平面几何练习题
平面几何选讲练习题
１．如图所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，
过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P. （1）求证:AD ∥EC;
（2）若AD 是⊙O 2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求
2．如图：已知AD 为⊙O 的直径，直线BA 与⊙O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相
交于点G ，连接DC .
求证：BA ·DC =GC ·AD .
3． 已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AE=
31AC ，BD=3
1
AB ，点F 在BC 上，且CF=
3
1
BC 。求证： （1）EF ⊥BC ；
（2）∠ADE=∠EBC 。
F
A
B
C
４．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .
（1）求FC
BF
的值；
（2）若△BEF 的面积为1S ，四边形CDEF 的面
积为2S ，求21:S S 的值．
５．已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线交
AE 于点F ，交AB 于D 点. （1）求ADF ∠的度数； （2）若AB=AC ，求AC:BC
.
６．自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B,C 两点．
求证:∠MCP=∠MPB ．
7．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 于点M 、N ，直线BMN 交AD 的延长线于点C ，NC MN BM ==，2=AB ，求BC 的长和⊙O 的半径.
8．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作
CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M . （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）求证：AM ·MB =DF ·DA .
9．如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B 、C 两点，
圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点.
（Ⅰ）证明A ，P ，O ，M 四点共圆； （Ⅱ）求∠OAM ＋∠APM 的大小.
10．如图 ，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点A ，过A 点作直线AP 垂直直线OM ，
垂足为P.
（Ⅰ）证明：OM ·OP=OA 2；
（Ⅱ）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点，过B 点的切线交
直线ON 于K.证明：∠OKM=90°
A B
C
E D
11．如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD.
求证：AB ∥CD.
12．已知 ?ABC 中，AB=AC, D 是 ?ABC 外接圆劣弧AC
上的点（不与点A,C 重合），延长BD 至E 。
（1） 求证：AD 的延长线平分∠CDE ；
（2） 若∠BAC=30
，?ABC 中BC 边上的高为，
求?ABC 外接圆的面积。
13．如图，已知ABC ?的两条角平分线AD 和CE 相交 于H ，060B ∠=，F 在AC 上，且AE AF =。
（I ）
证明：B,D,H,E 四点共圆： （II ）
证明：CE 平分DEF ∠。
14．已知:如右图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB ＝DC,过点D 作AC 的平行线DE,交BA
的延长线于点E ．求证：
（1）△ABC ≌△DCB （2）DE·DC ＝AE·BD ．
15．在圆O 的直径CB 的延长线上取一点A ，A P 与圆O 切于点P ，且∠APB ＝30°，
AP ＝3，则CP ＝
( )
．16．已知AB 是圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD ∶AB 等于∠BPD 的( )
A ．正弦
B ．余弦
C ．正切
D ．余切
17．如图所示，已知D 是△ABC 中AB 边上一点，DE ∥BC 且交AC
于E ，EF ∥AB 且交BC 于F ，且S △ADE ＝1，S △EFC ＝4，则四边 形BFED 的面积等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
18．AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D 、E 、F ，如果AD ＝20，
则△ABC 的周长为 ( )
A ．20
B ．30
C ．40
D ．351
2
5．如图所示，AB 是半圆的直径，弦AD 、BC 相交于P ，已知∠DPB ＝60°，D 是弧BC 的中点，则tan ∠ADC ＝________.
19．如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD ＝4，
BD ＝8，则圆O 的半径长为________．
20．如图，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝30°，
BC 为半圆的切线，且BC ＝43，则点O 到
AC 的距离OD ＝________.
平面几何选讲练习题答案
１．（1）证明：连接AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC=∠D ，
又∵∠BAC=∠E ，∴∠D=∠E 。∴AD ∥EC （4分） （2）设BP=x ，PE=y ，∵PA=6，PC=2，∴xy=12，①
∵AD ∥EC ，∴
2
6
9=+?=y x PC AP PE DP ②， 由①②可得，???==43y x 或?
??-=-=112
y x （舍去）∴DE=9+x+y=16，
∵AD 是⊙O 2的切线，
∴AD 2=DB ?DE=9×16， ∴AD=12。（6分）
2．证法一：∵ AC OB ^ ，∴ 90AGB ?， 又 AD 是⊙Ｏ的直径，∴ 90DCA ?，
又 ∵ BAG
ADC ??（弦切角等于同弧对圆周角）………4分
∴ Rt △AGB ∽Rt △DCA …………………………………5分
∴ BA
AG
AD DC = ， 又∵ OG AC ^∴ GC AG =…………………………7分 ∴ BA
GC
AD
DC
=
…………………………………………………9分 即 BA ?DC=G C ?AD ………………………………………10分 证法二：∵ BA 与⊙Ｏ相切于A ∴ 90BAO
?
又 AG BO ^于G ， ∴ ABG
GOA ??
