上海市交大附中2019届高三数学一模试题(含解析)

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上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题

一、选择题(本大题共4小题，共12.0分)

1.已知定义域为的函数，则此函数图象上关于原点对称的点有( )

A. 7对

B. 8对

C. 9对

D. 以上都不对

【答案】B

【解析】

【分析】

求出函数y x关于原点对称的函数为y x，x＞0，利用数形结合判断当x＞0时，f （x）＝3与y x，x＞0的交点个数即可

【详解】当时，，此时关于原点对称的点此时与没有交点，函数关于原点对称的函数为，即，，

若函数图象上存在关于原点对称的点，

等价为当时，与，的交点个数即可，

作出函数在时的图象如图，由图象知，函数分别关于对称，且函数的最大值为，

当时，得，即，

故当时，与，的交点个数有8个，

即函数图象上关于原点对称的点有8对，

故选：B．

【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用对称性转化为两个图象交点个数是解决本题的关键．注意利用数形结合，是中档题

2.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有( )

A. 8桶

B. 9桶

C. 10桶

D. 11桶

【答案】B

【解析】

【分析】

主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，所得到的图形

【详解】易得第一层有桶，第二层最少有桶，第三层最少有桶，所以至少共有桶。

故选

【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握读图的方法是解题的关键，主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面看，属于基础题。

3.已知，若，则下列不等式一定成立的是( )

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

先令a=0,排除A，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B成立

【详解】令a=0，则，即-1≤x≤1,≤4,此时A,C,D不成立，下面证明选项B成立

=≤≤=

≤≤

故选：B．

【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．

4.若，且，，则的取值范围是( )

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

如图所示：，，，

∵，∴点C在劣弧AB上运动，

表示C、D两点间的距离。

的最大值是，最小值为.

故选：D

二、填空题(本大题共12小题，共36.0分)

5.已知集合，集合，则_____．

【答案】

【解析】

6.若复数，其中是虚数单位，则______．

【答案】25

【解析】

【分析】

直接利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的公式计算得答案．

【详解】由，得，

则．

故答案为：25．

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数模的求法，是基础题．

7.函数，则______．

【答案】0

【解析】

【分析】

先根据函数的解析式求出f（﹣1）的值，再求出f[f（﹣1）]即可

【详解】

所以

故答案为0

【点睛】本题考查求分段函数的值，关键是判断出自变量所属的范围，然后将自变量的值代入相应段的解析式求出值．

8.已知，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据同角三角函数关系式，求得的值.

【详解】根据同角三角函数关系式得.

【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题，要注意有两个解.

9.已知数列的前项和为，则数列的通项公式______．

【答案】

【解析】

【分析】

由，当n＝1时，a1＝S1＝3．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，即可得出．

【详解】当，且时，

，

又，满足此通项公式，

则数列的通项公式．

故答案为：

【点睛】本题考查求数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，注意检验n=1是否符合，属于中档题．

10.已知实数满足约束条件，则目标函数的取值范围为_____．【答案】

【解析】

先作可行域，如图三角形ABC及其内部，则直线过点A(2,0)取最大值6，过点B(0,1)取最小值1，所以取值范围为

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

11.已知函数，若其图象关于直线对称，则直线

的倾斜角______．

【答案】

【解析】

【分析】

化简函数y＝a sin2x+b cos2x为一个角的函数形式，利用x是函数y＝a sin2x+b cos2x图象的一条对称轴，求出a，b的值，然后求直线l的斜率与倾斜角．

【详解】∵函数(不全为0)的图象关于直线对称，

设，，

∴，

当时，，

∴，

不妨取时，得；

∴，，

解得，；

∴直线：可化为：，

它的斜率为，∴倾斜角是；

故答案为：．

【点睛】本题考查了三角函数性质，两角和的正弦公式，直线倾斜角，熟记三角函数性质及公式是关键，是综合题目．

12.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表看，六根等长的正四棱分成三组，榫卯起来如图，若正四棱柱的高为，底面正方形的边长为现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）（）.

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

有题意可知：该球形容器得半径最小值为，所以表面积最小值为

点睛：本题主要考察空间几何体，而柱体的外接球球心即为体对角线的中点位置

13.已知，且

，那么展开式中的常数项为______．

【答案】-20

【解析】

【分析】

由题意令x＝1，可得n＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项．

【详解】∵已知

，

且，

∴令，可得，∴，那么的展开式的通项公式为，

令，求得，可得展开式中的常数项为，

故答案为：﹣20．

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．

14.已知正实数满足，则的最小值为______．

【答案】55

【解析】

【分析】

由题可得y0，解得0＜x＜21．则xy+5x+4y＝3x+y+42＝3x42＝331，再利用基本不等式的性质即可得出．

【详解】∵正实数满足，∴，，解得．

则

，当且仅当时取等号．

∴的最小值为55．

故答案为：55．

【点睛】本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15.已知等边的边长为2，点在线段上，若满足等式的点有两个，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则，AC：

由得，

16.过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】

设P（t，2﹣t），可得过O、A、P、B的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q的坐标，由点Q到直线的距离公式和不等式的性质可得．【详解】∵点为直线上的任意一点，∴可设，

则过的圆的方程为，

化简可得，

与已知圆的方程相减可得的方程为，

由直线的方程为，

联立两直线方程可解得，，

故线段的中点，

∴点到直线的距离，

∵，∴，

∴，∴，

∴，即

故答案为：

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的相交弦和点到直线的距离公式，以及不等式求函数的值域，属中档题．

三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)

17.在中，分别为角的对边，已知

（I）求角的值；

（II）若，求得取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】

试题分析：（1）由，得，解得，得到结果；（2）由余弦定理易得：，即，又，从而得到又因为，求得结果.

