第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时）
一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌
握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.
三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程：
1 新课引入
由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组
dY
AY dx
= (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.
由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵
1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换
Y TZ = (3.21)
其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为
1dZ
T ATZ dx
-= (3.22) 我们知道，约当标准型1
T AT -的形式与矩阵A 的特征方程
11121212221
2
det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λ
λλλ
---=
=-
的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵
A 的特征根.
下面分两种情况讨论.
(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ 这时
12
1
00
n T AT λλλ-?????
?=??????
方程组(3.20)变为
11122
200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ??????????????
????????=
????????????????
??????
(3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解
1110(),00x Z x e λ????????=???????? 220010(),,()0001n x x
n Z x e Z x e λλ????????????
????==????????????????
把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解
12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ??
????==??????
(1,2,,)i n =
这里i T 是矩阵T 第i 列向量，它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量，并且由线性方程组
()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出，12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组，因为
它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到
定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ 彼此互异，且
12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量，则
121122(),(),,()n x
x
x
n n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ=== 是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组
353dx
x y z dt dy
x y z dt dz
x y z dt ?=-+???=-+-???=-+??
的通解.
解 它的系数矩阵是
311151313A -??
??=--????-??
特征方程是
311
det()15103
13A E λ
λλλ
---=---=--
即 3
2
1136360λλλ-+-=
所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===．先求12λ=对应的特征向量
1a T b c ????=??
????
,,a b c 满足方程
1111()1310111a a A E b b c c λ-????????????-=--=??????
??????-??????
即
0300a b c a b c a b c -+=??
-+-=??-+=?
可得,0a c b =-=. 取一组非零解，例如令1c =-，就有1,0,1a b c ===-. 同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是
110,1T ????=????-?? 211,1T ????=?????? 3121T ????=-??
????
故方程组的通解是
236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ????????
????????=++-????????
????????-????????
(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根 从上一讲我们已经知道，求解方程组
dY
AY dx
= （3.20） 归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A 是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设1,2i λαβ=±是一对共轭根，由定理3.11，对应解是
111(),x Y x e T λ= 222()x Y x e T λ=
其中12,T T 是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．
定理3.12 如果实系数线性齐次方程组
()dY
A x Y dx
= 有复值解()()()Y x U x iV x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数，则其实部和虚部
12()()(),()n u x u x U x u x ?????
?=?????? 12()()()()n v x v x V x v x ??????=??????
证明 因为()()()Y x U x iV x =+是方程组(3.8)的解，所以
[]()()
()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx
+≡
+ ()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+
由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：
()()()dU x A x U x dx = , ()
()()dV x A x V x dx
= 即()U x ,()V x 都是方程组(3.8)的解.证毕.
定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n 个线性无关的向量函数，
12,b b 是两个不等于零的常数，则向量函数组
112[()()],b Y x Y x + 212[()()],b Y x Y x - 3(),,()n Y x Y x (3.24) 在区间(a, b )上仍是线性无关的.
证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数
12,,,n C C C ，使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有
1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡ 所以
112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡
因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性无关，从而
11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==
从上式可知，11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零，矛盾. 证毕.
由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果a ib λ=+是特征根，则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11，方程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是
11112221
22()()()11
2()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it ++++????
????
+????===????????+????1Y
111221221
2(cos sin )ax
n n t it t it e bx i bx t it +????+??=+????+??
11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx e
ie t bx t bx t bx t bx -+????
????
-+????=+????????-+????
这里1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解，记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为
111221
2212cos sin cos sin 1[()()]2
cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx -??
??
-??+=????-??
12Y Y 121122
2121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e i
t bx t bx +????
+??-=????+??
12Y Y
由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组(3.20)的解， 并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.
例2 求解方程组
3dx
x y z dt dy
x y dt dz
x z dt ?=--???=+???=+??
解 它的系数矩阵为
111110301--??
??=??
????
A
特征方程是
11
1
det()1103
01λ
λλλ
----=
--A E 即
2(1)(25)0λλλ--+=
特征根为
11,λ= 2,312i λ=±
先求11λ=对应的特征向量为
1011????=??
??-??
T
再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满足方程组
2211((12))120302i a i i b i c ---????
????-+=-=????
????-????