∴ Rt △BGA ∽Rt △AGO …………………………3分 ∵
BA AO
AG OG
=
………………………………………①…5分 ∵ OG AC G ^弦于 ，∴ G 为AC 的中点 又 ∵ O 为直径AD 的中点，
F
A
B
C
∴ 12AO AD = ，1
2OG DC =………………………7分 ∴ 1212
AD
BA AD
AG DC
DC ==
∴ BA ?DC=G C ?A D ……………………………10分
3． 证明：设AB=AC=3a ，则AE=BD=a ，CF=.2a （1）
.3
2
32,32232====a a CA CF a a CB CE 又∠C 公共，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC=90°， ∴∠EFC=90°，∴EF ⊥BC …………4分 （2）由（1）得.22
222,222,2=====
a
a BF AD a a EF AE a EF 故
.BF
AD
EF AE =∴
…………6分
∴∠DAE=∠BFE=90°∴△ADE ∽△FBE ， …………8分 ∴∠ADE=∠EBC 。 …………10分 ４．证明：（1）过D 点作DG ∥BC ，并交AF 于G 点， -------------------------2分
∵E 是BD 的中点，∴BE=DE ，又∵∠EBF=∠EDG ，∠BEF=∠DEG ， ∴△BEF ≌△DEG ，则BF=DG ，∴BF ：FC=DG ：FC ， 又∵D 是AC 的中点，则DG ：FC=1：2，
则BF ：FC=1：2；----------------------------------------------4分
（2）若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底， 则由（1）知BF ：BC=1：3，
又由BE ：BD=1：2可知1h ：2h =1：2，其中1h 、2h 分别为△BEF 和△BDC 的高，则6
1
2131=?=??BDC BEF S S 则21:S S =1：5． -----------------------8分
５． AC 为圆O 的切线,∴EAC B ∠=∠
又知,DC 是ACB ∠的平分线,
∴DCB ACD ∠=∠ ∴ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠ 即 A F D A D F ∠=∠ 又因为BE 为圆O 的直径, ∴?=∠90DAE ∴?=∠-?=
∠45)180(2
1
DAE ADF （2） EAC B ∠=∠,ACB ACB ∠=∠,∴ACE ?∽ABC ?∴
AB
AE
BC AC =
又 AB=AC, ∴?=∠=∠30ACB B , ∴在RT ⊿ABE 中,
3
3
30tan tan =?=∠==B AB AE BC AC ……10分 ６．证明：∵PA 与圆相切于A ，
∴2MA MB MC =?， ………………2分
∵M 为PA 中点，∴PM MA =， ………………3分
∴2PM MB MC =?，∴PM MB
MC PM
=
． ………5分 ∵BMP PMC ∠=∠， ………………6分 ∴△BMP ∽△PMC ，………………8分 ∴MCP MPB ∠=∠． ………………10分
7．证明：AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的切线，直线BMN 是⊙O 的割线，
90=∠∴BAC ，BN BM AB ?=2.
233,2,42,2,2==∴=∴=∴===BM BC BM BM AB NC MN BM …4分
222BC AC AB =+∴，1842=+AC ，14=AC .
147
2
,14222,=
∴?==?∴?=?CD CD CA CD CM CN ∴⊙O 的半径为1414
5
)(21=-CD CA ………………………………………8分
8．解：（I ）连结OC ，∴∠OAC =∠OCA ，又∵CA 是∠BAF 的角平分线，
∴∠OAC =∠F AC ，∴∠F AC =∠ACO ，∴OC ∥AD .………………3分 ∵CD ⊥AF ，∴CD ⊥OC ，即DC 是⊙O 的切线.…………5分 （Ⅱ）连结BC ，在Rt △ACB 中， CM ⊥AB ，∴CM 2=AM ·MB .又∵DC 是⊙O 的切线，∴DC 2=DF ·DA . 易知△AMC ≌△ADC ，∴DC =CM ，∴AM ·MB =DF
19．（Ⅰ）证明：连结OP ，OM .
因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP ⊥AP . 因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM ⊥BC .
于是∠OP A ＋∠OMA =180°，由圆心O 在PAC ∠
可知四边形APOM 的对角互补，所以A ，P ，O ，M 四点共圆…6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A ，P ，O ，M 四点共圆，所以∠OAM =∠OPM. 由（Ⅰ）得OP ⊥AP .
由圆心O 在PAC ∠的内部，可知∠OPM ＋∠APM =90°. 所以∠OAM ＋∠APM =90°. ……10分 10．（Ⅰ）证明：因为MA 是圆O 的切线，所以OA ⊥AM
又因为AP ⊥OM ，在Rt △OAM 中，由射影定理知，
.2OP OM OA ?=
（Ⅱ）证明：因为BK 是圆O 的切线，BN ⊥OK ， 同（Ⅰ），有OB 2=ON ·OK ，又OB=OA ， 所以OP ·OM=ON ·OK ，即
.OK
OM
OP ON = 又∠NOP=∠MOK ，所以△ONP ∽△OMK ，故∠OKM=∠OPN=90°
11．证明：由△ABC ≌△BAD 得∠ACB=∠BDA ，故A 、B 、C 、D 四点共圆，从而∠CBA=
∠CDB 。再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB=∠DBA 。因此∠DBA=∠CDB ，所以AB ∥CD 。 12．解：（Ⅰ）如图，设F 为AD 延长线上一点
∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠CDF =∠ABC
又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB,
故∠EDF=∠CDF,即AD 的延长线平分∠CDE.
（Ⅱ）设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H,则AH ⊥BC.
