离散数学数理逻辑部分定义与概念
命题逻辑
1.（论域）定义：论域是一个数学系统，记为D。它由三部分组成：
(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；
(2)一个关于D的函数集合F；
(3)一个关于D的关系集合R。
2.（逻辑联结词）定义：
?设n > 0，称{0, 1}n到{0, 1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词；
?若n = 0，则称为0元函数。
3.（命题合式公式）定义：
(1)常元0和1是合式公式；
(2)命题变元是合式公式；
(3)若Q是合式公式，则(?Q)是合式公式；
(4)若Q, R是合式公式，则(Q∧R)、(Q∨R)、(Q→R)、(Q?R)、(Q⊕R)是合式公式；
(5)只有有限次应用(1)-(4)构成的公式是合式公式。
4.（生成公式）定义：设S是联结词的集合。由S生成的公式定义如下：
(1)若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式；
(2)原子公式是由S生成的公式；
(3)若n≥1，F是S中的n元联结词，A1, …, A n是由S生成的公式，则F A1…A n是由S
生成的公式。
5.（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)。
?常元复杂度为0；
?命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC(P) = 0；
?如果公式A = ?B，则FC(A) = FC(B) + 1；
?如果公式A = B1∧B2，
或A = B1∨B2，
或A = B1→B2，
或A = B1?B2，
或A = B1⊕B2，
则FC(A) = max{FC(B1), FC(B2)} + 1。
6.命题合式公式语义：
?论域：研究对象的集合。
?解释：用论域的对象对应变元。
?结构：论域和解释称为结构。
?语义：符号指称的对象。公式所指称对象。合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
7.（合式公式语义）定义：设S是联结词的集合是{?, ∧, ∨, ⊕, →, ?}。由S生成的合式
公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：
(1)v(0) = 0, v(1) = 1；
(2)若Q是命题变元p，则v(Q) = pv；
(3)若Q1, Q2是合式公式，
?若Q = ?Q1，则v(Q) = ?v(Q1)，
?若Q = Q1∧Q2，则v(Q) = v(Q1) ∧v(Q2)，
?若Q = Q1∨Q2，则v(Q) = v(Q1) ∨v(Q2)，
?若Q = Q1→Q2，则v(Q) = v(Q1) →v(Q2)，
?若Q = Q1?Q2，则v(Q) = v(Q1) ?v(Q2)，
?若Q = Q1⊕Q2，则v(Q) = v(Q1) ⊕v(Q2)。
8.（真值赋值）定义：由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：
(1)若Q是S中的0元联结词c，则v(Q) = c；
(2)若Q是命题变元p，则v(Q) = pv；
(3)若Q是FQ1, …, Q n，其中n≥1，F是S中的n元联结词，Q i是公式，则v(Q) =
v(FQ1…Q n) = Fv(Q1)…v(Q n)。
9.（可满足与有效）定义：设Q是公式，
(1)如果真值赋值v使得v(Q) = 1，则称v满足Q；
(2)如果每个真值赋值都满足Q，则称Q为有效式，或称为永真式，也称为重言式；
(3)如果每个真值赋值都不满足Q，则称Q为永假式，也称为矛盾式，不可满足式；
(4)如果至少有一个真值赋值满足Q，则称Q为可满足式。
10.对偶定理：设A, B是由{0, 1, ?, ∨, ∧}生成的公式，A*与A互为对偶式，B*与B互为对
偶式。如果A?B，则A*?B*。
11.（完全集）定义：
?设F是n元联结词，p1, p2, …, p n是不同的命题变元。如果公式A中不出现除p1, p2, …, p n之外的命题变元，并且A?Fp1, p2, …, p n，则称A定义F；
?设S是联结词集合。如果每个n (n > 0)元联结词都可由S定义，则称S为完全集；
?如果完全集S1中的每个联结词都可由联结词集合S2定义，则S2也是完全集；
?如果从完全集S中去掉任何一个联结词就成为不完全的了，就称S为极小完全集。
12.（范式）定义：
?原子公式和原子公式的否定统称为文字；
?如果一个文字恰为另一个文字的否定，则称它们为相反文字；
