分式求值问题的解题技巧
分式求值问题的解题技巧（二） 六、特殊值法
【例6】（2004年安庆市初中数学竞赛题）已知abc≠0，且a+b+c=0，则
a 111111(
)(
)(
)b c a c c a a b
+++++的值为_______．
解：依题意，不妨令a=1，b=1，c=-2，则原式=（1-12
）+（-
12
+1）-2（1+1）=-3．
评注：根据填空题的特点，取满足条件的a 、b 、c 的特殊值，问题立即获解，令人耳目一新．
七、解方程（组）法
【例7】（2003年合肥市初中数学竞赛题）已知x 、y 、z 、a 、b 、c 都为实数，?且1,
x y z a b c a a a x y z
++=++=0，求
2222
2
2
x y z a
b
c
+
+
的值．
解：由已知得abc≠0，xyz≠0．将
x y z a
b
c
++=1两边平方得
222
2
2
2222
x y z
x y x z y z
a
b
c a b a c b c
+
+
+++=1 ① 将
x b c a
y
z
+
+=0两边同乘以
xyz abc
，得
yz xz xy bc
ac
ab
+
+
=0． ②
①-②×2得
2222
2
2
x y z a
b
c
+
+
=1．
评注：将待求值的分式整体视为一个未知数，再利用已知条件，通过解方程或方程组求出这个未知数．
八、构造一元二次方程法
【例8】（2002年沈阳市初中数学竞赛题）已知2a 2
-7a=-2，2β2
+2=7β，且α≠β，求2
2
αββ
α
+
的值．
解：由已知条件，得2a 2-7a+2=0，2β2-7β+2=0．因α≠β，故是一元二次方程2x 2-7x+2=0的两个不等实根． ∴α+β=
72
，αβ=1，于是，
原式=
33
αβαβ
- =α3-β3= （α-β）（α2+αβ+β2
）
2[()]αβαβ+-
27[()1]2-=±
评注：这里不直接求α与β的值，而是从α与β所满足的方程的共同特征出发，构造出一个一元二次方程，使问题顺序获得解． 九、整体拆出法
【例9】（2004年太原市初中数学竞赛题）若实数x 、y 、z 满足3x+7y+z=?1?和4x+10y+z=2005，求分式
3200420042004x y
x y z
+++的值．
解：由题意得方程组
371,4102005.
2(3)()1,
3(3)()2005.
32004,
4007.
x y z x z x y x y z x y x y z x y x y z ++=??
++=?++++=?∴?++++=?+=??
++=-?解之得
于是原式=
312004()
4007
x y x y z +=-
++．
评注：这里待求分式的分母是2004（x+y+z ），分子是x+3y ，尝试从已知的不定方程组中整体拆出x+y+z 和x+3y ，果然获得成功，再整体消元就能立即求出x+y+z 与x+3y 这两个整体的值．
十、竖式相除法
【例10】（2002年杭州市初中数学竞赛题）已知x 2
-5x+1=0，求432
2
29102
1
x x x x x ---++的值．
解：视2x 4-9x 3-x 2-10x+2为被除式，x 2-5x+1为除式，利用竖式相除法得 2x 4-9x 3-x 2-10x+2
=（2x 2+x+2）（x 2-5x+1）+（-x ）．
∵x2-5x+1=0．
∴2x4-9x3-x2-10x+2=-x．
再由x2-5x+1=0，得x2+1=5x．于是原式=
1 55
x
x
-
=-．
评注：这里多项式2x4-9x3-x2-10x+2的次数高于多项式x2-5x+1的次数，?将它们整体相除，进而将第一个多项式降次（变为-x），使复杂问题简单化．竖式相除法是解决这类问题的有效方法．
以上介绍了初中数学竞赛中分式求值问题的十种解题技巧，解题的关键在于把握相关式子（已知的或待求的）在整体上的结构特点，选择恰当的技巧，有时候需要几种技巧融为一体，共同发挥作用．
分式方程解法的标准
分式方程解法的标准 一,内容综述: 1.解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即 分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根. 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: 将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等. 为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公 分母为0. 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数 式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊
分式解题技巧
J ____ __ B 卜 J l + x* 1-K B 式方程的常规办法来解，将会带来繁琐的运算，如能适当局部通分，并辅以除法 求解，将会得到较为理想的效果. 解 局部通分得 d ）（D 丘-恥-2）' 去分母，得x 2— 7x + 10=x 2 — 9x + 18.故2x=8..°. x=4.经检验知x=4是原方程的 解. 分式运算中的“七巧” 1.巧用公式的基本性质 z-1 解原式（化为警分式） —（沁本性励 （X -一） ? Z ￡ 例B 化简 ;— + 2 + T 2. 巧用逐步通分法 ：I 分析若 一次性完成通分，运算量很大，注意到（1 — x ）（1 + x ）=1 —X 4,可以用逐步通分法化简. 巧解分式方程 、裂项法 例1解方程三+三?三+三 X-6 - C X -4 Z - 0 分析 方程中每一个 分式的分母加1都等于它的分子?根据这样一个特点，可以把分子分裂成两项, 然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数，再分组通分将分子化为 解原方程可化为 匕公）U t^-e ） + 1 _（3 J4）+ 1 （A -6） +J K — 2 A - 3 （A - 4） x - 6 Bn 1 1 1 1 移项得土「土匚士一 通分得宀 解之得x=5 .经检验x=5是原方程的解. 2 2 ??x — 14x + 48=x — 6x + 8, 、局部通分法 分析用去分母化整 例1廿算—一仗--） _IL L ~^1 而(1 — x 2)(1 + x 2)=1 解 1-X
