国家公务员考试 数量关系笔记

国家公务员考试数量关系笔记

数量关系

一、数学运算:

1。公务员数学题的难度两部分决定:题干和选项，不能太陷入题干而无视选项～

善于从选项入手，提高速度

答案的选项布局: 2+2布局——两个是明显的错误干扰项，有点难

1+3布局——1个正确，3个明显错误，简单

1+1+1+1布局——比较难的～

2。葵花宝典30条法则:

(1)当题干和选项都是个位数的时候，往往都是取尾数列，一般有相加取尾和相乘取尾。 (2)对于不定方程，我们可以假设系数比较大的未知数为0，是不定方程变成定方程。

3。“一个中心，四个基本点”:

(一)以选项为中心

(二)四大思想:

(1)代入排除思想:现根据题干排除选项中的几个，然后就剩下的几个选项代入题干(注意代入好算的那个选项，从而算出结果)，尽量少列方程解。

年龄一定是整数，故可以使用凑整思想

(2)特例思想:假设一个特殊的数字(公倍数、整数、100、浓度加水减水溶质不变等)进行运算

浓度加水减水问题另外有个口诀结论:如果是加水，溶液浓度是减小的，且减小幅度是递减的;如果是蒸发水，溶液溶度是增加，且增加幅度是递增的。

(3)数字特性思想: 奇数加减奇数=偶数质数、和数、1

偶数加减偶数=偶数质数中除开2为偶数外，其它都为奇数

偶数加减奇数=奇数 2为偶质数

奇数加减偶数=奇数合数里面既有奇数又有偶数

整除判定法则:能够被2、5整除的数末尾一位数能被2、5整除

能够被4、25整除的数末尾两位数能被4、25整除

能够被8、125整除的数末尾三位数能被8、125整除

一个数被2、5除的余数是其末尾一位数被2、5除的余数

一个数被4、25除的余数是其末尾两位数被4、25除的余数

一个数被8、125除的余数是其末尾三位数被8、125除的余数

能够被3、9整除的数其各个数的和能被3、9整除

一个数被3、9除的余数是其各个数的和被3、9除的余数

有些条件根本没有用，只需要抓住某个条件利用数字特性思想即可求出来

旋转木马，说在我前在我后的人，即是指除开我本身的所有人

A=B*4/13:说明B是13的倍数;A是4的倍数;A+B是17的倍数;B-A是9的倍数(4)方程思想: 定方程和不定方程

——对于不定方程，我们可以假设系数比较大的未知数为0，使不定方程变成定方程，则方程可解(如果求三个或四个数整体，则该题考察的是不定方程) ——对于定方程，整体运算，求出其中某个数(如果求其中某个数，则该题考察的是定方程)

第一章计算问题模块

1(裂项相加法:

——公式1:1/n(n+1)=1/n-1/n+1

——扩展公式2:裂项和 =(小分之一减去大分之一)乘以(分子除以差)

Eg: 1/2*3 + 1/3*4 + 1/4*5 + …… + 1/99*100

= (1/2 – 1/100) * (1/1)

——注:这类前提应该是各项的分子相同，分母能拆成两个数相乘且两数之间差都相等

2(乘方尾数问题:

——0.1.5.6.的多次方尾数不变，仍为0.1.5.6

——4.9的多次方尾数是以2个为一个循环，4/6和9/1的循环

——2.3.7.8的多次方尾数是以4个为一个循环，2/4/8/6等

3(整体消去法:

—— (a+1)*b – a*(b+1) = b – a

第二章初等数学模块

1(多位数问题:

——尽量避免用方程做，而应该用代入方法做。。。

——页码题型:分个位、十位、百位等进行分开数

2(余数相关问题:

——100/13 = 7 …… 9 (100是被除数，13是除数，9是余数)

