立体几何平面的基本性质
一、知识点：
1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45o ，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画(面实背虚)②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC 等
3．空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形 符号语言 文字语言（读法） 图形 符号语言 文字语言（读法）
A a A a ∈点A 在直线a 上 a α
a α? 直线a 在平面α内 A a A a ?点A 不在直线a 上 a αa α=?I 直线a 与平面α无公共点
A
αA α∈点A 在平面α内 a A αa A α=I 直线a 与平面α交于点A
A αA α?点A 不在平面α内 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点
l αβ=I 平面α、β相交于直线l
α?a （平面α外的直线a ）表示a α=?I （a αP ）或a A α=I
4 平面的基本性质
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
推理模式：A AB B ααα∈????∈?． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．
公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
推理模式：A l A ααββ∈??=?∈?
I 且A l ∈且l 唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上
公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．
B
A α
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推理模式：,, A B C 不共线?存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈
应用：①确定平面；②证明两个平面重合
“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 5 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形
6公理的推论：
推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.
推理模式：A a ??存在唯一的平面α，使得A α∈，l α?
推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面
推理模式：P b a =I ?存在唯一的平面α，使得,a b α?
推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面
推理模式：//a b ?存在唯一的平面α，使得,a b α?
二、基本题型：
1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是（ ）
A ．∵αα∈∈
B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βαI ．
C ．∵α?∈a a A ,，∴A α∈．
D ．∵α??a a A ,，∴α?A ．
2．下列推断中，错误的是（ ）
A ．ααα??∈∈∈∈l
B l B A l A ,,,
C ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A,B,C 不共线βα,?重合
B ．AB B B A A =?∈∈∈∈βαβαβαI ,,, D ．αα??∈?A l A l ,
3．两个平面把空间最多分成___ 部分，三个平面把空间最多分成__部分．
4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）
（3）两条直线可以确定一个平面（ ）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）
（5）两条相交直线可以确定一个平面（ ）（6）三条平行直线可以确定三个平面（ ）
（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）（8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）
5．看图填空 （1）AC ∩BD = （4）平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD =
O D B A
（2）平面AB 1∩平面A 1C 1= （5）平面A
1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C =
（3）平面A 1C 1CA ∩平面AC = （6）A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1= 6
6．选择题
（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ）A 三角形B 菱形 C 梯形 D 四边相等的四边形
（2）空间四条直线每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ）A 1个 B 4个C 6个 D 8个
（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要
7．已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面.
答案：1. C 2. D 3. 2,4,8 4. ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×
5.⑴O ⑵A 1B 1⑶O ⑷OO 1⑸B 1⑹B 1
6. 答案：⑴ D ⑵ C ⑶ D
7. 证明：因为a //b ，由推论3，存在平面α，使得,a b αα??
又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，由公理1，d α?
下面用反证法证明直线c α?：
假设c α?，则c C α=I ,在平面α内过点C 作c b 'P ，
因为b //c ，则c c 'P ，此与c c C '=I 矛盾.故直线c α?.
综上述，a 、b 、c 、d 四线共面.