1 閔 型 2龙 1 3?巧用运算律 例3计算 ' I ： I ：! 1 ■ -：!'：分析 1 1 力 4” 折 可以先用加法交换律整理顺序如下： 1-工1十工1十1十兀* 1十严 再用逐步通分法化简. < y 2 x 、 x （ -- + - + ---- ）中"1 例4化简 x f 宀y +硼 y +矽解原式 （-）a + 2（丄）+ 1（乘法分配律） x x 4.巧用已知条件 例5当x 2 — 4x + 1=0时, 解原式二十-宁害 K - 1 耳（JE 一 1） （云十 1）（號_1） X （K - 1） 为了求岀代数式的值，将己知条件变形为疋+1 =伉 则原式二竺=4 x 原式卜卜矗一詞诗】]怡"◎■诗 6 ?巧变形 例7计算 [ ] 1 尹证而+乔丽弓+…刁丽匚丽 分析 我们注意一个事实 求角"士）呃 5 ?巧用乘法公式 例6计算 b a b J 『 （丁吋計） 解应用立方和公式 x （x+y ） x+y y （x+y ）
分式化简求值几大常用技巧
分式化简求值几大常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果1 2x x +=，则242 1x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2 x ，得 原式=. 2222 1111 1 1 213 1()1x x x x = ==-++ +-. 2、倒数法 例2 如果1 2x x +=，则2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 42222 22 1111()1213x x x x x x x ++=++=+-=-= ∴原式=1 3 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则221 x x +的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2222 1124,42 2.x x x x ++ =∴+=-= 4、设参数法 例4 已知 0235a b c ==≠，求分式2 22 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设235 a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式=22222 2323532566 .(2)2(3)3(5)5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??==-+-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b c k b c a ===，则 ,,.a bk b ck c ak ===
∴3 c ak bk k ck k k ck ==?=??=， ∴3 1,1k k == ∴a b c == ∴原式= 1.a b c a b c +-=-+ 5、整体代换法 例6 已知 113,x y -=求2322x xy y x xy y +---的值. 解：将已知变形，得 3,y x xy -=即3x y xy -=- ∴原式= 2()32(3)333 .()23255 x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+?-+-===----- 例： 例5. 已知a b +<0 ，且满足a a b ba b 2 2 22++--=，求a b a b 33 13+-的值。 解：因为a a b ba b 2 2 22++--= 所以()()a b a b +-+-=220 所以()()a b a b +-++=210 所以a b +=2或a b +=-1 由a b +<0 故有a b +=-1 所以a b a b a ba a b b a b 3322 1313+-= +-+-()() = -?-+-= -+-11331 2222() a a b b ab a a b b ab = +--=---= --()()a b a b a b a b a b a b a b 2233113311331 =-1 评注：本题应先对已知条件a a b ba b 22 22++--=进行变换和因式分解，并由a b +<0确定出a b +=-1，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。 6、消元代换法 例7 已知1,abc =则 111a b c ab a bc b ac c ++=++++++ . 解：∵1,abc =∴1,c ab = ∴原式=1 11111a b ab ab a b ab b a ab ab ++ ++?++?++
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法1 在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。 一、 整体通分法 例1．化简： 21 a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。 解： 21 a a --a-1= 21 a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1 a a a -+-= 22(1) 1a a a ---=11 a - 二、 逐项通分法 例2．计算 1 a b --1a b +- 22 2b a b +- 344 4b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 解：1a b -- 1a b +- 22 2b a b +- 344 4b a b -= 22 ()() a b a b a b +---- 22 2b a b +- 344 4b a b - =222b a b --222b a b +- 344 4b a b -= 222244 2()2() b a b b a b a b +---- 344 4b a b - = 344 4b a b -- 344 4b a b -=0 三、 先约分，后通分 例3．计算： 2262a a a a +++ 22444 a a a -++