连接OC,A 由题意∠OAC=∠OCA=150
, ∠ACB=750
,∴∠OCH=600
. 设圆半径为r,则r+
2
3
r=2+3,a 得r=2,外接圆的面积为4π。
13．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD ，CE 是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°， 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E 四点共圆.
（Ⅱ）连结BH,则BH 为∠ABC 的平分线，得∠HBD=30°
由（Ⅰ）知B,D,H,E 四点共圆，所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得E F ⊥AD ，可得∠CEF=30°. 所以CE 平分∠DEF.
14．证明：(1) ∵四边形ABCD 是等腰梯形，
∴AC ＝DB ∵AB ＝DC ，BC ＝CB ，∴△ABC ≌△BCD (2)∵△ABC ≌△BCD ， ∴∠ACB ＝∠DBC ，∠ABC ＝∠DCB
∵AD ∥BC ，
∴∠DAC ＝∠ACB ，∠EAD ＝∠ABC ∵ED ∥AC ，∴∠EDA ＝∠DAC ∴∠EDA ＝∠DBC ，∠EAD ＝∠DCB
∴△ADE ∽△CBD ∴DE:BD ＝AE:CD ， ∴DE ·DC ＝AE ·BD ． 15.解析：如图，连结OP ，∴OP ⊥P A ，又∠APB ＝30°，
∴∠P OB ＝60°，
∴在Rt △OP A 中，OP ＝1，易知，PB ＝OP ＝1，在Rt △PCB 中，由PB ＝1，∠PBC ＝60°，可求PC ＝ 3. 答案：A
16.解析：如图，易知，△CPD ∽△APB ，
∴CD AB ＝DP BP .连结BD ，则△PDB 为Rt △，∴cos ∠BPD ＝DP
BP ， ∴CD
AB
＝cos ∠BPD . 答案：B 17.解析：因为AD ∥EF ，DE ∥FC ，所以△ADE ∽△EFC .
因为S △ADE ∶S △EFC ＝1∶4，所以AE ∶EC ＝1∶2， 所以AE ∶AC ＝1∶3，所以S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9， 所以S 四边形BFED ＝4. 答案：C
18.解析：∵AD 、AE 、BC 分别为圆O 的切线，∴AE ＝AD ＝20，BF ＝BD ，CF ＝CE ，
∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AC ＋BF ＋CF ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝40. 答案：C
A B
C
E D
20．答案：5
小升初平面几何图形
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F E D A B C ４．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F . （1）求FC BF 的值； （2）若△BEF 的面积为1S ，四边形CDEF 的面 积为2S ，求21:S S 的值． ５．已知C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线交 AE 于点F ，交AB 于D 点. （1）求ADF ∠的度数； （2）若AB=AC ，求AC:BC . ６．自圆O 外一点P 引切线与圆切于点A ，M 为PA 中点，过M 引割线交圆于B,C 两点． 求证:∠MCP=∠MPB ． O A B D E F
7．如图，AD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 于点M 、N ，直线BMN 交AD 的延长线于点C ，NC MN BM ==，2=AB ，求BC 的长和⊙O 的半径. 8．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，F 为⊙O 上的点，CA 是∠BAF 的角平分线，过点C 作 CD ⊥AF 交AF 的延长线于D 点，CM ⊥AB ，垂足为点M . （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）求证：AM ·MB =DF ·DA . 9．如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B 、C 两点， 圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点. （Ⅰ）证明A ，P ，O ，M 四点共圆； （Ⅱ）求∠OAM ＋∠APM 的大小. 10．如图 ，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点A ，过A 点作直线AP 垂直直线OM ， 垂足为P. （Ⅰ）证明：OM ·OP=OA 2； （Ⅱ）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点，过B 点的切线交 直线ON 于K.证明：∠OKM=90° B M C O P
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随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一.离散型随机变量的定义 1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量、 ①随机变量就是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化、 2.表示:随机变量常用字母X ,Ｙ,ξ,η,…表示. 3、所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( dis ｃｒe ｔｅ ｒan ｄｏm ｖar ｉa ｂle ) . 二、离散型随机变量的分布列 1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,ｘi ,…,x n, X 取每一个值x i (ｉ=1,2,…, ｎ)的概率P (X =ｘｉ)=ｐi ,则称表: 为离散型随机变量X Ｐ(X =x i )＝p i , i =１,２,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列、 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①ｐi ≥0,ｉ=１,2,…,n ;②11 =∑=n i i p . 三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X 的分布列具有上表形式,则称服从两点分布,并称p =P (X ＝1)为成功概率. 2、超几何分布),,(~n M N H X 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取ｎ件,其中恰有X 件次品,则P (X ＝k )= n N k n M N k M C C C --,k =0,１,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,Ｍ,N ∈N ＊ . 三、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件Ａ发生的概率为p ,则P (Ｘ=k )=C 错误!p k (1－ｐ)n － k ,ｋ=０,1,2,…,n 、此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作X ～B (n ,ｐ),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下;