A E T 0
即
2020
320
ia b c a bi a ci ?---=??
-=??-=?? 用2i 乘上述第一个方程两端，得
422020
320
a bi ci a bi a ci ?--=??
-=??-=??
显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即
20
320a bi a ci -=??
-=?
求它的一个非零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是
(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-????????
????????=+=+????????????????????????
故原方程组的通解为
123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -????????????????=++????????
????????-????????
(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形
由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基
本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而，当矩阵A 的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若i λ是A 的i k 重特征根，则由齐次线性方程组
()i i λ-=A E T 0
所决定的线性无关特征向量的个数i γ, 一般将小于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若i γ＜i k ，由线性代数的知识，此时也可以求出i k 个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量，可将矩阵A 化成若当标准型
12
1
m ?????
?=?????
?
-J J T AT J
其中未标出符号的部分均为零无素，而
1
010
i i
i i λλλ?????
?=??
????
J (1,2,,)i m =
是i k 阶约当块，12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ 是(3.20)的特征根，它们当中可能有的彼
此相同.
于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成
12
m d dx ????
??=?
????
?
J J Z Z J
(3.25) 根据(3.25)的形式，它可以分解成为m 个可以求解的小方程组.
为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.
设方程组
d Dx
=Y
AY （3.26） 中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ，将方程组(3.26)化为
d dx
=Z
JZ (3.27) 我们假定
111221000010
0000
000010000
λλλλλ??
???
???=?
???????
J 这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组
1
1122123
13dz z z dx dz
z dx dz z dx λλλ?=+???=???=?? (3.28)
4
245
525
dz z z dx
dz z
dx
λλ?=+????=?? (3.29)
在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得
11123121232332!()x
x x
C z x C x C e z C x C e z C e λλλ??=++ ???
=+= 同样对(3.29)可解得
2245455()x x
z C x C e z C e
λλ=+=
这里125,,,C C C 是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现45,,z z 在(3.29)中不出现
123,,z z z ．我们依次取
12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1
C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ========================= 可以得到方程组(3.27)的五个解如下
11111121232!0,,00000000x
x
x x x x x e xe e e xe e λλλλλλ??
??????????????????
????===??????????????
??????????
??
Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ????????????????==????????????????Z Z
从而
11111122220
02!
000()000
00
000
x x
x
x
x
x x
x x x e xe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ???????
?
=????
????
?
?
Z (3.31) 是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又
det (0)10=≠Z ,
所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y =TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解，
1111111211314151,x x x x x t e t e t e t e t e λλλλλ????
??
??=????
??
??
Y 111111112
212223132
4142
5152()(),()()()x x x x x t x t
e t x t e t x t
e t x t e t x t e λλλλλ??
+??+????=+??+????+??
Y
1111121112132212223
231
3323324142432515253()2!()2!()2!()2!()2!x x x x x t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e λλλλλ??++??????++??????=++??????++??
??++????
Y ,222222222214141524242545343435444445
545455()(),()()()x x x x x x x x x x t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e λλλλλλλλλλ????
+????+????????==+????+????????
+????Y Y
而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式
12345()[(),(),(),(),()]x x x x x x =Y Y Y Y Y Y
则显然有det (0)0=≠Y T .
至此我们已清楚地看到，若J 中有一个三阶若当块，1λ是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解，
12345()()()(),1,2,3()()i i i x
i i i i p x p x x p x e i p x p x λ??
????
??==????????
Y (3.32)
其中每个()(1,2,3,1,2,3,4,5)ki p x i k ==是x 的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式
12012()x x x e λ++R R R
其中012,,R R R 都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块，2λ是(3.26)的二重根，它 所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式
234()x x e λ+R R
其中34,R R 也都是五维常向量.
最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若i λ是A 的一个i k 重特征根，则i λ所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于i k ，而且这些阶数的和恰好等于i k . 这样，由以上分析我们得到
定理3.14 设12,,,m λλλ 是矩阵A 的m 个不同的特征根，它们的重数分别为
12,,,m k k k . 那么，对于每一个i λ，方程组(3.20)有i k 个形如
1122()(),()(),,()()i i i i i x x x k k x x e x x e x x e λλλ===Y P Y P Y P
的线性无关解，这里向量()(1,2,,)i i x i k =P 的每一个分量为x 的次数不高于1i k -的多项式. 取遍所有的(1,2,,)i i m λ= 就得到(3.20)的基本解组.
