38、线面垂直判断与性质(教师版)

**教育ISO讲义

直线、平面垂直的判定及性质

思考：如何一条直线与一个平面不相交，该直线可能与平面垂直吗？如果一个平面与另一个平面不相交，这两个平面可能垂直吗？

一、知识梳理

1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言 图形语言

符号语言

判定定理

一条直线与一个平面

内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

?

????a ，b ?αa ∩b ＝O

l ⊥a l ⊥b

?l ⊥α

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线平行

?

???

?a ⊥αb ⊥α?a ∥b 2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言 图形语言

符号语言

判定定理

一个平面过另一个平

面的垂线，则这两个

平面互相垂直

?

???

?l ?βl ⊥α?α⊥β

性质定理

两个平面互相垂直，

则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另

一个平面

????

?α⊥β

l ?β

α∩β＝a

l ⊥a

?l ⊥

α

3.空间角

(1)直线与平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠P AO 就是斜线AP 与平面α所成的角．

②线面角θ的范围：θ∈????0，π

2． (2)二面角

①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫

做二面角的面．

如图的二面角，可记作：二面角α-l -β或二面角P -AB -Q ．

②二面角的平面角

如图，过二面角α-l -β的棱l 上一点O 在两个半平面内分别作BO ⊥l ，AO ⊥l ，则∠AOB 就叫做二面角α-l -β的平面角．

③二面角的范围

设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]． ④当θ＝π

2时，二面角叫做直二面角．

常用结论

1．线线、线面、面面垂直间的转化

2．两个重要定理 (1)三垂线定理

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直． 3．重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．

考点1 线面垂直的判定与性质(多维探究)

【例1】如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝1

2

AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．

求证：(1)PH ⊥平面ABCD ； (2)EF ⊥平面P AB .

【解析】(1)因为AB ⊥平面P AD ，PH ?平面P AD ，所以PH ⊥AB . 因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .

因为AB ∩AD ＝A ，AB ?平面ABCD ，AD ?平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD .

(2)如图，取P A 的中点M ，连接MD ，ME .因为E 是PB 的中点，所以ME 綊1

2AB .

又因为DF 綊1

2AB .

所以ME 綊DF ，

所以四边形MEFD 是平行四边形， 所以EF ∥MD .

因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A . 因为AB ⊥平面P AD ，所以MD ⊥AB . 因为P A ∩AB ＝A ，所以MD ⊥平面P AB ， 所以EF ⊥平面P AB .

【例2】如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .

求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .

【解析】(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF?平面ABC，AB?平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

(2)因为平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，

BC?平面BCD，BC⊥BD，

所以BC⊥平面ABD.

因为AD?平面ABD，

所以BC⊥AD.

又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，

所以AD⊥平面ABC.

又因为AC?平面ABC，

所以AD⊥AC.

(1)判定线面垂直的四种方法

(2)判定线线垂直的四种方法

【变式一】如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．

证明：(1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE .

【解析】(1)在四棱锥P -ABCD 中， 因为P A ⊥底面ABCD ，CD ?平面ABCD ， 所以P A ⊥CD .因为AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面P AC .

而AE ?平面P AC ，所以CD ⊥AE .

(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A . 因为E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC . 由(1)知AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ， 所以AE ⊥平面PCD . 而PD ?平面PCD ， 所以AE ⊥PD .

因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥AB . 又因为AB ⊥AD 且P A ∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面P AD ，而PD ?平面P AD ， 所以AB ⊥PD .又因为AB ∩AE ＝A ， 所以PD ⊥平面ABE .

【变式二】如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D 为线段AB 上的点，且AD ＝2DB ，PD ⊥AC .

(1)求证：PD ⊥平面ABC ；

(2)若∠PAB ＝π

4

，求点B 到平面PAC 的距离．

【解析】：(1)连接CD，据题知AD＝4，BD＝2，AC2＋BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝23

6

＝

3

3

，

∴CD2＝22＋(23)2－2×2×23cos∠ABC＝8，∴CD＝22，∴CD2＋AD2＝AC2，则CD⊥AB.

