实际问题与一元一次方程(知识讲解)

实际问题与一元一次方程(一)(基础)知识讲解

【学习目标】

1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤;

2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路. 【要点梳理】

知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题???

→分析

抽象方程???→求解检验

解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为:审、设、列、解、验、答．

要点诠释:

(1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；

（2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数； (3）“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程,同时注意方程两边是同一类量，单位要统一; (4）“解”就是解方程，求出未知数的值. （5）“验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时，及时指出,舍去即可； （６）“答”就是写出答案,注意单位要写清楚．

知识点二、常见列方程解应用题的几种类型(待续)

１．和、差、倍、分问题

（１）基本量及关系:增长量＝原有量×增长率，

现有量＝原有量＋增长量，现有量＝原有量－降低量．

(2)寻找相等关系：抓住关键词列方程,常见的关键词有:多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2.行程问题

（１）三个基本量间的关系: 路程=速度×时间 （2)基本类型有：

①相遇问题(或相向问题)：Ⅰ．基本量及关系:相遇路程=速度和×相遇时间

Ⅱ．寻找相等关系:甲走的路程+乙走的路程=两地距离．

②追及问题:Ⅰ.基本量及关系:追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一， 同地不同时出发:前者走的路程＝追者走的路程；

第二， 第二,同时不同地出发:前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程.

③航行问题:Ⅰ.基本量及关系：顺流速度=静水速度＋水流速度，

逆流速度＝静水速度-水流速度， 顺水速度－逆水速度=2×水速;

Ⅱ.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考

虑.

（３)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还常常借助画草图来分析. ３.工程问题

如果题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为1.基本关系式: (1)总工作量=工作效率×工作时间; (2）总工作量=各单位工作量之和. 4．调配问题

寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

【典型例题】

类型一、和差倍分问题

1.201１年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5．8亿立方米,其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0．6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米? 【答案与解析】设生产运营用水x 亿立方米，则居民家庭用水(５.８-x )亿立方米. 依题意,得５．8-ｘ=３x+０．6 解得x =１.3

5.8-x ＝５.8-1．3=４.５(亿立方米)

答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水４.5亿立方米.

【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x ，另外一个用含x 的式子表示.本题的相等关系是生产运营用水量＋居民家庭用水总量=5.8亿立方米. 举一反三：

【变式】(麻城期末考试)麻商集团三个季度共销售冰箱２800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍．第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?

【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x 台,则第一季度销售量为２x 台,第三季度销售量为4x 台,依题意可得：x+2x+4x ＝280０，

解得：x =400

答：麻商集团第二个季度销售冰箱400台．

类型二、行程问题 1.一般问题

2.小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走４千米,那么走完预订时间离县城还有0．5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米? 【答案与解析】

解：设小山娃预订的时间为ｘ小时,由题意得： 4x+0.5＝5(x -0．５)，解得x =3.

所以4ｘ+0.5=4×３+0.５=1２.5(千米). 答：学校到县城的距离是１２.5千米．

【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量． 举一反三:

【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时,下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度． 【答案】

解：设这段坡路长为a 千米，汽车的平均速度为ｘ千米/时,则上坡行驶的时间为

10

a

小时，下坡行驶的时间为

20a 小时.依题意,得：21020a

a x a ??+=

???

, 化简得: 340ax a =． 显然a ≠０，解得1

133

x =

答：汽车的平均速度为1133

千米／时．

2．相遇问题（相向问题)

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 相遇问题】

3. Ａ、Ｂ两地相距100k ｍ，甲、乙两人骑自行车分别从A 、Ｂ两地出发相向而行，甲的速度是２３k ｍ／h ，乙的速度是21k ｍ/h,甲骑了1ｈ后,乙从B 地出发,问甲经过多少时间与乙相遇？ 【答案与解析】

解:设甲经过x 小时与乙相遇.

由题意得:()2312321(1)100x ?++-= 解得,x=２.７５ 答：甲经过２.75小时与乙相遇.