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合图形一半学会运用“分割”与“添补”的方法计算组合图形的面积。 计算组合图形的面积步骤：1、分图形 2、找条件 3、算面积 三、立体图形 1、认识长方体和正方体。 （1）面和面相交的边叫做（）。 （2）棱相交的点叫做（）；长方体和正方体都有（）个棱。 （3）长方体和正方体都有（）个面，相对的面完全相同。 （4）棱可以分为三组。相对的棱长度相等。 长方体棱长之和 = 长方体表面积 = 长方体体积 = 正方体棱长之和 = 正方体表面积 = 正方体体积 = 2、圆柱和圆锥 （1）圆柱的特征：有（）个底面，有（）个侧面，是曲面，打开是一个（），长方形的长是（）。 （2）圆柱的侧面积 =（），用字母表示是（） 圆柱的表面积 = 圆柱的侧面积 + 两个底面的面积； S表面积 = 2πr×h+2×πr2 圆柱的体积 = 底面积×高； V=S底×h 圆锥的特征：尖顶，底面是（），侧面是一个曲面，打开是一个扇形，底面圆周上任一点与顶点之间的距离都相等。有（）条高。 四、单位认识以及单位换算。（在箭头上填上两个单位之间的进率） 熟记单位换算关系: 大单位换到小单位：×进率 小单位换到大单位：÷进率 长度单位： （）（）（）（）（） 面积单位： （）（）（）（）（） 重量单位： （）（）（） 时间单位： （）（）（）
平面几何习题集
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随机变量及其分布列经典例题教程文件
随机变量及其分布列 经典例题
随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一．离散型随机变量的定义 1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． ①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化. 2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． 3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 二．离散型随机变量的分布列 1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表： 为离散型随机变量X P (X =x i )=p i ，i =1,2，…，n, 也可以用图象来表示X 的分布列． 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0，i =1,2，…，n ；②11 =∑=n i i p ． 三．两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X p =P (X =1)为成功概率． 2.超几何分布),,(~n M N H X 一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X =k )= n N k n M N k M C C C --，k =0,1,2，…，m ，其中m =min {}n M ,，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. 三．二项分布 一般地，在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发
最新初二平面几何知识点讲解及习题
课堂练习题 一、相信你的选择 1．如图所示，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列式子中一定成立的是 ( )． A ．AC ⊥BD B ．OA=O C C ．AC=B D D ．A0=OD 2．如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂 垂直平分线交AD 于E ，则△CDE 的周长是（ ）． A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 3、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=60°， BD 平分∠ABC ，如果这个梯形的周长为30，则BC 的 长是（ ）． A 、18 B 、12 C 、8 D 、6 4、如图，正方形ABCD 的周长为16cm ，顺次连接正方形ABCD 各边 的中点，得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长和面积分别为（ ）． A 、8 2cm 和8cm 2 B 、162cm 和32cm 2 C 、8cm 和8 2 cm 2 D 、8cm 和8cm 2 二、试试你的身手 1、正方形ABCD 中，对角线BD 的长是20cm ，P 是AB 上任意一点，则点P 到AC 、BD 的距离之和是 cm ． 2、如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转 30°后得正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，则DH 的长为 ． 三、挑战你的技能。 1．如图，在□ABCD 中，∠DAB=60°，点E 、F 分别在CD 、AB 的延长线上，且AE=AD ，CF=CB ． (1)求证：四边形AFCE 是平行四边形． 2．如图，已知AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE. G A F B C D A
选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题
2-3随机变量及其分布 -- HW) T数字特征11 …. --- L-W Array「(两点分布〕 5店殊分布列)--憊几何分祠 -(二项分利 十［并件相互独立性)一価立重复试劇 5J ~(条件概率) ”、r<正态分布密度曲绚 f正态分布)一 要点归纳 一、离散型随机变量及其分布列 1.⑴随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关 系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示?在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量?通常用字母X, Y, E, n等表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随 机变量. (3) 离散型随机变量的分布列： 一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为X i, X2…，X i，…X n，X取每一个值X i(i = 1，2，…，n)的概率 P(X= X)= p i，以表格的形式表示如下： X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X = X i) = p i， i = 1，2，…，n表示X的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质： ①P i>0，i = 1，2，…，n； n ②P i = 1. i = 1
