σ'称为新坐标系。下面研究σ和σ'两个坐标系之间的关系。首先把新坐标系σ'的底失123,,e e e ''' 看成在旧坐标系σ里的一个径失。则新坐标系σ'的底失123,,e e e ''' 在旧坐标系σ里的表达式可写成： 111112213322112222333 311322333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ?'=++??'=++??'=++?? 这就是σ变换到σ'的底失变换公式。反之，又可推导出由新坐标系σ'到旧坐标系σ的底失变换公式。 111121231332121222323131232333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ? '''=++? ?'''=++??'''=++? ? 由上面两式不难看出，将九个系数按其原来位置排列成方阵： 11121321 222331 32 33a a a A a a a a a a ?? ?= ? ??? A 表示了底失变换关系，称为由σσ'→的底失系数变换矩阵。用矩阵乘法的形式表示为： 1 111112132212223223132 33333e e e a a a e a a a e A e a a a e e e ??' ???? ???? ??? ????'== ??????? ??????'??????? ?? 2.2.2矢量的坐标变换设一矢量r 在坐标系σ和σ'里的分量依次是(),,x y z 和(),,x y z '''，则： 123r xe ye ze =++ 又 123 r x e y e z e ''''''=++

三相坐标系和二相坐标系转换

交流电动机矢量控制变压变频调速系统（三）第三讲坐标变换的原理和实现方法收藏此信息打印该信息添加：李华德来源：未知由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、非线性、强耦合的控制对象，为了实现转矩和磁链之间的解耦控制，以提高调速系统的动静态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。 3.1 变换矩阵的确定原则坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为 y=ax （3-1）式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。这时，a称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：（1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；（2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。假设电流坐标变换方程为： i=ci′ （3-2）式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。电压坐标变换方程为： u′=bu （3-3）式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。根据功率不变原则，可以证明： b=ct （3-4）

式中，ct为矩阵c的转置矩阵。以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。 3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β）所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α轴重合。假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即：（3-5）式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。经计算并整理之后可得：（3-6）（3-7）图3-1 三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系

利用矩阵进行坐标转换

利用矩阵进行坐标转换之前做拓扑图，本来打算整一套坐标系统在里面的，后来因为时间原因暂时用了最原始的方法实现。现在稍稍得闲，重新开始思考这个问题。不过在搜索的时候，意外发现.Net Framework类库中自带的有实现坐标系转换功能的类。Reflector了一把，发现代码看不懂了——都是利用矩阵操作的。矩阵这玩意儿，几年没用早忘完了。于是认真学习了一把，顺便把如何用矩阵进行坐标转换的过程记录和注解一下。文中部分内容摘取自MSDN，搜索“变换的矩阵表示形式” 即可找到。首先review一下矩阵的基础知识： m×n 矩阵是排列在m 行和n 列中的一系列数。下图显示几个矩阵。可以通过将单个元素相加来加合两个尺寸相同的矩阵。下图显示了两个矩阵相加的示例。

m×n 矩阵可与一个n×p 矩阵相乘，结果为一个m×p 矩阵。第一个矩阵的列数必须与第二个矩阵的行数相同。例如，一个4×2 矩阵与一个2×3 矩阵相乘，产生一个4×3 矩阵。矩阵的行列的平面点可视为矢量。例如，(2, 5) 是具有两个组件的矢量，(3, 7, 1) 是具有三个组件的矢量。两个矢量的点积定义如下： (a, b) ? (c, d) = ac + bd (a, b, c) ? (d, e, f) = ad + be + cf 例如，(2, 3) 和(5, 4) 的点积是(2)(5) + (3)(4) = 22。(2, 5, 1) 和(4, 3, 1) 的点积是(2)(4) + (5)(3) + (1)(1) = 24。请注意，两个矢量的点积是数字，而不是另一个矢量。另外请注意，只有当两个矢量的组件数相同时，才能计算点积。将A(i, j) 作为矩阵 A 中第i 行、第j 列的项。例如，A（3, 2）是矩阵 A 中第 3 行、第 2 列的项。假定A、B 和 C 是矩阵，且 AB = C，则C 的项计算如下： C(i, j) =（A 的第i 行）?（B 的第j 列）

