随机微分方程 oksendal 答案

随机微分方程在物理学中的应用

科技大学本科毕业论文论文题目：随机微分方程在物理学中的应用院系：物理科学与技术学院专业：应用物理姓名：vvv 学号：0700000069 指导教师：xxx

二零一二年三月摘要牛顿和莱布尼兹创建了微积分学，为了描述机械动力学、天文学等领域的物理现象，建立了确定性的微分方程。确定性的微分方程在实际问题中有大量的应用。然而在研究实际物理现象的数学模型时，描述一个具体物理现象所用的一组数学方程不会是完全精确的。实际问题中不确定性因素大量存在且往往是问题的关键所在，不可忽视。由于二十世纪中叶大量的含有不确定性的实际问题的出现，以及对模型精确性要求和实际问题复杂性认识的不断提高，不确定性因素越来越多的被考虑到模型的建立中，这就在微分方程的基础上引入了随机因素，促使了随机积分的构建与发展，并在此基础上建立了随机微分方程的相关理论和方法。随着科技的发展，随机微分方程越来越广泛地应用于模型的建立和分析中。本文针对物理学中存在随机性的特征，提取其中的数学本质，利用数学方法和策略，建立相应的随机微分方程，分析其中数学特征和数学机理，推导相关的公式和性质，通过分析来更好的理解物理学中的随机性问题。关键词：随机微分方程；布朗运动；matlab模拟；

081数值计算方法—常微分方程(组)

科学计算—理论、方法及其基于MATLAB 的程序实现与分析微分方程（组）数值解法 §1 常微分方程初值问题的数值解法微分方程（组）是科学研究和工程应用中最常用的数学模型之一。如揭示质点运动规律的Newton 第二定律： ()()()?????'='==0 00022x t x x t x t F dt x d m （１）和刻画回路电流或电压变化规律的基尔霍夫回路定律等，但是，只有一些简单的和特殊的常微分方程及常微分方程组，可以求得用公式给出的所谓“解析解”或“公式解”，如一阶线性微分方程的初值问题： () ()0 0y y t f ay dt dy =+= （２）的解为： ()()()τττd f e y e t y t t a at ?-+=00 （３）但是，绝大多数在实际中遇到的常微分方程和常微分方程组得不到“解析解”，因此，基于如下的事实：

１、绝大多数的常微分方程和常微分方程组得不到（有限形式的）解析解；２、实际应用中往往只需要知道常微分方程（组）的解在（人们所关心的）某些点处的函数值（可以是满足一定精度要求的近似值）；如果只需要常微分方程（组）的解在某些点处的函数值，则没有必要非得通过求得公式解，然后再计算出函数值不可，事实上，我们可以采用下面将介绍的常微分方程（组）的初值问题的数值解法，就可以达到这一目的。一般的一阶常微分方程（组）的初值问题是指如下的一阶常微分方程（组）的定解问题： ()()0 00,y t y t t t y t F dt dy f =≤≤= （７）其中 ()()()()???? ?? ? ??=t y t y t y t y n 21 （８） ()()()()???? ?? ? ??=y t f y t f y t f y t F n ,,,,21 （９）常微分方程（组）的初值问题通常是对一动态过程（动态系统、动力系统）演化规律的描述，求解常微分方程（组）的初值问题就是要了解和掌握动态过程演化规律。 §１.1 常微分方程（组）的Cauch 问题数值解法概论

常微分方程在数学建模中的应用(免费版)

常微分方程在数学建模中的应用这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（马尔萨斯（Malthus ）模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段内,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==．， 00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为9 1006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 ) 1961(02.09 e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic 模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地

常微分方程的实际应用

常微分方程的实际应用于萍摘要：常微分方程在当代数学中是极为重要的一个分支，它的实用价值很高，应用也很广泛，本文主要介绍常微分方程在几何、机械运动、电磁振荡方面的应用，并举例说明，体会常微分方程对解决实际问题的作用，在解决实际问题过程中通常是建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程，求解这个微分方程，用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。关键字：常微分方程，几何，机械运动，电磁振荡，应用

Abstract: Nomal differential equation is an important part of math at it has a high practical value. This thesis shows the use in geometry, mechaics and electrothermal and makes some examples. Also, it summarizes the normal move of dealing with practical problems by the normal differential equation. Normal, we set up the maths matic model of the problem, solute the normal differentical equation make the use of the result to explain practical problems and make a forecast of some special character of physical process. Key: Normal differetial equation geometry mechanics electrothermal use

常微分方程在数学建模中的应用.