(5)常见的分布列： 两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则 称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率. 两点分布又称 0- 1分布，伯努利分布. 超几何分布：一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取 X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为 P(X = 其中 m= min ｛ M , n ｝，且 n W N , M < N , n , M , N € N *.如 果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 2 .二项分布及其应用 (1)条件概率：一般地，设 A 和B 是两个事件，且 P(A)>0, p / AB) 称P(BA) = P ((A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生 的条件概率.P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率. ⑵条件概率的性质： ① 0 < P(BA)< 1； ② 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; ③ 如果 B 和C 是两个互斥事件，则 P(B U C|A)= P(B|A) + P(C|A). (3) 事件的相互独立性：设 A, B 为两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则 称事件 A 与事件B 相互独立?如果事件 A 与B 相互独立，那么 A 与-,-与B ,-与-也都相互独立. (4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试 验称为n 次独立重复试验. c M c N-/i c N k = 0, 1, 2, ,m,即 n 件，其中恰有 k)=
平面几何习题集大全
平面几何习题大全 下面的平面几何习题均是我两年来收集的，属竞赛围。共分为五种类型，1，几何计算；2，几何证明；3，共点线与共线点；4，几何不等式；5，经典几何。 几何计算-1 命题设点D是Rt△ABC斜边AB上的一点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F。若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是多少？ 解：设DF=CE=x,DE=CF=y. ∵Rt△BED∽Rt△DFA, ∴BE/DE=DF/AF <==> 10/y=x/15 <==> xy=150. 所以，矩形DECF的面积150. 几何证明-1 命题在圆接四边形ABCD中，O为圆心，己知∠AOB+∠COD=180.求证:由O向四边形ABCD所作的垂线段之和等于四边形ABCD的周长的一半。 证明(一) 连OA,OB,OC,OD，过圆心O点分别作AB,BC,CD,DA的垂线，垂足依次为P,Q,R,S。 易证ΔAPO≌ΔORD，所以DR=OP,AP=OR， 故OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。 同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。 因此有OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。
证明(二) 连OA,OB,OC,OD，因为∠AOB+∠COD=180°,OA=OD，所以易证 RtΔAPO≌RtΔORD，故得DR=OP,AP=OR， 即OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。 同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。 因此有OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。 几何不等式-1 命题设P是正△ABC任意一点，△DEF是P点关于正△ABC的接三角形[AP,BP,CP延长分别交BC,CA,AB于D,E,F]，记面积为S1;△KNM是P点关于正△ABC的垂足三角形[过P 点分别作BC,CA,AB垂线交于K,N,M]，记面积为S2。求证:S2≥S1 。 证明设P点关于正△ABC的重心坐标为P(x,y,z)，a为正△ABC的边长，则正△ABC的面积为S=(a^2√3)/4。 由三角形重心坐标定义易求得: AD=za/(y+z),CD=ya/(y+z),CE=xa/(z+x),AE=za/(z+x),AF=ya/(x+y),BF=xa/(x+y). 故得: △AEF的面积X=AE*AF*sin60°/2=Syz/(z+x)(x+y); △BFD的面积Y=BF*BD*sin60°/2=Szx/(x+y)(y+z); △CDE的面积Z=CD*CE*sin60°/2=Sxy/(y+z)(z+x). 从而有S1=S-X-Y-Z=2xyzS/(y+z)(z+x)(x+y)。 因为P点是△KNM的费马点，从而易求得:
小升初-几何模块详解
小升初——几何模型 小升初数学一般分为计算、几何、应用题、行程、数论、计数、组合七大模块。其中几何模块占比大概20%-25%，几何问题涵盖了小学所有关于图形的知识点，可以说是重中之重，更是各类数学杯赛以及小升初考试中最常见的一类题型，同时也是课本中常考的题型。以下是对几何相关知识点的归纳梳理，希望对小升初复习起到事半功倍的效果。 一、直线型几何 1、角度问题 （1）n 边形的角和是180°×（n-2）; （2）n 边形的外角和为360°. 2、面积计算 高下底）（上底2 1梯形：S （5）对角线对角线2 1 S 或边长边长正方形：S （4）宽长（3）长方形：S 高底（2）平行四边形：S 高底2 1 （1）三角形：S ?+?= ??= ?=?=?=??= 3、直角三角形 （1） 勾股定理； （2） 斜边上的中线是斜边的一半； （3） 一个角为30°的直角三角形中，短直角边为斜边的一半。 直线型几何的几种基本模型 模型 基本图形 相关性质 一半模型 四边形阴影S 2 1 S = 等高三角形 b a S2S1=