分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 解： 2262a a a a +++ 22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2 (2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242 a a ++=2 四、 整体代入法 例4．已知1x +1y =5求2522x xy y x xy y -+++的值 解法1：∵ 1x + 1y =5∴xy ≠0,.所以 2522x xy y x xy y -+++= 225112y x y x -+++= 11 2()5112x y x y +-++=25552 ?-+=57 解法2：由1x +1y =5得，x y xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ?-+=57xy xy =57 五、运用公式变形法 例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+4 1a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a =5 ∴a 4+4 1a =(a 2+2 1a )2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2 -2=527 六、设辅助参数法 例6．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()() a b b c c a abc +++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；
分式化简求值解题技巧
分式化简求值解题技巧 一、整体代入例1、已知，求的值.22006a b +=b a b ab a 42121232 2+++例2、已知，求的值.311=-y x y xy x y xy x ---+2232练一练: 1.已知,求的值. 511=+y x y xy x y xy x +++-22322.已知,求分式的值211=+y x y x xy y y x x 33233++++3. 若,求分式的值ab b a 32 2=+)2121(222b a b b a b -+-+
二、构造代入 例3、已知，求的值.2520010x x --=2 1)1()2(23-+---x x x 例4已知不等于0，且， a b c ，，0a b c ++=求的值.)11()11(11 (b a c c a b c b a +++++练一练： 4. 若,求的值1=ab 221111b a +++5.已知,试求代数式的值x x 12=+3 4121311222+++-?-+-+x x x x x x x 三、参数辅助，多元归一 例5 、已知，求的值。432z y x ==222z y x zx yz xy ++++
练一练6.已知,求分式的值23=-+b a b a ab b a 2 2-四、倒数代入例6、已知，求的值.41=+x x 1 242 ++x x x 练一练 7. 若,求分式的值.2132=+-x x x 1242 ++x x x 8.已知,求的值.2 11222-=-x x )1(1111(2x x x x x +-÷+--9. 已知,求的值.5 1,41,31=+=+=+c a ac c b bc b a ab bc ac ab abc ++
初中数学分式化解求值解题技能大全
化简求值常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果12x x +=，则2 42 1 x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2 x ，得 原式=. 2222 1111 11 213 1()1x x x x = ==-++ +-. 2、倒数法 例2 如果12x x +=，则2 42 1 x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 4222222 1111()1213x x x x x x x ++=++=+-=-= ∴原式=1 3 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则221 x x +的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2222 1124,42 2.x x x x ++ =∴+=-= 4、设参数法 例4 已知 0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设235 a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式=22222 2323532566 .(2)2(3)3(5)5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??==-+-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b c k b c a ===，则 ,,.a bk b ck c ak === ∴3 c ak bk k ck k k ck ==?=??=，
分式方程的解法与技巧_知识精讲
分式方程的解法与技巧 【典型例题】 1. 局部通分法： 例1. 解方程：x x x x x x x x -----=-----34456778 分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。 解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()() x x x x --=-- 去分母得：()()()()x x x x --=--4578 解之得：x ＝6 经检验：x ＝6是原分式方程的根。 点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。 但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。 2. 换元法： 例2. 解方程： 7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全相同，故可考虑用换元法求解。令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。 解：设，则原方程可化为：k x x =-+265 793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320 当时，k x x =--=126702 ()()x x -+=710 解之得：，x x 1217=-=