——几个结论:被除数 = 除数*商 + 余数

余数的范围:大于等于0，小于除数

余同:即一个数除以几个不同的数，得到的余数相同，我们称之为余同，则该数=除数的最小公倍数*n+余

数

和同:即一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的和相同，我们称之为和同，则该数=除数的最小公

倍数*n + 和

差同:即一个数除以几个不同的数，得到的余数和除数的差相同，我们称之为差同，则该数=除数的最小公

倍数*n - 差

3(星期日期问题:

——一年就是1，有闰月(即指2月有29天。年份能够被4整除但不能被100整除;年份能够被400整

除，满足其中一个就表明这一年有闰月，是闰年，如2004年、2008年、2012年等。两个都不满足则说明

这一年没有闰月，是平年)再加1。

Ex。2008年的元旦是星期二，则2009年的元旦是星期几, 星期2+1+1=星期四——每隔n天= 每n+1天;

数a到数b一共有多少个数:b-a+1;

“相见”问题实际上就是求几个数的最小公倍数;

4(等差数列问题:

——能用公式的用公式去解，用不着公式的用技巧去做

, 等差数列通项公式:An = A1 + (n-1)*d d为公差

, 等差数列求和公式:Sn = (A1 + An)*n /2

5(周期相关问题:

——“相见”问题/“同时”问题实际上就是求几个数的最小公倍数

第三章比例问题模块

1(工程问题:

——用到上面讲到的特例思想:假设一个特殊的数字，即几个数的公倍数而尽量不要设1，然后算出相应的效率，再进行相应的运算。这样算起来非常方便、好算。

2(浓度问题:

——关于几份浓度不同的物质混合配成某种浓度的物质，可以使用下述这样的对角差方法算出混合之前所需各物质的比例:

A(物质1的浓度) B-C/C-B(Q1)

C(要配成的物质浓度)

B(物质2的浓度) A-C/C-A(Q2) 则，需要物质1和物质2的质量比是Q1/Q2，相应的也可以算出其他的一些东西

——当然，上述这种思想不光在有浓度的题中出现。记住一个总的结论:当出现了两种比例混合为总体比例时，往往是十字相差应用运算。要注意两点:(1)分母要保持一致(2)减完之后的差距之比是前一个时间点的质量/数量之比3(概率问题:(联系第五章的排列组合问题，一般采取概率和排列组合混合考) ——公式:单独概率 = 满足条件的情况数/所有的情况数

分步概率 = 满足条件的每个步骤的概率乘积(类似于排列组合的分步)

总体概率 = 满足条件的每种情况概率之和(类似于排列组合的分类) ——同排列组合一样，当分步分类太多的时候，要善于用相反的排除方法来做，用总概率100%(1)来减。

第四章行程问题模块

1(平均速度问题:

——等距离平均速度公式:V = 2V1V2 / (V1+V2)

——注意平均速度和速度的平均数不是一回事。平均速度一般要小于速度的平均数，且小的幅度不是很大(当数量很大不适合运用第一点公式的时候，可以适应此条规则)

2(相遇追及问题:

——公式: 相遇时间= 路程和 / 速度和

追及时间= 路程差 / 速度差

——相遇和追及问题从本质上是一回事，焦点放在分子上。题干中如果是分

子加，则用相遇公式，如果是分子减，则用追及公式

3(环形运动问题:

——环形的逆向而行:相邻二次相遇路程之和是周长(即相遇问题 t=周长/速

度和)

环形的同向而行:相邻二次相遇路程之差是周长(即追及问题，t=周长/速度差) 4(钟面问题:

——钟面的角度问题:1小时度数=360/12=30?(时针:30?/1小时)

1分钟度数=360/60=6?(分针:6?/1分钟)

那么每个小时中共有30/6=5或60/12=5个格一个格是6?或1?是1/6个格——钟面的相遇追及问题:

60分钟，60个格

分针的速度:1格/1分钟

时针的速度:5格/1小时=1/12格/1分钟

同理，应用相遇追及问题的公式:相遇时间= 路程和 / 速度和

追及时间= 路程差 / 速度差

但是分母是固定的，因为我们提前知道了时针和分针的速度，即1-1/12。所以总共的T = T0/ 1-1/12，运算后得到最终公式:T=T0 + T0/11(其中T0是指假设时针不动，分钟和时针达到题目所要求的状态时，分针所单独走的时间就是T0——

即化动为不动)

——快钟和慢钟的问题从本质上讲是个比例问题。

5(流水行船问题:

——公式:船速+水速 = 顺水速

船速-水速 = 逆水速

船速=(顺水速+逆水速)/2

水速=(顺水速-逆水速)/2

第五章计数问题模块

1(容斥原理:

——公式:条件1 + 条件2 –两个条件都满足 = 总数–两个条件都不满足

——当有3个条件或以上的情况下，画图解:长方形代表总体，几个圆代表几个个体。先填都会，再填两个会的，再填一个会得，最后得到一个都不会的。

公式解:A并B并C = A+B+C- A交B- A交C- B交C+ A交B交C(注意:每两两交集中其实都包括了三个交集的情况)

2(排列组合问题:

mm——排列公式:An (Pn )= N*(N-1) *(N-2)……(N-M+1)

m m m 组合公式:Cn =Pn / Pm

——排列与顺序有关，而组合与顺序无关。即看顺序的改变影不影响结果，影响则用排列，不影响则用组合。

——如果是分类则用加法，如果是分步则用乘法。当分类过多的时候，要善于用相反的排除方法来做。——插空法、捆绑法

3(构造类题目:

——最多、最少等问题:注意题目的限制条件就行;要善于运用一半

——中位数:把一列数按照大小顺序排列出来，如果其个数是奇数，则正中间的数就是中位数;如果其个数是偶数，中间两位数的平均值是中位数。

——注意此种类型题目中的陷阱:有6把钥匙，多少次才能开开门,6次。多少次才能确定哪是正确钥匙,5次。

——

4(抽屉原理问题:

——当题中出现至少、最多、保证、要求等词语，则要用抽屉原理

——使用抽屉原理时，要使用最不利原则(或者说最不理想原则，题目要求

你向北你就向南，刚好相反的做法，即对自己最不利)。如让你到街上随便抓人，要保证6个人生肖相同，则至少需要多少人, 既要实现至少又要实现保证，故

12*5+1=61

——

5(多“1”少“1”问题:

——植树问题思想: 如果两端都要植树，则植树数=段数(即总距离/间距)+1 如果只一端要植树，则植树数=段数

如果两端都不植树，则植树数=段数-1

——注意类似植树的题型，注意其中多1少1的陷阱。

n ——结论:(1)把一张纸连续对折n次，形成2 层;(2)一根绳连续对折n

次，从中剪m刀，则被剪成

n了(2 乘以m) + 1 段

——最小公倍数:几个数约分约尽后，最后所有的约数及剩余的数相乘

最大公约数:几个数约分约尽后，最后所有的约数相乘

6(方阵问题:

2 ——公式:假设方阵最外层的一个边的人数为n，则最外层的人数为4(n-1);方阵的总人数为n(相当

，2于一个图形的总面积为n;其周长为4n，由于各顶点处重复运算了，所以为4(n-1) ——同理可推，某一层的人数仍然可以用4(n-1)来表示计算，只不过此

时n代表的是该层的一个边的人数。

——方阵中，相邻的两层每条边的人数相差2个。

7(过河问题:

——知识点:(1)需要一个人将船划回;

(2)最后一次过河只去不回;

(3)计算时间的时候注意是过一次河多少分钟还是往返一次多少分钟——要深刻了解需要一个人将船划回中的“一个人”的含义

第六章几何问题模块

——考察的问题主要包括: (1)面积或体积的计算

(2)一些图形的结论

1(周长相关问题:

——结论:构成三角形之两边之和大于第三边;两边之差小于第三边

——注意与排列组合的结合运用

2(面积相关问题:

——结论1:周长相等的平面图形中，圆的面积最大:(1)这就一种趋势，即越接近圆的面积越大;(2)上述这句话是可逆的，也就是说面积相等的图形中，圆的周长是最小的。

结论2:表面积相等的立体图形中，球的体积最大:同上理

——面积计算问题，很简单

3(表面积问题:

——结论:无论是叠放正方体还是挖凹正方体，一次多了/增加了4个面4(体积问题:

——结论1:表面积相等的立体图形中，球的体积最大:(1)这就一种趋势，即越接近球的面积越大;(2)上述这句话是可逆的，也就是说面积相等的图形中，球的周长是最小的。

——结论2:将某个圆柱体(长方体或正方体)用一个平行于底面的平面将它一刀切，则切一刀多2个面——结论3:长方体体积= 底面积乘以高第七章杂题模块

1(年龄问题:

——注意陷阱:是今年明年还是去年,

去年某人比某人大几岁，今年或明年仍然是大几岁

有时候某人还没出生呢;

——没过n年，每个人都长n岁;

两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的;

两个年龄之间的倍数关系是随着年份的递增而递减的;

直接代入法;

等差数列解法(列现在-以前-以后，利用年龄差不变列等式，从而得出一个等差数列，利用等差间距进行解答):在题目中已知的两个年龄之间，插入现在两个人的年龄，四个年龄形成一个等差数列。

2(经济利润相关问题:

——总价=单价*销售量

总利润=单个利润*销售量

单个利润=售价-成本

利润率=利润/成本=(售价-成本)/成本亏损率=(成本-售价)/成本

利润=成本*利润率亏损=成本*亏损率

——打折或让利时候，不同的商品要分开算;

3(牛吃草问题:

——草场原有草量=(牛数—每天长草量)*天数

——草会随着牛吃而长的，它是一个变量。只好套公式。同类型的题型都可

以套这个公式，注意对应关系就行。

——该题型的外在表现形式是:一组排比句。注意公式中的一些变形，主要体现在牛头数和每天长草量这两个元素上。

4(统筹问题:

——这类问题实际上是怎么做最省钱、最划算、最合理的安排等

——注意几点:几个人同时等待问题，等待浪费时间也是算在内的，为了使总

和最少，应该让花费时间最少的人先，依次;

做上衣或裤子等问题，不单是一个数字的问题，而是一个比例的问题。四个人:按照上衣比裤子的大小依次排列。最大的安排其生产上衣(因为上衣除以裤子最大，相对来说生产其比较值)。同时观察上衣和裤子哪个做的快，如果上衣慢，则安排第二个也生产上衣。因为裤子比较快，所以安排最大的生产裤子。那个同时生产上衣或裤子最快的则需要将时间拆开两个部分，一部分用来生产上衣，一部分用来生产裤子，使最后配套。

5(杂题专辑:

——鸡兔同笼问题: 把两类东西当成一类(不是题目要求的那类)，用总量差

除以单位差即得出要求的那类数量。

——换瓶子问题:(1)注意陷阱，即可以赊账借瓶最后抵消。

(2)公式:新换瓶数=原有瓶数/(N-1)，结果只取整数部分(不是四舍五入)。其

中N-1表示几瓶换1瓶

(3)延伸问题:当说每个人都喝了一瓶，新换瓶数+原有瓶数=总人数;

知道总的瓶数，要求新换瓶数或原有瓶数。

——拆数问题:(1)公式:对于拆数问题，只能拆成2和3，3的个数尽量多，2的个数不多于2个。——翻转问题:(1)公式:如果有n个杯子(n为偶数)，每次同时翻转其中n-1个杯子，则至少需要n次使其完全改变状态;

如果有n个杯子(n为奇数)，每次同时翻转其中偶数个杯子，则无论如何翻转也不能使其完全改变状态。

二、数字推理:

1。数字推理的规律或题型:递推、等差等

特征或突破口:仅知道题型是不够的，还要快速的找到解题突破口

2。数字推理解题逻辑:

以选项为中心，“选项布局”:22和13布局

——22布局:题干为整数，答案一般为小数;答案为小数时，一般使用的是乘除运算;

题干刚开始为正数，后来出现负数，答案一般为负数;答案为负数时，一般使用的减法运算; ——13布局:当答案中出现一个很突兀的选项时，一般选他。再有时间的前提下，不过要验证下。——奇数项为前两数之积、偶数项为前两数之和(奇偶项依赖关系);

2A3=A2 –A1(递推数列);

从第二项开始，等于前一项的几倍+1(倍数还呈现出等比特征);

A3= (A1 –A2)*X

A3= A1*A2 + 1

——当然，上述这些都不是绝对的。当没有时间等时，可以冒险使用上述相关结论。 (一)基础数列类型

1. 基础数列:(7大基础数列)

——常数数列:7,7,7,7,7

——等差数列:1,2,3,4,5

——等比数列:1,2,4,8,16

——质数和合数:2,3,5,7;4,6,8,9,10(1既不是质数也不是合数) ——周期数列或循环数列:1,3,4,1,3,4;1,3,1,3,1,3(33一组或22一组) ——对称数

列:1,3,2,5,2,3,1,

——递推数列:1,1,2,3,5,8,13(递推加、减、乘和除等数列) 2。总结:基础数列一般考得比较少，如果出现了要注意几点: (1)注意质数和合数数列(一般数出的比较大);

(2)等比数列(公比的复杂化，比如说分数)

2.二级数列类型

——所谓二级数列就是经过了一次加减乘除运算后可以得到一个一级基础数列。目前出现运算的顺序是:

两两之间的减>除>加>乘

——其中减和加的数字特征比较小，而除法的数字特征比较大; ——“二级数列无处不在”

3. 三级数列类型

——即通过两次运算得到一个一级数列。

——在三级数列中一般只有减法和加法，而其中减法又是最多的。

(二)多重数列:

1。间隔数列(跳跃数列)

——即奇数项和偶数项各自成规律，也就是说数列间隔着成规律。——外在识别特征: 数列比较长、有两个括号、数字大小比较接近——“二级数列无处不在”

2. 分组数列

——间隔不行了，要分组。即两两分组的加减乘除运算，仍然是减法和除法居多——外部识别特征和间隔数列相同。

——先间隔在分组

3. 奇偶项一起成规律:

——即指奇数项和偶数项互相依赖成规律，而不是单独成规律。——与间隔数列相似，但不相同。

——比如说偶数项为相邻两数之和、之差;

奇数项为前两数之和;

(三)分式数列:

1. 一句话:不管怎么变化，分子和分母各自成规律，即各个部分成规律。——分数有两种运算手法:要么是约分、要么是通分，要善于发现;

2. 通分型的分式数列(小的数，30以内，分母的公倍数好找);

3. 约分和反约分的分式数列(大的数)

——约分即约小，反约分是扩大;

——如果分子和分母都是增大或减小的趋势，其中有一两项特别尤其突兀，那么它就是突破口。利用约分

和反约分整出规律来。

4. 如果一列数大部分是分数，只有少量的整数，则该题考察的分式数列;

(四)幂次数列:底数和指数各自成规律，分别看

1. 普通幂次数列

n —— A :A是指底数，n为指数，底数和指数各自成规律

——首先应该定位的是那个指数能够为2的数，即幂次为2的数，然后对其相邻的数进行底数和指数的增加或减法的变换，从而得出相应规律;

——如果一列数大部分是整数，只有少量的分数，则该题考察的幂次数列，并且该幂次为负幂次。 2. 幂次修正数列:

——要好好记住20数内各2幂次的结果;

——不能定位哪个指数能够为2的数，即幂次为2的数，但是各个数都好像是几幂次的数加减一些数得来的，这就被称为幂次的修正数列，一般定位特殊数观察两个:

