复变函数试题库

复变函数

一、选择题

1. 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+且),(y x u 是区域D 内的调和函数,则当),(y x v 在D 内是（ C ）时, )(z f 在D 内解析. A. 可导函数

B.调和函数

C.共轭调和函数

2、复积分()n

C

dz

z a -?

的值为（ B ） (A) 0 (B) 0;2(C)(D)2i i ππ不存在

3、0z =是sin ()z

f z z

=

的奇点类型是（ D ） (A) (B) (C)(D) 一阶极点本性奇点不是奇点可去奇点

4、计算12

()i e

π-的结果是（ B ）

(A) (B) (C)(D)i i i ±-0

5、下列函数在z S 处处解析的是（ C ）

(A) (B) (C)(D)z z z e z z z e z zRe z f()=f()=f()=f()=

6．当x 〈0, y 0≥时,argz=( C ).

A. π-x y arctan ;

B. x y

arctan ;

C π+x y arctan ; D. π2arctan +x

y

.

7．argz 1z 2=( A )..

A ．argz 1+argz 2; B. argz 1+argz 2+2k π(k 是整数); C.argz 1+argz 2+2k 1π（k 1是某个整数）; D.argz 1+argz 2+π. 8.下列集合是有界闭区域的是（ C ） A 0

B Rez<2; C.1≤z 且Imz 0≥; D.1≥z 且 Rez>0 .

9.方程z=t+)(R t t

i

∈在平面上表示的是（ B ）.

A ．直线y=x; B. 双曲线 y=x

1

;

C 椭圆周；

D 圆周 10.函数)(z f =z 在0z =处（ A ）. A. 连续

B. 可导

C. 解析

11.

i

i

-+23=( A ). A ．i +1 i B +2. i C 32.+ i D -1.

12.函数w=f(z)仅在点z 0可微，则w=f(z)在点z 0（ D ） A 解析； B 某邻域内处处解析； C.不解析。 13.shz 是 ( D )函数

A 以π2.为周期的；

B 以i π2为周期的；

C 以i π为周期的；

D 非周期。 14.设1z i =+,则Im(sin )z =（ B ）. A. sin1ch1

B. cos1sh1

C. cos1ch1

15.若f(z)在D 内解析，且

)(______

z f 在D 内解析，则（ A ）

。 A.f(z)在D 内为一常数； B.D z z f ∈?≡,0)(； C.f(z)在D 内不是一个常量函数。 D.以上都不对. 16.积分22

sin (1)z z

dz z =-ò =（ B ）. A.

1cos B. i π21cos C. i π2sin1

17．若v 是u 的共轭调和函数，则( D )的共轭调和函数。 A ．u 是v ； B.-u 是v ； C.u 是-v ; D.-v 是u. 18.

?=1

cos z z dz

( B ). A ．–1; B. 0; C. 1; D .i .

19. 设u n =a n ++b n i, 若n u n lim

∞

→=0，由此（ C ）

A.得出∑n u 收敛；

B. 得出∑n u 发散；

C. 不能判断∑n u 的敛散性。

20. ∑∞

=1

!n n

n z n 的收敛半径为（ A ）

A 0；

B ∞+.;.;1

D e C e

21.

设复数3z =,则z 的模和幅角的主值分别为（ A ）. A. 4

5,

8π

B. 4

,

24π

C. 4

7,

22π

22. sin 2z+cos 2z=1 ( D ).

A.仅在实轴上成立；

B. 在第一象限成立；

C. 在上半复平面成立； D 在复平面上成立。 23．Cotz 的零点和级（ C ）

A ,,Z k k z ∈=π一级；

B ,,Z k k z ∈=π二级；

C ,21π??? ?

?

+=k z 一级； D ,,2Z k k z ∈=π一级。

24.下列命题中, 正确的是（ C ）. A.零的幅角为零

B.仅存在一个z 使

1

z z

=-

C. 1

z iz i

=

25、1Re()z z <-是（ B ）区域.

A. 有界区域

B. 单连通区域

C. 多连通区域 26、在复数域内,下列数中为实数的是（ A ）. A.i cos

B.2(1)i -

27、函数)(z f =2z 将区域Re(z)<1映射成（ A ）.

A.214

v u <-

B.2

14

v u ?

C.241u v <-

28、下列函数中为解析函数的是（ B ）.