上面的定理既告诉了我们当A 的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解. 为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.
引理3.1 设n 阶矩阵互不相同的特征根为(1,2,,)i i m λ= ，其重数分别是,
1212,,,()m m k k k k k k n +++= , 记n 维常数列向量所组成的线性空间为V ，则
(1) V 的子集合
{()0,}j k
j j λ=-=∈V R A E R R V
是矩阵A 的(1,2,,)j k j m = 维不变子空间，并且
(2) V 有直和分解
12m =⊕⊕⊕V V V V ;
现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.
定理3.15 如果j λ是(3.20)的j k 重特征根，则方程组(3.20)有个j k 形如
1
011()()j j j k x
k x x x
e
λ--=+++Y R R R (3.33)
的线性无关解，其中向量011
,,,j k
-R R R 由矩阵方程
011221
0()()2()(1)()0
j j j j j j k j k k j k λλλλ--?-=?
?-=?
??-=-?
?-=?
A E R R A E R R A E R
R A E R (3.34)
所确定.取遍所有的(1,2,,)j j m λ= ，则得到(3.20)的一个基本解组.
证明 由定理3.14知，若j λ是（3.20）的j k 重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有
2
1
121011[2(1)]()j j j j j j k x
k x
j k j k x k x
e
x x
e
λλλ----+++-++++R R R R R R
1
011()j j j k x
k A x x
e
λ--=+++R R R
消去j x
e
λ，比较等式两端x 的同次幂的系数（向量），有
01
1221
1()()2()(1)()0j j j j j j k j k j k k λλλλ---?-=?
?-=?
??-=-?
?-=?
A E R R A E R R A E R
R A E R
（3.35）
注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其
余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材．
这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出0R ，再依次利用矩阵乘法求出
121,,,j k -R R R . 由引理3.1得知，线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和，取遍所
有的(1,2,,)j j m λ= ，就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量，再由(3.31)
逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n 个解. 记这n 个解构成的解矩阵为()x Y ，显然，
(0)Y 是由(3.34)最下面的方程求出的n 个线性无关常向量构成，由引理3.1的2)矩阵(0)Y 中的各列构成了n 维线性空间V 的一组基，因此det (0)0≠Y ，于是()x Y 是方程组(3.20)的一个基本解组.
例3 求解方程组
1
232
133
12dy y y dx dy y y dx dy y y dx ?=+???=+???=+??
解 系数矩阵为
011101110??
??=??
????
A
特征方程为
2(2)(1)0λλ-+=
特征根为
1232, 1.λλλ===-其中12λ=对应的解是
211()11x x e ????=??
????
Y
下面求231λλ==-所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如
01()()x x x e -=+Y R R
并且01,R R 满足
01
2
0()()0=??=?
A +E R R A +E R 由于
111()111,111????=??????A +E 2333()333333????=??
????
A +E
那么由20()0=A +E R 可解出两个线性无关向量
11,0-??
???????? 101-??
????????
将上述两个向量分别代入01()=A +E R R 中，均得到1R 为零向量.于是231λλ==-对应的两个线性无关解是
21()1,0x x e --????=??????
Y 31()01x x e --??
??=??
????Y
最后得到通解
2123111()110101x x x x C e C e C e ----??????
??????=++??????
????????????
Y
例4 求解方程组
1
1232
1233
12332dy y y y dx dy y y y dx dy y y y dx ?=+-???=-++???=++??
解 系数矩阵是
311121111-??
??=-??
????
A
特征方程为3(2)0λ-= , 有三重特征根1,2,32λ= 由定理3.15，可设其解形如
22012()()x x x x e =++Y R R R
012,,R R R 满足方程组
01
2
1230(2)(2)(2)-=??-=??-=?
A E R R A E R R A E R 0
由于
23
111101000(2)101,(2)000,(2)000111101000--??????
??????-=--=-=????????????--??????
A E A E A E
故0R 可分别取
10,0??
???????? 01,0?????????? 001??
????????
再将它们依次代入上面的方程，相应地求得1R 为
11,1????-?????? 10,1?????????? 111-????????-??