?设n是正整数，A1, …, A n都是文字，称A1∨…∨A n为简单析取式，称A1∧…∧
A n为简单合取式；
?设n是正整数。若B1, …, B n都是简单合取式，则称B1∨…∨B n为析取范式。若B1, …, B n都是简单析取式，则称B1∧…∧B n为合取范式。
13.（逻辑推论）定义：
?若真值赋值v满足公式集合Γ中的每个公式，则称v满足Γ。若有真值赋值满足Γ，则称Γ是可满足的，否则称Γ是不可满足的；
?设Γ是公式的集合，A是公式。如果每个满足Γ的真值赋值都满足A，则称A是Γ的逻辑推论，记为Γ╞A。若Γ╞A不成立，记为Γ |≠ A。
谓词逻辑
1.（论域）定义：论域是一个数学系统，记为D。它由三部分组成：
(1)一个非空对象集合D；
(2)一个关于D的函数集合，也称运算；
(3)一个关于D的关系集合。
2.（一阶谓词逻辑语言）定义：简称一阶逻辑语言：
?逻辑符号：包括变元、联接词、量词；
?非逻辑符号：包括常元、函词、谓词；
?仅有个体变元；
?按形成规则构成的合式公式集合。
3.（字符集）定义：
?逻辑符号，包括变元、联接词、量词、逗号以及括号等，表示如下：
?变元：x1, x2, …；
?联接词：∧, ∨, ?, →, ?, ⊕；
?量词：?, ?；
?逗号：,；
?括号：()。
?非逻辑符号，包括常元、函词、谓词等，表示如下：
?常元：c1, c2, …；
?函词：f11, f21, ...；f12, f22, ...；
?谓词：P11, P21, ...；P12, P22, ...。
4.（项）定义：
(1)个体常元是项；
(2)个体变元是项；
(3)若是t1, …, t n项，f i n是n元函词，则f i(t1, …, t n)是项。
5.（合式公式）定义：合式公式是按如下规则构成的有穷长符号串：
(1)若是t1, …, t n项，Q i n是n元谓词，则Q i n(t1, …, t n)是合式公式；
(2)若Q是合式公式，则(?Q)是合式公式；
(3)若Q, R是合式公式，则(Q∧R)、(Q∨R)、(Q→R)、(Q?R)及(Q⊕R)是合式公式；
(4)若Q是合式公式，x是变元，则(?xQ(x))及(?xQ(x))是合式公式；
(5)只有有限次应用(1)-(4)构成的公式是合式公式。
6.（约束变元）定义：若(?xQ(x)) (或?xQ(x))是公式，则称变元x在公式(?xQ(x)) (或?xQ(x))
中为约束出现，称x是约束变元，并称x出现的辖域为Q。
7.（自由变元）定义：如果变元x在公式Q中的出现不是约束出现，则称x在Q中为自
由出现。在公式Q中有自由出现的变元称为Q的自由变元，将Q中自由变元的集合记为Var(Q)。
8.（基项）定义：不出现变元的项称为基项。
9.（语句）定义：没有自由变元的公式称为语句。
10.（解释）定义：设D是论域，一个解释I由以下四部分组成：
(1)指定一个非空集合D I，称为I的论域。
(2)对于每个常元c，指派D中一个元素c I。
(3)对于每个n元函词f，指派一个D上的一个n元运算f I。
(4)对于每个n元谓词Q，指派一个D上的一个n元关系Q I。
11.（结构）定义：给定一阶语言L以及论域D和解释I，偶对
S =
12.（赋值）定义：从变元到论域D的函数称为I中的赋值，记为σ: V→D。
13.（模型）定义：给定一阶语言L以及它的结构S和赋值σ，偶对
记为M =
14.（项的语义）定义：设v是解释I中的赋值，项t在解释I和赋值v下的语义I(t)(v)定义
如下：
(1)若t是变元x，则I(t)(v) = v(x)；
(2)若t是常元a，则I(t)(v) = a I；
(3)若t是f(t1,?,t n)，则I(t)(v)=f I(I(t1)(v),?,I(t n)(v))。
15.（谓词合式公式语义）定义：给定一阶语言L，结构S =
t1, t2, ..., t n是项。在模型M =
(1)若P是Q(t1, t2, ..., t n)，则σ(P) = Q I(σ(t1), σ(t2), ..., σ(t n))；
(2)若P是?Q，则σ(?Q) = ?σ(Q)；
(3)若P是Q∧R，则σ(Q∧R) = σ(Q) ∧σ(R)；
(4)若P是Q∨R，则σ(Q∨R) = σ(Q) ∨σ(R)；
(5)若P是Q→R，则σ(Q→R) = σ(Q) →σ(R)；
(6)若P是Q?R，则σ(Q?R) = σ(Q) ?σ(R)；
(7) 若P 是Q ⊕ R ，则σ(Q ⊕ R ) = σ(Q ) ⊕ σ(R )；
(8) 若P 是?xQ (x )，则
1()()[/]1(())0I I d D x d Q x x d xQ x σσ?∈==?=??，若对于每个，有，使得，，否则；
(9) 若P 是?xQ (x )，则
1()()[/]1(())0I I d D x d Q x x d xQ x σσ?∈==?=??