(1)加减数能够为1的数;

(2)124=5的三次方-1 或 11的平方+3，但优先要考虑前者:3、4等次方(即看到120几，优先考虑5的三次方加减某数，其次考虑11的2次方加减某数);同理如63一般优先考虑4的三次方减一，而不是8的二次方减一;252一般优先考虑4的四次方-4;512 =8的三次方

——有时候幂次、加减数和底数同时成规律，这时是最难的;

(五)递推数列

1. 递推数列的六种形态:加减乘除、倍数和乘方等;

2. 递推数列的三种考核方式:一项推一项;两项推一项;三项推一项。其中两项推一项最大，其次是一项推一项，三项推一项基本不考(第四项=前三项之和)… …

——在推的过程中，有的是能直接推出来的，但很多情况下，都需要有一个修正项。其中修正项要么是一个常数，要么就是一个基本数列(即一级数列)。

3. 两项推一项:

——当题干和答案都是整数并且数字不是很大时(3倍以内)，要优先考虑两两做差、做和的多级数列。如果不能的话，则要考虑两项推一项的倍数递推数列。

两项推一项的倍数的公式: A3=(A1 +- A2)*N

A3=A1*N +- A2

(其中N一般为2倍或3倍，即3倍之内)

——当题干和答案都是整数并且数字很大剧烈变化时(5倍以上)，往往是两项推一项，涉及到的是乘法或乘方的递推数列。

两项推一项的乘法的公式:A3=A1*A2 +- N

两项推一项的乘方的公式:A3=A1的几次方 +- A2

——在两项推一项的过程中，不管是倍数还是乘法乘方，都要善于发现特殊的三项进行规律的总结 4. 一项推一项:

——在递推数列中，如果两两数字之间的关系变化非常明显的话，往往是一项推一项的倍数递推数列，倍数往往是2倍或3倍。

——关键是找倍数，再加减数。

(六)特殊数列

1. 小数数列: 整数部分和小数部分各自成规律;

2. 日期数列: 年月日各自成规律;且要注意临界点(28日、29日、30日、31日)

3. 取尾数列: 当题干和答案都是个位数时，往往是取尾数列，一般为相加取尾或相乘取尾。

4. 数位组合数列:

——即当题干都是清一色的千百十个时，千百十个位成规律，一般为相加(三个数相加和相等;两个相加等于第三个数)

——有时也为相除，一般出现在两位数中，个十位相除成规律;

——二级数列相减，减数为每个选项百十个位之和;

——按小到大依次排列;

——当出现数的位数不一样的时候，反而简单:就用第一个数的第一位数与后面相应的数配对，依次类推，得出规律。

5. 以第二个数为底数，以第一个数为指数，得到第三个数;

6. 相邻三项之和呈现规律(前面一般是为两项之和，所以很是特殊);

7. 因式分解:即将题干因式分解为两个之积，每个分解项各自成规律;

可以视为是第四种数位数列题型的变种;

8. 图形数字推理:

——三角形推理(三个数推中间一个数):

中间的数 = (左边+右边的数—上面的数)*N

(左边—右边的数)* 上面的数

(N一般为2、3倍;这是个泛化的公式，具体问题具体分析)

——圆圈和正方形推理(四个数推中间一个数):一般先观察对角线是否成规律，然后再观察上下半部或左右半部成规律。

——九宫圆推理: 每一行或每一列成规律

三、总结(葵花宝典):

1. 当一个数列中出现了几个整数而只有两个分数并且是几分之一的时候，这个数列往往是负幂次数列;

2. 如果一列数大部分是分数，只有少量的整数，则该题考察的分式数列。要观察分子和分母都是增大或减小的趋势，其中有一两项特别尤其突兀，那么它就是突破口。利用约分和反约分整出规律来。1

3. 即要记住以前讲过的各个题型的结论