一元二次方程(知识点+考点+题型总结)

一元二次方程专题复习

考点一、概念

(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．

就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax

⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：

例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A ()()12132

+=+x x B 02112=-+x

x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x

变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m

是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，

⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程

()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1

考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；

典型例题：

例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。

例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。

针对练习：

★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程

311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。

★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。

★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

★★5、方程

()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ）

A 1-

B 1

C c b -

D a - ★★★6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。

考点三、解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

⑵关键点：降次

类型一、直接开方法：()m x m m x

±=?≥=,02 ※※对于

()m a x =+2，()()22n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 典型例题：

例1、解方程：

();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132=--x

例2、若()()2221619

+=-x x ，则x 的值为 。 针对练习：下列方程无解的是（ ） A.12322-=+x x B.()022=-x C.x x -=+132 D.092=+x

类型二、因式分解法:()()021=--x x x x 21,x x x x ==?或

※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

※方程形式：如()()22n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ，0222=++a ax x

典型例题：

例1、()()3532-=-x x x 的根为（ ）

A 25=

x B 3=x C 3,2521==x x D 5

2=x 例2、若()()044342=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。 变式1：

()()=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。

变式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。

变式3：若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值为 。

例3、方程062=-+x x 的解为（ ） A.2321=-=，x x B.2321-==，x

x C.3321-==，x x D.2221-==，x x

例4、解方程：

()04321322=++++x x

例5、已知023222=--y xy x ,则y

x y x -+的值为 。 变式：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y x y x -+的值为 。 针对练习：

★1、下列说法中： ①方程02=++q px x

的二根为1x ，2x ，则))((212x x x x q px x --=++

② )4)(2(862--=-+-x x x x . ③)3)(2(6522--=+-a a b ab a ④ ))()((22y x y x y x y x -++=-

⑤方程07)

13(2=-+x 可变形为0)713)(713(=-+++x x 正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ★2、以71+与71-为根的一元二次方程是（）

A ．0622=--x x

B ．0622=+-x x

C ．0622=-+y y

D ．0622=++y y

★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：

⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：

★★4、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ，则x+y 的值为（ ）

A 、-1或-2

B 、-1或2

C 、1或-2

D 、1或2

5、方程：2122=+

x x 的解是 。 ★★★6、已知

06622=--y xy x ，且0>x ，0>y ，求y x y x --362的值。 ★★★7、方程()012000199819992=-?-x x 的较大根为r ，方程01200820072=+-x x 的较小根为s ，则s-r 的

值为 。 类型三、配方法()002≠=++a c bx ax 222442a ac b a b x -=??

? ??+? ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：

例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2、 已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x

的最小值。

例3、 已知，x、y y x y x

0136422=+-++为实数，求y x 的值。

例4、 分解因式：31242++x x

针对练习：

★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

★★2、已知041122=---+

x x x x ，则=+x x 1 . ★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。

★★★4、如果4122411-++-=--+

+b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。 类型四、公式法

⑴条件：()

04,02≥-≠ac b a 且 ⑵公式： a ac b b x 242-±-=,()

04,02≥-≠ac b a 且 典型例题：

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴(

).6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x

⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x

例2、在实数范围内分解因式：

（1）3222--x x

； （2）1842-+-x x . ⑶22542y xy x --

说明：①对于二次三项式c bx ax ++2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，

一般情况要用求根公式，这种方法首先令c bx ax ++2=0，求出两根，再写成

c bx ax ++2=))((21x x x x a --. ②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

类型五、 “降次思想”的应用

⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。

典型例题：

例1、 已知0232=+-x x

，求代数式()1

1123-+--x x x 的值。

例2、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。 例3、已知a 是一元二次方程0132

=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。

例4、用两种不同的方法解方程组

???=+-=-)2(.065)1(,6222y xy x y x

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再

消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已

知的问题.

考点四、根的判别式ac b 42-

根的判别式的作用：

①定根的个数；

②求待定系数的值；

③应用于其它。

典型例题：

例1、若关于x 的方程0122=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例2、关于x 的方程()0212=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( )

A.10≠≥且m m

B.0≥m

C.1≠m

D.1>m

例3、已知关于x 的方程()0222=++-k x k x

(1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰?ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC 的周长。

例4、已知二次三项式2)6(92-++-m x m x

是一个完全平方式，试求m 的值.

例5、m 为何值时，方程组?

??=+=+.3,6222y mx y x 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

针对练习：

★1、当k 时，关于x 的二次三项式92

++kx x 是完全平方式。

★2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？

★3、已知方程022=+-mx mx 有两个不相等的实数根，则m 的值是 . ★★4、k 为何值时，方程组?

??=+--+=.0124,22y x y kx y （1）有两组相等的实数解，并求此解；

（2）有两组不相等的实数解；

（3）没有实数解.

★ ★★5、当k 取何值时，方程04234422=+-++-k m m x mx x 的根与m 均为有理数？

考点五、方程类问题中的“分类讨论”

典型例题：

例1、关于x 的方程()03212=-++mx x m

⑴有两个实数根，则m 为 , ⑵只有一个根，则m 为 。 例2、 不解方程，判断关于x 的方程()3222-=+--k k x x

根的情况。

例3、如果关于x 的方程022=++kx x 及方程022=--k x x 均有实数根，问这两方程 是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。

考点六、应用解答题

⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题

典型例题：

1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？

2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？

3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入

资金600万元，第二年比第一年减少

31，第三年比第二年减少2

1，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利3

1，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，61.313≈）

4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：

（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，

销售单价应定为多少？

5、将一条长20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不

能，请说明理由。

（3）两个正方形的面积之和最小为多少？

6、A 、B 两地间的路程为36千米.甲从A 地，乙从B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B 地，乙再走1小时36分到达A 地，求两人的速度.

考点七、根与系数的关系

⑴前提：对于02=++c bx ax 而言，当满足①0≠a 、②0≥?时，才能用韦达定理。 ⑵主要内容：a c x x a b x x =-

=+2121, ⑶应用：整体代入求值。

典型例题：

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822=+-x x 的两根，则这个直角三角形的斜边是（ ） A.

3 B.3 C.6 D.6

例2、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ， （1）求k 的取值范围；

（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。

例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？

例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122

=--b b ，求=+b a 变式：若0122=--a a ，0122

=--b b ，则a

b b a +的值为 。 例5、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，那么=+βα34 . 针对练习：

1、解方程组??

?=+=+)2(5)1(,322y x y x 2．已知472-=-a a ，472-=-b b )(b a ≠，求b a a b +的值。

3、已知21,x x 是方程092=--x x 的两实数根，求663722

231-++x x x 的值。