(完整版)等差等比数列知识点总结

等差等比数列知识点总结

1. 等差数列：

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d叫做等差数列的公差，即

a n a n 1 d (d 为常数)(n 2)；

2. 等差中项:

(1)如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.即:

或2A a b

3. 等差数列的通项公式：

一般地，如果等差数列a n的首项是a1，公差是d，可以得到等差数列的通项公式为：

a n 4 n 1 d

推广：a n a m(n m)d.

a n a m 从而d

n m

4. 等差数列的前n项和公式：

n(a1 a n) n(n 1) , d 2 , 1 2

S n na1 d n 佝d)n An Bn

2 2 2 2

(其中A、B是常数，所以当d M 0时，S是关于n的二次式且常数项为0) 5. 等差数列的判定方法

(1)定义法：若a n a n 1 d或a n 1 a n d (常数n N ) a n是等差数列.

(2)等差中项：数列a n是等差数列

2a n a n-1 a n 1 (n 2)2a n 1a n a n 2 .

(3)数列a n是等差数列a n kn b (其屮k, b是常数)。

(4)数列a n是等差数列S n An2Bn,(其中A、B是常数)。

6.等差数列的证明方法

定义法：若a n a n 1d或a n

1 a n d(常数n N) a n是等差数列.

(2 ) 等差中项数列a n 2a n a n-1 a n i(n 2) 2a n 1 a n a n 2

7.等差数列的性质:

（1）当m n p q 时,则有a m a n a p a q ，特别地，当m n 2p 时，则有

⑵ 若｛a n ｝是等差数列，则S n ,S 2n 5,务 S ?n ，…也成等差数列

和，S n 是前n 项的和 1.当项数为偶数2n 时,

a n

a n 1

2、当项数为奇数2n 1时，则

（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项） 1、 等比数列的定义：旦q q 0 n 2,且

*

n N ，

q 称为公比

a n 1

2

、

通项公式：

n 1

a n ag

a 〔 n n

1

q A B a-i q 0,A B

0，首项:

a 1 ；公比：q

q

推广：a n

n m

n m

a m q

q

a n

q n m

a m

V a

m

3、 等比中项：

（1）如果a,A,b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2 ab 或

A ab

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个（两个

等比中项互为相反数）

a m a n

2a p .

（3）设数列a n 是等差数列,

d 为公差，S 奇是奇数项的和, S 偶是偶数项项的

n a i

a 2n 1

a

2n 1

— na

n

a 2n

n a 2

a 2n

2

na n 1

na n 1 na n

n a n 1 a n =nd

S 2n 1

S 奇

S 偶

（

2n

1） a n+1

S 奇 S 偶 a n+1

S 奇 （n 1応+1

S 偶

n a n+1

a i a 3

a 5

a 2 a 4 a 6 na n na n 1

S

奇

为等比数列

6等比数列的证明方法:

7、等比数列的性质:

(3)若｛a n ｝为等比数列，则数列S n ，S 2n S n ，务 dn,，成等比数列 (4)在等比数列｛a n ｝中，当项数为2n(n N *)时，§奇-

S 禺q

(2)数列a n 是等比数列 2 a

n

a n 1 a n 1

4、等比数列的前n 项和S n 公式:

(1)当 q 1 时，S n

na i

(2)当 q 1 时，S.

a, 1

a 〔 a 〔

A A

B n A'B n A' ( A,B,A',B'为

常数)

5、等比数列的判定方法:

(1)用定义：对任意的n,都有am

qa n 或 也 q(q 为常数，a n 0)

{a n }

a n

(2)等比中项:

2 a

n

a n 1a n 1 ( a n 1 a n 1 0) ｛a n ｝为等比数列

(3)通项公式：a n

A B n A B 0

｛a n ｝为等比数列

依据定义：若-a ^ q

a n 1

q 0 n 2,且 n

N 或a n 1 qa n ｛a n ｝为等比数列

(1) 若 m n s t(m,n,s,t N )，贝U a n a m a s a t 。特别的，当m n 2k 时,

得a n

2

a m a k

注:

a 1 a n a 2 a n 1

a 3a n 2

(2) 如果｛a n ｝是各项均为正数的等比数列， 则数列｛log a a n ｝是等差数列

随堂练习一、选择题

1. 2005是数列7,13,19,25,31, L ,中的第( )项.

A. 332

B.333

C. 334

D. 335

3.等差数列3, 7,11丄，的一个通项公式为( )

A. 4n 7

B.4n7

C.4n 1

D.4n 1

7.记等差数列的前n项和为S

n，若S24，S4 20，则该数列的公差d=( ) A. 2 B.3 C . 6 D . 7

10.已知等差数列a

n的前r1项和为Sb 若14,则a3a

5的值为()

A. 2

B.4

C. 7

D.8

1.已知等比数列｛a n｝中a n 1a n，且a3a73,a2 a8 2，则a11()

a7

" 1 2 c3

A. B.C D.2

232

2.已知等比数列｛a n｝的公比为正数，且a3? a9=2a52a2=1，则a1=()

1 p

2 f~

A. -

B. —

C. 一2

D.2

2 2

3.在等比数列｛a n｝中，a516, a88,则a-()

A. 4

B.4

C.2 D . 2

10.若a n是等比数列，前n项和S n2n 1 ,则a22a2 2 2

a3 L a n ()

典n 2

A. (2 1)

B.1(2n 1)2

C.4n1

D.1(4n 1)

33

二、填空题

13. 等差数列a n中，a3 50，a5 30，贝U a7

14. 等差数列a n中，a3 a524, a? 3，贝U比

15. 已知等差数列a n中，a2与a6的等差中项为5，a3与a?的等差中项为7,则

11.已知数列1, a 1, a 2, 4 成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4 成等比数列，则

a〔a：

b2 ?

14.在等比数列｛a n｝中，a1 a2 6? a3 12,S n为数列｛a n｝的前n项和，则

log 2 (S 2010 2) .

三、解答题

17.已知 f (1) 2 , f (n 1) 2 f (n) 1 (n N )，求 f(101).

1

3，a

2 a

5

4

，a

n 33

，试求n

的值.

(1)求数列｛a n ｝的通项公式a n ；

(2)若 S n

93,求 n.

16. 等比数列a n 的前n 项和为S n ，已知S !,S 3,S 2成等差数列?

1) 求 a n 的公比 q ； 2)

若 a 1 a 3 3

，求 S n .

高考真题

一、选择题 :

18.等差数列a n 中，已知a 1

15.已知等比数列｛a n ｝满足33

12,a 8

-,记其前n 项和为S n .

8