典型傅里叶变换

一、引言

傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它可以将一个信号分解成不同频率的正弦和余弦函数。在信号处理、图像处理、通信等领域中都有广泛的应用。本文将介绍典型傅里叶变换，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）和连续傅里叶变换（CFT）。

二、离散傅里叶变换（DFT）

1.定义

离散傅里叶变换是一种将离散时间域信号转化为离散频率域信号的数学工具，它可以用于分析数字信号或数字图像中的周期性分量。2.公式

DFT的公式为：

其中，N为序列长度，n和k分别表示时间和频率下标。

3.算法

DFT可以通过蝴蝶算法进行计算，该算法利用了对称性和周期性来减少计算量。具体步骤如下：

(1)将序列分为两个部分，每个部分包含N/2个元素；

(2)对每个部分进行递归地计算DFT；

(3)将两个部分合并起来，按照公式计算DFT。

三、快速傅里叶变换（FFT）

1.定义

快速傅里叶变换是一种高效的计算DFT的算法，它可以将O(N^2)的时间复杂度降低到O(NlogN)。

2.公式

FFT与DFT使用相同的公式，但是它采用了分治策略来加速计算。

3.算法

FFT使用迭代方式进行计算，具体步骤如下：

(1)将序列按照奇偶分为两个部分；

(2)对每个部分进行递归地计算FFT；

(3)将两个部分合并起来，按照公式计算FFT。

四、连续傅里叶变换（CFT）

1.定义

连续傅里叶变换是一种将连续时间域信号转化为连续频率域信号的数学工具，它可以用于分析模拟信号或模拟图像中的周期性分量。2.公式

CFT的公式为：

其中，f(t)和F(ω)分别表示时间域和频率域信号。

3.算法

CFT可以通过积分来计算，但是由于其复杂度较高，通常使用离散傅

里叶变换来近似计算。

五、总结

本文介绍了典型傅里叶变换，包括离散傅里叶变换、快速傅里叶变换和连续傅里叶变换。DFT和FFT可以用于分析数字信号或数字图像中的周期性分量，而CFT可以用于分析模拟信号或模拟图像中的周期性分量。在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的傅里叶变换方法来进行信号处理、图像处理或通信等任务。

傅立叶变换 ,通俗易懂版本,掐死我版本

作者：韩昊知乎：Heinrich 微博：@花生油工人知乎专栏：与时间无关的故事谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师，柳晓鸣老师，王新年老师以及张晶泊老师。转载的同学请保留上面这句话，谢谢。如果还能保留文章来源就更感激不尽了。 ——更新于2014.6.6，想直接看更新的同学可以直接跳到第四章————我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12 年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者…… 这篇文章的核心思想就是：要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀

手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。 ————以上是定场诗———— 下面进入正题：抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多…… p.s.本文无论是cos 还是sin，都统一用“正弦波”（Sine Wave）一词来代表简谐波。一、什么是频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？

典型傅里叶变换

典型傅里叶变换 1. 什么是傅里叶变换？傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学技术。通过傅里叶变换，我们可以将一个信号分解成不同频率的成分，并得到每个频率成分的幅度和相位信息。傅里叶变换是信号处理中非常重要的工具，它在图像处理、音频处理、通信系统等领域都有广泛的应用。 2. 傅里叶变换的数学公式傅里叶变换的数学公式如下： ∞ (x)e−2πiux dx ℱ(f(x))=F(u)=∫f −∞ 其中，f(x)表示输入信号，ℱ(f(x))表示输入信号在频域中的变换结果，F(u)表示频谱，u表示频率。傅里叶变换可以通过积分的方式来计算信号在不同频率上的幅度和相位信息。 3. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质，下面列举了一些常用的性质： 3.1 线性性质傅里叶变换具有线性性质，即对于输入信号的线性组合，其傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和。 3.2 积分性质傅里叶变换的输入信号是连续的函数，而傅里叶变换的输出信号是连续的频谱。傅里叶变换可以看作是对输入信号在整个频域上进行积分操作。

