傅里叶变换基础知识
傅里叶变换基础知识
1•傅里叶级数展幵
最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。
1.1周期信号的傅里叶级数
在有限区间上，任何周期信号双/）只要满足狄利克雷（dmclilet）条件，都可以展开成傅里叶级数。
1・1・1狄利克雷（duichlet）条件
狄利克雷（duichlet）条件为：
（1）信号双/）在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值）；
（2 ）信号/ （t）在一周期内只有有限个极人值和极小值；
（3 ）信号在一个周期内是绝对可积分的，即应为有限值。
1.1.2间断点
在非连续函数y二f{・x）中某点处心处有中断现彖，那么，兀就称为函数的不连续点。
（1）第一类间断点（有限型间断点）：
a.可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义（兀令分母为零时等情况）；
b.跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（y = lxl/x°在点x = 0处等情
况）。
（2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。
1.13傅里叶级数三角函数表达式
傅里叶级数三角函数表达式为
X X0=仇+乞（①cos“q/ +加
• • •
J1-1
式中：心为信号的常值分量；色为信号的余弦信号幅值：你为信号的正弦信号幅值。％、心、》分别表示为：
==J ：） cos
ncootdt
x{ t ）sinncootdt
式中：7；为信号的周期；。。为信号的基频，即角频率，$=2龙/7；「=1,2,3...。合并同频项也可表示为
X （t）二％ + 艺 A cos （gf + q）
H-l
式中：信号的幅值人和初相位q分别为
人=虫+丐
2 =arcnm （・b” /心）
1.1.4频谱的相矢概念
（1） 信号的频谱（三角频谱）：构成信号的各频率分量的集合，表征信号的幅值和相位
随频率的变化矢系，即信号的结构，是（或&・/）和q 厂3 （或2・/）的统称；
（2） 信号的幅频谱：周期信号幅值人随e （或/）的变化尖系，用（或A ・/>表示； （3） 信号的相频谱：周期信号相位仇随e （或f ）的变化矢系，用0,弋。（或q ・/）表
示；
（4） 信号的频谱分析：对信号进行数学变换，获得频谱的过程； （5） 基频：％或人，各频率成分都是®或人的整数倍； （6） 基波：0。或人对应的信号；
（7 ） ”次谐波：”q （n = 2,3,...）或呗（n = 2,3,・.J 的倍频成分兔cos （”qf+®）或A. cos ⑻
谕 + q ）;
1.1.5周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开
这就是周期信号的傅里叶复指数形式的表达式。
an = —j !<>
T \x （t ） cosnca ）tdt
:::
代入获瓠厂龙）'则C”洛『；；曲）严M
汗彳〔；割沁叙
2 乙。
在一般情况下C”是复数，可以写成c 55 =0 + jGi =10 2 式中
Z (a 厂jbj ‘ C_n =\(a n +丿Q 可表示为
根据欧拉公式
X （ t ）二 aQ +
-cos
cot 2jsmrrf(j = V A
T), 鴻険行妙小
因此，傅里叶级数三角函数表达式
cosncM + bnsinnc A
t ）可改写成
x(0 - M + X & — nJL2 mi
"” ”3 + ■胖
2
C° = ^
q 二—也）
c_,冷（％ + 龙）
n-1
如二为
J?-0
+ Eq n
® H
—»
11—1
x(t)二RCf”如
»
//
=0,±1,±2,…
=aictan
&
C1R
c‘弓g —Q)=lc』严
C-n= I (an + jbn) =41.0“
则E)=fc”畑心0,±1,±2,…变为
“■Y