当时，k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+= 解此方程此方程无解。 经检验：，是原分式方程的根。x x 1217=-= 点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。 3. 拆项裂项法： 例3. 解方程： 12442212x x x x ++-+-= 分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。 解：原方程拆项，变形为： ()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---= 裂项为： 122222221x x x x ++-++--= 化简得：321x += 解之得：x =1 经检验：x ＝1是原分式方程的解。 4. 凑合法： 例4. 解方程：x x x x 4143412 +-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。 解：部分移项得： x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412=------ ∴x 412= ∴x ＝2 经检验：x ＝2是原分式方程的根。
分式方程解题技巧(提高)
分式方程解题技巧 例一， 一般结构的分式方程 解方程：x x x x x ++-=-2227115 解：（分解因式以便确定最简公分母）原方程变形为： ) 1(7)1)(1(1)1(5++-+=-x x x x x x )1(7)1(5-+=+x x x 4=x 检验：把4=x 代入0)1)(1(≠-+x x x 所以4=x 是原方程的解。 例1：解方程：) 4)(1(52)3)(2(1)2)(1(1+++=+++++x x x x x x x 分析：一般解法，最简公分母为)4)(3)(2)(1(++++x x x x ，此题直接去分母较为复杂。经观察发现，左边分母两个因式的差等与分子，右边分母两个因式的和等与分子。故考虑将分式拆开。 解：原方程变形为： 4 11131212111+++=+-+++-+x x x x x x 4 132+=+-x x 2 7-=x 经检验27- =x 是原方程的根。 例2：解方程：
20 7245361121330163223223+++++=+++++x x x x x x x x x x 分析：经观察发现直接去分母计算量非常可观，而且分母用公式法或十字相乘法都不能分解成两个因式的积。但是，同时也发现分子的最高次项的次数都比分母的最高次项高。我们知道假分数可以转化为带分数，故考虑将假分式变为真分式。 解：原方程变形为： 20 72522134222+++++=+++++x x x x x x x x 20 725213422+++=+++x x x x x x 解得：5=x 经检验5=x 是原方程的根。 例3：解方程：02)1(2122=++-+x x x x 分析：此题借用关系式2)1(122 2-+=+x x x x 较为简单。 解：原方程变形为：0)1 (2)1 (2=+-+x x x x 设x x y 1+= 则022=-y y 0=y 或2 当0=y 时，01=+x x ，则方程无解。 当2=y 时，21=+ x x ，即0122=+-x x ，则1=x 经检验：1=x 是原方程的解。 例4：解方程：5 26423234=+-+-+x x x x 分析：根据题目特点，利用下面关系式解题较为简单， 若c c x x 11+=+（c 为常数），则X=C 或c 1。
专题训练七分式化简求值解题技巧
专题训练七分式化简求值 解题技巧 Prepared on 21 November 2021
【专题训练七】 分式化简求值解题技巧 例1、（1）如果242114x x x =++，那么42251553x x x -+= 。 （2）若 a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d -+-=+-+ 。 例2、若a b c 、、满足1111a b c a b c ++=++，则a b c 、、中 （ ） A 、必有两个数相等 B 、必有两个数互为相反数 C 、必有两个数互为倒数 D 、每两个数都不相等 例3、化简求值：22214( )2442a a a a a a a a ----÷++++，其中a 满足2210a a +-= 。 例4、已知2410,a a ++=且42321533a ma a ma a ++=++，求m 的值。 例5、已知a b c 、、满足222222222 1222b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++=，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为1-。 针对性训练 1、已知30,x y -=那么22 2()2x y x y x xy y +?-=-+ 。 2、已知7x y +=且12xy =，则当x y <时，11x y -= 。 3、已知0abc ≠，且 a b c b c a ==，则3223a b c a b c ++=-- 。 4、已知2310x x -+=，则2 421 x x x =++ 。 5、已知0abc ≠，0,a b c ++=则111111()()()a b c b c c a a b +++++= 。 6、已知323x y -=，则23796x y xy xy y x --=+- 。 7、若4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则代数式222 222 522310x y z x y z +-=-- 。
56分式方程的解法及应用(提高)知识讲解
分式方程的解法及应用（提高） 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方 程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 【典型例题】
条件分式求值的方法与技巧
条件分式求值的方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