2R 为
120,12??-????????-??
??
00,0?????????? 12012??????????????
于是，可得原方程组三个线性无关解
22212111012()010,()10,011012x x Y x x x e Y x x e ??
??-????????????????????
????????=+-+=+????????????????????????????????????????
-??????
2231012()0101112x
Y x x x e ??
??????-????????????=++????????????????-??????
?????
?
最后方程的通解可写成
22112222233111()2
2()1()11122x x x x
x x y x C y x e x x
C y x C x x
x x x ??
+--+
????????????
=-????
????????????--+???
?
本讲要点：
1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。2．复特征根对应实变量复值解，要掌握把复值解实值化．
3．特征根有重根时，利用待定系数法求解．
变系数线性常微分方程的求解
变系数线性常微分方程的求解 张慧敏，数学计算机科学学院 摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数 二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。 关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法 Solving linear ordinary differential equations with variable coefficients Huimin Zhang , School of Mathematics and Computer Science Abstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation. Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.
高阶线性微分方程常用解法介绍
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
【精选习题】第五章线性微分方程组.doc
第五章线性微分方程组 研究对象 —?阶线性微分方程组 X； = 4 ］⑴州+ 02(°兀2 +…+仇⑴兀"+ f\⑴ X；=勺1 (')" + a22 (Z)^2 + …+ a2n⑴兀“ + fl (Z) X；=(0^1 + d”2(0X2+…+a nn (t)x n + f n (/) 1基本概念 1）一阶微分方程组的标准型 含有〃个未知函数旺，勺，…/”及其一阶导数的微分方程组 兀=齐（佔，兀2,…,兀”）兀;= ./；（/,兀］,兀2,…,X”） (5. 1) X：=力亿旺,兀2,…，百） 称为一阶微分方程组的标准型，其中/；（,旺，兀2,…，兀）（7 = 1,2,…，砒是定义在77 + 1维空间（r,x,,x2,---,x z/）的某区域Q内已知的连续函数，/是白变最。 2）初值问题 求满足方程组（5. 1）及初值条件“（5）= 〃1，兀2（，0）= “2,…,X”（/o）= 的解的问题称为一阶微分方程组的初值问题（或柯西问题）。表示如K X =/|(7,“,兀2，???，心) x； =/2(r,x1,x2,---,x…) 、X；=九（/,兀］,兀2,…，百） 及兀1仏）=〃1，兀2仏）=〃2,…,X”仏）=〃”。 3）通解 方程组（5.1）含冇乃个独立的任意常数C|,C2，???,C”的解 X】=0（'，G，°2，…，c“） 兀2 = 02（'，G，°2，八°，C”）兀=?UGG，…,C”)
X = ? ? ? 1 ? ? ? o … 1 … ? ? ?? ? ? ? ? ?X + ■ ■ ■000 (10) 一忑⑴_ a n-\⑴ .............. ⑴ . /(/) U M?B J < 、X 其中x =兀2 z ?，x =■ X ； ? , 并R它的解为(p(t) = 必) ■ 、x,J K丿 “2?， ■ Jin dx ~dt A(t)x + /(/)(5.3) 称为它的通解。 4)高阶线性方程与一阶方程组等价 斤阶线性微分方程的初值问题 J 兀何+6 a)x(i+…+%⑴兀‘+仇(/)% = /(/) 1^0)= "|，疋仏)=“2,…，利7(5)= 〃” 其中4(0(7 = 1,2,???,/?),/(f)是区间［a,b］上确定的函数，f()e \a,bl,g fh，…，几是确定的 常数,它的解为x =(p(t) o只要令￡ =兀，兀2 = x r ,x3 =x",…，兀"=x(w_1),它可以化为下歹ij 同时，给定其中一个初值问题的解，就可构造另一个初值问题的解，在这个意义下， 称上面两个初值问题是等价的。 5)一阶线性微分方程组 若(5.1)小函数.力(/,旺，兀2,…,x”)Q = 1,2,???,巾)关于X],X2,???,%…是线性的，即X； = 41 (/)%)+ a I2(/)x2+ …+ a ln (t)x n + f\(t) 兀;=6/2I(/)X,+a22 (/)x2 + ??? + a ln (t)x n + % (/) < Qb. z； X； =⑴X] + % a)*2 + …+ % (叽 + A ⑴ 则称(5. 2)为一阶线性微分方程组，简称为线性方程组，其中勺(/),./；(/),，,丿=1,2,…/在区间［a,b］上连续。 6)线性方程组的向量表示 方程组(5.2)的向量形式为 -阶线性微分方程组的初值问题
第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法1
第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程 式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx (3.20)
其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵1 T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2, ,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组 (3.20)化为 1 dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型 1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0 n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ ---= =- 的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.