3.3 平移性质如果输入信号在时域上进行平移，那么其在频域上的频谱也会相应地发生平移。 3.4 缩放性质如果输入信号在时域上进行缩放，那么其在频域上的频谱也会相应地发生缩放。缩放因子为a的平移性质可以表示为F(ax)=1 |a|F(u a )。 4. 傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理领域有广泛的应用，下面列举了一些典型的应用场景： 4.1 图像处理通过傅里叶变换，我们可以将图像从时域转换到频域。在频域中，图像的频谱表示了不同频率的成分，可以用于图像滤波、频域增强等操作。 4.2 音频处理对于音频信号，我们可以通过傅里叶变换将其从时域转换到频域。在频域中，可以对音频信号进行频谱分析、音频合成、降噪等操作。 4.3 通信系统在通信系统中，傅里叶变换常被用于调制和解调过程。调制是将低频信号转换为高频信号，解调则是将高频信号转换回低频信号。傅里叶变换可以帮助我们分析和设计调制解调器。 4.4 数值计算傅里叶变换在数值计算中也有重要的应用。在求解偏微分方程、信号滤波、频谱估计等问题时，傅里叶变换可以提供有效的计算手段。

傅立叶变换

傅立叶变换定义 f(t)满足傅立叶积分定理条件时，下图①式的积分运算称为f(t)的傅立叶变换， ②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做 F(ω)的象原函数。傅里叶变换 ① 傅里叶逆变换 ② 中文译名 Transformée de Fourier有多种中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换”、“富里哀变换”等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。概要介绍 * 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。 * 傅里叶变换属于谐波分析。

* 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; * 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; * 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; * 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)). 基本性质线性性质两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f \left( x\rig ht )和g \left(x \right)的傅里叶变换\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和β 为任意常系数，则\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里叶变换算符\mathcal可经归一化成为么正算符；频移性质若函数f \left( x\right )存在傅里叶变换，则对任意实数ω0，函数f(x) e^{i \o mega_ x}也存在傅里叶变换，且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \om ega _0 ) 。式中花体\mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位\sqrt；微分关系若函数f \left( x\right )当|x|\rightarrow\infty时的极限为0，而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在，则有\mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)] ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子? iω 。更一般地，若f(\pm\infty)=f'(\pm\inf ty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0，且\mathcal[f^{(k)}(x)]存在，则\mathcal[f^{(k)}(x)] =(-i \omega)^ \mathcal[f] ，即k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( ? iω)k。卷积特性若函数f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅里叶变换存在，且\mathcal[f* g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] 。卷积性质的逆形式为\mathcal^[F(\omega)G(\omeg a)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)] ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。

傅里叶变换(FFT)详解

关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是： https://www.360docs.net/doc/5f19321969.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

傅立叶变换-时域-频域

傅立叶变换，时域，频域一(2012-08-28 15:50:39) 标签：参考文献：信号完整性分析 "信息传输调制和噪声"P31， "傅立叶变换的数学再认识"及若干网上博客。目录信号分析方法概述时域频域时域与频域的互相转换？傅立叶变换原理傅立叶变换分类傅立叶级数的五个公式(周期性函数) 傅立叶积分(非周期性函数) 振幅谱和相位谱的关系功率谱傅立叶变换推导出：时移原理与频移原理，对偶性质时间-频率间的对应关系。对应关系1：时间变化速率(即时域信号的变化速率) 与频谱呈正比关系