微分方程应用 1 引言常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. 数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题. 因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助．建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节． 3 常微分方程模型 3．1 常微分方程的简介

随机微分方程

随机微分方程在水库防洪中的应用本学期有幸跟着袁老师学习随机微分方程这门课程，收获甚丰，感受颇多。在此之前，我从未接触过任何关于随机的概念，在听完袁老师的课程，特别是袁老师在中间穿插的讲诉随机微分方程在某些领域的实际应用案例，让我感觉在水利工程中确实有很多问题都应该通过随机这个概念来解决。在阅读过相关的一些文献过后，发现在水库的防洪中随机微分方程可以利用的价值特别高。水库的防洪是水利工程流域管理的重要内容，其中各环节都存在诸多的不确定性。包括水雨情信息采集中由于设备故障、通讯不畅、误码和量程不足等原因导致的信息无法获取或无法及时传达、信息错误，实时洪水预报中水文气象条件、模型结构、模型参数等导致的预报误差，调洪演算中的水库泄流和库容曲线等水力不确定性等。由于各环节的多种不确定性因素，随机性便很自然地被引入到防洪过程的分析，近年来，这方面的很多研究工作都认为洪水过程是一随机点过程，随机微分方程被引入和运用,为解决这一难题提供了有效的数学工具，以概率论和微分方程为基础的随机微分方程模型,可以对调洪过程中的随机现象和规律进行数学描述和分析,可以正确地综合各种随机输人过程和随机初始条件对泄洪风险率的影响, 为经济合理地选择大坝泄洪建筑物规模和调度运行方式, 提供科学的依据。传统的确定性调洪演算方法，根据的是简单的水库蓄量平衡关系，建立有如下的微分方程：（1）若令/()d d h G h ω=,并加入初始条件,则有：（2）式中，h(t)为库水位，h 0为初始库水位，Q(t)为调洪过程任一时刻的来洪流量，q(h,c)为相应时刻的泄洪流量，在泄洪建筑物规模确定的情况下，可表述为h 和流量系数等水力参数c 的函数，w(h)为水库的库容量。上述的各函数均

常微分方程在高中物理中的应用

微分方程在高中物理中的应用高中阶段，我们经常会遇到一些需要定性分析的物理问题，其实如果我们应用高等数学的知识，可以把其中一些问题进行定量的分析。例如，质量为m 的物体从高度H 自由下落，所受阻力f 与速度v 成正比，g 为重力加速度这是我们平时常见的一类问题。但我们只知道速度V 最终会趋近于某一数值v0。下面我进行一下定量分析。根据题目所给信息，可列出动力学方程 mg-kv=ma ① a=dv/dt ② 结合①式可得mg-kv=mdv/dt 这里移项可得dt=mdv/(mg-kv)③ 两边同时积分便可的到 V=mg(ce*(-kt/m)+1)/k 又∵自由下落，可得t=0时v=.0 ∴v=mg(1-e*(-kt/m))/k ④ 由④式知，当t 趋近于正无穷时，e*(-kt/m)=0，此时v=mg/k ⑤ 若按照正常思路，当物体受力平衡时，mg=kv,此时也能得到⑤式的结论。而在高考中，更为常见的是在电磁场中的同类问题，我们不妨看一下下面这一道例题（2012·山东理综）如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B 。将质量为m 的导体棒由静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率为P ，导体棒最终以2v 的速度匀速运动。导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g ，下列选项正确的是 A ．P =2mg sin θ B ．P =3mg sin θ C ．当导体棒速度达到v /2时加速度为12 g sin θ D ．在速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力所做的功我们根据题目也可以列出动力学方程 Mgsin θ-B*2L*2V/R=ma ① a=dv/dt ② 同样可以解得v=(mgR sin θ/B*2L*2)(1-e*(-B*2L*2t/mR))③ 从③式可以看出当t 趋近于正无穷时，v=mgR sin θ/B*2L*2即B*2L*2v/R=mg sin θ转化而来。所以题目中所说当速度到达V 时开始匀速运动存在明显错误。应改为近似于做匀速直线运动。