c'b
a
d c
α
C B A
高中数学立体几何线面垂直的证明
立体几何证明 【知识梳理】 1. 直线与平面平行 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行?线面平行”） 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行?线线平行”） 2.．直线与平面垂直 判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直?线面垂直”） 判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. 性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 （线面垂直?线线垂直） 性质2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 三。平面与平面 空间两个平面的位置关系：相交、平行. 1. 平面与平面平行 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行?面面平行”） 2. 两个平面垂直 判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直?面面垂直”） 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直?线面垂直）
知识点一 【例题精讲】 1.在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点。 （1）求证：EF//平面11D ABC ；（2）求证： 平面B 11D C C B 1⊥ EF C B 1⊥； （3）求三棱锥EFC B -1的体积V. 2.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的 中点, PA ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V . 3、如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点，证明： （1）AE ⊥CD （2）PD ⊥平面ABE ．
立体几何中组合问题的几种解法
立体几何中组合问题的几种解法 解决几何组合问题时，应准确灵活使用加法原理和乘法原理，要分类分步进行，做到不重复不遗漏。 1 直接求解法 例1：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有多少种? 分析：正面考虑本题各步骤的方法比较复杂，计算困难，应运用逆向思维，即先考虑从10个点任意取出4个点的方法，再减去从10个点中取出4点共面的的方法即可。 解：从10个点中找出4个点的方法有Ｃ410=210种，其中在四面体的四个面内各有6个点，取出共面的4个点的方法有4Ｃ4■=60种；相邻面各棱的中点4点共Ｃ410面的有3种；一条棱上三点与其相对棱中点也共面，共6种。 ∴所求方法N=210-60-3-6=141(种) 本题应注意“哪些点共面?”共有几种情况?[1] 例2：从平面Ⅱ上取6个点，再从平面B上取4个点，这10个点最多可确定多少个三棱锥? 解法①：分三种情况考虑：第一种情况从平面a上的6个点中任取一个再与从平面β上的4个点中任取3个点构成的三棱锥有Ｃ1■Ｃ■■个；第二种情况，从平面a上的6个点中任取2个与平面13上的4个点中任取2个点构成的三棱锥有Ｃ2■Ｃ2■个；第三种情况，从平面a上的6个点中任取3个点与平面β上的4个点中任取1个点构成的三棱锥有Ｃ■■Ｃ1■个。根据加法原理共有Ｃ1■Ｃ■■+Ｃ2■Ｃ2■ +Ｃ■■Ｃ1■ =24+90+80=194(个)。 解法②：逆向思维：从10个点中任取4个点的组合数Ｃ410中，去掉4个点共面的两种情况即4点在平面a上的Ｃ4■个，4点在平面β上的Ｃ4■个。其余的任4点都能构成一个三棱锥。因此，可构成三棱锥Ｃ410-Ｃ4■-Ｃ4■=210-15-1=194(个)。 2 从几何概念上求解［2］ 例3：空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，其余无四个点共面，则这些可以组成四棱锥的个数有多少个? 此题易错解，仿上例。
专题平面几何之圆的性质问题
备考2020中考数学高频考点剖析 平面几何之圆的性质问题 （1）垂径典例相关问题； （2）圆心角相关问题； （3）圆周角相关问题． 考点剖析 例1（2018·湖北荆州·3分）如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B （0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，∵A（8，0），B（0，6）， ∴AO=8，BO=6， ∵∠BOA=90°， ∴AB==10，则⊙P的半径为5， ∵PE⊥BO， ∴BE=EO=3， ∴PE==4， ∴ED=9， ∴tan∠BOD==3． 故选：B． 例2（2018?乐山?3分）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最
高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？” 如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（） A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸 解：设⊙O的半径为r． 在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸．故选C． 例3（2018·四川自贡·4分）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（） A． B． C． D． 【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R． 【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD， 则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°， ∴∠CBD=30°， ∵BD=2R， ∴DC=R， ∴BC=R， 故选：D．
(完整版)高中立体几何证明垂直的专题训练
高中立体几何证明垂直的专题训练 深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。 （2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 （3） 利用勾股定理。 （4） 利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。 (1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB= 2 1 DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC. 分析：取PC 的中点F ，易证AE//BF ，易证 B F ⊥平面PDC 2．如图，四棱锥P －ABCD ABCD ，∠PDA=45°，点E 为棱AB 的中点． 求证：平面PCE ⊥平面PCD ； 分析：取PC 的中点G ，易证EG//AF ，又易证A F 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD （第2题图）