第三章 一线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n ==L det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-L L M M M L
的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλL 这时 12100 n T AT λλλ-??????=?????? 方程组(3.20)变为 11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ??????????????????????=???????????????? ?????? M M (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=????????M 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ????????????????==???????????????? L M M 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ???? ??==?????? M (1,2,,)i n =L
最新二阶变系数线性微分方程的一些解法
二阶变系数线性微分方程的一些解法
第九节 二阶变系数线性微分方程的 一些解法 常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法 §9.1 降阶法 在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。 考虑二阶线性齐次方程 22dx y d ＋p(x) dx dy ＋q(x)y ＝0 (9.1) 设已知其一个非零特解y １，作变量替换，令 y ＝uy 1 (9.2) 其中u ＝u(x)为未知函数，求导数有 dx dy ＝y 1dx du ＋u dx dy 1 求二阶导数有22dx y d ＝y 122dx u d ＋2dx du dx dy 1 ＋u 2 12dx y d 代入(9.1)式得
y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(212dx y d ＋p(x) dx dy 1 ＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3) 这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中 212dx y d ＋p(x) dx dy 1 ＋q(x)y 1≡0 故(9.3)式化为 y 122dx u d ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dx du ＝0 再作变量替换，令dx dy ＝z 得 y 1dx dz ＋(2dx dy 1 ＋p(x)y 1)z ＝0 分离变量 z 1dz ＝－[1 y 2 ＋p(x)］dx 两边积分，得其通解 z ＝21 2y C e －∫p(x)dx 其中C 2为任意常数 积分得u ＝C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ＋C 1代回原变量得(9.1) 的通解 y ＝y 1［C １＋C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ］
【典型例题】第五章线性微分方程组
第五章 线性微分方程组 5-1 考虑方程组 x A x )(t dt d = （1） 其中)(t A 是区间b t a ≤≤上的连续n n ?矩阵，它的元素为n j i t a ij ,,2,1,),( =， 1）如果)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的任意n 个解，那么它们的朗斯基行列式 )()](,),(),([21t W t x t x t x W n ≡ 满足下面的一阶线性微分方程 W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）； 2）解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式： ],[,,)()(0)]()([0011b a t t e t W t W t t nn ds s a s a ∈=?++ 。 证 1）根据行列式的微分公式 )()() () ()() ()()()()()()()()()()()()()(122111112211111221111t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W nn n n n nn n n n nn n n n ''+ +''+''=' （3） 由于)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的解，所以 ??? ???? ?? ?? ? ??=??????? ????????? ??='∑∑∑===n j jk nj n j jk j n j jk j nk k k nn n n n k t x t a t x t a t x t a t x t x t x t a t a t a t a t a t a t 11 211211 221111)()()()()()()()()()()()() ()() ()( x ， 所以∑==='n j jk ij ik n k i t x t a t x 1 ),,2,1,(),()( )(，把这些等式代入（3）的右端，化 简计算每个行列式，如（3）式右端第一项等于
线性微分方程组
第五章 线性微分方程组 [教学目标] 1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构， 2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。 3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法， 4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。 5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。 [教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时 [教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。 [考核目标] 1.线性微分方程组解的性质与结构。 2.能够求解常系数线性微分方程组。 §5.1 存在唯一性定理 5.1.1记号和定义 考察形如 1 11112211221122222 1122()()()()()()()()()()()()n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++?? ??'