郑州大学研究生课程数值分析复习---第八章常微分方程数值解法

郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）数值分析 Numerical Analysis 习题课第八章常微分方程数值解法

待求解的问题：一阶常微分方程的初值问题/* Initial-Value Problem */: ?????=∈=0 )(] ,[),(y a y b a x y x f dx dy 解的存在唯一性（“常微分方程”理论）：只要f (x , y ) 在[a , b ] ×R 1 上连续，且关于y 满足Lipschitz 条件，即存在与x , y 无关的常数L 使对任意定义在[a , b ] 上的y 1(x ) 和y 2(x ) 都成立，则上述IVP 存在唯一解。 1212|(,)(,)||| f x y f x y L y y ?≤?一、要点回顾

§8.2 欧拉(Euler)法通常取(常数),则Euler 法的计算格式 h h x x i i i ==?+1?? ?=+=+) (),(001x y y y x hf y y i i i i i =0,1,…,n ( 8.2 )

§8.2 欧拉(Euler)法(1) 用差商近似导数 )) (,()()()()(1n n n n n n x y x hf x y x y h x y x y +=′+≈+?? ?=+=+) (),(01a y y y x hf y y n n n n 差分方程初值问题向前Euler 方法h x y x y x y n n n ) ()()(1?≈ ′+)) (,() ()(1n n n n x y x f h x y x y ≈?+))(,()(n n n x y x f x y =′