坐标变换总结Clark变换和Park变换

一个坐标系的坐标变换为另一种坐标系的坐标的法则。由于交流异步电动机的电压、电流、磁通和电磁转矩各物理量之间是相互关联的强耦合，并且其转矩正比与主磁通与电流，而这两个物理量是随时间变化的函数，在异步电机数学模型中将出现两个变量的乘积项，因此，又为多变量，非线性系统（关键是有一个复杂的电感矩阵），这使得建立异步电动机的准确数学模型相当困难。为了简化电机的数学模型，需从简化磁链入手。解决的思路与基本分析： 1.已知，三相( ABC )异步电动机的定子三相绕组空间上互差120度，且通以时间上互差120 ω的旋转磁场。度的三相正弦交流电时，在空间上会建立一个角速度为 1 又知，取空间上互相垂直的（α，β）两相绕组，且在绕组中通以互差90度的两相平衡交流电流时，也能建立与三相绕组等效的旋转磁场。此时的电机数学模型有所简化。 2. 还知, 直流电机的磁链关系为： F---励磁绕组轴线---主磁通的方向，即轴线在d轴上,称为直轴(Direct axis)。 A---电枢绕组轴线---由于电枢绕组是旋转的，通过电刷馈入的直流电产生电枢磁动势，其轴线始终被限定在q轴，即与d轴成90度，称为交轴(Quadrature axis)。由于q轴磁动势与d轴主磁通成正交，因此电枢磁通对主磁通影响甚微。换言之，主磁通唯一地由励磁电流决定，由此建立的直流电机的数学模型十分简化。如果能够将三项交流电机的物理模型等效的变换成类似的模型，分析和控制就变得大大简单了。电机模型彼此等效的原则：不同坐标系下产生的磁动势(大小、旋转）完全一致。关于旋转磁动势的认识： 1) 产生旋转磁动势并不一定非要三相绕组不可。结论是：

不同坐标系之间的变换

§10.6不同坐标系之间的变换 10.6.1欧勒角与旋转矩阵对于二维直角坐标，如图所示，有： ?? ? ?????????-=??????1122cos sin sin cos y x y x θθθθ(10-8) 在三维空间直角坐标系中，具有相同原点的两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成。如图所示，设旋转次序为： ①绕1OZ 旋转Z ε角，11,OY OX 旋转至0 0,OY OX ； ②绕0 OY 旋转Y ε角 10 ,OZ OX 旋转至0 2 ,OZ OX ； ③绕2OX 旋转X ε角， 0,OZ OY 旋转至22,OZ OY 。 Z Y X εεε,,为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角，与它相对应的旋转矩阵分别为： ???? ? ?????-=X X X X X R εεεεεcos sin 0sin cos 00 01 )(1 (10-10) ???? ??????-=Y Y Y Y Y R εεεεεcos 0sin 010sin 0cos )(2 (10-11)

???? ??????-=10 0cos sin 0sin cos )(3Z Z Z Z Z R εεεεε (10-12) 令 )()()(3210Z Y X R R R R εεε= (10-13) 则有： ???? ? ?????=??????????=??????????1110111321222)()()(Z Y X R Z Y X R R R Z Y X Z Y X εεε (10-14) 代入： ???? ??? ??? +-+++--=Y X Z Y X Z X Z Y X Z X Y X Z Y X Z X Z Y X Z X Y Z Y Z Y R εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεcos cos sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos 0一般Z Y X εεε,,为微小转角，可取： sin sin sin sin sin sin sin ,sin ,sin 1cos cos cos =========Z Y Z X Y X Z Z Y Y X X Z Y X εεεεεεεεεεεεεεε 于是可化简 ???? ? ?????---=111 0X Y X Z Y Z R εεεεεε (10-16) 上式称微分旋转矩阵。