，若存在，有，使得，，否则。 16. 量词语义：设解释I 的论域D I ={a 1,?,a n }是有穷集合，v 是I 中赋值，则
? I(?xA)(v)=I(A)(v[x/a 1])∧?∧I(A)(v[x/a n ])；
? I(?xA)(v)=I(A)(v[x/a 1])∨…∨I(A)(v[x/a n ])。
17. （可满足性）定义：
? 给定一阶语言L 和它的公式Q ，如果存在模型M = ，使得σ(Q ) = 1成立，则称公式Q 关于模型是可满足的，简称Q 可满足，也称模型满足Q ，记为╞ MQ ；
? 给定一阶语言L 和它的公式Q ，如果不存在模型M = ，使得σ(Q ) = 1成立，则称公式Q 关于模型是不可满足的，也称模型不满足Q ，记为 |≠ MQ ； ? 给定一阶语言L 和它的公式集合Γ = {Q 1, ..., Q n }，如果存在模型M = ，使得对于每个公式Q k ∈ Γ，有σ(Q k ) = 1成立，则称公式集合Γ关于模型是可满足的，简称Γ可满足，也称模型满足Γ，记为╞ M Γ，也记为σ(Γ) = 1。
18. （有效性）定义：
? 若合式公式Q 对于一阶语言L 的任意模型M = 均可满足，即对任意结构S 和任意赋值σ成立，则称公式集合Q 是永真的或有效的，记为╞ Q ；
? 若合式公式集合Γ对于一阶语言L 的任意模型M = 均可满足，即对任意结构S 和任意赋值σ成立，称公式集合Γ是永真的或有效的，记为╞ Γ；
? 若公式Q 对于一阶语言L 的任意模型M = 均不可满足，即对任意结构S 和任意赋值σ都不成立，称公式集合Q 是永假的，记为 |≠ Q 。
19. （相等关系与推论关系）定义：
? 给定一阶语言L 及它的两个公式Q , R ，如果存在模型M = ，使得σ(Q ) = σ(R )，则称Q 与R 是在模型M 等值，记为Q ? MR ；
? 如果对于任意模型M = ，都有σ(Q ) = σ(R )，则称Q 与R 是逻辑等价，记为Q ? R ；
? 给定一个语言L ，Γ是一个公式集合，Q 是一个公式。若存在模型M = ，使得当σ(Γ) = 1时有σ(Q ) = 1，则称Q 是Γ关于模型的逻辑推论，记为Γ╞ MQ ； ? 给定一个语言L ，Γ是一个公式集合，Q 是一个公式。若对于任意模型M = ，
使得当σ(Γ) = 1时有σ(Q) = 1，则称Q是Γ逻辑推论，或称Γ语义推出Q，记为
Γ╞Q。
20.（代入与可代入）定义：
?设L是一阶语言，t和t'是L的项，x是t中自由变元，若t中x的任何自由出现都替换为t'，则称项t中的自由变元x被项t'代入；
?设L是一阶语言，t是L的项，Q是合式公式，x是Q中自由变元，若Q中x的任何自由出现都替换为t，则称公式Q中的自由变元x被项t代入；
?设t是项，y是t中任一自由变元，Q是合式公式，x是Q中自由变元，如果Q中x的任何自由出现都不在?y (?y)的辖域内，则称项t对Q中自由变元x可代入；
?设L是一阶语言，M =
?定理：设L是一阶语言，模型M =
21.（对偶性）定义：
?设合式公式Q是由原子公式、联结词（?, ∧, ∨）、量词（?, ?）生成的公式，并且在Q中联结词∧和∨互换，量词?和?互换，原子公式和它的否定式互换，而得到
公式Q'，则公式Q和Q'互为对偶式；
?设合式公式Q和Q'互为对偶式，则σ(Q) ?σ(?Q')。
22.（前束范式）定义：
?形如Q1x1?Q n x n A的公式称为前束范式。其中n是自然数，每个Q i是?或?，x i互不相同，A中不含量词。称A是Q1x1?Q n x n A的母式。
?事实：每个公式都等值于一个前束范式。
23.（无存在前束范式）定义：不出现存在量词的前束范式称为无存在前束范式。记前束范
式为A，无存在前束范式为A'，则
?若A是无存在前束范式，则A'是A；
?若A是?yB，则A'是(B a y)′，其中常元a在B中不出现；
y)′，其中函数符号f在B中?若A是?x1??x n?yB，则A'是?x1??x n?y(B
f(x1,?,x n)
不出现，n是正整数。
?定理：对前束范式A的无存在前束范式A'，A可满足当且仅当A'可满足。
24.（斯科伦范式）定义：
?原子公式或者原子公式的否定称为文字；
?若A1,?,A n是文字，则称A1∨?∨A n为简单析取式；
?若A1,?,A n是简单析取式，则称A1∧?∧A n为合取范式；
?一个无存在前束范式，若它的无量词部分是合取范式，则称为斯科伦范式。
公理系统
1.（形式系统）定义：一个形式系统应当包括以下几部分：
(1)初始符号：初始符号是一个形式系统的“字母”，经解释后其中一部分是初始概念。
(2)形成规则：规定初始符号组成各种合适符号序列的规则。经解释后合式符号序列是
一子句，称为系统里的合式公式或命题。
(3)公理：把某些所要肯定的公式选出，作为推导其它所要肯定的公式的出发点，这些
作为出发点的公式称为公理。
(4)变形规则：变形规则规定如何从公理和已经推导出的一个或几个公式经过符号变换
而推导出另一公式。经过解释，变形规则就是推理规则。
2.（公理系统）定义：
?从一些公理出发，根据演绎法推导出一系列定理，形成的演绎体系称为公理系统。
?公理系统的组成：
?符号集；
?公式集：公式是用于表达命题的符号串；
?公理集：公理是用于表达推理由之出发的初始肯定命题；
?推理规则集：推理规则是由公理及已证定理得出新定理的规则；
?定理集：表达了肯定的所有命题。
3.（命题逻辑的公理系统）定义：
(1)符号集合：
?命题变元Q1, Q2, …, Q n；
?联结词符号：?, →；
?括号：()。
(2)公式集合：
?若Q是命题变元，则Q是公式；
?若Q是公式，则(?Q)是公式；
?若Q, R是公式，则(Q→R)是公式。
(3)公理集合：若P, Q, R为任意公式，
?公理模式A1：R→ (Q→R)；
?公理模式A2：(P→ (Q→R)) → ((P→Q) → (P→R))；
?公理模式A3：(?Q→?R) → (R→Q)。
(4)推理规则：分离规则（简称MP规则）：若Q和Q→R成立，则R成立。其中，Q
和Q→R称为前提，R称为结论。
4.（谓词逻辑的公理系统）定义：
(1)符号集合：
?个体变元：x1, x2, …；
?个体常元：c1, c2, ...；
?函数符号：f11, f21, ...；f12, f22, ...；
?谓词符号：Q11, Q21, ...；Q12, Q22, ...；
?运算符号：?, ?, →；
?逗号：,；
?括号：()。
(2)项定义：
?个体常元是项；
?个体变元是项；
?若是t1, …, t n项，则f k n(t1, …, t n)是项。
(3)公式集合：