随机微分方程2种数值方法的稳定性分析_邱妍

文章编号：１００９－１１３０（２００７）０４－００３５－０４随机微分方程２种数值方法的稳定性分析邱妍，朱永忠（河海大学理学院，江苏南京２１００９８）摘要：给出了求解随机微分方程的２种数值方法：有限差分法和向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法，基于随机微分方程的试验方程分析讨论了２种数值方法的均方稳定性和Ａ!稳定性，得到了相应的稳定性条件和稳定域．最后应用ＭａｔＬａｂ进行模拟演示，模拟演示结果表明，有限差分法和向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法都全局一阶强收敛于随机微分方程的求解过程，并且验证了均方稳定理论的正确性．关键词：随机微分方程；均方稳定；Ａ!稳定；向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法；有限差分法中图分类号：Ｏ２４１．８文献标识码：Ａ收稿日期：２００７－０６－１９作者简介：邱妍（１９８４－），女，江苏扬州人，硕士研究生，应用数学专业．随机微分方程是针对物理、经济等领域中的随机现象而建立的数学模型，其理论研究和实际应用均取得了丰富而又成熟的成果．但在多数情况下随机微分方程与常微分方程类似，其解析解不易求出，因此，构造有效的数值方法进行数值求解显得十分重要．近２０年来，随机微分方程数值计算方法不仅作为随机分析、微分方程数值分析的交叉研究方向得到了高度重视和发展，而且在自然科学以及工程领域得到了广泛的应用，但随机变量的存在给数值方法的构造和各种性质的研究带来了一定的难度．本文中作者在Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法的基础上建立有限差分格式，讨论了向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法［１］和有限差分法的均方稳定性和Ａ!稳定性．１求解随机微分方程的２种数值方法考虑如下标量自治初值问题：ｄＸ（ｔ）＝ｆ（Ｘ（ｔ））ｄｔ＋ｇ（Ｘ（ｔ））ｄＷ（ｔ）Ｘ（０）＝Ｘ０ｔ∈［０，Ｔ"］（１）式中：参数ｔ表示时间；指标集Ｔ是一个有限或无限区间，通常取为实轴或实轴上的一个区间；ｆ（Ｘ）和ｇ（Ｘ）是区间［０，Ｔ］上的连续可测函数，分别称为偏移系数和扩散系数；Ｗ（ｔ）为标准Ｗｉｅｎｅｒ过程，其增量"Ｗ（ｔ）＝Ｗ（ｔ＋ｈ）－Ｗ（ｔ），ｔ＋ｈ∈［０，Ｔ］，若步长ｈ充分小，则ΔＷ（ｔ）的均值和方差分别为Ｅ"Ｗ（ｔ"# ）＝０，Ｅ［"Ｗ（ｔ）］"$２＝ｈ为讨论２种数值方法的均方稳定性和Ａ!稳定性，给出式（１）的２类试验方程，即ｄＸ（ｔ）＝!Ｘ（ｔ）ｄｔ＋"Ｘ（ｔ）ｄＷ（ｔ）（２）ｄＸ（ｔ）＝!Ｘ（ｔ）ｄｔ＋#ｄＷ（ｔ）（３）式中：!，"，#是常系数．对于求解随机微分方程的数值方法，１９７４年，Ｍｉｌｓｔｅｉｎ给出了以下差分格式［２］：Ｘｎ＋１＝Ｘｎ＋ｆ（Ｘｎ）ｈ＋ｇ（Ｘｎ）"Ｗｎ＋１２［ｇ′ｇ］（Ｘｎ）［（"Ｗｎ）２－ｈ］ｎ＝０，１，…（４）并证明了该方法在均方意义下的收敛阶为Ｏ（ｈ）．本文在此基础上给出了２种数值方法：第１种为向后Ｍｉｌｓｔｅｉｎ法，即将式（４）中偏移系数变为隐式；第２种为有限差分法，即将式（４）中的微分用有限差分代替．有限差分法是十分有用的，因为在通常情况下用式（４）求解随机微分方程（１）时需要对其中的ｇ（Ｘｎ）求导，若ｇ（Ｘｎ）的值是由试验得出的具体数据，则无法进行求导计算，而采用有限差分法将微分转化为差分，避免第２１卷第４期２００７年１２月Ｖｏ１．２１Ｎｏ．４Ｄｅｃ．２００７河海大学常州分校学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＯＨＡＩＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＣＨＡＮＧＺＨＯＵ

数值分析_第五章_常微分方程数值解法

图５畅２令珔h ＝h λ，则y n ＋１＝１＋珔 h ＋１２珔h ２＋１６珔h ３＋１２４珔 h ４y n ．由此可知，绝对稳定性区域在珔h ＝h λ复平面上满足｜１＋珔 h ＋１２珔h ２＋１６珔h ３＋１２４珔h ４｜≤１的区域，也就是由曲线１＋珔h ＋１２珔h ２＋１６珔h ３＋１２４珔h ４＝e i θ 所围成的区域．如图５畅２所示．例22　用Euler 法求解 y ′＝－５y ＋x ，y （x ０）＝y ０，　x ０≤x ≤X ．从绝对稳定性考虑，对步长h 有何限制？解　对于模型方程y ′＝λy （λ＜０为实数）这里λ＝抄f 抄y ＝－５．由｜１＋h λ｜＝｜１－５h ｜＜１得到对h 的限制为：０＜h ＜０畅４．四、习题１畅取步长h ＝０畅２，用Euler 法解初值问题 y ′＝－y －x y ２， y （０）＝１．　（０≤x ≤０畅６），２畅用梯形公式解初值问题 y ′＝８－３y ，　（１≤x ≤２），