学科: 奥数 教学内容：条件分式求值的方法与技巧 求条件分式的值是分式化简、计算的重要内容，解题主要有以下三个方面： 一、将条件式变形后代入求值 例1已知 432z y x ==，z y x z y x +--+22求的值． 解：设4 32z y x ==＝k ， 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ． ∴ 原式＝5 45443224322==+-?-?+k k k k k k k k ． 说明：已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法． 例2已知的值求b a b a b ab a +-=-+,0622． 解：由0622=-+b ab a 有（a ＋3b ）（a －2b ）＝0， ∴ a ＋3b ＝0或a －2b ＝0， 解得a ＝－3b 或a ＝2b ． 当a ＝－3b 时，原式＝233=+---b b b b ； 当a ＝2b 时，原式＝3 122=+--b b b b ． 二、将求值变形代入求值． 例3已知)11()11()11(,0c b a a c b b a c c b a +++++=++求的值． 解：原式＝1)111(1)111(1)111(-+++-+++-++a c b a b a c b c b a c ＝3))(111(-++++a b c c b a ∵ a ＋b ＋ c ＝0， ∴ 原式＝－3． 例4已知31=+x x ，的值求1242++x x x ．
分析：∵ 1)1(111222224-+=++=++x x x x x x x ， ∴ 可先求值式的倒数，再求求值式的值． 解：∵ 1)1(12224-+=++x x x x x 8132=-=， ∴ 8 11242=++x x x ． 三、将条件式和求值式分别变形后代入求值． 例5 已知y xy x y xy x y x ---+=-2232,311则分式的值为__________． 解法一：∵ 311=-y x ， ∴ y －x ＝3xy ?x －y ＝－3xy ． ∵ 原式＝xy y x xy y x 2)(3)(2--+- 5 3233)3(2=--+-=xy xy xy xy ． 解法二：将分子、分母同除以xy （≠0）． ∴原式＝ x y x y 121232---+ 5 332323)11(2)11(23=--?-=-----=y x y x 分析：∵ 填空题不需要写出解题过程，故可取满足已知等式的特殊值求解． 解法三：取x ＝2 1，y ＝－1，
二元一次方程组知识点归纳解题技巧汇总练习题及答案
二元一次方程组知识点归纳、解题技巧汇总、练习题及答案 把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 代入消元法 例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7带入③，x=5-59/7 即x=-24/7 ∴ x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。 加减消元法
例：解方程组x+y=9① x-y=5② 解：①+②2x=14 即 x=7 把x=7带入①得 7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y=-2 为方程组的解 像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。 二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因 为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方 程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组 无解。 注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方 法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。 教科书中没有的几种解法 (一)加减-代入混合使用的方法. 例1, 13x+14y=41 (1) 14x+13y=40 (2) 解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3) 把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41 13y-13+14y=41 27y=54 y=2 把y=2代入(3)得x=1 所以:x=1, y=2 特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入 消元. (二)换元法
分式化简求值解题技巧
分式化简求值解题技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
分式化简求值解题技巧 一、整体代入 例1、已知22006a b +=，求b a b ab a 42121232 2+++的值. 例2、已知 311=-y x ，求y xy x y xy x ---+2232的值. 练一练: 1.已知 511=+y x ,求y xy x y xy x +++-2232的值. 2.已知 211=+y x ,求分式y x xy y y x x 33233++++的值 3. 若ab b a 32 2=+,求分式)21)(21(222b a b b a b -+-+的值
二、构造代入 例3、已知2 520010x x --=，求21)1()2(23-+---x x x 的值. 例4已知a b c ，，不等于0，且0a b c ++=， 求)11()11()11 (b a c c a b c b a +++++的值. 练一练： 4. 若1=ab ,求 221111b a +++的值 5.已知x x 12=+,试求代数式34121311222+++-?-+-+x x x x x x x 的值 三、参数辅助，多元归一 例5 、已知4 32z y x ==，求222z y x zx yz xy ++++的值。
练一练 6.已知2 3=-+b a b a ,求分式ab b a 22-的值 四、倒数代入 例6、已知41=+x x ，求1242++x x x 的值. 练一练 7. 若21 32=+-x x x ,求分式1242++x x x 的值. 8.已知211222-=-x x ,求)1 ()1111(2x x x x x +-÷+--的值. 9. 已知5 1,41,31=+=+=+c a ac c b bc b a ab ,求bc ac ab abc ++的值.