对应关系2，时间周期T 与频谱：呈反比关系对应关系3：脉冲宽度与频谱：呈反比关系用脉冲宽度定义带宽频谱、幅度谱、相位谱、功率谱与周期性函数的频谱周期函数、非周期函数的频谱总结，与对称频谱的意义离散傅立叶变换与抽样：时域的抽样点数与频域点数的关系傅立叶变换与正交性傅立叶变换的思想总结与优点时域的物理意义频域的物理意义？ 1，频域的物理意义 2，傅立叶变换与谐波 3，傅立叶反变换与谐波叠加 4，带宽与时钟频率、脉冲宽度关键技术点解释 1，IFFT反变换后各谐波如何叠加在一起？ 2，什么是正交正交的条件是什么傅立叶变换后的谐波为什么一定是正交的傅立叶反变换之前的频谱要满足什么条件？ 3，为什么说时域上波形急剧变化，频域上就有很高的频率分量 4, 频域中幅值与时域中的幅值有什么关系？ 5，采样

傅立叶变换的缺点 ================================= 信号分析方法概述通信的基础理论是信号分析的两种方法：1 是将信号描述成时间的函数，2是将信号描述成频率的函数。也有用时域和频率联合起来表示信号的方法。时域、频域两种分析方法提供了不同的角度，它们提供的信息都是一样，只是在不同的时候分析起来哪个方便就用哪个。思考：原则上时域中只有一个信号波（时域的频率实际上是开关器件转动速度或时钟循环次数，时域中只有周期的概念），而对应频域（纯数学概念）则有多个频率分量。人们很容易认识到自己生活在时域与空间域之中（加起来构成了三维空间），所以比较好理解时域的波形（其参数有：符号周期、时钟频率、幅值、相位）、空间域的多径信号也比较好理解。但数学告诉我们，自己生活在N维空间之中，频域就是其中一维。时域的信号在频域中会被对应到多个频率中，频域的每个信号有自己的频率、幅值、相位、周期（它们取值不同，可以表示不同的符号，所以频域中每个信号的频率范围就构成了一个传输信道。时域中波形变换速度越快（上升时间越短），对应频域的频率点越丰富。

傅里叶变换

一、信号信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息。这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。。分类：模拟信号、量化信号、抽样信号和数字信号。二、数字信号处理及其特点数字信号处理是用数值计算的方法，完成对信号的处理。因此处理的实质是“运算”，运算的基本单元是延时器、乘法器和加法器。通过处理，往往可以达到两个目的：（1）对信号在时域及变换域内的特性进行分析，以便对信号有 051015 02 4 051015 02 4051015 051015

更清楚的认识。（2）对信号实施处理，以改善其性能，比如滤波。主要介绍以傅里叶变换为基础的“经典”处理方法，内容主要包括：（1）离散傅里叶变换及其快速算法。（2）滤波理论（线性时不变离散时间系统，用于分离相加性组合的信号，要求信号频谱占据不同的频段）。特点：灵活性好、精度高、可靠性强、便于大规模集成等。三、数字信号处理系统的基本组成（1）前置滤波器将输入信号xa(t)中高于某一频率（称折叠频率，等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。（2）A/D变换器在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期）取出一次x a(t)的幅度，采样后的信号称为离散信号。四、预备知识（一）傅里叶变换傅里叶（Fourier，1768～1830），法国人。 1807年，完成了关于热传导理论方面的研究，并提出“任何”周期信号都可以利用正弦级数

来表示。1829年，狄里赫利给出了若干精确条件，为傅里叶级数和积分建立了理论基础。傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。概要介绍傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的. 傅里叶变换属于谐波分析。傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段。离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的实现（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT））。由于正弦信号在科学和许多工程领域中起着重要作用，因而傅里叶级数和变换在许多领域得到广泛应用。