【总结升华】等量关系:甲走的路程+乙走的路程＝1０0k ｍ 举一反三:

【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km 的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走２.5km ，求甲、乙每小时各行驶多少千米? 【答案】

解：设乙每小时行驶x 千米，则甲每小时行驶（x +２.５）千米，根据题意，得：

2( 2.5)245x x ++=

解得：10x =

2.510 2.512.5x +=+=(千米)

答:甲每小时行驶1２．5千米，乙每小时行驶10千米

3.追及问题（同向问题）

4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进,走了18分钟时,学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发,骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去,通讯员用多少分钟可以追上学生队伍? 【答案与解析】

解：设通讯员ｘ小时可以追上学生队伍,则根据题意，

得18

145560

x x =?+, 得：16x =

, 1

6

小时=10分钟. 答:通讯员用1０分钟可以追上学生队伍．

【总结升华】追及问题:路程差=速度差×时间，此外注意:方程中x 表示小时，18表示分钟,两边单位不一致，应先统一单位.

4．航行问题（顺逆风问题）

５.一艘船航行于A 、B 两个码头之间,轮船顺水航行需3小时,逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米／时,求这两个码头之间的距离. 【答案与解析】

解法1：设船在静水中速度为x 千米/时,则船顺水航行的速度为(x ＋４)千米/时，逆水航行的速度为(x -４)千米/时，由两码头的距离不变得方程:３（x ＋４)=5(x －4),解得：x ＝16，

（16+４）×3=60（千米)

答:两码头之间的距离为６0千米.

解法2：设A 、B 两码头之间的距离为x 千米,则船顺水航行时速度为3x 千米/时，逆水航行时速度为5

x 千米/时,由船在静水中的速度不变得方程：

4435

x x

-=+,解得：60x = 答：两码头之间的距离为60千米.

【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度＝静水速度-水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．

类型三、工程问题

6．一个水池有两个注水管,两个水管同时注水，1０小时可以注满水池；甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水７小时，关掉甲管,单独开乙管注水，还需要几小时能注满水池? 【思路点拨】视水管的蓄水量为“1”，设乙管还需x 小时可以注满水池;那么甲乙合注1小时注水池的

110，甲管单独注水每小时注水池的115,合注７小时注水池的710，乙管每小时注水池的111015??

- ??

?． 【答案与解析】

解:设乙管还需ｘ小时才能注满水池. 由题意得方程:1171101510x ??

-=-

???

解此方程得:x =9

答:单独开乙管,还需9小时可以注满水池.

【总结升华】工作效率×工作时间=工作量,如果没有具体的工作量，一般视总的工作量为“1” . 举一反三:

【变式】修建某处住宅区的自来水管道,甲单独完成需1４天，乙单独完成需１8天,丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作,但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天? 【答案】

解:设乙中途离开x 天，由题意得

111

7(72)21141812x ?+-++?= 解得:3x =

答：乙中途离开了3天

类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题)

7．星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3ｍ长的某种布料可做上衣2件或裤子３条，一件上衣和一条裤子为一套,计划用750m 长的这种布料生产学生服,应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?共能生产多少套?

【思路点拨】每３米布料可做上衣２件或裤子3条,意思是每1米布料可做上衣3

2

件，或做裤子1条,此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量． 【答案与解析】

解:设做上衣需要x ｍ，则做裤子为(750-ｘ)ｍ,做上衣的件数为23x ?件，做裤子的件数为75033

x -?，则有:

23(750)

33

x x -=

解得：x =4５0,

750-x =7５0-4５０＝3０0(m ）,

4502

3003

?=(套) 答：用450m 做上衣，３00ｍ做裤子恰好配套,共能生产300套．

【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系:上衣总件数＝裤子的总件数． 举一反三：

【高清课堂:实际问题与一元一次方程(一) 调配问题】

【变式】甲队有72人,乙队有68人,需要从甲队调出多少人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的34

. 解:设从甲队调出ｘ人到乙队．由题意得,

()3

72684

x x -=

+ 解得,x=１2.