中考分式方程题-经典题型
中考分式方程题 解分式方程的重要策略，供同学们借鉴： 第一招：化“分”为“整” 即对原方程两边同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程。 例1（2010年北京卷）解分式方程：2 12423=---x x x 解：原方程两边同时乘以)2(2-x 得：223-=-x x 化简整理得：53=x 解得35= x 经检验3 5=x 是原分式方程的解 例2（2010年江西卷）解分式方程：14 4222=-++-x x x 解：原方程两边同时乘以)2)(2(-+x x 得：)2)(2(4)2(2-+=+-x x x 化简整理得：124=x 解得3=x 经检验3=x 是原分式方程的解 小结：化“分”为“整”是解分式方程的最基本策略。其求解关键是把原分式方程的每一项都乘以最简公分母，尤其要注意的是常数项不能漏乘最简公分母。 第二招：活用比例的基本性质 即对于无常数项的分式方程，可利用比例的基本性质：“两个内项之积等于两个外项之积”进行求解。 例3（2010年梅州卷）解分式方程： 122122+-=-x x x x 解:由比例的基本性质得：12)(222+-=-x x x x 化简整理得：12=x 解得1±=x 经检验1-=x 是原分式方程的解 例4（2010年潍坊卷）分式方程6 45+-=-x x x x 的解是______ 解:由比例的基本性质得：)6()4)(5(+=--x x x x 化简整理得：2015=x 解得34= x 经检验3 4=x 是原分式方程的解 例5（2010年义乌卷）解分式方程：x x x 22 122=++ 解：由比例的基本性质得：)2(2122+=+x x x 化简整理得：14=x 解得41=x 经检验4 1=x 是原分式方程的解 小结：比例的基本性质是求解无常数项分式方程的重要钥匙。像例3——例5活用比例的基本性质解分式方程，使得解题过程既简便又快捷。 第三招：拆分分式 即把分子和分母的值非常接近的分式分离出一个常数和一个比较简单的分式。
《分解因式》《分式》解题技巧(共十二巧)
《分解因式》《分式》解题技巧（共十二巧） 在进行因式分解和解分式时，往往一上手就解答，其实并不完美．应仔细观察题目特点，变通解题方法，减少计算量，化繁为简，提高解题速度． 一、变换符号 例1．分解因式：2()3()a y z b z y ---． 二、整体考虑 例2．分解因式：2412()9()x y x y +-+- 三、添括号 例3．分解因式：4161x - 四、去括号 例4．分解因式：2()4a b ab -+ 五、常值代换 例5．已知abc=1，求 111a b c a ab b bc c ca ++++++++的值．
六、巧取特值 例6．若a 、b 、c 都不为0，且a+b+c=0，则 2221b c a +-+2221b c a +-+2221b c a +-的值为（ ） （A ）－1 （B ） 0 （C ）1 （D ）2． 七、逆用法则 例7．化简：222()()()()()() a b c b c a c a b a b a c b c b a c a c b ------++------ 八、添项拆项 例8．计算：3 211 a a a a ----． 九、巧用性质 例9．化简：11y x y x + -
十、设参换元 例10．计算： 222 ()()() ()()()()()() y z z x x y x y x z y x y z z x z y --- ++ ------ ． 十一、巧去分母 例11．解方程： 4857 61079 x x x x x x x x ----+=+ ---- 十二、巧列方程 例12．华联超市用50000元从外地采购一批“T恤衫”由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购比上一次多2倍的“T恤衫”，但第二次比第一次进价每件贵12元，商场在出售时统一按每件80元的标价出售，为了缩短库存时间，最后的400件按6.5折处理并很快售完.求商场在这笔生意上盈利多少元?