傅里叶变换基础知识

傅里叶变换基础知识 1•傅里叶级数展幵最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。 1.1周期信号的傅里叶级数在有限区间上，任何周期信号双/）只要满足狄利克雷（dmclilet）条件，都可以展开成傅里叶级数。 1・1・1狄利克雷（duichlet）条件狄利克雷（duichlet）条件为：（1）信号双/）在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值）；（2 ）信号/ （t）在一周期内只有有限个极人值和极小值；（3 ）信号在一个周期内是绝对可积分的，即应为有限值。 1.1.2间断点在非连续函数y二f{・x）中某点处心处有中断现彖，那么，兀就称为函数的不连续点。（1）第一类间断点（有限型间断点）： a.可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义（兀令分母为零时等情况）； b.跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（y = lxl/x°在点x = 0处等情况）。（2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。 1.13傅里叶级数三角函数表达式傅里叶级数三角函数表达式为 X X0=仇+乞（①cos“q/ +加 • • • J1-1 式中：心为信号的常值分量；色为信号的余弦信号幅值：你为信号的正弦信号幅值。％、心、》分别表示为： ==J ：） cos ncootdt x{ t ）sinncootdt 式中：7；为信号的周期；。。为信号的基频，即角频率，$=2龙/7；「=1,2,3...。合并同频项也可表示为 X （t）二％ + 艺 A cos （gf + q） H-l

傅里叶变换

第三章傅里叶变换一.周期信号的傅里叶级数知识要点 1、周期信号的傅里叶级数任一满足狄利克雷条件的周期信号()f t （1T 为其周期）可展开为傅里叶级数。 (1)三角函数形式的傅里叶级数 0111()[cos()sin()]n n n f t a a n t b n t ωω∞==++∑ 式中11 2T πω=，n 为正整数。直流分量01001 1()t T t a f t dt T +=? 余弦分量的幅度010 0112()cos()t T t a f t n t dt T ω+=? 正弦分量的幅度010112()sin()t T n t b f t n t dt T ω+= ? 三角函数形式的傅里叶级数的另一种形式为011()cos()n n n f t c c n t ω?∞==++∑ 频谱：离散性、谐波性、收敛性

或011()sin()n n n f t d d n t ω?∞==++∑ 以上几种表示形式中各个量之间的关系为 000a c d == n n c d ==cos sin n n n n n a c d ??== sin cos n n n n n b c d ??=-= tan n n n a b ?= tan n n n a b ?=- (1,2,)n = ,,n n n a c d 为1n ω的偶函数，,,n n n b ??为1n ω的奇函数。（2）指数形式的傅里叶级数 11()()jn t n f t F n e ωω∞=-∞= ∑ 式中，n 为从-∞到+∞的整数。复数频谱0110 111()()t T jn t n t F F n f t e dt T ωω+-==? n F 与其他系数之间的关系为 0000F c d a === 1()2 n j n n n n F F c a jb ?==- 1()2 n j n n n n F F c a jb ?---==+ 1122n n n n F F c d -==== n n n F F a -+= n n n F F c -+=

傅里叶变换

傅里叶变换的思想傅里叶变换的核心：试图寻找一组正交基来表示原函数（信号等物理模型），以实现从空域到频域的转换。一．正交在试图理解傅里叶变换之前，必须先理解正交。欲想理解事物，我们首先要学会将其分解，将之分解成不同的元素，如果这些元素之间互不相关，我们就可以对其分而治之了，分而解之了。（1）正交来源：线性代数的基。基是刻画向量空间的工具，是向量空间的一个子集。向量空间中的任意一个向量都可以用基来唯一表示。在这个基础上提出了正交基。正交基的优点在于各个基之间互不干扰。（2）正交的定义：内积。 12121122(,,,),(,,,) |0 n n n n u x x x v y y y u v x y x y x y ==<>=++= 有了向量正交的例子之后，我们引入函数正交：稍微回忆积分的定义，容易看出，上式可以过渡到积分形式。因此引出函数正交的定义，若有下式成立（或者在某区间上成立）： ()*()0f x g x dx =? 则称函数()()f x g x 与正交。（3）正交函数基满足正交性的函数有许多，而傅里叶变换采用了一种最基础的正交基： {1,cos ,sin ,cos(2),sin(2)}x x x x 在这组基中，任意拿出其中两个不同的函数，他们会满足正交。那么，我们就可以用这组正交函数基来表示任意函数（或者信号） :