共边长方形 S3 S2S4S1b a S4S3S2S1?=?== 四边形中的比例 S3 S2S4S1S4S3S2S1?=?= 梯形中的比例 （蝴蝶模型） 2 2b :ab :ab :a S4:S3:S2:S1S3 S2== 共角三角形 （鸟头模型） AC AE AB AD S2S1?= 沙漏模型 22 b a S S f e d c b a ===下上 金字塔模型 c2 c1 b2b1b1a2a1a1b2 b1a2a1= +=+= 燕尾模型 OD AO S S S S S S S S 内比： CD BD S S S S S S S S 外比： 4321423142314321=++=== ++== 二、曲线型几何
(完整word版)平面几何练习题
平面几何练习一 一、填空: 1.在同一平面内不相交的两条直线叫( ). 2.12个正方形可以摆成( )种不同形式的长方形. 3.在等腰三角形中,如果顶角为124°,底角各是( ),这个三角形是 ( )角三角形. 4.把两个边长都是2厘米的正方形拼成一个长方形,这个长方形的周长是 ( ),面积是( ). 5.一个平行四边形,底是24厘米,高2分米,面积是( ). 6.一个等边三角形,周长是12.6厘米,它的边长是( )厘米. 7.周长是28厘米的长方形,长是10厘米,面积是( ). 8.一个梯形的面积是10平方分米,高是4分米,上底是 2.2分米,下底是 ( )分米. 9.一个圆,周长是 6.28分米,它的面积是( ). 二、判断: 1.小明画了一条25厘米长的直线. 2.等边三角形和等腰三角形都是锐角三角形. 3.两个面积相等的三角形一定可以拼成一个平行四边形. 4.平行四边形和长方形的周长相等,它们的面积也相等. 5.半径是2厘米的圆,它的周长和面积相等. 6.半圆的周长是和它等半径的圆周长的一半. 7.平行四边形不是对称图形,没有对称轴. 8.一个四边形,四个角相等,四条边也相等,这个四边形是正方形. 9.钝角三角形只有一组底和高. 10.一个三角形中,不可能有两个钝角. 三、选择: 1.从一点引出两条( )就组成一个角.A直线 B线段 C射线 2.一个四边形只有一组对边平行,这个四边形是( ). A平行四边形B任意四边形C梯形 3.把长方形拉成一个四条边长度保持不变的平行四边形后,它的面积 ( ).A比原来大B比原来小C与原来相等 4.下列图形中,( )的对称轴有无数条. A正方形B等边三角形C圆 5.用两根同样长的铁丝,分别围成一个正方形和一个圆.正方形的面积和圆的面积 相比较,( ).A正方形的面积大B同样大C圆的面积大 四、操作题: 1.过一条直线外一点,画出这条直线的垂线和平行线. 2.分别画出下列三角形的三条高. 3、计算下面图形的周长和面积:(单位:厘米) 五、应用题: 1.一个运动场(如图),两头是半圆形,中间是长方形,这个运动场的周长是多少 米?面积是多少平方米? 2.一个长方形养鸡场,一条长边利用原有墙,其余三面是竹篱笆,已知篱笆共长 24米,宽是长的 2 1 ,鸡场的面积是多少平方米? 3.抗日战争时期王庄民兵自制一种土雷,爆炸时,有效杀伤距离是15米,它的有 效杀伤面积是多少平方米? 4.张村有一块边长是56米的正方形苹果园,苹果树的株距是4米,行距7米,这 块地共有苹果树多少棵?如果每棵平均可以收苹果165千克,这个果园一年 共收苹果多少千克? 5.一块长1米20厘米,宽90厘米的铝皮,剪成直径是30厘米的铝锅底,最多可 以剪几块?
小升初数学知识点归纳-图形与几何.doc
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 图形与几何 一线和角 （1）线 * 直线 直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。 * 射线 射线只有一个端点；长度无限。 * 线段 线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。 * 平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。 * 垂线 两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 （2）角 （1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 （2）角的分类 锐角：小于90°的角叫做锐角。 直角：等于90°的角叫做直角。 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。 二平面图形 1长方形 （1）特征 对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 （2）计算公式
c=2(a+b) s=ab 2正方形 （1）特征： 四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 （2）计算公式 c= 4a s=a2 3三角形 （1）特征 由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。 （2）计算公式 s=ah/2 （3）分类 按角分 锐角三角形：三个角都是锐角。 直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。 钝角三角形：有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。 4平行四边形 （1）特征 两组对边分别平行的四边形。 相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。（2）计算公式 s=ah 5 梯形 （1）特征
七年级数学平面几何练习题及答案
平面几何练习题 一. 选择题： 1. 如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（ ） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 相等且互补 2. 如图，l l 12//，AB l ABC ⊥∠=1130， ，则∠=α（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 A l 1 B l 2 α C 3. 如图，l l 1211052140//，，∠=∠= ，则∠=α（ ） A. 55 B. 60 C. 65 D. 70 l 1 1 α 2 l 2 4. 如图，能与∠α构成同旁内角的角有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 4个 α 5. 如图，已知AB CD //，∠α等于（ ） A. 75 B. 80 C. 85 D. 95 A B 120° α 25°C D 6. 如图，AB CD MP AB MN ////，，平分∠∠=∠=A M D A D ，，4030 ，则 ∠N M P 等于（ ）
A. 10 B. 15 C. 5 D. 75. B M C A N P D 7. 如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30 ，那么这两个角是 （ ） A. 42138 、 B. 都是10 C. 42138 、或4210 、 D. 以上都不对 二. 证明题： 1. 已知：如图，∠=∠∠=∠123，，B AC DE //，且B 、C 、D 在一条直线上。 求证：AE BD // A E 3 12 4 B C D 2. 已知：如图，∠=∠CDA CBA ，DE 平分∠C D A ，BF 平分∠C B A ，且∠=∠ADE AED 。 求证：DE FB // D F C A E B 3. 已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012 ，。 求证：∠=∠E F
