离散数学概念
命题演算
?命题（真值确定但不一定要知道真假，比如“存在外星人”是一个命题，它的真值确定，即使我们不知道真值）
?原始命题/原子命题
?复合命题
?逻辑连接词
?否定/┐
?合取/∧
?析取/∨
?条件/→（┐P∨Q）
?双条件（不好意思，双向箭头字符未找到，(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)）
?真值表
?命题公式/公式
?命题变元
?命题演算
?等价（自反性、对称性、传递性，等价变换法俗称“少林派”）
?结合律
?交换律
?分配律
?德·摩根律/反演律
?双重否定率
?代换
?蕴含（自反性、反对称性、传递性，蕴含推理法俗称“武当派”，传递法俗称“隔山打牛”）
?对偶法则
?对偶
?不可兼析取（析取符上加一横，异或）
?逆条件（条件符上加字母c）
?与非/↑
?或非/↓
?结合力（⑴┐⑵∧⑶∨、不可兼析取、↑、↓⑷→、逆条件⑸双条件）
?析取范式
?合取范式
?主析取范式（∑=m∨…）
?主合取范式（∏=M∧…）
?直接推演
?P规则
?T规则
?CP规则（俗称“北冥神功”）
?间接推演/间接证明/反证法
谓词演算
?谓词
?个体
?量词
?全称量词（倒A，以下简写为V）
?存在量词（倒E，以下简写为E）
?自由变元
?约束变元
?作用域/辖域
?改名
?量词分配律（(Ex)[A(x)∨B(x)]<=>(Ex)A(x)∨(Ex)B(x)，(Vx)[A(x)∧B(x)]<=>(Vx)A(x)∧(Vx)B(x)）
?量词转换率（┐(Ex)A(x)<=>(Vx)┐A(x)）
?量词辖域扩张和收缩率
?前束范式
?全称指定规则/US
?全称推广规则/UG
?存在指定规则/ES
?存在推广规则/EG
集合
?集合
?属于/?
?相等/=
?包含（自反性、反对称性、传递性）?真包含/（
?有限集
?无限集
?空集
?全集
?并/∪
?交/∩
?补
?运算法则（对应命题逻辑运算法则）?差/-（A-B=A∩补B）
?对称差（+外面加一个圈）
?幂集/р(A)/2^A
?包含排斥原理
?直积/笛卡尔乘积
?有序偶
?有序n元组
关系
?关系
?前域/定义域/D()
?后域/值域/R()
?全域关系
?表格表示法
?矩阵表示法
?关系图
?交关系
?并关系
?关系的补
?复合关系
?逆关系
?自反性
?反自反性
?对称性
?反对称性
?传递性
?闭包
?自反闭包/r(R)
?对称闭包/s(R)
?传递闭包/t(R)
?集合的覆盖
?集合的划分
?等价关系（自反、对称、传递）?等价类/[x]
?商集/“S/R={[x],[y],…}”
?相容关系（自反、对称）
?最大相容类
?偏序关系（自反、反对称、传递）?偏序集
?全序关系
?全序集
?极小元
?最大元
?最小元
?上界
?下界
?上确界/最小上界
?下确界/最大下界
?良序集（有限全序集）图论
?图/G(V,E)
?有序偶/弧
?有向图
?无序偶/边
?无向图
?顶点/结点
?顶点集/V
?弧/有向线
?弧集/E
?环
?孤立点
?邻接
?边/线
?边集
?度数/d(v)
?同构
?重数
?子图
?边导出子图/G(E’)
?删除运算
?收缩运算
?图的并
?图的交
?图的环合
?空图（V为空）
?不相交（G1∩G2=空图）?零图（E为空）
?边不相交（G1∩G2=零图）?完全图
?r-正侧图
?二分图
?二划分
?完全二分图
?多重图
?多重集合
?平行边
?多重边
?简单图（不含环、平行边）?带权图
?边序/通道
?边序起点
?边序终点
?边序长度
?距离
?迹
?路
?闭迹
?闭路
?开迹
?开路
?回路（至少包含一条边的闭路）?偶回路
?奇回路
?连通
?连通图
?可达
?单向连通
?强连通
?弱连通
?欧拉图
?欧拉闭迹/欧拉迹
?半欧拉图
?欧拉开迹
?奇顶点
?偶顶点
?欧拉有向图
?入度
?出度
?哈密顿图
?哈密顿回路
?半哈密顿图
?货郎担问题
?树
?树叶/悬挂点
?分支点/内点
?森林
?生成树
?树枝/枝
?弦
?余树
?秩/枝数（顶点数-分支数）?边割
?割集（最小边割）
?桥
?基本回路
?基本回路组
?基本割集
?基本割集组
?最小生成树
?克鲁斯克尔算法/Kruskal ?有向树
?根树
?儿子
?父亲
?兄弟
?子孙
?祖辈
?以u为根的子树
?有序树
?先根次序
?中根次序
?后根次序
?二叉树
?m叉树
?完全m叉树
?正则m叉树
?基本关联矩阵
?参考点
?回路矩阵/B(G)（g*e）
?割集矩阵/C(G)（m*e）
?邻接矩阵/X(G)（v*v）
?矩阵乘法
?平面图
?欧拉公式/欧拉定理
?库拉托斯基定理
?彼得森图
?着色
?四色定理
?n色图
?面
?对偶图/G*
?韦尔奇·鲍威尔法/Welch Powell ?二分图
?互补顶点子集
?奇回路
?偶回路
离散数学必备知识点总结
离散数学必备知识点总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；
2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系； 数为mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；
离散数学必备知识点总结
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项 时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;