=++++? （5.1） 的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n = 和()(1,2,,)i f t i n = 在区间a t b ≤≤上 上是连续的。方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及1 2,,,n x x x ''' 是线性的. 引进下面的记号： 1112121 22 212()() ()()() ()()()() ()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ??????=?? ? ? ?? （5.2） 这里()A t 是n n ?矩阵，它的元素是2 n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n = . 12()()()()n f t f t f t f t ??????=?????? 12n x x x x ??????=?????? 1 2n x x x x '????'??'=???? '?? （5.3）
第五章 高等数学(理专) 微分方程试题库1
第五章 微分方程 试题库一 1.填空题 (1) 微分方程0),,,()4(='y y y x F 是 阶微分方程. (2)通过点)1,1(处，且在任意一点),(y x P 处的切线斜率为x 的曲线方程为 . (3) 微分方程054=-'-''y y y 的特征方程为 . (4) 微分方程03='-''y y 的通解为 . (5) 微分方程09=-''y y 的通解为 . (6) 微分方程y x x y -=e d d 的通解为 . (7) 微分方程054=-'+''y y y 的通解为 . (8) 微分方程20yy x '+=的通解为 . (9)微分方程560y y y '''-+=的特征方程为 . (10) 微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 2．选择题 (1) 微分方程0))(,,,(24='''y y y x F 的通解中含有的相互独立的任意常数的个数是（ ）. A.1； B.2； C.3； D.4. (2) 下列微分方程中是可分离变量的微分方程的是（ ）. A.y xy x y +=d d ； B. y x y xy sin e d d =； C. 2d d y xy x y +=； D. 22d d y x x y +=. (3) 下列微分方程中是一阶线性非齐次微分方程的是（ ）. A. 2d d y xy x y +=； B.x xy y =+''； C.x xy y =+'； D. 02=+'xy y . (4) 微分方程x y e =''的通解为（ ）. A. x y e =； B. C y x +=e ； C. Cx y x +=e ； D. 21e C x C y x ++=.
一阶线性微分方程组
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
变系数_非线性微分方程的求解
变系数/非线性微分方程的求解：Example1: van der Pol equation Rewrite the van der Pol equation (second-order) The resulting system of first-order ODEs is 见：vdp_solve.m及vdp.mdl vdp_solve.m vdp.mdl
Example2: 2 with x(0) = 4 x (0)=0 5(5)5sin()5 +-+= x t x t x 见：exam2_solve.m及exam2.mdl exam2_solve.m exam2.mdl
Example3: ODEs 函数实现及封装说明[以一阶微分方程为例] 510 w i t h (0)4 dx x x dt +==- 引言： 一步Euler 法求解[相当于Taylor 展开略去高阶项]： 11()k k k k k k k k k k k x x x Ax bu t x x t x x t Ax bu ++-==+??=+??=+??+ 补充说明1：对于任意方程/方程组可化为如下一阶形式[方程组]： x Ax Bu =+ 或者(,)(,)M t x x f t x = 补充说明2：ODEs 的解法不同之处在于 1、时间步长的选取（及导数的求解？）：有无误差控制 变步长； 2、积分方法：选用哪几个时间状态信息。 见：my_ode_rough.m[直接求解] / test_my_ode.m[按Matlab/ODEs 方式封装] my_ode_rough.m
一阶线性非齐次微分方程求解方法归类
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程 方程 dy dx P x y Q x += ()() 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q x()≡0，则方程称为齐次的； 如果 Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。 a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程 dy dx P x y += ()0 2 的通解问题。 分离变量得dy y P x dx =-() 两边积分得ln()ln y P x dx c =-+ ? 或 y c e P x dx =?-?() 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换 y u e P x dx =?-?() 两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()() ?=-? 两边求导得dy dx u e uP x e P x dx P x dx ='- -?-? ()() () 代入方程1得
'=-?u e Q x P x dx ()() ， '=?u Q x e P x dx ()() u c Q x e dx P x dx =+??()() 于是得到非齐次线性方程1的通解 [] y e c Q x e dx P x dx P x dx =?+-???()()() 将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =?+?--????()()()() 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 【例1】求方程 dy dx y x x -+=+21 13 2 () 的通解。 解： ] 23 )1([1212dx e x c e y dx x dx x ??++??=+-+-- ] 23 )1([22 )1(ln )1(ln dx e x c e x x +-+??++?= =+?++- ?()[()]x c x dx 1121 2 =+?++()[()] x c x 12121 2 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