3、如图所示，在四棱锥P ABCD -中， AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点，F 是CD 上的点，且 1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 （1）证明：PH ABCD ⊥平面； （2）若121PH AD FC ===，，，求三棱锥E BCF -的体积； （3）证明：EF PAB ⊥平面. 分析：要证EF PAB ⊥平面，只要把FE 平移到DG ，也即是取AP 的中点G ，易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PAB 4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形 ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, P A ＝AD 。 证明: BE PDC ⊥平面; 分析：取PD 的中点F ，易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC （2）利用等腰三角形底边上的中线的性质 5、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，AP BP AB ==， PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； A C B P
平面的基本性质(一)
平面的基本性质(一) 教学目的： 1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面” 2理解平面的无限延展性 3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系 4初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化 教学重点：掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示理解平面的无限延展性 教学难点：（1）理解平面的无限延展性;（2）集合概念的符号语言的正确使用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础平面，是现实世界存在着的客观事物形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用 “立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力 本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点在进行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用 9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识教师应该认识到培养学生的空间想象力主要是通过对图形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何 为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形 这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图 教学过程： 一、复习引入： 在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形平面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形 当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立例如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等有些性质在研究范围扩大到空间后，是否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？ 二、讲解新课： 1．平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度） 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分
2020高考数学专题复习----立体几何专题
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 全方位教学辅导教案 线面垂直的判定及其性质 ●知识要点 1.线面垂直 （1）定义： 如果直线l 与平面α的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足. （2）判定定理：（线线垂直→线面垂直） 一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. ☆ 符号语言：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m α，n α，则l ⊥α. （3）性质定理：（线面垂直→线线平行） 垂直于同一个平面的两条直线平行. 2.二面角 （1）定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－） （2）二面角的平面角： 在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角. 围：000180θ<<. 3.面面垂直 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥. （2）判定定理：（线面垂直→面面垂直） 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （3）性质定理：（面面垂直→线面垂直） 两个平面垂直，则一个平面垂直于交线的直线与另一个平面垂直. “垂直关系”常见证明方法 （一）直线与直线垂直的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如直角三角形的两条直角边互相垂直等。 6、如图，在四棱锥P－ABCD中， PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝ AB＝BC，E是PC的中点． (1)求证：CD⊥AE；(2)求证：PD⊥面ABE. 题型二、面面垂直的判定与性质 1、如图AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC垂直平面PBC。 2、如图，棱柱111 ABC A B C - 的侧面11 BCC B 是菱形， 11 B C A B ⊥ 证明：平面 1 AB C⊥平面 11 A BC； 3、已知：如图，将矩形ABCD沿对角线BD将BCD折起，使点C移到点 1 C，且1 C AB D O AB 在平面上的射影恰好在上。 