∵平面PAB⊥平面ABC，

∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，

∵PD⊥AC，AC∩CD＝C，

∴PD⊥平面ABC.

(2)由(1)得PD⊥AB，∵∠PAB＝π

4

，

∴PD＝AD＝4，PA＝42，

在Rt△PCD中，PC＝PD2＋CD2＝26，

∴△PAC是等腰三角形，∴可求得S△PAC＝8 2. 设点B到平面PAC的距离为d，

由V B-PAC＝V P-ABC，得1

3

S△PAC×d＝

1

3

S△ABC×PD，

∴d＝S△ABC×PD

S△PAC

＝3.

故点B到平面PAC的距离为3.

考点2 面面垂直的判定与性质

【例1】如图，四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，

AB ，BC ，PD ，PC 的中点．

(1)求证：CE ∥平面P AD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .

【解析】(1)法一：取P A 的中点H ，连接EH ，DH .

又E 为PB 的中点， 所以EH 綊1

2AB .

又CD 綊1

2AB ，

所以EH 綊CD .

所以四边形DCEH 是平行四边形， 所以CE ∥DH .

又DH ?平面P AD ，CE ?平面P AD . 所以CE ∥平面P AD .

法二：连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝1

2AB .

又CD ＝1

2

AB ，

所以AF ＝CD .

又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．

因此CF∥AD.

又CF?平面P AD，AD?平面P AD，

所以CF∥平面P AD.

因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥P A.

又EF?平面P AD，P A?平面P AD，

所以EF∥平面P AD.

又因为CF∩EF＝F.故平面CEF∥平面P AD.

又因为CE?平面CEF，

所以CE∥平面P AD.

(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，

所以EF∥P A，又AB⊥P A，所以AB⊥EF.

同理可得AB⊥FG.

又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，

FG?平面EFG，

因此AB⊥平面EFG.

又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.

又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.

又MN?平面EMN，

所以平面EFG⊥平面EMN.

【例2】如图，在四棱锥E-ABCD中，△EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足AB∥CD，AD＝DC

＝1

2AB，且AE⊥BD.

(1)证明：平面EBD⊥平面EAD；

(2)若△EAD的面积为3，求点C到平面EBD的距离．

【解析】(1)证明：如图，取AB的中点M，连接DM，则由题意可知四边形BCDM为平行四边形，

∴DM＝CB＝AD＝1

2

AB，即点D在以线段AB为直径的圆上，

∴BD⊥AD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，∴BD⊥平面EAD.

∵BD ?平面EBD ，∴平面EBD ⊥平面EAD. (2)∵BD ⊥平面EAD ，且BD ?平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面EAD. ∵等边△EAD 的面积为3， ∴AD ＝AE ＝ED ＝2，

取AD 的中点O ，连接EO ，则EO ⊥AD ，EO ＝3， ∵平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴EO ⊥平面ABCD.

由(1)知△ABD ，△EBD 都是直角三角形， ∴BD ＝AB 2

－AD 2

＝23， S △EBD ＝1

2ED ·BD ＝23，

设点C 到平面EBD 的距离为h ，

由V C -EBD ＝V E -BCD ，得13S △EBD ·h ＝1

3S △BCD ·EO ，

又S △BCD ＝1

2BC ·CDsin 120°＝3，

∴h ＝

32.∴点C 到平面EBD 的距离为32

.

【变式一】如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．

(1)求证：PE ⊥BC ；

(2)求证：平面P AB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .

【解析】：(1)因为P A ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形，所以BC ∥AD . 所以PE ⊥BC .

(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，所以AB ⊥平面P AD .所以AB ⊥PD .又因为P A ⊥PD ，所以PD ⊥平面P AB .所以平面P AB ⊥平面PCD .

(3)取PC 的中点G ，连接FG ，DG .

因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝1

2

BC .

因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝1

2BC .

所以DE ∥FG ，DE ＝FG .

所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以EF ∥DG .

又因为EF ?平面PCD ，DG ?平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .

【变式二】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ，E ，G ，F 分别为MB ，PB ，PC 的中点．

(1)求证：平面EFG ∥平面PMA ； (2)求证：平面EFG ⊥平面PDC .

【解析】 (1)∵E ，G ，F 分别为MB ，PB ，PC 的中点， ∴EG ∥PM ，GF ∥BC . 又∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ∥AD ，∴GF ∥AD .

∵EG ，GF 在平面PMA 外，PM ，AD 在平面PMA 内， ∴EG ∥平面PMA ，GF ∥平面PMA . 又∵EG ，GF 都在平面EFG 内且相交， ∴平面EFG ∥平面PMA .

(2)由已知MA ⊥平面ABCD ，PD ∥MA ， ∴PD ⊥平面ABCD .

又BC ?平面ABCD ，∴PD ⊥BC .

∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.

由(1)知GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.

又GF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.

考点3 垂直关系中的探索性问题

【例1】如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝ 2.

(1)求证：B1C∥平面A1BM；

(2)求证：AC1⊥平面A1BM；

(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BN

BB1的值；如果不存在，请说

明理由．

【解析】：证明（1）连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM.

在△B1AC中，因为M，O分别为AC，AB1的中点，

所以OM∥B1C，

又因为OM?平面A1BM，B1C?平面A1BM，

所以B1C∥平面A1BM.

(2)证明：因为侧棱AA1⊥底面ABC，BM?平面ABC，

所以AA1⊥BM，

又因为M为棱AC的中点，AB＝BC，所以BM⊥AC.

因为AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面ACC1A1，

所以BM⊥平面ACC1A1，

所以BM⊥AC1.

因为AC＝2，所以AM＝1.

又因为AA1＝2，所以在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，

tan ∠AC 1C ＝tan ∠A 1MA ＝2， 所以∠AC 1C ＝∠A 1MA ，

即∠AC 1C ＋∠C 1AC ＝∠A 1MA ＋∠C 1AC ＝90°， 所以A 1M ⊥AC 1.

因为BM ∩A 1M ＝M ，BM ，A 1M ?平面A 1BM ， 所以AC 1⊥平面A 1BM . (3)

当点N 为BB 1的中点，即

BN BB 1＝1

2

时， 平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C . 证明如下：

设AC 1的中点为D ，连接DM ，DN .因为D ，M 分别为AC 1，AC 的中点， 所以DM ∥CC 1，且DM ＝1

2

CC 1.

又因为N 为BB 1的中点，所以DM ∥BN ，且DM ＝BN ， 所以四边形BNDM 为平行四边形， 所以BM ∥DN ，

因为BM ⊥平面ACC 1A 1，所以DN ⊥平面AA 1C 1C . 又因为DN ?平面AC 1N ， 所以平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C .

[例2] 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .

(1)求证：DC ⊥平面P AC . (2)求证：平面P AB ⊥平面P AC .

(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由． 【解析】 (1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥DC . 又因为DC ⊥AC ，且PC ∩AC ＝C ， 所以DC ⊥平面P AC .

(2)证明：因为AB ∥DC ，DC ⊥AC ，所以AB ⊥AC . 因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥AB . 又因为PC ∩AC ＝C ，所以AB ⊥平面P AC . 又AB ?平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AC .

(3)棱PB上存在点F，使得P A∥平面CEF.

理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.

因为E为AB的中点，所以EF∥P A.

又因为P A?平面CEF，且EF?平面CEF，

所以P A∥平面CEF.

(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．

(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手．一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．

【变式一】如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．

(1)证明：AE∥平面BDF；

(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE?若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OF.

因为四边形ABCD是矩形，

所以O为AC的中点．

又F为EC的中点，所以OF∥AE.

又OF?平面BDF，

AE?平面BDF，

所以AE∥平面BDF.

(2)当点P为AE的中点时，

有PM⊥BE，证明如下：

取BE的中点H，连接DP，PH，CH.

因为P为AE的中点，H为BE的中点，所以PH∥AB.