(整理)常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义
二阶变系数线性微分方程的一些解法
第九节 二阶变系数线性微分方程 的一些解法 常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法 §9.1 降阶法 在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。 考虑二阶线性齐次方程 22dx y d ＋p(x) dx dy ＋q(x)y ＝0 (9.1) 设已知其一个非零特解y １，作变量替换，令 y ＝uy 1 (9.2) 其中u ＝u(x)为未知函数，求导数有 dx dy ＝y 1dx du ＋u dx dy 1 求二阶导数有22dx y d ＝y 122dx u d ＋2dx du dx dy 1＋u 21 2dx y d 代入(9.1)式得
y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(21 2dx y d ＋p(x) dx dy 1＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3) 这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中 21 2dx y d ＋p(x) dx dy 1＋q(x)y 1≡0 故(9.3)式化为 y 122dx u d ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dx du ＝0 再作变量替换，令dx dy ＝z 得 y 1dx dz ＋(2dx dy 1 ＋p(x)y 1)z ＝0 分离变量 z 1 dz ＝－[1y 2＋p(x)］dx 两边积分，得其通解 z ＝21 2y C e －∫p(x)dx 其中C 2为任意常数 积分得u ＝C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ＋C 1代回原变量得(9.1) 的通解 y ＝y 1［C １＋C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ］
常微分方程第五章微分方程组总结
一．线性微分方程组的一般理论 1. 线性微分方程组一般形式为： 1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 , ()()()(),n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++??????'=++++? （） 记： 1112121 22212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ??????=?????? '????????????'??????'===????????????'?????? 非齐次线性方程组表示为： ()() x A t x f t '=+ 齐次线性方程组表示为： ()x A t x '= 2.齐次线性方程组的一般理论 (1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ? 是齐次方程组()x A t x '= 的k 个 解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++?+ 也是齐次方程组的解，这里 12,,,n c c c ?是任意常数 (2)向量函数线性相关性 定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ? ，如果存在不全为零的常数
常系数线性微分方程的解法
常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极
1、变系数线性微分方程的求解
本科毕业论文 题目：变系数线性微分方程的求解问题院（部）：理学院 专业：信息与计算科学 班级：信计081 姓名：张倩 学号：2008121191 指导教师：庞常词 完成日期：2012年6月1日
目录 摘要 (Ⅱ) ABSTRACT (Ⅲ) 1前言 1.1微分方程的发展和应用 (1) 1.2二阶变系数线性常微分方程的重要性 (2) 1.3本文的研究内容及意义 (2) 2二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 2.1基本概念 (3) 2.2二阶变系数线性微分方程的求解定理 (3) 2.3二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 (5) 3 微分方程的恰当方程解法 3.1恰当方程的概念 (8) 3.2恰当微分方程解法 (10) 4 微分方程的积分因子解法 4.1积分因子的概念 (14) 4.2积分因子解法 (14) 5二阶变系数微分方程可积的条件 结论 (22) 谢辞 (23) 参考文献 (24)
摘要 微分方程在数学理论中占有重要位置，在科学研究、工程技术中有着广泛的应用。在微分方程理论中，一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究，它们总是可解的，但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。 如果能够确定某一类型的二阶变系数线性微分方程的积分因子或恰当方程，则该二阶变系数线性微分方程就可以求解，问题在于如何确定积分因子和恰当方程及该类方程在何种情况下可积。 本文通过对微分方程的理论研究，用不同的方法探讨这类问题，扩展了变系数线性微分方程的可积类型，借助积分因子和恰当方程的方法求解方程。 关键词：变系数；二阶微分方程；积分因子；恰当因子