试题解析：

（I）由，得，

即，解得.

因为，所以.

（II），，

又因为，所以

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

18.在如图所示的组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面

圆周上不与重合的一个点．

(Ⅰ)若圆柱的轴截面是正方形，当点是弧的中点时，求异面直线与的所成角的大小；

(Ⅱ)当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比．

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）连接，则，直线与的所成角等于直线与所成角，在△

中，利用余弦定理求，即可求解（2）分别求和，再求比值即可

【详解】（1）连接，则，

直线与的所成角等于直线与所成角，

设圆柱的底面半径为，即，，

在△中，，又

所以直线与所成角的大小等于.

（2）设圆柱的底面半径为，母线长度为，

当点是弧的中点时，，且平面，

，，

∴.

【点睛】本题主要考查异面直线所成角，圆柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．

19.一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜,田地内拟修建笔直小路MN，AP，其中M，N分别为AC，BC的中点，点P在CN上，规划在小路MN与AP 的交点O(O与M、N不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A，N为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO段与OP段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO段的建造费用为每百米5万元，小路ON段的建造费用为每百米4万元．

（Ⅰ）若拟修的小路AO段长为百米，求小路ON段的建造费用；

（Ⅱ）设, 求的值，使得小路AO段与ON段的建造总费用最小．

【答案】（Ⅰ）4万元；（Ⅱ），小路AO段与ON段的建造总费用最小为万元. 【解析】

【分析】

（Ⅰ）在中用余弦定理计算的长度，故可得的长度后即得段的建筑费用. （Ⅱ）在中用正弦定理计算的长度后得到，令

，将其变形为，利用辅助角公式可得

，从而得到，验证等号成立后可得何时取最小值.

【详解】（Ⅰ）在中，，

即，

故或（舎去），故，

所以段的建筑费用为万元.

（Ⅱ）由正弦定理得：在中，，

故，

，

设小路和段的建造总费用为，

则，

令，且，，

即.

由，得，故，即或（舍去）.

当时，，故，其中，

故由，符合题意.

答：，小路AO段与ON段的建造总费用最小为万元.

【点睛】把实际问题抽象为解三角形问题时，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，这样才能确定用什么定理去解决.求形如的函数最值，可将该函数转化为形如的方程，利用得到的取值范围，验证等号能成立后可得函数的最值.

20.过抛物线(其中)的焦点的直线交抛物线于两点，且两点的纵坐标之积为．

(1)求抛物线的方程；

(2)当时，求的值；

(3)对于轴上给定的点(其中)，若过点和两点的直线交抛物线的准线点，求证：直线与轴交于一定点．

【答案】（1）；（2）1；（3）见解析.

【解析】

【分析】

（1）设直线AB的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理，可得p＝4，即得抛物线方程；（2）

推理证明=，整理即可得到所求值；（3）设A（，y1），B（，y2），

P（﹣2，s），运用三点共线的条件：斜率相等，可得s，设AP交x轴上的点为（t，0），运用韦达定理，化简整理可得所求定点．

【详解】(1)过抛物线(其中)的焦点的直线

为，代入抛物线方程，可得，

可设，

即有，解得，

可得抛物线的方程为；

(2)由直线过抛物线的焦点，

由（1）可得

，将

代入可得；

(3)证明：设，，，

由三点共线可得

，可得，①

设交轴上的点为，即有，

代入①，结合，可得，

即有，

可得．即有直线与轴交于一定点．

【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，抛物线定义，韦达定理的应用，考查化简运算能力，属于难题．

21.已知数列{a n}为等比数列，公比为为数列{a n}的前n项和.

（1）若求;

（2）若调换的顺序后能构成一个等差数列，求的所有可能值；

（3）是否存在正常数，使得对任意正整数n，不等式总成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）17（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）先根据条件求公比，再利用等比数列求和公式求比值（2）分类讨论三个数成等差情况，依次求出对应公比（3）化简不等式得，代入n=1得，代入n=2得，再由，得

试题解析：解：（1）因为所以，

所以或（舍去）．

所以

（2）若或成等差数列，

则，解得或1（舍去）；

若或成等差数列，

则，解得或1（舍去）；

若成等差数列，

则，解得（舍去）.

综上，

（3）由，可得，

故等价于恒成立. 因为所以得到

当时，不可能成立. 当时，另，得，解得

因为，所以

即当时，，所以不可能成立.

当时，由，

即，所以

即当时，不成立.

当时，

所以当时，恒成立. 综上，存在正常数，使得对任意正整数n，不等式总成立,

的取值范围为.