如果你确实将一个函数表示成了傅里叶级数，那么对于分析这个函数就太简单了，以滤波为例，如果我们需要得到低频（频率

――傅里叶变换

第三章傅里叶变换（一）三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数f。）可由三角函数的线性组合来表示，若 f（t）的周期为T，角频率3 =之，频率f ='，傅里叶级数展开表达式 1 1 T 1 T 1 1 为 f ( t)= a +£[a cos(〃3t)+ b sin (〃3t ) n=1 各谐波成分的幅度值按下式计算 a = —f t o+T1 f (t)dt o T t o a =」t o+T1 f ( t)cos (n3 t)dt n T t1 o b = — j t o+ T1 f ( t)sin ( n3 t)dt n T t1 o 其中n = 1,2, ••• 狄利赫里条件: （1）在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个; （2）在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3）在一个周期内，信号是绝对可积的，即』t o+T|f （t）dtt等于有限值。 t o （二）指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即 f (t)= £F ( n3 ) ej n31 n1 n二一8 其中 F = — f t o+T1f 0-加3 t dt n T1 t o 其中n为从一8到+8的整数。 3.1m号的傅里叶级!瞬析

(三)函数的对称性与傅里叶系数的关系 (1)偶函数由于f。)为偶函数，所以f(t)sin(旭t)为奇函数，则 1 b = — J t o+ T i f (t)sin (n① t)dt = 0 n T t1 1 0 所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。 (2) 奇函数由于f ( t)为奇函数，所以f(t)cos (n o t )为奇函数，则 1 a =— J t0+T f (t b t = 0 0 T t 10 a = — J t0+T1 f (t)cos (n0 t)dt = 0 n T t1 1 t0 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项 (3)奇谐函数(f (t )=-f [ t + T ]) I 2 7 半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。 (四)傅里叶有限级数与最小方均误差吉布斯现象：在用有限项傅里叶级数合成原周期函数时，当选取傅里叶有限项级数愈多时，在所合成的波形中出现的峰起愈靠近 f ( t)的不连续点。当所选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去，这种现象通常称为吉布斯现象。

连续信号的傅里叶变换

连续信号的傅里叶变换一、引言连续信号的傅里叶变换是信号处理领域中非常重要的一部分。它可以将时域上的连续信号转换为频域上的频谱，从而方便我们对信号进行分析和处理。在本文中，我们将详细介绍连续信号的傅里叶变换的相关概念、公式以及应用。二、连续信号与傅里叶变换 1. 连续信号在信号处理领域中，连续信号是指在时间上是连续的函数。它可以表示为： f(t) = A*cos(ωt + φ) 其中，A表示振幅，ω表示角频率，φ表示相位。 2. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域上的函数转换为频域上函数的方法。对于一个连续信号f(t)，它的傅里叶变换F(ω)可以表示为： F(ω) = ∫f(t)*exp(-jωt)dt 其中，j为虚数单位。 3. 傅里叶变换公式

对于一个实数函数f(t)，其傅里叶变换F(ω)和反变换f(t)可以表示为：F(ω) = ∫f(t)*exp(-jωt)dt f(t) = (1/2π)∫F(ω)*exp(jωt)dω 4. 傅里叶变换的性质傅里叶变换具有许多重要的性质，包括线性性、平移性、卷积定理等。这些性质使得傅里叶变换在信号处理中得到了广泛的应用。三、连续信号的频域表示 1. 频谱对于一个连续信号f(t)，它的频谱是指在频域上表示该信号的振幅和相位信息。通常情况下，我们将频谱表示为F(ω)或S(ω)，其中F(ω)为傅里叶变换结果，S(ω)为傅里叶变换结果的幅度谱。 2. 幅度谱和相位谱对于一个连续信号f(t)，它的频谱可以分解为振幅和相位两个部分。振幅谱指的是在不同频率下该信号振动的强度大小，而相位谱则表示不同频率下该信号振动相对于某个参考点所处的相位差。四、应用举例 1. 语音信号处理语音信号是一种典型的连续信号，在语音处理领域中，傅里叶变换被广泛应用于声学特征提取、语音识别等方面。通过对语音信号的傅里