?若是t1, …, t n项，则Q k n(t1, …, t n)是公式；
?若Q是公式，则(?Q)是公式；
?若Q和R是公式，则(Q→R)是公式；
?若Q是公式，则(?xQ(x))是公式。
(4)公理集合：若P, Q, R为任意公式，
?公理模式A1：Q→ (R→Q)；
?公理模式A2：(P→ (Q→R)) → ((P→Q) → (P→R))；
?公理模式A3：(?Q→?R) → (R→Q)；
?公理模式A4：?xQ(x)→Q t x，其中项t对Q中的x可代入；
?公理模式A5：?x(Q→R(x)) → (Q→?xR(x))，其中x不是Q中自由变元。
(5)推理规则：
?分离规则（简称MP规则）：若Q和Q→R成立，则R成立。其中，Q和Q→R称为前提，R称为结论；
?概括规则（简称UG规则）：若Q(x)成立，则?xQ(x)成立。
5.常用定理
?├(P→ (Q→R)) → (Q→ (P→R))
?├(Q→R) → ((P→Q) → (P→R))
?├(P→Q) → ((Q→R) → (P→R))
?├((P→Q) → (P→R))
?├(P→ (Q→R)
?├Q→Q
?├??Q→Q
?├Q→??Q
?├Q∨Q→Q
?├?(Q∧?Q)
?├(Q∨?Q)
?├(??Q→??R) → (Q→R)
?├(Q→R) → (??Q→??R)
?├(Q→R) → (?R→?Q)
?├(?Q→R) → (?R→Q)
?├(Q→?R) → (R→?Q)
?├?Q→ (Q→R)
?├(?Q→Q) → (R→Q)
?├(?Q→Q) →Q
?├(Q→R) ∨ (R→Q)
?├(Q→R) ∨ (Q→?R)
?├Q→ ((Q→R) →R)
?├Q∧ (Q→R) →R
?├(P→Q) → ((Q→R) → (P→R))
?├(?Q→R) → ((?Q→?R) →Q)
?├(Q→R) → ((Q→?R) →?Q)
?├(?Q→R∧?R) →Q
?├(P∧Q→R) → (P→ (Q→R))
?├Q→ (R→ (Q∧R))
?├(P→Q) ∧ (P→R) → (P→Q∧R)?├(P→R) → ((Q→R) → ((P∨Q) →R))?├?xR(x) ??yR(y)
?├?xR(x) ??yR(y)
?├Q(c) →?xQ(x)
?├?Q(c) →??xQ(x)
?├?xR(x) →?xR(x)
?├?x?yR(x, y) ??y?xR(x, y)
?├?x?yR(x, y) ??y?xR(x, y)
?├?x?yR(x, y) →?y?x R(x, y)
?├?x?yR(x, y) →?xR(x, x)
?├?xR(x, x) →?x?yR(x, y)
?├?x(P(x) →Q(x)) → (?xP(x) →?xQ(x))
?├?x(P(x) →Q(x)) → (?xP(x) →?xQ(x))
?├?x(P(x) ∧Q(x)) ? (?xP(x) ∧?xQ(x))
?├?xP(x) ∨?xQ(x)) →?x(P(x) ∨Q(x))
?├?x(P(x) ∧Q(x)) → (?xP(x) ∧?xQ(x))
?├?x(P(x) ∨Q(x)) ? (?xP(x) ∨?xQ(x))
?├?xP(x) ???x?P(x)
?├?xP(x) ???x?P(x)
?├?x?P(x) ???xP(x)
?├??x?P(x) ??xP(x)
6.可靠性定理：若Γ├Q，则Γ╞Q。
7.完备性定理：若Γ╞Q，则Γ├Q。
8.（理论与模型）定义：
?理论：
?设L是一个形式语言，L的理论Th就是作为公理的语句集合；
?公理包括：逻辑公理和专用公理；
?专用公理定义特定函词和谓词性质。
?模型：
?设Th是形式语言L的理论，若Th的所有语句都在L结构M中为真，则说M是Th的模型；
?在给定论域上，关于Th的一个解释和赋值，构成Th的一个模型M。
离散数学课本定义和定理
第1章集合 1.1 集合的基本概念 1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集 2. 表示集合的方法：列举法、描述法 3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。 如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。 4. 定义1.1.2（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A 的幂集，记为或 1.2 集合的运算 定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为. 定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为. 定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。 定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为. 定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为. 定义1.2.6（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为 1.3 包含排斥原理 定理1.3.1设为有限集，其元素个数分别为，则 定理 1.3.2设为有限集，其元素个数分别为，则 定理1.3.3设为有限集，则 重要例题P11 例1.3.1 第2章二元关系 2.1 关系 定义2.1.1（序偶）： 若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。 ※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为
离散数学的定义精简版
图 1.每个无向图所有结点度总和等于边数的2倍. 2每个无向图中,奇数度的结点必为偶数个. 3G=
离散数学定义必须背