答：需要从甲队调出 12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的

3

4

.

实际问题与一元一次方程(一）(提高)知识讲解

【学习目标】

1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤； ２.熟悉行程,工程,配套及和差倍分问题的解题思路． 【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题???

→分析抽象方程???→求解检验

解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答．

要点诠释:

（1)“审”是指读懂题目，弄清题意,明确哪些是已知量，哪些是未知量,以及它们之间的关系，寻找等量关系；

(2)“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为ｘ，但有时也可以间接设未知数；

(3)“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量,单位要统一； (４）“解”就是解方程，求出未知数的值;

（５)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时,及时指出,舍去即可; (６)“答”就是写出答案，注意单位要写清楚.

要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）

1.和、差、倍、分问题

(1）基本量及关系:增长量=原有量×增长率，

现有量＝原有量＋增长量，现有量=原有量-降低量．

(2)寻找相等关系：抓住关键词列方程,常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍,增长率等.

２．行程问题

（1)三个基本量间的关系: 路程=速度×时间 （2）基本类型有:

①相遇问题(或相向问题):Ⅰ.基本量及关系:相遇路程＝速度和×相遇时间

Ⅱ.寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离.

②追及问题:Ⅰ.基本量及关系：追及路程＝速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系:

第三，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程;

第四，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．

③航行问题:Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度,

逆流速度=静水速度－水流速度,

顺水速度-逆水速度＝2×水速；

Ⅱ.寻找相等关系:抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．

（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还常常借助画草图来分析. 3．工程问题

如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1.基本关系式:

(1）总工作量=工作效率×工作时间;

(2）总工作量=各单位工作量之和．

4.调配问题

寻找相等关系的方法:抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

【典型例题】

类型一、和差倍分问题

１.旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的２5%,第二次旅程中用去剩余汽油的40％，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤,求油箱里原有汽油多少公斤？

【答案与解析】

解:设油箱里原有汽油x公斤,由题意得:

x(１－25%)(1-40%)+1＝25%x＋(1-２5%)x×40%

解得:x=１0

答：油箱里原有汽油10公斤.

【点评】等量关系为:油箱中剩余汽油+1=用去的汽油．

举一反三：

【变式】某班举办了一次集邮展览,展出的邮票若平均每人3张则多２4张,若平均每人4张则少２6张,这个班有多少学生?一共展出了多少张邮票?

【答案】

解：设这个班有x名学生，根据题意得：

3x+2４＝4x－26

解得：x＝50

所以３x＋24＝3×50+2４=17４

答:这个班有5０名学生，一共展出了174张邮票．

类型二、行程问题

1.车过桥问题

2．某桥长1２００m,现有一列匀速行驶的火车从桥上通过,测得火车从上桥到完全过桥共用了50s,而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．

【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．

【答案与解析】

解:设火车车身长为ｘm,根据题意，得:

120012005030

x x

+-=

, 解得：ｘ=3０0， 所以

12001200300

305050

x ++==. 答:火车的长度是３00m ，车速是３０m/ｓ．

【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：Ａ点表示火车头)：

(１）火车从上桥到完全过桥如图（1）所示，此时火车走的路程是桥长＋车长．

(2)火车完全在桥上如图(２)所示，此时火车走的路程是桥长－车长.由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度=整个火车在桥上的速度． 举一反三:

【变式】某要塞有步兵６９2人,每4人一横排,各排相距１米向前行走,每分钟走86米,通过长8６米的桥,从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟? 【答案】

解:设从第一排上桥到排尾离桥需要x 分钟，列方程得:

6928611864x ??=-?+ ???