1 1 (2). BDC ⊥ ⊥ 1 1 （）求证：AD BC 求证：面ADC面 高中立体几何教案第一章直线和平面平面的基本性质之一教案 教学目标 1．了解三个公理及公理3的三个推论； 2．了解推论1的证明过程． 教学重点和难点 公理3的引入与掌握及推论1的证明是教学的重点也是教学的难点． 教学设计过程 师：上节课我们讲过平面是原名，没有方法定义，所以平面的性质只能以公理的形式给出，我们今天就来研究以公理形式给出的平面的性质． （当教师说完上述话后，拿出一根小棍作为直线的模型，一矩形硬纸板作为平面的模型，让学生自己也拿同样的模型，师生一起观察．然后，再提出问题） 师：直线与平面有几种位置关系？ 生：有三种位置关系：平行，相交，在平面内． 师：相交时，直线与平面有且只有几个公共点？ 生：有且只有一个公共点． 师：当直线与平面有几个公共点时，我们就能判定直线在平面内？ 生：只要有两个公共点． 师：对，这就是公理1．（同时板书） 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（如图1） 这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线． 师：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中．我们只把点作为基本元素，于是直线、平面都作为“点的集合”，所以： 点A在直线a上，记作A∈a； 点A在平面α内，记作A∈α； 所以公理1用集合符号为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则 公理2可用如下方法引入：教师用矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题． 师：看模型，能否说这两个平面只有一个公共点？ 生：不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线． （这时教师用手动矩形硬纸板，表示同意学生的意见，并说） 师：我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解．（同时板书） 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．（如图2） 1 / 4word. 立体几何中的排列组合问题解法举隅 立体几何中的排列组合问题在近年的高考数学试题中出现的频次较高，且常考常新. 因为解决这类问题不仅要具备排列组合的有关知识，而且还要具备较强的空间想象能力. 因而是一类既富思考情趣，又融众多知识和技巧于一体且综合性强、灵活性高、难度颇大的挑战性问题. 解决这类问题的关键是明确形成几何图形的元素，并与排列组合形成对应关系，转化为排列组合问题，同时还要注意避免重复和遗漏. 下面结合具体例子谈谈这类问题的求解方法，供参考. 一、分步求解 例1 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ） A. 12对 B. 24对 C. 36对 D. 48对 解 由于六棱锥的6条侧棱交于一点, 底面六边形的6条边共面, 因而只能将侧 棱与底边相搭配. 第一步, 从6条侧棱中任取一条有1 6C 种; 第二步, 从底面6 条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条有14C 种, 由乘法原理知有1416C C =24对, 故选B. 二．分类求解 例2 四边形的一个顶点为A, 从其它顶点与各棱的中点中取3点, 使它们和点A 在同一平面上, 不同取法有( ) A. 30种 B. 33种 C. 36种 D. 39种 解 符合条件的取法可分为两类: ①4个点(含A)在同一个侧面上,有3033 5 C 种；②4个点（含A ）在侧棱与对棱中点的截面上，有3种. 由加法原理知不同取法共有33种，故选B. 例3 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法种数是＿＿＿＿＿＿. 圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 确定一个圆 不在同一直线上的三点点与圆的位置关系 圆的性质 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性 四 概念解析 1、 圆的定义，有两种方式： 错误！未找到引用源。在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心，以O 为圆心的圆记作O ，线段OA 叫做半径； 错误！未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念： 错误！未找到引用源。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示 线段AB ，BC ，AC 都是弦； 错误！未找到引用源。直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦； 错误！未找到引用源。弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简 称弧，如曲线BC,BAC 都是O 中的弧，分别记作BC 和BAC ； 错误！未找到引用源。半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成 两条弧，每条弧都叫做半圆，如AC 是半圆； 错误！未找到引用源。劣弧和优弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC 这样大于 半圆周的圆弧叫做优弧； 错误！未找到引用源。同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆； 错误！未找到引用源。弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形； 错误！未找到引用源。等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧； 错误！未找到引用源。圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；∠ 错误！未找到引用源。 圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。 错误！未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。 注意 (1)直径CD ，（2）CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若 上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB 不能为直径）。 错误！未找到引用源。弧，弦，圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等； 错误！