取步长h＝０畅２，小数点后至少保留５位．３畅用改进的Euler公式计算初值问题 y′＝１x y－１x y２， y（１）＝０畅５，　１＜x＜１畅５，取步长h＝０畅１，并与精确解y（x）＝ x １＋x比较．４畅写出用梯形格式的迭代算法求解初值问题 y′＋y＝０， y（０）＝１的计算公式，取步长h＝０畅１，并求y（０畅２）的近似值，要求迭代误差不超过１０－５．５畅写出用四阶经典Runge唱Kutta法求解初值问题 y′＝８－３y， y（０）＝２的计算公式，取步长h＝０畅２，并计算y（０畅４）的近似值，小数点后至少保留４位．６畅证明公式 y n＋１＝y n＋h９（２K１＋３K２＋４K３）． K１＝f（x n，y n）， K２＝f x n＋h２，y n＋h２K１， K３＝f x n＋３４h，y n＋３４h K２，至少是三阶方法．７畅试构造形如 y n＋１＝α（y n＋y n－１）＋h（β０f n＋β１f n－１）

。随机微分方程的数值解读后感

随机微分方程的数值模拟算法的读后感本文主要分为九个部分，对随机微分方程的数值模拟进行了介绍。这篇文章建立在MATLAB程序的基础上，主要包过随机积分、欧拉—丸山法、米尔斯坦法，强弱收敛性、线性稳定性，随机链法则。第一部介绍了随机微分方程的应用领域，研究需要的背景知识，以及下面几部分的研究你内容和参考文献介绍。第二部分介绍了布朗运动和计算布朗路径。首先规定了满足布朗运动的三个条件；然后用随机号码发生器通过for循环或randn(1.N)创建一维数组来模拟布朗路径；最后找出通过1000点布朗路径的函数，并与五个独立路径对比。同时也为下面的研究作铺垫。第三部分我们验证了关于布朗运动的积分并说明了与Ito积分与斯特拉托诺维奇积分的不同点。我们通过两种黎曼和来类比的得到ito积分和斯特拉托诺维奇积分。同时也给出了他们两个的区别，最后给出精确估计随机积分的办法。第四部分叙述了欧拉—丸山法怎样模拟随机微分方程的。首先引入自治标量的随机微分方程的积分式，通过变形，变量的重新定义得到EM法的表达式。后来通过一个在金融数学中资产价值的模型——毕苏期机定价模式的偏微分方程来进一步说明。第五部分介绍了强弱收敛性概念，在数值上证明了欧拉—丸山的收敛区间[0.5,1]. 第六部分通过研究米尔斯坦方法来校正欧拉—丸山的收敛性，使强收敛性为1。从第一部分我们知道欧拉—丸山的收敛性为1时才起决定性作用，但是前面满足条件的值是0.5。这一部分就通过米尔斯坦高阶法用在随机增量增加修正值的办法使收敛性为1。第七部分介绍两种不同的线性稳定性，进而强调随机分析不同与基本定积分。稳定性部分理论是依据变量趋于无穷条件子啊拟合的数值结果，这种数值方法应用于一些定性描述的问题上的，这种方法重现部分性质的能力也是可以分析的。关于稳定性的度量这里只考虑两种，均方数和渐进性。我们通过matlab编程改变参数值和步长来观察均方稳定性和渐进稳定性，最后得到参数和步长变化所对应的不同稳定性的区域。第八部分引出并证明随机链法则。在第三部分我们发现不只是一种办法可以对随机函数的积分的扩展，这种办法有点像黎曼积分的链式法则，然后对以前的式子进行改进，然后通过matlab编程实现。第九部分对重要结论简要的叙述。同时指出了一些不足，如没有讨论许多额外的条件，仅仅为了能产生我一定结果，没有提及到随机微分方程和有时间决定的偏微分方程之间的联系，没有注意到标量问题等。通过这篇文章的学习使我对随机过程有了一定了解，对matlab软件有了更深的认识。同时通过查阅专业数学字典和相关文献使我对专业英文论文的阅读能力有一定的提高。我相信一个暑假的努力对我以后研究生的会有很大的帮助的。朱园珠 2011年9月1日

二阶常微分方程的解法及其应用.