A.)(z f =2x iy -

B.)(z f =sin cos xchy i xshy +

C.)(z f = 3323x i y -

29、设0z 是闭曲线c 内一点, n 为自然数,则0()

n

c

dz

z z -ò

=（ C ）. A. 0 B. i π2 C. 0或i π2

30、下列积分中,其积分值不为零的是（ C ）. A.

2

3z z dz z =-ò

B. 1

sin z z dz z =ò

C. 51

z

z e dz z =ò

二、填空题

31

、复数方程1z e =-5ln 2(

2)(012,3

i k k p

p ++=北 ，， . 32、5cos 3sin (0t 2)z t i t π=+≤≤表示的曲线是22

22153

x y +=。

33、21()1n

i i

-=+11-或。

34、将函数1w z =由z S 中的1x =映射w S 中的图形方程表示为211

-24

u v +=2（） 。

35、sin 2Arc

=

2ln(22

k i π

π+- 。

36、函数()ln(1)f z z =+的支点是1,-∞ 。

37、114z z -++<表示的区域是22

143

x y +

< 38、复数4+3i 的实部是 4 ，虚部是 3 。

39、由棣莫弗公式，(cos θ+isin θ)n = cosn θ+isinn θ .

40、设复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则在直角坐标系中，函数的C-R 条件可

表示为: ,y u x u ??=?? x v

y u ??-

=??。

41、函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),在区域D 内解析的充分必要条件为:,

y u

x u ????、

x v y u ????、

在D 内连续。

42、若函数f(z)在S z 平面上解析且有界，则f(z)必为常数。 43、函数z e 的周期为2i π. 44、幂级数0n n nz +∞

=∑的和函数为

2

(1)

z

z -. 45、设2

1

()1

f z z =

+，则()f z 的定义域为z i ≠± . 46、设函数)(z f 在单连域D 内解析,G(z )是它的一个原函数,且D z z ∈10,,则

1

()z z f z dz ò=1

0()()G z G z - .

47、0n n nz +∞

=∑的收敛半径为 1 .

48、Re (,0)z

n e s z =1(1)!n - .

49. 设i z -=，则i z z z ==

=,2

arg ,1||π

，

50.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=?+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f i

z 3(1sin 2)i +-.

51. =-?=-1||00)(z z n z z dz 2101

i n n π=??≠? .（n 为自然数） 52. 幂级数0n n nz ∞

=∑的收敛半径为 1 .

53. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的 1m -. 零点. 54. 函数e z 的周期为2k i π，()k z ∈ .

55. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为 0 . 56. 设2

11

)(z

z f +=

，则)(z f 的孤立奇点有 i ± . 57. 函数||)(z z f =的不解析点之集为 R .

58. 0)1,1(Res 4

=-z z

59、设函数)(z f =sin ,00,0

z z e A z z ì?-+ ?í?=??在0z =处连续,则常数A=____________. 答案：1

60、若z=a 为f(z )的m 阶极点,为g(z)的n 阶极点(m>n ),则z=a 为f(z)g(z)的

m n + 阶极点,为

)

()

(z g z f 的m n -阶极点. 61、设22z i =-,则z arg =

47π,z ln =37ln 224

i p +. 62、设()sin ,f z z z =则由)(z f 所确定的 ),(y x u =sin cos x xchy y xshy -,

),(y x v =cos sin x xchy y xchy +.

63、函数)(z f =

z

z

sin 在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为0z p << . 64、设函数)(z f =22371

z d z z z z z =++-ò ,则(1)f i ￠+=1226i p p -+.若

)(z f =32

35z d z z z

z z =+-ò ,则()f i ⅱ

=36p - 65、当a =

21 时, 22()ln()y

f z a x y iarct

g x

=++在区域x>0内解析 66、函数)(z f =tgz 在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为

2

π 67、设3sin n n n z

c z z

+

=-

=

?

,则20________,______________c c -==

答案：1 ，-6

1 三、解答题

68、计算积分,)2(?+-c

dz ix y x 其中C 原点到点1＋i 的直线段。

解：1+i 的参数方程为x=t,y=t,0

?+-c

dz ix y x )(2

=i

+1

2)1(dt i t =1/3(-1+i)

69、利用泰勒定理,将函数f(z)=e z 在点z=0展开成幂级数。 解：因为：f )(n =e z ,所以

f '（0）=1，f )0(''=1，………f )(n （0）=1 且f （0）=1，于是

e z =∑∞

=0!

n n n z

70、将函数f(z)=

z

z sin 在0

解：f(z)=(1/z)sinz

=1/z n

n n n z )1()!12(012-+∑

∞

=+=n n n n z )1()!