未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示，C 是⊙O 上一点，O 是圆心，若80AOB =∠，求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O 资源信息表 （3）平面及其基本性质 ——三个公理三个推论的应用 上海市南洋中学马亚萍一、教学内容分析 本节课的重点是三个公理三个推论的应用.在上一节概念课 的基础上，让学生充分理解三个公理三个推论，能灵活运用三个 公理三个推论进行证明. 公理2说明了如果两个平面相交，那么它们就交于一条直线. 它的作用是：①确定两个平面的交线，即先找两个平面的两个公 共点，再作连线.②判定两个平面相交，即两平面只要有一个公 共点即可.③判定点在直线上，即点是某两平面的公共点，线是 这两平面的公共直线，则这个点在这条直线上. 公理3及其三个推论是空间里确定平面的依据，它提供了把 空间问题转化为平面问题的条件. 二、教学目标设计 理解三个公理三个推论，利用三个公理三个推论来解决共面、共点、共线问题，培养严密的逻辑推理能力. 三、教学重点及难点 利用三个公理三个推论解决共面、共点、共线问题 四、教学流程设计 五、教学过程设计 （一）复习上节课的概念，三个公理三个推论 1）若B ,AB A C αα∈∈∈平面，平面直线，则（ A ） A 、C α∈ B 、C α? C 、AB α? D 、AB C α?= 2）判断 ①若直线a 与平面α有公共点，则称a α?. （×） ②两个平面可能只有一个公共点. （×） ③四条边都相等的四边形是菱形. （×） ④若A 、B 、C α∈，A 、B 、C β∈，则,αβ重合. （×） ⑤若4点不共面，则它们任意三点都不共线. （√） ⑥两两相交的三条直线必定共面. （×） 3）下列命题正确的是（ D ） A 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形. B 、四条线段顺次首尾连接所构成的图形一定是平面图形. C 、三条互相平行的直线一定共面. D 、梯形是平面图形. 4）不在同一直线上的5点，最多能确定平面（ C ） A 、8个 B 、9个 C 、10个 D 、12个 5）两个平面可把空间分成 3或4 部分 ； 三个平面可把空间分成 4、6、7或8 部分. （二）证明 1、共面问题 例1 已知直线123,,l l l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线123,l l l 和在同一平面上. 证明：设13231213,,,,l l A l l B l l C l l A ?=?=?=?= l 3 l 2 B C l 1 A 例析立体几何中的排列组合问题 春晖中学过月圆 在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了《考试大纲》要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举立体几何中排列、组合问题的几个例子。 1 点 1．1 共面的点 例1（1997年全国高考（文）） 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（） A．30种 B．33种 C．36种 D．39种 解析：四面体有4个顶点，6条棱有6个中点，每个面上的6个点共面。点A所在的每个面中含A的4点组合有个，点A在3个面内，共有个组合；点A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面。 所以与点A共面的四点组合共有个。 答案：B 点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属97文科试题中难度最大的选择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的3点与它对棱上的中点共面的情况计算在内。 1．2 不共面的点 例2（1997年全国高考（理）） 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（） A．150种 B．147种 C．144种 D．141种 解析：从10 个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类：第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形，它的4个顶点共面，有3种。 以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有种。答案：D。 点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧及分类讨论的数学思想。 2 直线 例3（2005年全国高考卷Ⅰ（理）） 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（） A．18对 B．24对 C．30对 D．36对 分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树图法。 解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。 例：与AB异面的直线分别是B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。 侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线； 例：与BB1异面的直线分别是AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5条与其异面的直线； 平面几何基础知识教程（圆） 一、几个重要定义 外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心 内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心 垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心 凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如下图） （折四边形） 二、圆内重要定理： 1．四点共圆 定义：若四边形ABCD的四点同时共于一圆上，则称A，B，C，D四点共圆基本性质：若凸四边形ABCD是圆内接四边形，则其对角互补 证明：略 判定方法： 1．定义法：若存在一点O使OA=OB=OC=OD，则A，B，C，D四点共圆2．定理1：若凸四边形ABCD的对角互补，则此凸四边形ABCD有一外接圆证明：略 特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时，此四边形有一外接圆3．视角定理：若折四边形ABCD中，∠=∠ ADB ACB，则A，B，C，D四点共圆 证明：如上图，连CD，AB，设AC与BD交于点P 因为∠=∠ ADB ACB，所以 180 = ∠=∠ ∠=∠ ∠+∠=∠+∠+∠= ∠+∠+∠= ΔCPB∽ΔDPA 所以有 再注意到 因此Δ∽Δ 因此 由此 （ΔABD的内角和） 因此A，B，C，D四点共圆 PC PB PD PA CPD BPA CPD BPA PCD PBA BCD BAD BCA PCD BAD BDA PBA BAD 特别地，当∠=∠ ADB ACB=90时，四边形ABCD有一外接圆 2．