又AB∥CD，所以PH∥CD，

所以P，H，C，D四点共面．

因为平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，

CD?平面ABCD，所以CD⊥平面BCE.

又BE?平面BCE，所以CD⊥BE，

因为BC＝CE，且H为BE的中点，

所以CH⊥BE.

又CH∩CD＝C，且CH，CD?平面DPHC，

所以BE⊥平面DPHC.

又PM?平面DPHC，所以PM⊥BE.

考点4 平行与垂直关系中的翻折问题

【例1】如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE ＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥A′－BCDE，其中A′O＝ 3.

(1)证明：A′O⊥平面BCDE；

(2)求二面角A′－CD－B的平面角的余弦值．

【解析】(1)证明：在题图①中，易得OC＝3，AC＝32，AD＝2 2.

连接OD，OE，在△OCD中，由余弦定理可得

OD＝OC2＋CD2－2OC·CD cos 45 °＝ 5.

由翻折不变性可知A′D＝22，

所以A′O2＋OD2＝A′D2，所以A′O⊥OD，

同理可证A′O⊥OE，又OD∩OE＝O，

所以A′O⊥平面BCDE.

(2)过O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于H ，连接A ′H ，因为A ′O ⊥平面BCDE ，所以A ′H ⊥CD ，所以∠A ′HO 为二面角A ′－CD －B 的平面角．

结合题图①可知，H 为AC 的中点，故OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋OA ′2＝302，所以cos ∠A ′HO ＝OH

A ′H ＝

155，所以二面角A ′－CD －B 的平面角的余弦值为15

5

.

折叠问题的关键有二：①画好两个图——折叠前的平面图和折叠后的立体图；②分析好两个关系——折叠前后哪些位置关系和数量关系发生了变化，哪些没有改变．一般地，在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的．涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是要变化的．分别位于两个半平面内但垂直于折叠棱的直线翻折后仍然垂直于折叠棱．

[例2] 如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝1

3AB ＝1，M 为AB 的三等分点．现将△AMD 沿MD

折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB ，AC .

(1)在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC?

(2)当点P 为AB 边的中点时，求点B 到平面MPC 的距离．

【解析】 (1)当AP ＝1

3

AB 时，有AD ∥平面MPC .理由如下：

连接BD 交MC 于点N ，连接NP .在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，DN NB ＝DC MB ＝1

2，

∵△ADB 中，AP PB ＝1

2，∴AD ∥PN .∵AD ?平面MPC ，PN ?平面MPC ，

∴AD ∥平面MPC .

(2)∵平面AMD ⊥平面MBCD ，平面AMD ∩平面MBCD ＝DM ， 平面AMD 中AM ⊥DM ，∴AM ⊥平面MBCD . ∴V P -MBC ＝13×S △MBC ×AM 2＝13×12×2×1×12＝1

6

.

在△MPC 中，MP ＝12AB ＝5

2，MC ＝2，

又PC ＝

????122＋12＝52，∴S △MPC ＝12

×2×

????522－????222＝64

.

∴点B 到平面MPC 的距离为d ＝3V P -MBC S △MPC ＝3×1664＝6

3.

【变式一】如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，E ，F 分别在线段BC ，AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起，记折起后的矩形为MNEF ，且平面MNEF ⊥平面ECDF .

(1)求证：NC ∥平面MFD ； (2)若EC ＝3，求证：ND ⊥FC ； (3)求四面体N -EFD 体积的最大值．

【解析】：(1)证明：∵平行四边形MNEF 和EFDC 都是矩形，∴MN ∥EF ，EF ∥CD ，MN ＝EF ＝CD ，∴MN ∥CD .

∴四边形MNCD 是平行四边形．∴NC ∥MD . ∵NC ?平面MFD ，MD ?平面MFD ， ∴NC ∥平面MFD .

(2)证明：连接ED ，交FC 于点O ，如图所示．

∵平面MNEF ⊥平面ECDF ，且NE ⊥EF ，平面MNEF ∩平面ECDF ＝EF ，NE ?平面MNEF ，∴NE ⊥平面ECDF .