分式计算技巧
分式计算常用技巧 专题 典例引路—分式运算的常用技巧 分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，这节课我们来学习运用数学思想和方法技巧来对分式进行运算。 1、整体 例1 计算(1)242++-a a （2）11 32+--+x x x x 例2 .3353,511)1(的值求若y xy x y xy x y x ---+=- .1 11,1)2(的值求 已知++++++++=c ac c b bc b a ab a abc .3515x 5,411x )3(224242的值求如果x x x x +-=++ 整体思想就是考虑数学问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。整体思想在处理数学问题时，有广泛的应用。 2、倒数求值法 例3 的值求已知1 a ,51)1(242 ++=+a a a a
.1 x ,71)2(242 2的值求若++=+-x x x x x 3、连等设k 法 例4 .32x ,543x )1(的值求已知z y x y z y +-+== .) )()((abc ,)2(的值求已知 a c c b b a c b a b a c a c b ++++=+=+ .))()((xyz ,543)3(的值求已知 z x z y y x z x z y y x ++++=+=+ 4、分组运算法 例5 3 4123112112222++-++-++++x x x x x x x x 计算
分式方程应用题的解题技巧
分式方程应用题的解题 技巧 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
分式方程应用题的解题技巧 分式方程应用题是中考中的一个重点，而解分式方程应用题确实大部分同学的一块心病，很多同学读完题没有头绪，根本不知道题目中说的是什么，更别说列方程了，下面针对分解式方程应用题介绍一种方法。 在分析数量关系的时候，我们可以采用“列表法”，问题中通常涉及到两者之间的各种数量的比较，如“骑自行车与乘汽车”，“原计划与实际”“甲与乙”等。列表时表格横向表示各数量，纵向表示两者的比较，要能容纳题中所有数量关系。 下面写几个常见类型的分式方程应用题。 行程问题 例题1某校九年级学生由距离农机厂15千米的学校出发，前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了45分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车同学的3倍，求骑车同学的速度。 列表分析如下： 由骑自行车和乘汽车所走的路程相同都为15千米填得①②，设骑自行车同学的速度为x 千米／时填得③，由汽车速度是骑车同学速度的3倍填得④，根据基本公式：路程=速度×时间填得⑤⑥，最后根据骑自行车的同学先出发45分钟，乘汽车的同学出发，结果同时到达可列方程： 60 4531515=-x x （注意要统一单位） 工程问题 例题2 需要铺设一段全长为3000m 的管道，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成任务；求原计划每天铺设管道多少m 列表分析如下：
由“需要铺设一段全长为3000m 的管道”，填得①②，设原计划每天铺设管道xm ，填得③，由“实际施工时每天的工效比原计划增加25%”填得④，根据基本公式：工作量=工作效率×工作时间填得⑤⑥，最后根据“结果提前30天完成任务” 可列方程：()30%25130003000=+-x x 。 销售问题 例题3 甲、乙两种原料单价比为2：3，将价值2000元的甲种原料与价值1000元的乙种原料混合后，单价为9元，求甲种原料的单价列表分析如下： 设甲、乙两种原料的单价分别是2x 元，3x 元，填得①②，“将价值2000元的甲种原料与价值1000元的乙种原料混合”，填得③④，由“单价为9元”填得⑤，根据混合前后总价不变，填得⑥，由基本公式：总价＝单价×数量填得⑦⑧⑨，最后根据两种原料混合前后数量不变，可列方程： 9 100020003100022000+=+x x 。 水流问题 例题4 一艘轮船顺水航行40Km 所用的时间与逆水航行30Km 所用的时间相同，若水流速度为3Km/h ，求轮船在静水中的速度。列表分析如下： 由顺水航行40千米，逆水航行30千米，填得①②，设轮船在静水中的速度是x 千米／时，根据基本公式：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，填得③④，再根据基本公式：路程=速度×时间填得⑤⑥，最后由所用的时间相等可列方程： 330340-=+x x 。 收费问题 例5 某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%。小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元。已知小明家今