典型信号的傅里叶变换

例试将图中所示的非正弦周期信号（称为方波信号）展成傅里叶级数。解根据图上所示信号的波形，可知其既对称于纵轴，又具有半波对称性质，所以它是兼有奇谐波函数性质的偶函数。依照上述定理，此信号的傅里叶级数中必定只含有余弦的奇次谐波项，因此只需按公式 ()2 04cos T km A f t k tdt T ω= ⎰ 计算A km 。对图上的波形图可以写出 ()04 42 T A t f t T T A t ⎧ <⎪⎪=⎨⎪- <⎪⎩≤≤ 将上式代入A km ，便得 4 2044cos cos T T km T A A k tdt A k tdt T ωω⎡⎤=-⎢ ⎥⎣⎦⎰⎰ 42 0444cos cos T T T A A k tdt k tdt T T ωω=-⎰⎰ {} 42044sin sin T T T A k k Tk ωωω =- 41,5,9,43,7,11A k k A k k ππ ⎧ =⎪⎪=⎨ ⎪- =⎪ ⎩ 于是，信号的傅里叶级数 ()4111 cos cos3cos5cos 7357A f t t t t t ωωωωπ⎛⎫ = -+-+ ⎪⎝⎭ 图方波信号图三角波信号例试求图所示三角波信号的傅里叶级教。解视察一下所给的波形可以知道，它既是原点对称又是半波横轴对称。因此，其傅里叶级数仅由正弦奇次谐波分量组成。由于 ()404 4242 A T t t T f t A T T t A t T ⎧⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≤≤≤

故有 4044444sin 2sin T T km T A A B t k tdt t A k tdt T T T T ωω⎛⎫ = -- ⎪⎝⎭ ⎰⎰ 参照积分公式 211 sin sin cos x axdx ax x ax a a = -⎰ 可算出 22 22 81,5,9,83,7,11km A k k B A k k ππ⎧=⎪⎪=⎨ ⎪-=⎪ ⎩ 于是所欲求的傅里叶级数 ()2222 8111 sin sin 3sin 5sin 7357 A f t t t t t ωωωωπ⎛⎫ = -+-+ ⎪⎝⎭ 。例已知一如图所示的信号波形，试求其傅里叶级数。图例用图解此信号对原点对称，是奇函数，且又是半波横轴对称，所以其傅里叶级数仅是正弦奇次谐波分量组成。由于 ()022 T A t f t T A t T ⎧ <⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩≤≤ 故有 { }20 044sin cos T T km A B A k tdt k t T Tk ωωω==-⎰ 41,3,5,7,A k k π == 于是，所求级数 ()4111 sin sin 3sin 5sin 7357A f t t t t t ωωωωπ⎛⎫ = ++++ ⎪⎝⎭ 。

典型函数傅里叶变换推导

典型函数傅里叶变换推导一、傅里叶级数的引入任何一个周期函数都可以用一组正弦函数或余弦函数的线性组合来表示，这就是傅里叶级数的基本思想。假设有一个周期为T的函数f(t)，它可以表示为： f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))，其中an和bn是系数，n是正整数，ω是角频率，a0是直流分量。这就是傅里叶级数展开式。二、傅里叶变换的定义傅里叶变换是将一个函数从时域转换到频域的过程，它将一个函数f(t)变换为另一个函数F(ω)，表示函数在不同频率下的成分。傅里叶变换的定义如下： F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)]dt，其中e^(-jωt)是欧拉公式，表示角频率ωt的复指数。傅里叶变换将函数f(t)在时域的信息转换为频域的信息。三、傅里叶变换的推导为了推导傅里叶变换，我们先考虑一个非周期函数f(t)，它可以表示为一个周期为T的函数的展开式的极限形式： f(t) = lim[T->∞]{Σ[An*cos(nωt) + Bn*sin(nωt)]}，其中An和Bn是系数，n是正整数，ω是角频率。将上式代入傅里叶变换的定义中，得到：