，

解得:x =3

答:从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟．

2.相遇问题（相向问题)

3.小李骑自行车从A 地到B 地，小明骑自行车从Ｂ地到A 地,两人都匀速前进．已知两人在上午８时同时出发,到上午1０时,两人还相距36千米,到中午1２点，两人又相距36千米.求Ａ、B 两地间的路程．

【答案与解析】

解：设Ａ、B 两地间的路程为x 千米，由题意得：

3636

24x x -+=

解得:x =1０8．

答:A 、B 两地间的路程为10８千米．

【点评】根据“匀速前进”可知Ａ、Ｂ的速度不变,进而A 、B 的速度和不变.利用速度和=小李和小明前进的路程和／时间可得方程． 举一反三：

【高清课堂：实际问题与一元一次方程（一)388410二次相遇问题】

【变式】甲、乙两辆汽车分别从A 、B 两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶,在分别到达对方车站后立即返回,两车第二次相遇时距A 站34k ｍ,已知甲车的速度是70km ／ｈ,乙车的速度是

52km/h,求A 、B 两站间的距离. 【答案】

解:设A 、B 两站间的距离为ｘ km,由题意得：23434

7052

x x -+=

解得:x ＝122

答： Ａ、Ｂ两站间的距离为１22km.

3.追及问题(同向问题)

4.一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后,一辆轿车从甲地去追这辆卡车，轿车的速度比卡车

的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理1５分钟后,又上路追这辆卡车，但速度减小了

1

3

,结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度. 【答案与解析】

解：设卡车的速度为x 千米/时,由题意得:

11

22(30)(1)(30)243

x x x x x x +++=++-?+?

解得：x=2４

答：卡车的速度为24千米/时．

【点评】采用“线示”分析法，画出示意图．利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程,理清两车行驶的速度与时间．

4.航行问题（顺逆风问题)

5．（武昌区联考）盛夏,某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段,从A 地上船，沿江而下至B 地，然后溯江而上到C 地下船，共乘船4小时.已知A 、C 两地相距10千米,船在静水中的速度为7．5千米/时,求A 、B 两地间的距离．

【思路点拨】由于C 的位置不确定，要分类讨论:(1）Ｃ地在A 、B 之间;(2)C 地在A 地上游． 【答案与解析】

解:设A 、B 两地间的距离为ｘ千米.

(１)当C 地在Ａ、B 两地之间时，依题意得．

10

47.5 2.57.5 2.5

x x -+=+-

解这个方程得:ｘ=20(千米)

（2)当Ｃ地在A 地上游时，依题意得:

10

47.5 2.57.5 2.5

x x ++=+-

解这个方程得：20

3

x =

答:A 、Ｂ两地间的距离为20千米或

20

3

千米. 【点评】这是航行问题，本题需分类讨论,采用“线示”分析法画出示意图(如下图所示)，然后利用“共乘”4小时构建方程求解．

5.环形问题

6．环城自行车赛,最快的人在开始4８分钟后遇到最慢的人,已知最快的人的速度是最慢的人速度的３

倍,环城一周是20千米,求两个人的速度.

【答案与解析】

解;设最慢的人速度为x 千米/时，则最快的人的速度为

x 千米/时， 由题意得:

ｘ×

－x×

=20

解得：x=10

答：最快的人的速度为３5千米/时，最慢的人的速度为10千米/时．

【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周20千米.相等关系为：最快的人骑的路程-最慢人骑的路程=20千米. 举一反三:

【变式】两人沿着边长为90ｍ的正方形行走,按A →B →C →D →A …方向,甲从Ａ以６5m/ｍin 的速度,乙从B 以72m/m ｉn 的速度行走,如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上?

【答案】

解：设乙追上甲用了x 分钟，则有: 72x -６５ｘ=3×９0 270

7

x =

（分） 答：乙第一次追上甲时走了270

7227777

?

≈(m ) 此时乙在ＡD 边上 类型三、工程问题

7．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管９小时可将满池水排空,若先将甲、乙管同时开放２小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池? 【答案与解析】

解：设再过x 小时可把水注满．由题意得：

11111

()2()168689

x +?++-= 解得:30421313

x ==． 答:打开丙管后4

213

小时可把水放满．

【点评】相等关系：甲、乙开2h 的工作量＋甲、乙、丙水管的工作量＝1． 举一反三：

【变式】收割一块水稻田,若每小时收割４亩，预计若干小时完成，收割

2

3

后,改用新式农机,工作效率提

高到原来的112

倍，因此比预计时间提早１小时完成,求这块水稻田的面积． 【答案】

解：设这块水稻田的面积为ｘ亩，由题意得：

21331144142

x x x =++?