命题逻辑 ?(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。它由三部分组成： ?(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体； ?(2) 一个关于D的函数集合F； ?(3)一个关于D的关系集合R。 ?（逻辑连接词）定义 ?设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。 ?若n =0，则称为0元函数。 ?（命题合式公式）定义： R) A n ?结构：论域和解释称为结构。 ?语义：符号指称的对象。公式所指称对象。合式公式的语义是其对应的逻辑真值。 ?（合式公式语义）设S是联结词的集合是{?，∧，∨，⊕，→，?}。由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下： ?⑴v(0)=0, v(1)=1。 ?⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。 ?⑶若Q1,Q2是合式公式 ?若Q= ?Q1，则v(Q)= ?v(Q1) ?若Q=Q1 ∧ Q2，则v(Q)=v(Q1)∧ v(Q2)
?若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2) ?若Q=Q1→ Q2，则v(Q)=v(Q1)→ v(Q2) ?若Q=Q1 ? Q2，则v(Q)=v(Q1)? v(Q2) ?若Q=Q1⊕ Q2，则v(Q)=v(Q1)⊕ v(Q2) ?（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：?⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。 ?⑵若Q是命题变元p，则v(Q)= pv。 ?⑶若Q是FQ1…,Qn，其中n≥1，F是S中的n元联结词，Qi是公式，则v(Q)=v(FQ1…Qn)=Fv(Q1)…v(Qn)。 ?（可满足与有效）定义1.7 设Q是公式。 ?⑴如果真值赋值v使得v(Q)=1，则称v满足Q。 中 F。 A1 Bn ?（逻辑推论）定义： ?若真值赋值v满足公式集合Γ中的每个公式，则称v满足Γ。若有真值赋值满足Γ，则称Γ是可满足的，否则称Γ是不可满足的。 ?设Γ是公式的集合，A是公式。如果每个满足Γ的真值赋值都满足A，则称A 是Γ的逻辑推论，记为Γ|=A。若Γ|=A不成立，记为Γ|≠A。 谓词逻辑
离散数学部分概念和公式总结(考试专用)
命题：称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。 命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。 （2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。 （3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。 主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。 约束变元和自由变元：在合式公式?x A和?x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。 前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。 二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={
离散数学课本定义和定理
第1章集合 集合的基本概念 1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集 2. 表示集合的方法：列举法、描述法 3. 定义（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。 如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。 4. 定义（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A的幂集，记为或 集合的运算 定义（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为. ! 定义（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为. 定义（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。定义（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B的差集，记为. 定义（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为. 定义（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为 包含排斥原理 定理设为有限集，其元素个数分别为，则 。 定理设为有限集，其元素个数分别为，则 定理设为有限集，则 重要例题P11 例第2章二元关系 关系 定义（序偶）： 若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。
※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为 定义（有序元组）： 若是个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个有序元组（简称元组）。 : 定义（直接积）： 和是两个集合，则所有序偶的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为. 定义（直接积）： 设是个集合，，则所有元组的集合，称为的笛卡尔积（或直接积），记为. 定义（二元关系） 若和是两个集合，则的任何子集都定义了一个二元关系，称为上的二元关系。如果，则称为上的二元关系。 定义（恒等关系）： 设是上的二元关系，，则称是上的恒等关系。 定义（定义域、值域）：若是一个二元关系，则称 为的定义域。为的值域。 < 定义（自反）：设是集合上的关系，若对于任何 ．．，都有即则称关系是自反的。 定义（反自反）：设是集合上的关系，若对于任何，都满足,即对任何都不成立，则称关系是反自反的。 定义（对称）：设是集合上的关系，若对于任何，只要,就有,那么称关系是对称的。 定义（反对称）：设是集合上的关系，若对于任何，只要并且时,就有，那么称关系是对称的。 定义（传递）设是集合上的关系，若对于任何，只要并且时，就有，则称关系是传递的。 定理设是集合上的关系，若是反自反的和传递的，则是反对称的。 关系矩阵和关系图 定义无定理无 $ 关系的运算 定义（连接）：设为上的关系，为上的关系，则定义关系 称为关系和的连接或复合，有时也记为.