矢量控制坐标变换

（4）、转矩方程按照机电能量转换原理，可求出电磁转矩Te的表达式如式（2-17）所示。此式证明从略。 =……..(2-17) 这里需要说明的是，式（2-17）是在磁路为线性、磁动势在空间按正弦分布的假定条件下得出的，但对定、转子电流的波形未作任何假定，式中的i都是瞬时值。因此，这个电磁转矩公式同样适用于由典雅型变频器供电的三相异步电机调速系统。（5）、三相异步电动机的数学模型将前述式（2-14）、式（2-16）归纳起来，便构成在恒转矩负载下三相异步电动机的多变量非线性数学模型如下： ………………………………………………….(2-18) 上式中可按式（2-17）展开。

2.3. 坐标变换和变换矩阵虽然，在上节中已经推导出异步电动机的动态数学模型，但是，要分析和求解这组非线性方程是十分困难的，即使要画出很清晰的结构图也非易事。通常须采用坐标变换的方法。使变换后的数学模型变得简单一些。 2.3.1 坐标变换的原则和基本思路从上节分析异步电动机数学模型的过程中可以看出，这个数学模型之所以复杂，关键是因为有一个复杂的电感矩阵，以及三相异步电机电磁关系的强耦合和非线性，故要简化数学模型，一是从简化磁链的关系着手；二是设法使三相异步电动机复杂的电磁关系解耦。怎么做？比较容易想到的方法就是前面所讲到过的设法为异步电动机创造类似于直流电动机所具有的三个条件，即将交流电机的物理模型（见图2-3）等效地变换成类似直流电机的模式（见下页图1-2），如能这样，三相异步电动机的分析和控制问题就可以大为化简，并且，完全可以沿用直流电机调速系统的控制思路对三相异步电动机进行控制，进而得到与支流调速系统相媲美的调速性能。坐标变换正是为了这个目的而提出的一种方法。在这里，不同电机模型在变换前后彼此等效的原则是，在不同坐标中它们所产生的磁动势完全一致。

坐标变换.

3.1 变换矩阵的确定原则坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为 y=ax （3-1）式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量y，其中系数矩阵a称为变换矩阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。这时，a称为电流变换矩阵，类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：（1）确定电流变换矩时，应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；（2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。假设电流坐标变换方程为： i=ci′ （3-2）式中,i′为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。电压坐标变换方程为： u′=bu （3-3）式中,u′为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。根据功率不变原则，可以证明： b=ct （3-4）式中，ct为矩阵c的转置矩阵。以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。

3.2 定子绕组轴系的变换（a-b-c＜＝＞α-β）所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换，简称3/2变换或2/3变换。三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的α 轴重合。假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿α、β轴的投影应该相等，即：（3-5）式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。经计算并整理之后可得：（3-6）（3-7）图3-1 三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系

坐标变换的矩阵实现

二、矩阵和坐标变换 2.1 矩阵及矩阵的运算由m n ?个数排列形成的一个矩形数阵，称为m 行n 列矩阵。如1111n m mn a a A a a ?? ? = ? ??? ,其中ij a 称为矩阵元素。若两个矩阵A 、B 的行数和列数都相同，并且对应元素相等，则两个矩阵相等，记为A B = 。矩阵的加(减)法两个矩阵A 、B ，它们的行数和列数分别相等，把它们的对应元素相加减，得到一个新矩阵C ,则称为A 与B 之和（差），记为C A B =± 。矩阵加法适合交换律：A B B A +=+ 矩阵加法适合结合律：()()A B C A B C ++=++ 数乘矩阵用数λ和矩阵A 相乘，则将A 中的每一个元素都乘以λ，称为λ与A 之积，记为A λ 或A λ 。数乘矩阵适合结合律：()()A A λμλμ= 数乘矩阵适合分配率：()A B A B λλλ+=+ 矩阵乘法两个矩阵A 、B ，它们相乘得到一个新矩阵C ，记为C AB = 。矩阵A 和B 的乘积C 的第i 行和第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和。即 11221 n ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b ==+++=∑ 注意：只有第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，才能相乘。矩阵乘法适合结合律：()()AB C A BC = 矩阵乘法适合分配率：()A B C AC BC +=+ 矩阵乘法不适合交换律：AB BA ≠