解得：36x =.

答:这块水稻田的面积为３６亩．

类型四、配套问题(比例问题、劳动力调配问题）

8.某工程队每天安排120个工人修建水库,平均每天每个工人能挖土5 m 3或运土３ m ３

，为了使挖出的土及时被运走,问:应如何安排挖土和运土的工人? 【答案与解析】

解:设安排x 人挖土，则运土的有(120-ｘ)人，依题意得：

5x ＝３(120－x ）, 解得ｘ＝45． １２０-45=７5(人).

答:应安排45人挖土,75人运土．

【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等． 举一反三：

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 配制问题】

【变式】某商店选用A 、B 两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售,为使这种杂拌糖果的售价是每千克2５元，要配制这种杂拌糖果10０千克,问要用这两种糖果各多少千克？ 【答案】

解:设要用A 种糖果ｘ千克，则B 种糖果用（１00-x)千克.依题意，得:

28x+20(1００-x)＝25×１00 解得：x ＝62.５.

当ｘ=62.5时,100-x ＝37．5.

答:要用A 、B 两种糖果分别为６2.5千克和37.5千克.

实际问题与一元一次方程(二）（基础）知识讲解

【学习目标】

(1）进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程； （2）熟悉利润,存贷款,数字及方案设计问题的解题思路. 【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题???

→分析抽象方程???→求解检验

解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答.

要点诠释: (1）“审”是指读懂题目，弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系,寻找等量关系. (２)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x ,但有时也可以间接设未知数.

（３）“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程,同时注意方程两边是同一类量，单位要统一． （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时,及时指出，舍去即可． (6）“答”就是写出答案,注意单位要写清楚．

要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续)

１.利润问题 （１）=

100%?利润

利润率进价

（２) 标价=成本(或进价)×（1+利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率

(４) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率

注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时,是盈利;当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售. 2．存贷款问题

(1)利息=本金×利率×期数

(２)本息和（本利和）＝本金＋利息=本金＋本金×利率×期数＝本金×（1+利率×期数) (3）实得利息=利息－利息税 (4）利息税=利息×利息税率 （5)年利率=月利率×1２ (6)月利率=年利率×

12

1

3.数字问题

已知各数位上的数字,写出两位数,三位数等这类问题一般设间接未知数，例如:若一个两位数的个位数字为a ,十位数字为b ，则这个两位数可以表示为1０ｂ+a ． ４．方案问题

选择设计方案的一般步骤:

(1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．

（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 【典型例题】

类型一、利润问题

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(二) 利润问题例2】

1．以现价销售一件商品的利润率为30%，如果商家在现有的价格基础上先提价4０%,后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗?为什么? 【答案与解析】

解:设该商品的成本为ａ元,则商品的现价为（１＋30%)ａ元，依题意其后来折扣的售价为(１＋3０%）a ·(１+4０％)(1-5０%)=0.91a .

∵0.91a －ａ=－０．０9a ，

∴

0.09a

a

-·１00%=-9%. 答:商家不仅没有利润,而且亏损的利润率为9％.

【总结升华】解答此类问题时,一定要弄清题意.分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要．

举一反三:

【高清课堂:实际问题与一元一次方程(二）388413利润问题例３】

【变式1】某个商品的进价是500元,把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住1２%的利润率搞促销活动,请你计算一下广告上可写出打几折？ 【答案】

解：设该商品打ｘ折,依题意,则: 500（1＋４0%）·

10

x

=500（1+１２%). ｘ=

10 1.12

1.4

=８． 答：该商品的广告上可写上打八折.