离散数学(本)主要概念
《离散数学(本)》主要概念、定理与方法 第1章集合及其运算 一、概念 集合（元素）——集合是一些具有确定的、可以区分的若干事件的全体，而集合中的事件称为元素．因此，集合是由若干元素组成的．若a是集合A中的元素，则称a属于A，记作a∈A；若a不是集合A中的元素，则称a不属于A，记作a?A． 定义1.1.1（子集）对任意两个集合A和B，若B中的每个元素都是A中的元素，则称B 为A的子集，记作B?A或A?B． 若B是A的子集，也称A包含B，或B被A包含．若B不是A的子集，即B?A不成立时，记作B?A． 定义1.1.2（集合相等）对任意两个集合A和B，若有A?B且B ?A，则称A与B相等，记作A= B． 定义1.1.3（真子集）对任意两个集合A和B，若B?A且B≠A，则称B为A的真子集，记作B?A或A?B． 定义1.1.4（空集）不含任何元素的集合称为空集，记作?． 空集的定义也可以写成 ≠} （1.1.1） ?={x x x n元集（m元子集）——含有n个元素的集合简称n元集，它的含有m（m≤n）个元素的子集叫做它的m元子集． 定义1.1.5（全集）在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则将这个集合称为全集，记作E． 定义1.1.6（幂集）设A是一个集合，由A的所有子集组成的集合，称为A的幂集，记作P(A)或2A． 定义1.2.1（并集、交集、差集、补集、对称差）设E为全集，A和B是E中任意两个子集． （1）所有属于A或属于B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A?B．即 ∈}（1.2.1） {或x B A B x x A ?=∈ ?．即（2）既属于A又属于B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A B ∈}（1.2.2） {且x B ?=∈ A B x x A 如果两个集合A和B没有公共元素，即A B ?=?，称为集合A与B不相交． -．即（3）属于A而不属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的差集，记作A B -=∈? A B 且（1.2.3） x x A x B {} （4）由E中所有不属于A的元素组成的集合，称为A的补集，记作~A．即 ~A={} 且（1.2.4） x x E x A ∈? 补集~A可以看作全集E与集合A的差集，即~A = E -A． （5）集合(A - B )?(B - A )称为集合A和B的对称差，记作A⊕B．即 A⊕B = (A - B )?(B - A )．（1.2.5）对称差运算的另一种定义是 A⊕B = (A?B ) - (B ?A )．（1.2.5’） 二、定理与性质 集合包含关系的自反性：对于任意集合A，有A?A． 集合包含关系的反对称性：对任意两个集合A和B，若有A?B且B?A，则A=B． 集合包含关系的传递性：对任意三个集合A，B和C，若有A?B，B?C，则A?C．定理1.1.1空集是一切集合的子集． 定理1.1.1的推论空集是唯一的． 集合运算的交换律：A B B A ?=? ?=? A B B A
离散数学的概念总结
图论基本概念 重要定义： 有向图：每条边都是有向边的图。 无向图：每条边都是无向边的图。 混合图：既有有向边又有无向边的图。 自回路：一条边的两端重合。 重数：两顶点间若有几条边，称这些边为平行边，两顶点a,b间平行边的条数成为（a,b）的重数。 多重图：含有平行边的图。 简单图：不含平行边和自回路的图。 注意！一条无向边可以用一对方向相反的有向边代替，因此一个无向图可以用这种方法转化为一个有向图。 定向图：如果对无向图G的每条无向边指定一个方向由此得到的有向图D。称为的G定向图. 底图：如果把一个有向图的每一条有向边的方向都去掉，得无向图G称为的D底图。 逆图：把一个有向图D的每条边都反向由此得到的图称为D的逆图。 赋权图：每条边都赋上了值。 出度：与顶点相连的边数称为该定点的度数，以该定点为始边的边数为出度。入度：以该定点为终边的边数为入度。 特殊！度数为零的定点称为孤立点。度数为一的点为悬挂点。 无向完全图：在阶无向图中如果任何两点都有一条边关连则称此图是无向完全图。Kn 完全有向图：在阶有向图中如果任意两点都有方向相反的有向边相连则称此图为完全有向图。竟赛图：阶图中如果其底图是无向完全图，则程此有向完全图是竟塞图。 注意！n阶有向完全图的边数为n的平方；无向完全图的边数为n(n-1)/2。 下面介召图两种操作：①删边：删去图中的某一条边但仍保留边的端点。 ②删点：删去图中某一点以及与这点相连的所有边。 子图：删去一条边或一点剩下的图。 生成子图：只删边不删点。 主子图：图中删去一点所得的子图称的主子图。 补图：设为阶间单无向图，在中添加一些边后，可使成为阶完全图；由这些添加边和的个顶点构成的图称为的补图。 重要定理： 定理5.1.1 设图G是具有n个顶点m条边的有向图，其中点集V={v,v, (v) deg+(vi)=deg-(vi)=m 定理5.1.2 设图G是具有n个顶点m条边的无向图，其中点集V={v,v,v, (v) deg(vi)=2m 推论在无向图中，度数为积数的顶点个数为偶数。 通路和富权图的最短通路 1通路和回路 基本概念： 通路的长度：通路中边的条数。 回路：如果通路中始点与终点相同。 简单通路：如果通路中各边都不相同。 基本通路：如果通路中各顶点都不相同。显然（基本通路一定是简单通路，但简单通路不一定是基本通路）
离散数学数理逻辑部分定义与概念