S olve For Varied Coefficient Second Order Liner Differential Equation ABSTRACT Second order liner homogeneous differential equation plays an important role in mathematics theory, and use extensively in science research and technology. In differential equation theory, some special differential equation’s solve ways have already been researched. So they can be seemed as could be solved sort of equation. But varied coefficient equation, however, this solve for this sort of equation is hard. If we can make integrating factor or exact equation of some types of second order liner different equation, and this types of second order liner different equation can be solved. The problem is how to make integrating factor and exact equation, and this type equation can be integral in which condition. This article utilizes different ways to research this problem in different equation theories, which expand could be solved type of varied coefficient second order liner differential equation. By integrating factor and exact equation make varied coefficient second order liner differential equation. Key Words: varied coefficient; second order liner differential equation; integrating factor; exact equation
精选习题 第五章 线性微分方程组
第五章 线性微分方程组 研究对象 一阶线性微分方程组 ?????? ?++++='++++='++++=')()()()()()()()()()()()(22112 22221212112121111 t f x t a x t a x t a x t f x t a x t a x t a x t f x t a x t a x t a x n n nn n n n n n n n 1 基本概念 1）一阶微分方程组的标准型 含有n 个未知函数n x x x ,,,21 及其一阶导数的微分方程组 ?????? ?='='='),,,,(),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n x x x t f x x x x t f x x x x t f x （5.1） 称为一阶微分方程组的标准型，其中),,2,1)(,,,,(21n i x x x t f n i =是定义在1+n 维空间 ),,,,(21n x x x t 的某区域D 内已知的连续函数，t 是自变量。 2）初值问题 求满足方程组（5.1）及初值条件n n t x t x t x ηηη===)(,,)(,)(0202101 的解的问题称为一阶微分方程组的初值问题（或柯西问题）。表示如下 ?????? ?='='='),,,,(),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n x x x t f x x x x t f x x x x t f x 及n n t x t x t x ηηη===)(,,)(,)(0202101 。 3）通解 方程组（5.1）含有n 个独立的任意常数n C C C ,,,21 的解 ?????? ?===) ,,,,(),,,,(),,,,(2121222111n n n n n C C C t x C C C t x C C C t x ???
第五章线性微分方程组
第五章线性微分方程组 教学目的 讨论线性微分方程组的基本理论及其求解方法（包括常数变易法，常系数方程组基本解矩阵的求法） 教学要求 理解微分方程组解的存在唯一性定理，掌握逐步逼近法，掌握线性微分方程组的基本理论和基本解矩阵的性质，掌握常系数线性方程组基本解矩阵的计算，特别是expA的定义、性质和计算方法，理解高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系，会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分方程。 教学重点 解的存在唯一性定理；叠加原理；向量函数的线性相关性的定义；Wronsky行列式；解矩阵的定义和性质；常数变易法；解的结构；矩阵指数expA的定义及其性质；基本解矩阵的计算公式。 教学难点 向量和矩阵列的收敛性的定义；二者的范数定义及其相关性质；向量函数的线性相关性；Wronsky行列式的定义及其性质；根子空间的分解；基本解矩阵的计算公式的推导。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 课题导入 前面几章研究了只含一个未知函数的一阶及高阶微分方程,但在许多实际问题(如工程,物理,生物等)和一些理论问题中,往往涉及若干个未知函数以及它的导数的方程组成的方程组,即微分方程.本章将介绍一阶微分方程组的一般解法,重点仍在线性方程组的基本理论和常数变易线性方程组的解法. §5.1 存在唯一性定理 教学目的 讨论线性微分方程组的解的存在唯一性定理。高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。
教学要求 理解微分方程组解的存在唯一性定理，掌握逐步逼近法，理解高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系，会将线性微分方程组的有关结论推广到高阶线性微分方程。 教学重点 存在唯一性定理及其证明 教学难点 向量和矩阵列的收敛性的定义；二者的范数定义及其相关性质。 教学方法 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 1. 线性微分方程组的有关概念 例,多回路的电路问题,如图所示是含有两个回路的电路问题E(t)是电源电压,I 是电感,C 是电容器的电路1R 和2R 是两个电阻,1i 是通过电感L 的电流,2i 是通过电容C 的电流,其中L,C, 1R 和2R 是常数,E(t)是已知函数,所列出1i 及2i 应满足的微分方程. 解:根据基尔霍夫第二定理,得: ?????? ?=++-=-+?t ds s i C i R i i R t E i i R dt di L 022*********)(1)()()( 即???????=++-=-+01)()()(22212121111i C dt di R dt di dt di R t E i i R dt di L 故???????+++-++-=++-=)()()()()(12112212112121221111 t L R R R i R R L C R i R R R dt di t L i L R i L R dt di φφ 以上就是一个关于21,i i 的线性微分方程组.