3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为mn，A到B上可以定义m n 2种不同的关系； 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x≥y，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x
存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中
离散数学课本定义和定理
第1章集合 1.1 集合的基本概念 1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集 2. 表示集合的方法：列举法、描述法 3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。 如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。 4. 定义1.1.2（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A 的幂集，记为或 1.2 集合的运算 定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为. 定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为. 定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。 定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为. 定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为. 定义1.2.6（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为 1.3 包含排斥原理 定理1.3.1设为有限集，其元素个数分别为，则 定理 1.3.2设为有限集，其元素个数分别为，则 定理1.3.3设为有限集，则 重要例题P11 例1.3.1 第2章二元关系 2.1 关系 定义2.1.1（序偶）： 若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。 ※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为
离散数学谓词逻辑课后总结
第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。
考试必备离散数学概念总结
1.1、单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式 2.1、若等价式A?B是重言式，则称A与B等值，记作A?B，并称A?B是等值式 2.2、(1) 文字——命题变项及其否定的总称 2.3、设C1=l∨C1', C2=lc∨C2', C1'和C2'不含l和lc, 称C1∨'C2'为C1和C2(以l和lc为消解 文字)的消解式或消解结果, 记作Res(C1,C2) 2.4、设S是一个合取范式, C1,C2,?,Cn是一个简单析取式序列. 如果对每一个i(1≤i≤n), Ci 是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1≤j
离散数学的定义精简版
图 1.每个无向图所有结点度总和等于边数的2倍. 2每个无向图中,奇数度的结点必为偶数个. 3G=
离散数学知识点整理
离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题：是一个可以判断真假的陈述句。 联接词：∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举，那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理，?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如?x（P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定：??xP(x) ??x?P(x)，??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证
二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系，?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B)；A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?}，而{?}的幂集是{?，{?}}。 考虑A→B的函数关系，定义域、陪域（实值函数、整数值函数）、值域、像集（定义域的一个子集在值域的元素集合）。 一对一或者单射：B可能有多余的元素，但不重复指向。 映上或者满射：B中没有多余的元素，但可能重复指向。 一一对应或者双射：符合上述两种情况的函数关系。 反函数：如果是一一对应的就有反函数，否则没有。 合成函数：fοg(a)=f(g(a))，一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为：一组是和自然数集合有相同基数，另一组是没有相同基数。前者是可数的，后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的，则A∪B也是可数的。