圆幂定理： 圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。相交弦定理：P是圆内任一点，过P作圆的两弦AB，CD，则PA PB PC PD ?=? 证明： 全方位教学辅导教案 5、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，,AB AC PA ABCD ⊥⊥平面，且 PA AB =,点E 是PD 的中点。 ⑴求证：AC PB ⊥； ⑵求证：PB AEC ∥平面； 6、 如图，在四棱锥P －ABCD 中， PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ， ∠ABC ＝60°，PA ＝ AB ＝BC ，E 是PC 的中点． (1)求证：CD ⊥AE ；(2)求证：PD ⊥面ABE. 题型二、面面垂直的判定与性质 1、如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点，求证：平面PAC 垂直平面PBC 。 2、如图，棱柱 111 ABC A B C -的侧面 11 BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC ； 3、已知：如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 将BCD 折起，使点C 移到点1C ，且 1C ABD O AB 在平面上的射影恰好在上。 11(2). BDC ⊥⊥1 1（）求证：AD BC 求证：面ADC 面 4、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 5、已知四面体ABCD 中，CD BD AC AB ==,,平面⊥ABC 平面BCD ,E 为棱BC 的中点。 （1）求证：⊥AE 平面BCD ; （2）求证：BC AD ⊥; 6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC. O B C 1 A D C 教学过程 —、复习预习 思考：1、直线的性质,平面的性质 2、直线在一个平面内的判定？ 3、直线与直线相交与两个平面相交的区别 4、三角形的稳走性指的是什么？ 二知识讲解 考点］ 公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内? 考点2 公理2 :如果两个平面有一个公共点，那么它们还有具他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的F直线? 考点3 公理3 :经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面? 推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面； 推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面； 推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理的用途 公理1:①证明点在平面内；②证明直线在平面内? 公理2 :①确走两个平面的交线；②证明三点共线或三线共点? 公理3 :①确走一个平面的条件；②证明有关的点线共面问题? 考点4 公理4平行于同一条直线的两条直线平行.它给出了平面中直线平行的传递性在空间也成立. 考点5 异面直线的判走异面直线所成的角 三.例题精析 【例题1］如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别在AB、BC、 CD、AD 上，且满足AE : EB=CF : FB=2 :1 , CG : GD= AH : HD=3 : 1 ,过E、 F、G的平面交AD于H ,连接EH.求证:EH、F G、BD三线共点. 1 〃— 证明T AE : EB=CF : FB=2 : 1 /. EF= 3 AC ; 又. CG : GD= AH : HD=3 : l t 丄 .-.GH =4 AC ;则EF//GH且EFHGH , ???四边形EFGH为梯形.令EHCIFG=P ,则PeEH，而EHu平面ABD , PeFG r FG<=平面BCD f平面ABDA平面BCD=BD r .??PVBDJ.EH、FG、BD 三线共点. 【例题2］如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上,且满足AE : EB = CF:FB=2:1 # CG : GD=3 :1,过E. F x G 的平面交AD 于H? 专题13 立体几何中的截面 【基本知识】 1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。 2、正六面体的基本斜截面： 3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。 【基本技能】 技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； 技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等； 技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。 例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能 ．．． 是（） 分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。 例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值； 其中正确的命题序号是______________ A C B D 分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为 BC BF BE V ??= 2 1 水是定值，又BC 是定值，所以BE ·BF 是定值，即④正确。所以正确的序号为①③④. 例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ） A ． 21 B ．87 C ．12 11 D ．4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为 8 7 12121211=???- =V 立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为1211 112121311=????-=V ， 故选C 。 