条件分式求值的方法与技巧完整版
条件分式求值的方法与 技巧 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
学科: 奥数 教学内容：条件分式求值的方法与技巧 求条件分式的值是分式化简、计算的重要内容，解题主要有以下三个方面： 一、将条件式变形后代入求值 例1已知 432z y x ==，z y x z y x +--+22求的值． 解：设4 32z y x ==＝k ， 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ． ∴ 原式＝5 45443224322==+-?-?+k k k k k k k k ． 说明：已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法． 例2已知的值求b a b a b ab a +-=-+,0622． 解：由0622=-+b ab a 有（a ＋3b ）（a －2b ）＝0， ∴ a ＋3b ＝0或a －2b ＝0， 解得a ＝－3b 或a ＝2b ． 当a ＝－3b 时，原式＝233=+---b b b b ； 当a ＝2b 时，原式＝3 122=+--b b b b ． 二、将求值变形代入求值． 例3已知)11()11()11(,0c b a a c b b a c c b a +++++=++求的值． 解：原式＝1)111(1)111(1)111(-+++-+++-++a c b a b a c b c b a c ＝3))(111(-++++a b c c b a ∵ a ＋b ＋ c ＝0， ∴ 原式＝－3． 例4已知31=+x x ，的值求1242++x x x ． 分析：∵ 1)1(11122 2224-+=++=++x x x x x x x ， ∴ 可先求值式的倒数，再求求值式的值． 解：∵ 1)1(12224-+=++x x x x x 8132=-=，
条件分式求值的方法与技巧
条件分式求值的方法与 技巧 The manuscript was revised on the evening of 2021
学科: 奥数 教学内容：条件分式求值的方法与技巧 求条件分式的值是分式化简、计算的重要内容，解题主要有以下三个方面： 一、将条件式变形后代入求值 例1已知 432z y x ==，z y x z y x +--+22求的值． 解：设4 32z y x ==＝k ， 则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ． ∴ 原式＝5 45443224322==+-?-?+k k k k k k k k ． 说明：已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法． 例2已知的值求b a b a b ab a +-=-+,0622． 解：由0622=-+b ab a 有（a ＋3b ）（a －2b ）＝0， ∴ a ＋3b ＝0或a －2b ＝0， 解得a ＝－3b 或a ＝2b ． 当a ＝－3b 时，原式＝ 233=+---b b b b ； 当a ＝2b 时，原式＝3122=+--b b b b ． 二、将求值变形代入求值． 例3已知)11()11()11(,0c b a a c b b a c c b a +++++=++求的值． 解：原式＝1)111(1)111(1)111(-+++-+++-++a c b a b a c b c b a c ＝3))(111(-++++a b c c b a ∵ a ＋b ＋ c ＝0， ∴ 原式＝－3．
例4已知31=+x x ，的值求1242++x x x ． 分析：∵ 1)1(11122 2224-+=++=++x x x x x x x ， ∴ 可先求值式的倒数，再求求值式的值． 解：∵ 1)1(12224-+=++x x x x x 8132=-=， ∴ 8 11242=++x x x ． 三、将条件式和求值式分别变形后代入求值． 例5 已知y xy x y xy x y x ---+=-2232,311则分式的值为__________． 解法一：∵ 311=-y x ， ∴ y －x ＝3xy ?x －y ＝－3xy ． ∵ 原式＝xy y x xy y x 2)(3)(2--+- 5 3233)3(2=--+-=xy xy xy xy ． 解法二：将分子、分母同除以xy （≠0）． ∴原式＝ x y x y 121232---+ 分析：∵ 填空题不需要写出解题过程，故可取满足已知等式的特殊值求解． 解法三：取x ＝2 1，y ＝－1，