离散数学部分概念和公式总结
离散数学部分概念和公式总结 命题：称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。 命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。 （2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。 （3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。 主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。 约束变元和自由变元：在合式公式?x A和?x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。 前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。 二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={
离散数学定义必须背
命题逻辑 ?(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。它由三部分组成： ?(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体； ?(2) 一个关于D的函数集合F； ?(3)一个关于D的关系集合R。 ?（逻辑连接词）定义 ?设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。 ?若n =0，则称为0元函数。 ?（命题合式公式）定义： R) A n ?结构：论域和解释称为结构。 ?语义：符号指称的对象。公式所指称对象。合式公式的语义是其对应的逻辑真值。 ?（合式公式语义）设S是联结词的集合是{?，∧，∨，⊕，→，?}。由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下： ?⑴v(0)=0, v(1)=1。 ?⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。 ?⑶若Q1,Q2是合式公式 ?若Q= ?Q1，则v(Q)= ?v(Q1) ?若Q=Q1 ∧ Q2，则v(Q)=v(Q1)∧ v(Q2)
?若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2) ?若Q=Q1→ Q2，则v(Q)=v(Q1)→ v(Q2) ?若Q=Q1 ? Q2，则v(Q)=v(Q1)? v(Q2) ?若Q=Q1⊕ Q2，则v(Q)=v(Q1)⊕ v(Q2) ?（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：?⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。 ?⑵若Q是命题变元p，则v(Q)= pv。 ?⑶若Q是FQ1…,Qn，其中n≥1，F是S中的n元联结词，Qi是公式，则v(Q)=v(FQ1…Qn)=Fv(Q1)…v(Qn)。 ?（可满足与有效）定义1.7 设Q是公式。 ?⑴如果真值赋值v使得v(Q)=1，则称v满足Q。 中 F。 A1 Bn ?（逻辑推论）定义： ?若真值赋值v满足公式集合Γ中的每个公式，则称v满足Γ。若有真值赋值满足Γ，则称Γ是可满足的，否则称Γ是不可满足的。 ?设Γ是公式的集合，A是公式。如果每个满足Γ的真值赋值都满足A，则称A 是Γ的逻辑推论，记为Γ|=A。若Γ|=A不成立，记为Γ|≠A。 谓词逻辑
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离散数学笔记 第一章命题逻辑 合取 析取 定义 1. 1.3否定：当某个命题为真时，其否定为假，当某个命题为假时，其否定为真定义 1. 1.4条件联结词，表示“如果……那么……”形式的语句 定义 1. 1.5双条件联结词，表示“当且仅当”形式的语句 定义 1.2.1合式公式 (1)单个命题变元、命题常元为合式公式，称为原子公式。 (2)若某个字符串A 是合式公式，则?A、(A)也是合式公式。 (3)若A、B 是合式公式，则A ∧B、A∨B、A→B、A?B 是合式公式。 (4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。 1.3等值式 1.4析取范式与合取范式
将一个普通公式转换为范式的基本步骤