2.2坐标变换空间中不同坐标系下，同一点有不同的坐标，同一矢量有不同的分量。由于运算时要在同一坐标系下进行，为此，要考察两个坐标系之间的相互关系，就要用坐标变换的方式。 2.2.1底失的变换给出两个直角坐标系[]123;,,O e e e σ= ，123;,,O e e e σ??'''''=?? ，其中σ称为旧坐标系， σ'称为新坐标系。下面研究σ和σ'两个坐标系之间的关系。首先把新坐标系σ'的底失123,,e e e ''' 看成在旧坐标系σ里的一个径失。则新坐标系σ'的底失123,,e e e ''' 在旧坐标系σ里的表达式可写成： 111112213322112222333 311322333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ?'=++??'=++??'=++?? 这就是σ变换到σ'的底失变换公式。反之，又可推导出由新坐标系σ'到旧坐标系σ的底失变换公式。 111121231332121222323131232333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ? '''=++? ?'''=++??'''=++? ? 由上面两式不难看出，将九个系数按其原来位置排列成方阵： 11121321 222331 32 33a a a A a a a a a a ?? ?= ? ??? A 表示了底失变换关系，称为由σσ'→的底失系数变换矩阵。用矩阵乘法的形式表示为： 1111112132212223223132 33333e e e a a a e a a a e A e a a a e e e ??'???????? ???????'== ??????? ??????'??????? ?? 2.2.2矢量的坐标变换设一矢量r 在坐标系σ和σ'里的分量依次是(),,x y z 和(),,x y z '''，则： 123r xe ye ze =++ 又 123r x e y e z e ''''''=++

坐标系和坐标变换

坐标系和坐标变换 .NET Framework 4.5 其他版本 GDI+ 提供了世界变换和页面变换，以便您可以变换（旋转、缩放、平移等）所绘制的项。两种坐标变换还允许您使用多种坐标系。本节内容坐标系类型介绍坐标系和坐标变换。变换的矩阵表示形式讨论将矩阵用于坐标变换。全局变换和局部变换讨论全局变换和局部变换。参考 Matrix 封装表示几何变换的 3x3 仿射矩阵。相关章节在托管 GDI+ 中使用变换提供一个主题列表，其中的主题提供有关如何使用矩阵变换的更多信息。关于 GDI+ 托管代码包含一个主题列表，这些主题描述 .NET Framework 中可使用的图形构造。坐标系类型 .NET Framework 4.5 其他版本 GDI+ 使用三个坐标空间：世界、页面和设备。世界坐标是用于建立特殊图形世界模型的坐标系，也是在 .NET Framework 中传递给方法的坐标系。页面坐标系是指绘图图面（如窗体或控件）使用的坐标系。设备坐标系是在其上进行绘制的物理设备（如屏幕或纸张）所使用的坐标系。当调用myGraphics.DrawLine(myPen, 0, 0, 160, 80)时，传递给DrawLine方法的点（(0, 0)和(160, 80)）位于世界坐标空间内。在 GDI+ 可以在屏幕上绘制线条之前，坐标先要经过一系列变换。一种称为“世界变换”的变换可将世界坐标转换为页面坐标，而另一种称为“页面变换”的变换可将页面坐标转换为设备坐标。变换和坐标系假定您想使用原点位于工作区的主体而非左上角的坐标系统。例如，您需要让原点位于距工作区左边缘 100 像素、距顶部 50 像素的位置。下图显示了这样的坐标系统。