命题逻辑 1.（论域）定义：论域是一个数学系统，记为D。它由三部分组成： (1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体； (2)一个关于D的函数集合F； (3)一个关于D的关系集合R。 2.（逻辑联结词）定义： ?设n > 0，称{0, 1}n到{0, 1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词； ?若n = 0，则称为0元函数。 3.（命题合式公式）定义： (1)常元0和1是合式公式； (2)命题变元是合式公式； (3)若Q是合式公式，则(?Q)是合式公式； (4)若Q, R是合式公式，则(Q∧R)、(Q∨R)、(Q→R)、(Q?R)、(Q⊕R)是合式公式； (5)只有有限次应用(1)-(4)构成的公式是合式公式。 4.（生成公式）定义：设S是联结词的集合。由S生成的公式定义如下： (1)若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式； (2)原子公式是由S生成的公式； (3)若n≥1，F是S中的n元联结词，A1, …, A n是由S生成的公式，则F A1…A n是由S 生成的公式。 5.（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)。 ?常元复杂度为0； ?命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC(P) = 0； ?如果公式A = ?B，则FC(A) = FC(B) + 1； ?如果公式A = B1∧B2， 或A = B1∨B2， 或A = B1→B2， 或A = B1?B2， 或A = B1⊕B2， 则FC(A) = max{FC(B1), FC(B2)} + 1。 6.命题合式公式语义： ?论域：研究对象的集合。 ?解释：用论域的对象对应变元。 ?结构：论域和解释称为结构。 ?语义：符号指称的对象。公式所指称对象。合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
离散数学概念
命题演算 ?命题（真值确定但不一定要知道真假，比如“存在外星人”是一个命题，它的真值确定，即使我们不知道真值） ?原始命题/原子命题 ?复合命题 ?逻辑连接词 ?否定/┐ ?合取/∧ ?析取/∨ ?条件/→（┐P∨Q） ?双条件（不好意思，双向箭头字符未找到，(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)） ?真值表 ?命题公式/公式 ?命题变元 ?命题演算 ?等价（自反性、对称性、传递性，等价变换法俗称“少林派”） ?结合律 ?交换律 ?分配律 ?德·摩根律/反演律 ?双重否定率 ?代换 ?蕴含（自反性、反对称性、传递性，蕴含推理法俗称“武当派”，传递法俗称“隔山打牛”） ?对偶法则 ?对偶 ?不可兼析取（析取符上加一横，异或） ?逆条件（条件符上加字母c） ?与非/↑ ?或非/↓
?结合力（⑴┐⑵∧⑶∨、不可兼析取、↑、↓⑷→、逆条件⑸双条件） ?析取范式 ?合取范式 ?主析取范式（∑=m∨…） ?主合取范式（∏=M∧…） ?直接推演 ?P规则 ?T规则 ?CP规则（俗称“北冥神功”） ?间接推演/间接证明/反证法 谓词演算 ?谓词 ?个体 ?量词 ?全称量词（倒A，以下简写为V） ?存在量词（倒E，以下简写为E） ?自由变元 ?约束变元 ?作用域/辖域 ?改名 ?量词分配律（(Ex)[A(x)∨B(x)]<=>(Ex)A(x)∨(Ex)B(x)，(Vx)[A(x)∧B(x)]<=>(Vx)A(x)∧(Vx)B(x)） ?量词转换率（┐(Ex)A(x)<=>(Vx)┐A(x)） ?量词辖域扩张和收缩率 ?前束范式 ?全称指定规则/US ?全称推广规则/UG ?存在指定规则/ES
离散数学(高教)概念整理
数理逻辑 命题逻辑 命题p,q,r,s…… 非真即假的陈述句 命题的真值0 1 命题的陈述句所表达的判断结果 原子命题（简单命题） 不能被分解成更简单的命题 简单命题通过联结词联结而成的命题，称为复合命题 命题的符号化p:4是素数 用小写英文字母（如p:4是素数）表示命题。 用小写英文字母（如p:4是素数）表示原子命题，用联结词联结原子命题表示复合命题。联结词 否定连接词￢ 否p为真当且仅当p为假 合取联结词∧ p合取q为真当且仅当p，q同时为真（复合命题“p并且q”称为p与q的合取式） 析取联结词∨ p析取q为假当且仅当p，q同时为假（复合命题“p或q”称为p与q的析取式）
蕴含连接词→ p蕴含q为假当且仅当p为真，q为假。（复合命题“如果p,则q”（因为p所以q，除非q 才p）称为p与q的蕴含式，p是蕴含式的前件，q是蕴含式的后件）q是p的必要条件。 等价联结词? p等价q当且仅当，同时为真或假。（复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式） 真值表 命题公式及其赋值 命题常项 原子命题（简单命题）的另一称呼，由于其真值确定 命题变项 真值可以变化的陈述句 合式公式（命题公式）A，B…… 命题变项用联结词和圆括号用一定逻辑关系连接起来的符号串，简称公式 赋值（解释） 给公式A中的每个命题变项各指定一个真值。 这组值使A为1，则称为成真赋值。
含n个命题变项的公式有2的n次方个不同赋值。 含n个命题变项的公式有2的2的n次方个不同真值表情况。 重言式（永真式） 命题公式A在各种赋值下取值均为真 矛盾式（永假式） 命题公式A在各种赋值下取值均为假 可满足式 命题公式A至少存在一个成真赋值 哑元 对公式A和B进行比较讨论，可知A和B共含有n个命题变项，其中A不含有的命题变项称为A的哑元，其取值不影响A的值 命题逻辑等值演算 等值式? 如果命题A和B有相同的真值表，则有命题A?B为重言式，这种情况下称A与B是等值的，记作A?B （重要）等值式模式 常用的16条命题间的等值模式，书p18
离散数学知识汇总
离散数学笔记 第一章命题逻辑 合取 析取 定义 1. 1.3否定：当某个命题为真时，其否定为假，当某个命题为假时，其否定为真定义 1. 1.4条件联结词，表示“如果……那么……”形式的语句 定义 1. 1.5双条件联结词，表示“当且仅当”形式的语句 定义 1.2.1合式公式 (1)单个命题变元、命题常元为合式公式，称为原子公式。 (2)若某个字符串A 是合式公式，则?A、(A)也是合式公式。 (3)若A、B 是合式公式，则A ∧B、A∨B、A→B、A?B 是合式公式。 (4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。 1.3等值式 1.4析取范式与合取范式
将一个普通公式转换为范式的基本步骤