F(ω) = ∫[lim[T->∞]{Σ[An*cos(nωt) + Bn*sin(nωt)]}*e^(-jωt)]dt。由于f(t)是非周期函数，所以对于不同的角频率ω，展开式中每一项的系数An和Bn都可能不同。为了简化计算，我们引入复指数形式的傅里叶级数展开式： f(t) = Σ[Cn*e^(jωnt)]，其中Cn是系数，n是整数。将上式代入傅里叶变换的定义中，得到：F(ω) = ∫[Σ[Cn*e^(jωnt)]*e^(-jωt)]dt。利用欧拉公式，将上式展开为实部和虚部的形式： F(ω) = ∫[Σ[Cn*(cos(nωt) + jsin(nωt))]*e^(-jωt)]dt。对上式中的每一项进行积分，得到： F(ω) = Σ[Cn*∫[e^(-jωt + jnωt)]dt]。根据积分规则，上式中的积分结果为： F(ω) = Σ[Cn*δ(ω - nω)]，其中δ(ω - nω)是冲激函数，表示频率为nω时的成分。上式表达了函数f(t)在频域中不同频率下的成分。四、傅里叶变换的性质傅里叶变换具有一些重要的性质，包括线性性、频移性、尺度性等。线性性是指对于两个函数f(t)和g(t)以及任意常数a和b，有以下关系成立： F[af(t) + bg(t)] = aF[f(t)] + bF[g(t)]。频移性是指对于一个函数f(t)和任意常数a，有以下关系成立：

傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是现代数学以及工程学领域中非常重要的概念。它们广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、电子电路等方面。本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、原理和应用。一、傅里叶级数傅里叶级数是一种用正弦函数和余弦函数的线性组合来表示周期函数的方法。对于任意周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt)) 其中，a0为零频率分量的系数，an和bn为一系列傅里叶系数，n 为正整数，ω=2π/T为基本频率。傅里叶级数展开式中的每一项都代表了函数f(t)中具有不同频率的分量。通过计算适当的系数an和bn，我们可以将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。这使得我们能够分析、合成和处理不同频率的信号。二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个时域函数转换为频域函数的过程。对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换表示为： F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt 其中，F(ω)为频域函数，ω为连续频率参数，e为自然对数的底，j 为虚数单位。

傅里叶变换将时域函数转换为频域函数，可以帮助我们理解和分析信号在不同频率上的能量分布。频域函数F(ω)表示了原始信号中不同频率的幅度和相位信息。通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波、调制、解调等操作，从而实现对信号的处理和传输。三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在数学上是相互关联的。傅里叶级数是对周期函数进行频谱分析的方法，而傅里叶变换则适用于各种非周期信号的频谱分析。当周期T趋于无穷大时，傅里叶级数就变成了傅里叶变换的极限形式。傅里叶变换可以看作是傅里叶级数的一个推广，将其应用于非周期信号的频谱分析。四、傅里叶级数与傅里叶变换的应用傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和通信领域有着广泛的应用。以下是一些典型的应用场景： 1. 信号滤波：通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波操作，以去除不需要的频率成分或者保留感兴趣的频率成分。 2. 声音合成与压缩：傅里叶级数和傅里叶变换可用于声音合成和压缩，例如音乐合成、语音压缩等。 3. 图像处理：傅里叶变换在图像处理中有重要的应用，例如图像滤波、图像增强、图像压缩等。