例4 正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是P 在底面上的射影，6, PO Q =是 AC 上的一点，过Q 且与, PA BD 都平行的截面为五边形EFGHL ，求该截面面积的最大值. C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图（1） C 1 A B C D A 1 D 1 B 1 E G F 图（2） 平面的基本性质及推论 一 教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用 教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用 教学过程： （一） 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内 1、直线与平面的位置关系 2、符号:点A 在直线上,记作a A ∈, 点A 在平面α内,记作α∈A , 直线a 在平面α内,记作α?a （二） 公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合 是一条过这个公共点的直线. 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作l =?βα. （三） 公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. （四） 问题： (1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内? (2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么? (3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个? (4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个? (5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (五)给出几个正方体作出截面图形 课堂练习：教材第40页 练习A 、B 小结： 本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题. 2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题. 3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化. 课后作业：略 平面的基本性质及推论 二 教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用 教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用 教学过程： 立体几何垂直的证明 类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） （1）共面垂直：掌握几种模型 ①等腰（等边）三角形中的中线 ②菱形（正方形）的对角线互相垂直 ③勾股定理中的三角形 ④ 直角梯形 ⑤利用相似或全等证明直角。 【例1】在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心， E 为1CC 中点,求证： (1) 1A O OE ⊥ (2) 1A O BDE ⊥平面 （2）异面垂直（利用线面垂直来证明） 【例2】在正四面体ABCD 中， 求证：AC BD ⊥ 【变式1】如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，已知 ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ． 证明：AD PB ⊥； 【变式2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点， 将△AED,△DCF分别沿, DE DF折起，使,A C两点重合于'A. 求证:'A D EF ⊥； 【变式3】如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB是等边三角形，∠P AC=∠PBC=90 o。 证明：AB⊥PC 类型二：直线与平面垂直证明 方法○1利用线面垂直的判断定理 【例3】在正方体 1111 ABCD A B C D -中，,求证： 11 AC BDC ⊥平面 【变式1】如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90?.E为BB1的中点，D点在AB上且DE= 3 . 求证：CD⊥平面A1ABB1； B E ' A D F G P C B A D E 【变式2】如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的 中点，2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== 求证：AO ⊥平面BCD ； 【变式3】如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，23AB =6BC = ()1求证：BD ⊥平面PAC ○ 2利用面面垂直的性质定理 【例4】在三棱锥P-ABC 中，PA ABC ⊥底面,PAC PBC ⊥面面，BC PAC ⊥求证：面。 【变式1】在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是正方形，侧面PAB 是等腰三角形，且 PAB ABCD ⊥面底面,求证：BC PAB ⊥面 立体几何与排列组合 1．平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的六个面都是菱形，则D 1在面ACB 1上的射影是?ACB 1的 （ ） A 重心 B 外心 C 内心 D 垂心 2．长方体三条棱分别为a,b,c,若长方体所有的棱长度之和为24，一条对角线为5，体积为2，则c b a 1 11++等于 （ ） A 411 B 114 C 211 D 11 2 3．已知，正四棱锥侧面是正三角形，设侧面与底面所成的二面角为1θ，相邻两侧面所成的二面角为2θ，则 （ ） A 212 θπ θ-= B 2 2 2 1θπ θ- = C 21θθ= D 2 2 1θθ= 4．在北纬450圈上，有甲、已两地。它们的经度分别为东经1400和西经1300，地球的半径是R ，则甲、已两地球面距离是 （ ） A R π21 B R π41 C R π23 D R π3 1 5．若三棱锥A －BCD 的侧面ABC 内一动点P 与底面BCD 的距离与到AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成的图形可能是（ ） 6．在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA ， E ∈AB,F ∈CD 且AE ：EB =CF ：FD = λ （0＜ λ ＜1 ＝ 设EF 与AC 、BD 所成的角分别是 α 、 β ，则 α+β= （ ） A.大于90° B.小于90° C.等于90° D.与 λ 的值有关 7.12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为（ ） A ．26 8 6 C A B ．2 28 3C A C ．2 2 8 6 C A D ．2 28 5C A 8.如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为 （ ）立体几何中垂直地证明
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