重积分典型例题解析

高等数学（2）第11章重积分典型例题解析

例1 填空

（1）根据二重积分的几何意义，

??

--D

y x y x d d R 222= 。（其中

{}222),(R y x y x D ≤+=）

（2）累次积分

?

?

x

x

y y x f x d ),(d 1

交换积分次序后，得到的积分为 。

（3）已知积分区域D x y x y =≤+≤{(,),}111，二重积分f x y x y D

(,)d d ??在直角

坐标系下化为累次积分的结果是 。

解（1）由二重积分的几何意义，??

--D

y x y x d d R 222表示球心在圆点，半径为R 的

上半球体的体积，故为3

3

2

R π。

应该填写：3

3

2R π。

（2）由已知的累次积分，得积分区域为?

??≤≤≤≤x y x x 1

0，若变换积分次序，即先积x 后

积y ，则积分变量y 的上、下限必须是常量，而积分变量x 的积分上、下限必须是常量或是

y 的函数，因此积分区域应表为??

?≤≤≤≤1

02y y

x y ，于是交换后的积分为??y y

x y x f y 2d ),(d 10。 应该填写：

?

?y

y x y x f y 2

d ),(d 10

。

（3）由已知的积分区域为D x y x y =≤+≤{(,),}111可知区域D 满足联立不等式

组??

?≤+≤-≤≤-11111y x ，即而解得???≤≤-≤≤-0

21

1y x ，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以

可随意选择积分的顺序，若先积x 后积y ，则应填

?

?--0

2

1

1

d ),(d x y x f y ，反之应填

d d x f x y y (,)--??

2

1

1。

应该填写：

d d x f x y y (,)--??

2

01

1或??--02

1

1

d ),(d x y x f y

例2 单项选择 （1）二重积分

x

x y x y 2

d d 14

22≤+≤??可表达为累次积分（ ）。

A.

d d θθπr r 321

2

2cos ??； B.

r r 321

2

2d d cos θθπ??；

C.

d d 2

x x y x

x ----?

?442

22

2； D.

d d 2y x x y

y ----?

?

111

12

2

（2）由曲面z x y =--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积是（ ）。

A.

d d θπr r r 42

2

2-??； B. 4420

2

2

2d d θππ

r r r -??-

；

C.

d d θπ42

10

2-?

?

r r ； D. 4420

1

2d d θπ

r r r -??

解（1）因为积分区域是环域412

2

≤+≤y x ，若选择极坐标系计算积分，令

?

?

?==θθ

sin cos r y r x ， 则代入解得区域}20,21),{(π?θ≤≤≤≤=r r D ，所以A 正确；若选择直角坐标系计算积分，要利用积分区间的可加性，或利用区域的对称性，

????≥≥≤+≤≤+≤=0

,04

12

4

122222d d 4d d y x y x y x y x x y x x ，

于是再选择积分的顺序，若先积x 后积y ，则积分区域

}21,41),{(22≤≤-≤≤-=y y x y y x D

反之积分区域}21,41),{(22

≤≤-≤

≤-=x x y x y x D ，所以C ，D 都是错误的。

应该选择：A （2）由曲面z x y =

--422和z =0及柱面x y 221+=所围的体积应是以球面

z x y =--422被圆柱面x y 221+=和oxy 面所截的体积，由二重积分的几何意义知，

积分区域为12

2

≤+y x ，被积函数为z x y =

--422。若选择极坐标系求积分，则积分

区域}10,20),({≤≤≤≤=r r D πθθ，被积函数为θd d 42r r r -，故体积为

??-=πθ20

1

2d 4d r r r V

若利用积分区域和被积函数的对称性，可以计算第一象限的二重积分，再乘4倍，这时积分区域}10,2

0),({≤≤≤

≤=r r D π

θθ，所以所求体积为

=V

4420

1

2d d θπ

r r r -??

故D 正确。

应该选择：D

例3 计算二重积分： （1）y x y D

xy d d e ??，其中D 为1,2,2,1====xy y x x 所围成的平面区域。 （2）

y x xy D

d d ??

,其中D 为抛物线x y =2和直线2-=x y 所围成的平面区域。

计算直角坐标系的二重积分步骤是：

1）画出区域D 的草图，根据图形的情况确定积分次序； 2）联立方程求交点，按积分的顺序确定积分上、下限； 3）代入公式计算积分值。

解：（1）区域D 如右图所示。由区域的形状，选择先 积y 后积x 。

联立方程???==?

??==?????==?????

==22

,12,21,11x y x y x x y x x y ， 解得交点为：)2,2(),2,1(),2,2

1

(),1,1( 区域}21

,21),{(≤≤≤≤=y x

x y x D 于是

)d(e d d e d d d e 212

1

22

12

1

xy xy x x y y x y x y x

xy

x

xy D

xy ??

????

== =

x x x x y x x x x

xy d e )12(d e )1[(121222

12

1

2??

-=- =

242

1

2e 2

e e -=x

x

（2）解法一：化为先对y 后对x 的累次积分。这时，区域的边界的下部是由两段不同的曲线组成，因此用直线1=x 将区域D 分为}10,),{(1≤≤≤≤-

=x x y x y x D 和

}41,2),{(2≤≤≤≤-=x x y x y x D 两部分。那么

y x xy D

d d ??

=y x xy D d d 1

??+y x xy D d d 2

??

=

?

?-x

x y xy x d d 10

+??-x

x y xy x 241d d

=0+

2

18

45]d 2)-(-[4

1

2=

?

x x x x 解法二：化为先对x 后对y 的累次积分。这时D 可统一表示为

}21,2),{(2≤≤-+≤≤=y y x y y x D

因此

8

45

]d -2)[(21d d d d 21-422

2

1

-2

=

+==?????

+y y y y x xy y y x xy y y

D

显然，第二种解法较为简便。可见，无论怎样选择积分次序，其结果是相同的，但是选

择的不同会影响计算的过程的繁简，有时的积分次序选择的不同可能造成二重积分不能计算。

例4 计算下列二重积分：

（1）

y x x

y D

d d arctan ??，其中D 为圆周422=+y x 和12

2=+y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限的区域。

（2）

y x y x D

d d 22??

+，其中D 为圆周x y x 222=+所围成的在区域。

解 把二重积分中的变量从直角坐标系变换为极坐标系，只需把被积函数中的y x ,分别换成θθsin ,cos r r ，面积元y x d d 换成θd d r r 即可，积分次序一般为先r 后θ。 (1) 采用极坐标系：积分区域D 如右图所示。 D ={(}4

0,21),π

θθ≤

≤≤≤r r

于是r r r r d y x x y D d cos sin arctan

d d arctan 2140????=θ

θ

θπ

=

r r d d 2

1

4

??

θθπ

=

?40

2

122

1π

θθd r =

?

-40

)14(2

1

π

θθd =64

316432

2ππ=?

（2）采用极坐标系：积分区域D 如右图所示， 圆周x y x 22

2

=+的极坐标方程为θcos 2=r ， 则积分区域为

D ={(}2

2,cos 20),π

θπ

θθ≤≤-

≤≤r r

于是

?

???

?=+-θ

π

πθ2cos 0

22

2

2d d d d r r r y x y x D

=?-22

2cos 0

3

)d 31(π

πθ

θr

=?-22

3d cos 831

π

πθθ

==?203d cos 316πθθ)(sin )sin 1(316202

θθπ

d ?-=9

32