12(02-+∑∞

=(0<|z|<∞+) 易证：上级数收敛。

71、求函数f(z)=

6

21z z

e -在指定点z=0的留数。

设f(z)=621z e z

-，z=0是f(z)的孤立奇点。

f(z)= 61z (-2z-22!22z -

........!

323

3z ), (0<|z|<∞+) 所以，a 1-=-4/15

即：f(z)在指定点的留数为—4/15

72、设函数)(z f =3232()my nx y i x lxy +++在复平面可导,试确定常数l n m ,,并求

()f z ￠.

答案：由题意得3232(,)(,)u x y my nx y v x y x lxy

ì?=+?í?=+?? 利用

2u

v

nxy x y

抖==抖，得n l =

222233u

v

my nx x ly y

x

抖=+=-=--抖，得3n =-，3l =-，1m = 则 22()6(33)u v

f z i xy i x y x x

抖￠=+=-+-抖

23iz =

73、试讨论定义于复平面内的函数2

()f z z =的可导性.

答案：由题意知22(,)(,)0u x y x y v x y ì?=+?í?=??

，由于 20u

v x x y

抖===抖，

20u

v

y y x 抖==-=抖可得00

x y ì=??í?=?? 由函数可导条件知，2

()f z z =仅在0z =处可导。

74、计算sin c

zdz ò ,其中c 是从原点沿x 轴至)0,1(0z ,然后由0z 沿直线x=1至

)1,1(1z 的折线段.

答案：1

01

sin sin sin OZ OZ Z Z I zdz zdz zdz =

=

+

蝌

12I I =+

其中

0OZ ：z t =

(01)t

＃

1

1100

sin cos |1cos1I tdt t =

=-=-ò

10Z Z ：1z it =+

(01)t

＃

1

11200

sin(1)(1)sin(1)(1)cos(1)|cos(1)cos1

I it d it it d it it i =

-+=-

--=-=--蝌

cos11cos1sin11ch i sh =--

所以

1cos1(12)sin11I ch i sh =+--

75.求下列函数在奇点处的留数

24

1()z

e f z z

-=. 答案：24

1()z

e f z z -=的奇点为0,且0z =为其三阶极点.

22401114Re (,0)lim()2!3z z z e e s z z ?--ⅱ==-

或 23

41(2)(2)()[1(12]2!3!

z z f z z z =-++++

=32

224

3z z z

-

--- 有 21414

Re (,0)3

z e s c z --==-

76.将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数

22

1

()(1)(2)

f z z z z =

-- 011z <-<

答案：22

11

()(1)1(1)f z z z =

---

=

22

1(1)(1)n n z z + =--?

011z <-<

=220

(1)n n z +

-=-?

011z <-<

77、已知22(,)33,u x y x y =-试求),(y x v 使()(,)(,)f z u x y iv x y =+为解析函数且满

足(0)f i = 答案：由于

6v u

x y

x

抖==抖 所以 (,)66()v x y xdy xy x j =

=+ò，

6()v

y x x

j ?￠=+? 又由

v u

x y

抖=-抖，即6()6y x y j ￠+= 所以()0x j ￠=，()x C j =（C 为常数）

故(,)6v x y xy c =+，222()33(6)3f z x y xy c i z ci =-++=+

将条件(0)f i =代入可得1C =，因此，满足条件(0)f i =的函数

2()3f z z i

=+

78、试证22

(,)y

u x y x y

=

+是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求),(y x v 使()(,)(,)f z u x y iv x y =+为解析函数且满足()1f i =.

答案：由于222

2()

u xy

x x y ?=?，223222362()u x y y x x y ?=? 22(0)x y + 2

2222

()v x y y x

y ?=?，223

2223

62()

v

x y y y x y ?+=? 即22

22

0u v

x

y 抖+=抖 所以22

(,)y

u x y x y =

+是调和函数

22(0)x y +

222222(,)()()()

v xy x

v x y dy dy g x y x y x y ?=

==+?+蝌，

2222

222222

()()()v y x u y x g x x x y y x y ??￠=+=-=?? 故有

()0g x ￠=，()g x C =

（C 为常数）

所以 22

(,)()

x

v x y C x y =

++ 2222()()()()y x i

f z i c ci x y x y z

=

++=+++

由于

()1f i =代入上式可求得0C =，故满足条件()1f i =的函数

()i f z z

=

79．求积分

[2Re()]c

z z dz +ò,其中c 是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.