【变式２】张新和李明相约到图书大厦去买书,请你根据他们的对话内容(如图所示),求出李明上次所买书籍的原价.

【答案】

解:设李明上次购买书籍的原价为ｘ元,由题意得:0．8x+２０=x -1２， 解这个方程得:x =160.

答:李明上次所买书籍的原价是1６0元．

类型二、存贷款问题

２.爸爸为小强存了一个五年期的教育储蓄,年利率为２.7％,五年后取出本息和为170２５元,爸爸开始存入多少元. 【答案与解析】

解:设爸爸开始存入ｘ元．根据题意,得x ＋x×2.７％×5＝17025. 解之，得x ＝１50０0

答：爸爸开始存入150０0元.

【总结升华】本息和＝本金+利息,利息＝本金×利率×期数.

类型三、数字问题

3.一个三位数，十位上的数是百位上的数的2倍,百位、个位上的数的和比十位上的数大２,又个位、十位、百位上的数的和是１4，求这个三位数. 【答案与解析】

解：设百位上的数为ｘ，则十位上的数为2x ，个位上的数为1４-２ｘ-x

由题意得：x+１4-２ｘ-x=２x+２ 解得：x=3 ∴ x=3， 2x=6,１４-２x －x ＝5 答：这个三位数为3６5

【总结升华】在数字问题中应注意：(１)求的是一个三位数,而不是三个数;（2)这类应用题,一般设间接未知数,切勿求出ｘ就答;(3) 三位数字的表示方法是百位上的数字乘以1０0，10位上的数字乘以1０,然后把所得的结果和个位数字相加．

举一反三:

【变式】一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大４，这个两位数又是这两个数字的和的４倍,求这个两位数.

【答案】

x+），由题意得：

解：设十位上的数字为x，则个位上的数字为（4

++=++?

x x x x

10(4)[(4)]4

x=

解得：4

∴?++=

410(44)48

答：这两位数是48.

类型四、方案设计问题

4.为鼓励学生参加体育锻炼.学校计划拿出不超过１600元的资金再购买一批篮球和排球.已知篮球和排球的单价比为3:2，单价和为８０元.

（1)篮球和排球的单价分别是多少元?

(２）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个,且购买的篮球数量不少于26个．请探究有哪几种购买方案?

【答案与解析】

解:(１)设篮球和排球的单价分别为3ｘ元和2ｘ元.

依题意3x+2ｘ=80,解得x＝１6

即3x=48，2ｘ=3２

答：篮球和排球的单价分别为48元和32元．

类别

篮球(x个) 排球(36-x)个合计(元）

方案

（１）2６10 1568

(2)27 9 1584

（３)２8 ８１600

(４）29 7 １616

由列表可知，共有三种购买方案:

方案一:购买篮球26个,排球１0个;

方案二:购买篮球27个，排球9个；

方案三:购买篮球28个,排球８个．

【总结升华】本例设未知数的方法很独特，值得借鉴.采用列表的方法探索方案,值得学习．

举一反三:

【变式】(武昌区期末调考)某校组织1０位教师和部分学生外出考察，全程票价为２5元,对集体购票，客运公司有两种优惠方案可供选择：方案一：所有师生按票价的8８%购票；方案二:前20人购全票，从第21人开始，每人按票价的80%购票．

（1）若有30位学生参加考察，问选择哪种方案更省钱？

(2）参加考察的学生人数是多少时,两种方案车费一样多？

【答案】

解：设有x 位学生参加考察．

按方案一购票费用为:25×88%(１０+x ）=2２ｘ＋2２０

按方案二购票费用为：２０×２5+25×80%(x+1０-2０)=20x+30０ (１)当ｘ＝30时:

22x+220=66０+2２０=８８0(元) 20x+30０=６00＋300=9０0(元)

答:当有3０位学生参加考察，选择方案一更省钱. (2)设2２x+２2０＝２０x+300，解得:x =４0

答：参加考察的学生人数为40人时，两种方案车费一样多.