目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)

二阶常微分方程的解法及其应用摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换

METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程

随机微分方程在物理学中的应用

内蒙古科技大学本科毕业论文论文题目：随机微分方程在物理学中的应用院系：物理科学与技术学院专业：应用物理姓名：vvv 学号：0700000069 指导教师：xxx 二零一二年三月

摘要牛顿和莱布尼兹创建了微积分学，为了描述机械动力学、天文学等领域的物理现象，建立了确定性的微分方程。确定性的微分方程在实际问题中有大量的应用。然而在研究实际物理现象的数学模型时，描述一个具体物理现象所用的一组数学方程不会是完全精确的。实际问题中不确定性因素大量存在且往往是问题的关键所在，不可忽视。由于二十世纪中叶大量的含有不确定性的实际问题的出现，以及对模型精确性要求和实际问题复杂性认识的不断提高，不确定性因素越来越多的被考虑到模型的建立中，这就在微分方程的基础上引入了随机因素，促使了随机积分的构建与发展，并在此基础上建立了随机微分方程的相关理论和方法。随着科技的发展，随机微分方程越来越广泛地应用于模型的建立和分析中。本文针对物理学中存在随机性的特征，提取其中的数学本质，利用数学方法和策略，建立相应的随机微分方程，分析其中数学特征和数学机理，推导相关的公式和性质，通过分析来更好的理解物理学中的随机性问题。关键词：随机微分方程；布朗运动；matlab模拟；

Abstract. Newton and Leibniz created calculus, in order to describe the mechanical dynamics, astronomy and other fields of physics, the establishment of a deterministic differential equation. Deterministic differential equations large number of practical problems in application. However, the actual physical phenomena in the study mathematical model to describe the physical phenomenon of a specific set of mathematical equations used to not be completely accurate. Practical problems of uncertainties abound and often the crux of the problem can not be ignored. Since the mid-twentieth century, a lot of uncertainty with the actual problems, and the accuracy of the model and actual problems requires understanding the complexity of continuous improvement, more and more uncertainty to the model to be considered in This is the basis of the differential equations introduced random factor contributing to the construction and development of stochastic integral, and on this based on the theory of stochastic differential equations and methods. With the development of technology, more and more widely used in stochastic differential equation model and analysis. In this paper, the cha- racteristics of randomness exist in physics, mathematics extracted the es- sence, the use of mathematical methods and strategies, the establishment of the corresponding stochastic differential equations, mathematical char-

倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计(精)