∵FC ?平面ECDF ，∴FC ⊥NE .∵EC ＝CD ，∴四边形ECDF 为正方形，∴FC ⊥ED . 又∵ED ∩NE ＝E ，ED ，NE ?平面NED ，∴FC ⊥平面NED . ∵ND ?平面NED ，∴ND ⊥FC .

(3)设NE ＝x ，则FD ＝EC ＝4－x ，其中0

∴四面体N -EFD 的体积为V N -FED ＝13S △EFD ·NE ＝12x (4－x )．∴V N -FED ≤12????x ＋(4－x )22

＝2， 当且仅当x ＝4－x ，即x ＝2时，四面体N -EFD 的体积最大，最大值为2.

【变式二】如图，平面五边形ABCDE 中，AB ∥CE ，且AE ＝2，∠AEC ＝60°，CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝5

7

.将△CDE 沿CE 折起，使点D 到P 的位置，且AP ＝3，得到四棱锥P -ABCE . (1)求证：AP ⊥平面ABCE ；

(2)记平面P AB 与平面PCE 相交于直线l ，求证：AB ∥l .

【解析】：(1)在△CDE 中，∵CD ＝ED ＝7，cos ∠EDC ＝5

7，由余弦定理得CE ＝2.连接AC (图略)，∵AE ＝2，

∠AEC ＝60°，∴AC ＝2.又AP ＝3，∴在△P AE 中，P A 2＋AE 2＝PE 2，即AP ⊥AE .同理，AP ⊥AC .而AC ?平面ABCE ，AE ?平面ABCE ，AC ∩AE ＝A ，故AP ⊥平面ABCE .

(2)∵AB ∥CE ，且CE ?平面PCE ，AB ?平面PCE ，∴AB ∥平面PCE .又平面P AB ∩平面PCE ＝l ，∴AB ∥l .

[基础题组练]

1．(2020·辽宁大连模拟)已知直线l 和平面α，β，且l ?α，则“l ⊥β”是“α⊥β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】选A.

【解析】：由面面垂直的判定定理可得，若l ?α，l ⊥β，则α⊥β，充分性成立；若l ?α，α⊥β，则l 与β平行或相交或垂直，必要性不成立．所以若l ?α，则“l ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，故选A.

2．(2020·河北唐山模拟)如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )

A ．①②

B ．②④

C ．①③

D ．②③

【答案】选B.

【解析】：对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE 不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故选B.

3.(2020·黑龙江鹤岗模拟)如图，在三棱锥V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，则下列结论中不一定成立的是()

A．AC＝BC

B．AB⊥VC

C．VC⊥VD

D．S△VCD·AB＝S△ABC·VO

【答案】选C.

【解析】：因为VO⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以VO⊥AB.因为VA＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB.又因为VO∩VD＝V，所以AB⊥平面VCD.又因为CD?平面VCD，所以AB⊥CD.又因为AD＝BD，所以AC＝BC，故A正确．

又因为VC?平面VCD，所以AB⊥VC，故B正确；

因为S△VCD＝1

2VO·CD，S△ABC＝

1

2AB·CD，所以S△VCD·AB＝S△ABC·VO，故D正确．由题中条件无法判断VC⊥VD.

故选C.

4.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

【答案】选A.

【解析】：由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.

因为AC?平面ABC，

所以平面ABC1⊥平面ABC.

所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．

5.如图，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面P AE

C．平面PDF⊥平面P AE

D．平面PDE⊥平面ABC

【答案】选D.

【解析】：因为BC∥DF，DF?平面PDF，

BC?平面PDF，

所以BC∥平面PDF，故选项A正确；

在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，

且AE，PE?平面P AE，

所以BC⊥平面P AE，

因为DF∥BC，所以DF⊥平面P AE，

又DF?平面PDF，

从而平面PDF⊥平面P AE.

因此选项B，C均正确．

6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是边AB上的一个动点，则PM的最小值为________．

【答案】27

【解析】：作CH⊥AB于H，连接PH.因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH为PM的最小值，等于27.

7.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是边PC上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)