实际问题与一元一次方程(二）（提高）知识讲解

【学习目标】

(1）进一步提高分析实际问题中数量关系的能力,能熟练找出相等关系并列出方程; （2)熟悉利润,存贷款,数字及方案设计问题的解题思路． 【要点梳理】

要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题???

→分析抽象方程???→求解检验

解答.由此可得解决此类问题的一般步骤为:审、设、列、解、验、答.

要点诠释：

（1)“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系,寻找等量关系.

(2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程,同时注意方程两边是同一类量，单位要统一． （4）“解”就是解方程,求出未知数的值． (5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可. （6)“答”就是写出答案,注意单位要写清楚．

要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续)

1.利润问题 （１）=

100%?利润

利润率进价

(2) 标价=成本（或进价）×(1+利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率

(4) 利润=售价-成本(或进价)=成本×利润率

注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时,是盈利；当右边为负时,就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售. 2．存贷款问题

（１)利息＝本金×利率×期数

（２)本息和(本利和)＝本金+利息=本金+本金×利率×期数＝本金×（1＋利率×期数) (3)实得利息=利息-利息税 (4)利息税=利息×利息税率

(5）年利率=月利率×12

（6）月利率=年利率×

12

1

3.数字问题

已知各数位上的数字,写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a,十位数字为b，则这个两位数可以表示为10ｂ+a．

4．方案问题

选择设计方案的一般步骤:

（1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．

(2）用特殊值试探法选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值,比较两种方案的优劣性后下结论．【典型例题】

类型一、利润问题

1．文星商店以每支4元的价格进100支钢笔,卖出时每支的标价6元,当卖出一部分钢笔后,剩余的打９折出售，卖完时商店赢利188元，其中打9折的钢笔有几支?

【答案与解析】

解：设打折的钢笔有x支，则有：

6(１00－x)+6×90%ｘ＝10０×4+188

解得ｘ=２0

答：打9折的钢笔有20支．

售价数量售出总价

按标价出售 6 1０0-x 6(１00-x)

剩余的打折出售6×9０% x 6×9０%x

建方程的,其结果一样．

举一反三:

【高清课堂:实际问题与一元一次方程(二) ３８84１３思考与研究1】

【变式】某种商品的标价为90０元，为了适应市场竞争，店主打出广告:该商品九折出售，并返100元现金．这样他仍可获得10％的利润率（相对于进货价)，问此商品的进货价是多少?(用四舍五入法精确到个位）

【答案】

解：设此商品的进货价为ｘ元,依题意,得：

（90０×0.9-100）－ｘ=1０%x，

得：x=

5

645

11

∴ｘ≈645．

答：此商品的进价约为645元.

类型二、存贷款问题

2．某公司从银行贷款20万元,用来生产某种产品,已知该贷款的年利率为1５%(不计复利),每个产品成本是3.2元,售价是5元，应纳税款为销售款的１０％．如果每年生产1０万个,并把所得利润（利润=售价－成本-应纳税款)用来偿还贷款,问几年后能一次性还清?

【答案与解析】

解：设ｘ年后能一次性还清贷款,根据题意,

得(5-3.2－5×10％)·10x=20+20×15%x.

解之，得x=2.

答:所以２年后能一次性还清贷款.

【总结升华】解答本题利用了类比的数学方法,把贷款与存款相类比，贷款金额相当于存款本金，贷款的年利率相当于存款的年利率,每年产品的利润＝售价－成本－应纳税款，产品的总利润等于本息和. 举一反三:

【高清课堂:实际问题与一元一次方程(二) 388４1３ 贷款问题】

【变式】小华父母为了准备她上大学时的16000元学费,在她上初一时参加教育储蓄，准备先存一部分，等她上大学时再贷一部分．小华父母存的是六年期（年利率为2．８８％），上大学贷款的部分打算用8年时间还清（年贷款利息率为６.２1%)，贷款利息的50%由政府补贴.如果参加教育储蓄所获得的利息与申请贷款所支出的利息相等,小华父母用了多少钱参加教育储蓄？还准备贷多少款? 【答案】

解:设小华父母用x 元参加教育储蓄，依题意，

x ×2.88％×6=（16000-x )×6.21%×8×50％， 解得， ｘ≈94３6(元) 16000-94３６＝656４（元).