1.6推理 定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式， 若 A → C 为永真式、 重言式，则称 C 是 A 的有 效结论，或称 A 可以逻辑推出 C ，记为 A => C 。（用等值演算或真值表） 第二章 谓词逻辑 2.1、基本概念 ?：全称量词 ?：存在量词 一般情况下， 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时， 带 “全称量词”的谓词公式形如"?x(H(x)→B(x))，即量词的后面为条件式，带“存在量词”的谓词公式形如?x(H(x)∨WL(x))，即量词的后面为合取式 例题 R(x)表示对象 x 是兔子，T(x)表示对象 x 是乌龟， H(x,y)表示 x 比 y 跑得快，L(x,y)表示x 与 y 一样快，则兔子比乌龟跑得快表示为： ?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：?x ?y(R(x)∧T(y)→H(x,y)) 2.2、谓词公式及其解释 定义 2.2.1、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22 y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人 类的 H(x))。 定义 2.2.2、逻辑符号：个体变元、量词(??)、联结词(﹁∨∧→?)、逗号、括号。 定义 2.2.3、项的定义：个体常元、变元及其函数式的表达式称为项(item)。 定义 2.2.4、原子公式：设 R(n x x ... 1)是 n 元谓词，n t t ...1是项，则 R(t)是原子公式。原子公式中的个体变元，可以换成个体变元的表达式(项)，但不能出现任何联结词与量词，只能为单个的谓词公式。 定义 2.2.5 合式公式：(1)原子公式是合式公式；(2)若 A 是合式公式，则(﹁A)也是合式公式；(3)若 A,B 合式，则 A ∨B, A ∧B, A →B , A ?B 合式(4)若 A 合式，则?xA 、?xA 合式(5)有限次使用(2)~(4)得到的式子是合式。 定义 2.2.6 量词辖域：?xA 和?xA 中的量词?x/?x 的作用范围，A 就是作用范围。 定义 2.2.7 约束变元：在?x 和?x 的辖域 A 中出现的个体变元 x ，称为约束变元，这是与量词相关的变元，约束变元的所有出现都称为约束出现。 定义 2.2.8 自由变元：谓词公式中与任何量词都无关的量词，称为自由变元，它的每次出现称为自由出现。一个公式的个体变元不是约束变元，就是自由变元。 注意：为了避免约束变元和自由变元同名出现，一般要对“约束变元”改名，而不对自由变元改名。 定义 2.2.9 闭公式是指不含自由变元的谓词公式
离散数学课程总结
离散数学课程总结 姓名： 学号： 班级：级计科系软件工程（）班 近年来，计算机科学与技术有了飞速发展，在生产与生活的各个领域都发挥着越来越重要的作用。离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程。 一、课程总结 本书的主要内容有数理逻辑、集合论、代数结构、组合数学、图论以及初等数论六部分，而我们主要学习的有第一部分数理逻辑、第二部分集合论以及第五部分图论，第三部分代数结构也学习了一部分。第一部分：数理逻辑 数理逻辑是研究推理的数学分支，推理有一些列的陈述句组成。在数理逻辑中，主要学习了命题逻辑的基本概念、命题逻辑的等值演
算、命题逻辑的推理理论、一阶逻辑基本概念、一阶逻辑等值演算与推理。 1.在命题逻辑的基本概念中学习了命题的真值及真值表、命题与联 结词、命题及其分类、联结词与复合命题、命题公式及其赋值。2.在命题逻辑的等值演算中主要学习了等值式与基本的等值式模式、 等值演算与置换规则、析取范式与合取范式，极大值和极小值，主析取范式与主合取范式、联结词完备集。 3.在命题逻辑的推理理论中主要学习了推理的正确与错误、推理的 形式结构、判断推理正确的方法、推理定律；自然推理系统P、形式系统的定义与分类、自然推理系统P，在P中构造证明：直接证明法、附加前提证明法、归谬法。 4.在一阶逻辑基本概念中主要学习了一阶逻辑命题符号化、个体词、 谓词、量词、一阶逻辑公式及其解释、一阶语言、合式公式及合式公式的解释、永真式、矛盾式、可满足式。 5.在一阶逻辑等值演算与推理中主要学习了一阶逻辑等值式与基本 等值式、置换规则、换名规则、代替规则、前束范式、自然推理系统N及其推理规则。 第二部分：集合论 在集合论中，主要学习了集合代数、二元关系和函数。 1.在集合代数中，学习了集合的基本概念：属于、包含、空集、元 集、幂集、全集；集合的基本运算：并、交、补相对、对称差等； 集合恒等式：集合运算的主要算律、恒等式的证明方法。
离散数学部分概念和公式总结(考试专用)
命题：称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。 命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。 （2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。 （3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。 主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。 约束变元和自由变元：在合式公式?x A和?x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。 前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。 二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={
大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={