倒向随机微分方程的数值方法及其误差估计倒向随机微分方程(BSDE)是一个相对比较新的研究方向。1973年Bismut[9]研究的线性形式可以看作是著名的Girsanov定理的推广。非线性BSDE的概念是由Pardoux和Peng[60]在1990年引入的。Duffie和Epstein[28]于1992年独立引入经济模型中的随机微分效用概念,也可以看作某些特殊的BSDE的解。从那以后,关于BSDE的很多理论和应用结果得到了发展,其中包括:反射倒向随机微分方程、正倒向随机微分方程、偏微分方程与倒向随机微分方程的联系、随机控制、数理金融、非线性期望和非线性鞅论、递归效用和风险敏感效用以及随机微分几何等。在El Karoui和Mazliak[30],Ma和 Yong[5l],Yong和zhou[86]写的书以及综述论文El Karoui,Peng和Quenez[33]中,详细介绍了BSDE的理论和在数理金融和随机控制中的应用。倒向随机微分方程的存在唯一性意味着我们能够明确的解决现在应怎样去做以实现一个给定的将来目标。但是对于一个具体的倒向方程如何算出它的解来对一般情况而言仍是一个未解决的问题。在实际应用中能够显式解出的BSDE是很少见的,因此我们需要计算BSDE的数值解。相对于正向随机微分方程的数值解法,无论是从结果的丰富程度还是从算法实现的难易程度来看,BSDE都要落后很多。出现这一问题不外乎有以下两个原因:首先,正向随机微分方程与倒向随机微分方程在结构上有本质的区别,从而倒向随机微分方程的数值方法不能完全套用正向随机微分方程已有的数值方法。其次,从应用的角度讲,正向随机微分方程考虑的是如何认识一个客观存在的随机过程,而倒向随机微分方程则主要关心在有随机干扰的环境中如何使一个系统达到预期的目标。在过去的十几年里,许多学者做出了很大的努力,在BSDE数值解法的研究中取得了一系列的成果。这些数值方法按照其求解原理可以划分为两大类:第一类方法主要通过数值求解与BSDE相对应的拟线性偏微分方程;另一类算法直接对随机问题按时间进行倒向计算。2006年,Zhao,Chen和Peng[89]提出了解BSDE的θ格式,该方法结合PDE数值解法的特点,使用随机的思想来解释高精度的差分方法,对BSDE进行时间空间离散,用Monte Carlo方法结合插值近似计算条件数学期望,在数值实验中得到了较好的结果。本文主要研究了BSDE的几种数值方法,在Zhao,Chen和Peng[89]的基础上,离散BSDE时用Gauss-Hermite积分替代Monte Carlo方法近似条件期望,并得到了θ格式的误差估计;提出了一种新的Crank-Nicolson格式并进行误差估计;对一种更高阶的Adams方法也提出了BSDE的离散格式且得到了格式的收敛误差。下面我们列出本文的主要结果。第一章:简要介绍本文中所讨论问题的背景及总体思路,介绍了BSDE,Feynman-Kac公式的基本概念,对BSDE已有的数值解法进行了简要的回顾总结。第二章:给出了BSDE(2-1)的θ格式的误差估计。证明了对一般的θ,格式一阶收敛,特别当θ=(?)时,格式二阶收敛。当 θ=1时,我们得到θ格式对(2-1)的适应解(y_t,z_t)一阶收敛。在θ=(?)的情形,我们还得到解z_t的误差估计。我们称下面两个解(?)的方程为离散 BSDE(2-1)的θ格式:对该格式的误差估计主要有下面的定理。定理2.1.假设2.1成立,令y_t和y~n分别是BSDE(2-1)和θ格式(2-12)的解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有其中C是一个正常数,它仅依赖于T,φ和f导数的上界和(2-3)的解u(t,x)。定理2.3.假设2.1成立,令y~n(n=N,…,0)是θ格式(2-12)在θ=(?)时的解,y_t(0≤t≤T)是BSDE(2-1)的解,那么对足够小的时间步长Δt_n,我们有定理2.4.假设2.1成立,令(y~n,z~n)(n=N,…,0)是θ格式

偏微分方程数值解法

《偏微分方程数值解法》课程设计题目: 六点对称差分格式解热传导方程的初边值问题姓名: 王晓霜学院: 理学院专业: 信息与计算科学班级: ０91１01２学号: ０９１10１218 指导老师：翟方曼２０12年12月14

日一、题目用六点对称差分格式计算如下热传导方程的初边值问题 222122,01,01(,0),01 (0,),(1,),01x t t u u x t t x u x e x u t e u t e t +???=<<<≤?????=≤≤??==≤≤??? 已知其精确解为 2(,)x t u x t e += 二、理论 1.考虑的问题考虑一维模型热传导方程（1.１) )(22x f x u a t u +??=??,T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.１)的定解问题分两类: 第一,初值问题（Cauch ｙ问题)：求足够光滑的函数()t x u ,,满足方程（１.1）和初始条件： (1.２) ()()x x u ?=0,， ∞<<∞-x 第二,初边值问题（也称混合问题）:求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(１.１)和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,， l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑,并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。现在考虑边值问题（１.1),（1.３)的差分逼近取 N l h = 为空间步长,M T =τ为时间步长,其中N ,M 是自然数,

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