【小升初数学毕业考试】2018年最新人教版六年级数学下册总复习图形与几何试卷
最新人教版六年级数学下册 总复习---图形与几何 学校__________ 班级_________ 姓名_____________ 等级_________ 一、填空。 1.经过两点能画出（）条直线，过一点可以画（）条射线，过两点可以画（）条线段。 2.一个圆柱和与它等底等高的圆锥的体积和是144 cm3。圆柱的体积是（）cm3，圆锥的体积是（）cm3。 3.一个圆环，外圆半径是6厘米，内圆半径是4厘米，圆环面积是（）平方厘米。 4.看图数一数，填一填。（每个方格面积按1cm2计算。） A图（）cm2 B图（）cm2 C图（）cm2 D图大约是（）cm2 5. 如左图所示，把一个高为10厘米的圆柱切成若干 等份，拼成一个近似的长方体。如果这个长方体 的底面积是50平方厘米，那么圆柱的体积是（）立方厘米。 6.一个梯形的面积是8 cm2 ，如果它的上底、下底和高各扩大到原来的2倍，它的面积是（）cm2 。 7.两个圆的半径分别是3厘米和5厘米，它们周长的比是（），面积的比是（）。 8.三角形的内角和是180°，四边形的内角和是（），八边形的内角和是（）。 9.一个圆锥与一个圆柱等底等体积，已知圆柱的高是2厘米，圆锥的高是（）。 二、判断（对的打“√”，错的打“×”） 1.一个三角形中，只要两个内角的度数和小于另一个内角，这个三角形一定是钝角三角形。（） 2.一条直线上的两点把这条直线分成两条射线和一条线段，所以射线比直线短。（） 3.圆的半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。（）
4.长方形、正方形、圆、等腰梯形都是轴对称图形。 （ ） 5.圆有无数条对称轴，而半圆只有一条对称轴。 （ ） 三、选择题。 1.下面的图形，（ ）是正方体的展开图。 A. B. C. D. 2.下面各组线段中，能围成三角形的是（ ）。 A.1cm 1cm 2cm B.1cm 2.5cm 3cm C.0.9cm 1dm 2dm D.4m 7m 2m 3.一个正方体的棱长是a ，它的表面积是（ ）。 A.12a B.a 2 C.6a 2 D.a 3 4.一个正方形的边长和圆的半径相等，已知正方形的面积是20平方米，则圆的面积是（ ）平方米。 A.15.7 B.62.8 C.12.56 5.学校传达室的门坏了，下图分别是木工师傅修门的4中方案，（ ）种修理方案可以使这扇门最牢固。 四、操作题。 （ 1）用数对表示图中A 、B 、 C 的位置： A （ ， ）、 B （ ， ）、 C （ ， ）。 （2）画出把三角形ABC 绕B 点逆时针旋转90° 后的图形。 （3）以虚线为对称轴画出三角形ABC 的对称图 形A 1B 1C 1。 （4）画出把三角形A 1B 1C 1向下平移4格后的图形。 2.有一块长10米，宽5米的长方形空地。如何在空地上设计一个草坪，使 草坪的面积占空地的1 。画一画。 五、看图计算。
超几何分布教学案
2.1.3超几何分布 教学目标：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用． 教学重点：1、理解理解超几何分布；2、了解超几何分布的应用 教学过程 一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量: 随机变量 只能取有限个数值 或可列无穷多个数 值 则称 为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量 取有限个 数值的情形. 3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1) 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即 ?? ?+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ 5.二点分布：如果随机变量X 的分布列为： 二、讲解新课： 在产品质量的不放回抽检中，若N 件产品中有M 件次品，抽检n 件时所得次品数X=m 则()m M m n N n M N C C P X m C --==.此时我们称随机变量X 服从超几何分布 1）超几何分布的模型是不放回抽样 2）超几何分布中的参数是M,N,n
盘点小升初平面几何常考五大模型
盘点小升初平面几何常考五大模型 （一）等积变换模型性质与应用简介 导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。 等积变换模型例题讲解与课后练习题 （一）例题讲解与分析 ?【例1】：如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积是1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少 【解答】连接BD,S△ABD和S△ AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4， S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。 【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少
【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2，△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。 【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会 一下。 （二）课后练习题讲解与分析 （二）鸟头定理（共角定理）模型 导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角定理）模型。
平面几何习题大全