答:小华父母用9４３6元参加教育储蓄，还准备贷6５６4元.

类型三、数字问题

3．一个两位数，十位数字比个位数字的４倍多1,将这两个数字调换顺序所得的数比原数小６3，求原数.

【答案与解析】

解：设这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为4x ＋1．根据题意得:

10（4x+1）＋x =10x+（4ｘ＋1)+6３，

解得x =２,

∴ 4x+1＝4×２+1=９，故这个两位数为９2． 答： 这个两位数是92．

【总结升华】在数字问题中应注意：（1）求的是一个两位数，而不是两个数；(２)这类应用题,一般设间接未知数，切勿求出x 就答；(3)两位数的表示方法是10位上的数字乘以10，把所得的结果和个位数字相加

类型四、方案设计问题

４．某牛奶加工厂有鲜奶９吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润5０0元,制成酸奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工１吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕．为此,该厂某领导提出了两种可行方案: 方案1:尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶;

方案２：将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成． 你认为选择哪种方案获利最多,为什么? 【答案与解析】 解：（1）若选择方案1,依题意,

总利润=２000元×４+500元×(9-4）=105０0元． (2)若选择方案２．

设将ｘ吨鲜奶制成奶片，则用（9－x )吨鲜奶制成酸奶销售,

依题意得,

9413

x x -+=， 解得 1.5x =.

当 1.5x =时,97.5x -=．

总利润=20００元×1．5+120０元×７.5＝１2０00元． ∵ 1200０＞10500， ∴ 选择方案2较好.

答:选择方案2获利最多,只要在四天内用7.5吨鲜奶加工成酸奶,用1.5吨的鲜奶加工成奶片.

【总结升华】如果题目中的数量关系较复杂,常借助列表，画线段图,示意图等手段帮助我们理顺题目中的数量关系，列出方程.例如本题方案2中,设将ｘ吨鲜奶制成奶片,则列表如下:

. 举一反三：

【变式1】商场出售的A 型冰箱每台售价21９0元,每日耗电量为1度,而B 型节能冰箱每台售价比Ａ型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度.现将A 型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的

1

10

),问商场将A 型冰箱打几折，消费者买A 型冰箱10年的总费用与B 型冰箱10年的总费用相当(每年3６5天，每度电按0.40元计算）. 【答案】

解：设商场A 型冰箱打x 折，依题意，买A 型冰箱需219０×

10

x

元，10年的电费是365×１０×1×0.4元;买B 型冰箱需21９０×(1+10％）元,10年的电费是3６５×10×０.5５×0．4元,依题意，得: 2１9０×

10

x

＋365×１0×１×0．4＝21９0×（１+１0%)+3６5×10×０.55×0．4 解得:ｘ＝8

答:商场将A 型冰箱打8折出售，消费者买Ａ型冰箱10年的总费用与B 型冰箱10年的总费用相当． 【变式２】某市居民生活用电的基本价格为每度0.４0元，若每月用电量超过a 度,超出部分按基本电价的7０%收费.

(１）某户五月份用电84度,共交电费3０．72元，求a;

（2)若该户六月份的电费平均每度0.36元，求六月份共用电多少度?应交电费多少元? 【答案】

解: (1)根据题意，得0.40a+0.40×７0%×(84-a )＝３0.72. 解得：a =６０．

(2）设该户六月份共用电x 度，因0.3６＜0．４0,所以x>60,于是超出部分电量为(x -6０)度，依

题意,得：0.４0×60＋0.４×７0%（x -60)=0．３6x. 解得：x =90.

所以0.３6x ＝0.3６×90＝32.４0元．

答：(1)a ＝60；(２）该用户六月份共用电90度,应交电费32.4０元．