答案：[2Re()]C

z z dz +ò

(令cos sin 0)z t i t t p =+＃，

0(3cos 2sin )(sin cos )t ti t ti dt p

=+-+ò

220

(5sin cos )(3cos 2sin )t t dt i

t t dt p

p =

-+-蝌

0055cos 2|[sin 2]4242

t t i t i p p

p =

++=

80．求下列函数在奇点处的留数(10’)

()sin

1

z

f z z =- 答案：()sin 1z

f z z =-的奇点为1z =,且 11

1

s i n s i n (1)s i n 1c o s

c o s 1s i n 111

1

z z z z z =+=+----

=243

1111

sin1[1]cos1[]2!(1)4!(1)13!(1)z z z z -

+-+-+----

=2

cos1sin1

sin112!(1)z z +

-+--

所以 Re (sin ,1)cos11

z

s z =-

81．将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数(10’)

223()231

z

f z z z -=

-+

312

z +<

答案：11

()112f z z z

=+

--

=1111

122311(1)23

z z +

+--+

=0111

2(1)(

)223

3n n

n n

n z z + =+++邋 312

z +<

=111

2()(1)23n

n n n z ++++?

312

z +<

83. 求函数

)2sin(3

z 的幂级数展开式. 解 3212163

3

00

(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞

∞==--==++∑∑.

84. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴

取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.

解 令i z re θ=.

则22

(),(0,1)k i

f z k θπ

+==.

又因为在正实轴去正实值，所以0k =.

所以4()i

f i e π

=. 85．计算积分：?-=i

i

z z I

d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.

单位圆的右半圆周为i z e θ=, 2

2

π

π

θ-≤≤

.

所以2

22

2

2i

i i i

z dz de e

i π

πθ

θππ---

===??.

86. 求2

2

sin z ()

2

z dz z π

=-? .

解

dz z z

z ?

=-2

2

)

2

(sin π

2

)(sin 2ππ=

'

=z z i 2cos 2π

π=

=z z

i =0.

87. 证明设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.

证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-. (12,c c 为实常数). 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-. 则0x y y x u v u v ====.

即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析. (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以

,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-.

比较等式两边得 0x y y x u v u v ====. 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数.

88. 证明试用儒歇定理证明代数基本定理.

即要证“任一 n 次方程 101100

(0)n n n n a z a z a z a a --++???++=≠ 有且只有

n 个根”.

证明： 令1011()0n n n n f z a z a z a z a --=++???++=, 取1

0max ,1n a a R a ??+???+??

>??????

, 当z 在:C z R =上时, 有

111110()()n n n n n n z a R a R a a a R a R ?---≤+???++<+???+<. ()f z =.

由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++???++= 与 00n a z = 有相

同个数的根. 而 00n a z = 在 z R < 内有一个n 重根 0z =. 因此n 次方程在

z R < 内有n 个根.

89、2

.(9)()

z

z

dz z z i -+?

解：2

()9z

f z z

=

-在2z ≤上解析，由cauchy 积分公式，有 222229(9)()z z z z dz dz z z i z i ==-==-++??2

295

z i

z i z π

π=-?=

-

90、求2

Re (,).1iz

e s i z

-+ 解：设2

()1iz e f z z

=+，有2

Re (,)22i e i

s f i e i --==-

91

、.n

n

+

解：(cos sin )(cos sin )4444n n

n n i i ππππ+=++- c o s s i n c o s s i n 2c o s 44

4

4

4

n n n

n

n

i i ππ

πππ=++

-=

92、设22(,)ln().u x y x y =+ 求(,)v x y ，使得()(,)(,)f z u x y iv x y =+为解析函数，且满足(1)ln 2f i +=。其中z D ∈（D 为复平面内的区域）.

222u x x x y ?=?+，22

2u y

y x y

?=?+

93、求4510z z -+=，在1z <内根的个数. 解：

(,)

(0,0)

(,)x y y x v x y u dx u dy c =-++?

(,)

2222

(0,0)

22x y y x

dx dy c x y x y -=++++?

22

2y

x dy c x y =++?

2a r c t a n y

c x

=+ (1)(1,1)(1,1)ln 2(2arctan1)ln 2f i u iv i c +=+=++=

故2

c π

=-，(,)2arctan

2

y v x y x π

=-

94. 解：令()5f x z =-，4()1g z z =+ 则()f x ，()g z 在1z <内均解析，且当1z =时

44()511()f z z z g z =>+≥+=

由Rouche 定理知4510z z -+=根的个数与50z -=根的个数相同. 故4510z z -+=在1z <内仅有一个根.