1.6推理 定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式， 若 A → C 为永真式、 重言式，则称 C 是 A 的有 效结论，或称 A 可以逻辑推出 C ，记为 A => C 。（用等值演算或真值表） 第二章 谓词逻辑 2.1、基本概念 ?：全称量词 ?：存在量词 一般情况下， 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时， 带 “全称量词”的谓词公式形如"?x(H(x)→B(x))，即量词的后面为条件式，带“存在量词”的谓词公式形如?x(H(x)∨WL(x))，即量词的后面为合取式 例题 R(x)表示对象 x 是兔子，T(x)表示对象 x 是乌龟， H(x,y)表示 x 比 y 跑得快，L(x,y)表示x 与 y 一样快，则兔子比乌龟跑得快表示为： ?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 2.2、谓词公式及其解释 定义 2.2.1、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22 y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人 类的 H(x))。 定义 2.2.2、逻辑符号：个体变元、量词(??)、联结词(﹁∨∧→?)、逗号、括号。 定义 2.2.3、项的定义：个体常元、变元及其函数式的表达式称为项(item)。 定义 2.2.4、原子公式：设 R(n x x ...1)是 n 元谓词，n t t ...1是项，则 R(t)是原子公式。原子公式中的个体变元，可以换成个体变元的表达式(项)，但不能出现任何联结词与量词，只能为单个的谓词公式。 定义 2.2.5 合式公式：(1)原子公式是合式公式；(2)若 A 是合式公式，则(﹁A)也是合式公式；(3)若 A,B 合式，则 A ∨B, A ∧B, A →B , A ?B 合式(4)若 A 合式，则?xA 、?xA 合式(5)有限次使用(2)~(4)得到的式子是合式。 定义 2.2.6 量词辖域：?xA 和?xA 中的量词?x/?x 的作用范围，A 就是作用范围。 定义 2.2.7 约束变元：在?x 和?x 的辖域 A 中出现的个体变元 x ，称为约束变元，这是与量词相关的变元，约束变元的所有出现都称为约束出现。 定义 2.2.8 自由变元：谓词公式中与任何量词都无关的量词，称为自由变元，它的每次出现称为自由出现。一个公式的个体变元不是约束变元，就是自由变元。 注意：为了避免约束变元和自由变元同名出现，一般要对“约束变元”改名，而不对自由变元改名。 定义 2.2.9 闭公式是指不含自由变元的谓词公式
离散数学定义列表
A.定义 1.简单命题/原子命题、复合命题 2.定义1.1：否定式、否定联结词 3.定义1.2：合取式、合取联结词 4.定义1.3：析取式、析取联结词 定义1.4：蕴含式、前件、后件、蕴含联结词；规定19.4、20.4 5.定义1.5：等价式、等价联结词；规定 6.联结词的定义（真值表）表1.1、优先级 7.命题常项、命题变项（不是命题）、合式公式 8.定义1.6：原子命题公式、公式、子公式 9.定义1.7：公式层次 10.定义1.8：赋值/解释、成真赋值、成假赋值 11.定义1..9：真值表 12.定义1..10：重言式/永真式、矛盾式/永假式、可满足式 13.哑元 ************************重点：命题逻辑等值演算*************** 15.等值演算、置换规则4.1 16.定义2.2：文字、简单析取式、简单合取式 17.定义2.3：析取范式、合取范式、范式 18.定义2.4：极小项、极大项 定义2.5：主析取范式、主合取范式 ********************************一阶逻辑********************** 19.个体词、个体常项、个体变项、个体域/论域、全总个体域 20.谓词、谓词常项、谓词变项、n元谓词、0元谓词 量词、全称量词、存在量词全称蕴含、存在合取P71 5.3 ********************************集合代数********************** 21.定义6.1：子集、包含 22.定义6.2：相等 23.定义6.3：真子集 定义6.4：空集P139 1 24.n元集、m元子集、（单元集） 25.定义6.5：幂集公式： 26.定义6.6：全集 27.定义6.7:并集、交集、相对补集、不交 28.定义6.8：对称差集
离散数学课本定义和定理
离散数学课本定义和定理
第1章集合 1.1 集合的基本概念 1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集 2. 表示集合的方法：列举法、描述法 3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。 如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。 4. 定义1.1.2（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A的幂集，记为或 1.2 集合的运算 定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为. 定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A 和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称
为A和B的交集，记为.
重要例题 P11 例1.3.1 第2章二元关系 2.1 关系 定义2.1.1（序偶）： 若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。 ※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为 定义2.1.2（有序元组）： 若是个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个有序元组（简称元组）。 定义2.1.3（直接积）：
和是两个集合，则所有序偶的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为. 定义2.1.4（直接积）： 设是个集合， ，则所有元组 的集合，称为的笛卡尔积（或直接积），记为. 定义2.1.5（二元关系） 若和是两个集合，则的任何子集都定义了一个二元关系，称为上的二元关系。如果，则称为上的二元关系。 定义2.1.5（恒等关系）： 设是上的二元关系，，则称是上的恒等关系。 定义2.1.7（定义域、值域）：若是一个二元关系，则称 为的定义域。 为的值域。 定义2.1.8（自反）：设是集合上的关系，若对于任何 ．．，都有即则称关系是自反的。