平面几何习题大全 下面得平面几何习题均就是我两年来收集得,属竞赛范围。共分为五种类型,１，几何计算；２,几何证明;３,共点线与共线点;4,几何不等式；5，经典几何。 几何计算－1 命题设点Ｄ就是Rt△ＡBC斜边AＢ上得一点,DE⊥BC于点E,DF⊥AＣ于点Ｆ.若AF=１5,BＥ=1０,则四边形ＤECF得面积就是多少？ 解：设DＦ=CE=x,DE=ＣF=ｙ、∵Ｒt△BEＤ∽Rt△ＤFA，∴BE/DＥ=DF/AF <=＝> 10/y＝x/15 〈==> xy=150、? 所以，矩形ＤECF得面积１5０、 几何证明—1 命题在圆内接四边形ＡBCＤ中，O为圆心,己知∠ＡOB+∠COD=１80、求证:由O向四边形ＡBCD所作得垂线段之与等于四边形ABCD得周长得一半。?证明（一）连OA，OB，OC,OD,过圆心O点分别作AＢ，ＢC，ＣD，DA得垂线，垂足依次为Ｐ,Q，Ｒ,S。易证ΔAPO≌ΔORD，所以DR＝OP，AＰ=OR, 故OＰ+OＲ=DＲ+AP＝(CD+AB)/2。 同理可得：OＱ＋OS=（DA+BＣ)/２. 因此有ＯＰ+OＱ+ＯR+OS=（ＡB+BC＋CD+ＤＡ)／２。 证明（二）连OＡ,OＢ,ＯＣ，ＯD，因为∠AOB+∠CＯD＝１80°,ＯA=OD,所以易证 RtΔＡPO≌RtΔＯＲD，故得ＤR=OP,AP=OＲ， 即OP＋ＯR=DR+AP=（CD＋AＢ)/２。 同理可得：OQ+ＯＳ=（DＡ＋BC)/２。 因此有OP+OQ＋OR+OＳ＝(ＡＢ+BC+CＤ+DA）/2. 几何不等式－1 命题设P就是正△AＢC内任意一点，△DEF就是P点关于正△ABC得内接三角形[AP，BＰ,CＰ延长分别交BＣ，ＣA,ＡB于D,Ｅ，F］,记面积为Ｓ１;△ＫNM就是Ｐ点关于正△ABC得垂足三角形［过Ｐ点分别作BC,ＣA，AＢ垂线交于K，Ｎ,M］,记面积为S2.求证：S2≥Ｓ１ . ?证明设Ｐ点关于正△AＢC得重心坐标为Ｐ（x，y，z),a为正△ＡBＣ得边长,则正△ABC得面积为S=(ａ^２√3）／4. ?由三角形重心坐标定义易求得：?AＤ=za/（y+z），ＣD=ｙa/(ｙ+z)，CＥ=xa/(ｚ+ｘ)，AE＝za／（z＋x)，AＦ=ya／（x+ｙ），BF=xａ/(ｘ+y)、 故得: △ＡＥＦ得面积X＝AE＊AF*ｓｉn60°/2=Syｚ/（z+ｘ)(ｘ+y）; △BFD得面积Y=ＢF＊BD＊ｓin6０°／２＝Ｓzx/（x+ｙ）(y＋z)；?△CDE得面积 Z=CD*CE＊sｉn60°／2＝Ｓxy／（y+ｚ)(ｚ+x)、 从而有S1=Ｓ—Ｘ—Y-Ｚ＝2xｙzS／（ｙ+z)（z+x)（x+y)。 因为P点就是△KＮM得费马点,从而易求得： PＫ=（xa√3)/［２(x+y＋z)]， PN＝(ya√３)/[2(x+y+z）]，?PM＝(za√3）/[2（x+ｙ+z）］、 故得: Ｓ2=(PＮ*ＰM+ＰM＊ＰK＋ＰK＊PＮ)＊siｎ1２0/2=3S(ｙz+ｚx+xｙ)/[4(x+y+z)^２］。 3/4)*(yz+zx+xy）/(x＋y＋ｚ）＾2≥2xｙz/（y+z)(ｚ+x)所以待证不等式Ｓ2≥S1等价于: ?( （x＋y)；?＜＝===〉３（y+z）（z＋x)(ｘ+y）(ｙz＋ｚｘ+xy）≥8xyｚ（x+ｙ+ｚ)^2;
【小升初】2020小升初数学总复习图形与几何
图形与几何 一线和角 （1）线 * 直线 直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。 * 射线 射线只有一个端点；长度无限。 * 线段 线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。 * 平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。 * 垂线 两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。 （2）角 （1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 （2）角的分类 锐角：小于90°的角叫做锐角。 直角：等于90°的角叫做直角。 钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。 周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。 二平面图形 1长方形 （1）特征 对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 （2）计算公式 c=2(a+b) s=ab 2正方形 （1）特征： 四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 （2）计算公式 c= 4a s=a2 3三角形
（1）特征 由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。 （2）计算公式 s=ah/2 （3）分类 按角分 锐角三角形：三个角都是锐角。 直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。 钝角三角形：有一个角是钝角。 按边分 不等边三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。 4平行四边形 （1）特征 两组对边分别平行的四边形。 相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。（2）计算公式 s=ah 5 梯形 （1）特征 只有一组对边平行的四边形。 中位线等于上下底和的一半。 等腰梯形有一条对称轴。 （2）公式 s=(a+b)h/2=mh 6 圆 （1）圆的认识 平面上的一种曲线图形。 圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。 在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。 同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。 同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。 圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。 （2）圆的画法
小升初几何图形部分(教师版)
: 时间：15分钟满分5分姓名_________ 测试成绩_________ 1 （05年101中学考题） 求下图中阴影部分的面积： \ 2 （06年清华附中考题） 从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是_________平方厘米. 3 （06年三帆中学考试题） " 有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是______平方米. 4 （06年西城八中考题） 右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_______厘米.（ ＝） ） 5 (05年首师附中考题)
一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个 【附答案】 … 1 【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 所以阴影面积：π×4×4÷4-4×4÷2=。 2 【解】最大正方体的边长为6，这样剩下表面积就是少了两个面积为6×6的，所以现在的面积为(8 ×7+8×6+7×6) ×2-6×6×2=220. [ 3 【解】原正方体表面积：1×1×6＝6（平方米），一共切了2＋3＋4＝9（次），每切一次增加2个面：2平方米。所以表面积： 6＋2×9＝24（平方米）． 4 【解】可见大圆的半径是小圆的3倍，所以半径为3，那么阴影部分的周长就等于7的小圆的周长加 上1个大圆的周长，即7×π×2+π×6=20π。 - 5 【解】：共有10×10×10＝1000个小正方体，其中没有涂色的为(10－2)×(10－2)×(10－2)＝512个，所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000－512＝488个。 第二讲小升初专项训练几何篇（二 1 与圆和扇形有关的题型 【