傅里叶变换在信号处理中的实例

傅里叶变换在信号处理中的实例引言：傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，在信号处理中被广泛应用。通过将信号从时域转换到频域，傅里叶变换可以帮助我们分析信号的频谱特性，从而实现滤波、去噪、信号合成等一系列信号处理任务。本文将通过几个实例来介绍傅里叶变换在信号处理中的应用。1. 语音信号处理语音信号是一种典型的时变信号，其中包含了丰富的频谱信息。通过对语音信号进行傅里叶变换，我们可以将其转换成频域信号，从而实现对语音信号的分析与处理。例如，可以通过傅里叶变换来提取语音信号中的共振峰信息，用于语音识别、语音合成等应用。 2. 图像处理图像可以看作是一个二维的离散信号，通过对图像进行傅里叶变换，可以将其转换成频域图像。频域图像可以帮助我们分析图像中的频谱特性，例如图像的纹理、边缘等信息。在图像处理中，傅里叶变换被广泛应用于图像滤波、图像增强、图像压缩等领域。例如，可以通过傅里叶变换来实现图像的低通滤波，去除图像中的高频噪声，从而实现图像的平滑处理。 3. 信号压缩信号压缩是一种重要的信号处理任务，可以将信号的冗余信息去除，

从而实现信号的高效存储与传输。傅里叶变换在信号压缩中起到了关键作用。通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，然后通过量化和编码等技术对频域信号进行压缩。例如，JPEG图像压缩算法就是基于傅里叶变换的频域压缩算法。 4. 信号滤波信号滤波是信号处理中常见的任务之一，可以通过滤波技术去除信号中的噪声或无用信息，从而提取出感兴趣的信号成分。傅里叶变换在信号滤波中具有重要的作用。通过将信号从时域转换到频域，我们可以很方便地设计各种滤波器来实现不同的滤波效果。例如，可以通过傅里叶变换来设计一个低通滤波器，去除信号中的高频成分，从而实现信号的平滑处理。 5. 音频信号处理音频信号处理是一种常见的信号处理任务，可以应用于音乐、语音、声音等领域。傅里叶变换在音频信号处理中具有重要的应用价值。通过将音频信号从时域转换到频域，我们可以分析音频信号中的频谱特性，例如音调、音色、音量等信息。例如，在音频编码中，傅里叶变换被广泛应用于音频信号的压缩和解压缩过程中。结论：傅里叶变换在信号处理中具有广泛的应用。通过将信号从时域转换到频域，我们可以分析信号的频谱特性，从而实现信号的滤波、去噪、合成等一系列处理任务。在实际应用中，我们可以根据具体的

傅立叶变换

傅立叶变换一、傅立叶变换的由来关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解，最近，我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍，是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的，写得非常浅显，里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶变换，虽然是英文文档，我还是硬着头皮看完了有关傅立叶变换的有关内容，看了有茅塞顿开的感觉，在此把我从中得到的理解拿出来跟大家分享，希望很多被傅立叶变换迷惑的朋友能够得到一点启发，这电子书籍是免费的，有兴趣的朋友也可以从网上下载下来看一下，URL地址是：https://www.360docs.net/doc/5f19321969.html,/pdfbook.htm 要理解傅立叶变换，确实需要一定的耐心，别一下子想着傅立叶变换是怎么变换的，当然，也需要一定的高等数学基础，最基本的是级数变换，其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。二、傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

傅里叶变换

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。一、什么叫频域从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。先举一个公式上并非很恰当，但意义上再贴切不过的例子：在你的理解中，一段音乐是什么呢？这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。将以上两图简化：时域：频域：

在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。二、傅里叶级数(Fourier Series) 举个栗子并且有图有真相才好理解。如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90 度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：第一幅图是一个郁闷的正弦波cos（x）第二幅图是2 个卖萌的正弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x) 第三幅图是4 个发春的正弦波的叠加