X(t) =c0+ £c”严 + =Co + 勿4 严切 + IC°OgF]
H-i n-1 ~
H-I
由此可见，周期信号用复指数形式展开，相当于在复平面内用一系列旋转矢量细纳)来描述，但是，负频率的出现，仅仅是数学推导的结果，并无实际物理意义。
1.1.6傅里叶级数的复指数与三角函数展幵矢系
由6=瓠■必)0=6汁j Cm =lc肿可知：
C “R 二a n/2
C'7 =・ $ / 2 综合A= »\c n\二％+ C；/表示为
P” f 也僅七C] = J(a” /2) +(・b" /2) = 2
即双边频谱的幅值|C“I是单边频谱幅值&的一半。
由(pn = arctan, G R = Hn/2 9 G J二一化/2 可知：
%=如ctan他/色）
2傅里叶变换
出准周期函数之外的非周期信号称为一般周期信号，也就是瞬态信号。瞬态信号具有瞬变性，例如锤子敲击力的变化、承载缆绳断裂的应力变化、热电偶插入加热的液体中温度的变化过程等信号均属于瞬态信号。瞬态信号是非周期信号，可以看作一个周期的周期信号，即周期7一＞00。因此，可以把瞬态信号看作周期趋于无穷大的周期信号。
2」傅里叶变换
设有一周期信号x(f),则其在[-T/2J/2M间内的傅里叶级数的复指数形式的表达式为
40=严
K-X
式中
当%T8时，积分区间[一T/29T/2]->[-<»^,谱线间隔厶co二=27T/T Q->dco»离散
频率“QT连续变量e >所以C” =
±Q\{t)e〜5变为
该式枳分后将是Q的函数，且一般为复数，用X(jco)或X(劲表示为
x(沟怙式中：X(je)称为信号x(/)的傅里叶积分变换或简称傅里叶变换(FouierTransform, FT),是把非周期信号看成周期趋于无穷大的周期信号来处理的，显然
C
X(7A)=lmiC n.7； =lmi A
7b-A o /->0f
即凍丿为单位频宽上的谐波幅值，具有“密度”的含义，故把刃7"丿称为瞬态信号的“频谱密度函数”，或简称“频谱函数”。
由X(»=lmiCH 7 ； =lmi-A得
C” =严M»=lun X(Je)号
7A 对十。2龙代入A (/)= f CO昨得
”・Y
W)靠肿帥燈严
当时q = 2%/7>de,离散频率,® T连续变量e,求和积分。则
x(/) = £j： X(沟严de
xO)称为X co丿的傅里叶逆变换或反变换(Inverse Fourier Transform , IFT ) °
* (沟)二J：和x(/)二三匸X (加)严de构成了傅立叶变换对
FT
x(/)oX(Jo)
IFT
FT
一般地，使用0或0表示信号之间的傅立叶变换及其逆变换之间的矢系。由于1FT co=27rf，所以X(jco) = Qx(t)e-A dt和才(/)二£UX(兀永加de 可变为
这就避免了在傅里叶变换中出现1/2兀的常数因子，使公式形式简化。
由式才Q•门二Qx(t)c^f,dt可知，非周期信号能够用傅里叶函数来表示，。而周期信号
X( jf ) = Qx(t)e^dt是一般复数形式，可表示
可由傅里叶级数x(t)=X Ge侏表示。
X(#) = ReX(#)+jHnX(#) = IX(#)I-A)
式中:ReX(/)为X( 〃)的实部；hnX(jf)为X(jf)的虚部；IX(#)I为信号x(/)的连续幅频谱；卩(厅) 为信号大⑴的连续相频谱。
l A(#)l = J[ReX3)『+[lmX3) 了A(/) = aictan[linX(/)/ReX(/)] 比较周期信号和非周期信号的频谱可知：首先，非周期信号幅值IX(#)I随/变化时连续的，即为连续频谱，而周期信号的幅值C1随/变化时离散的'即为离散频谱。其次，C冷的量纲和信号幅值的量纲一致，而1%(#)1的量纲相当于IGI/f，为单位频宽上的幅值，即为“频谱密度函数”。2.2傅里叶变换的主要性质
一个信号可以进行时域描述和频域描述。两种描述通过傅里叶变换来确立彼此一一对应的矢系，因
2.3
(1)举行窗函数
(2)单位脉冲函数(/函数)
⑶正、余弦信号
(4)一般周期信号
(5)周期单位脉冲序列
傅里叶变换基础知识
傅里叶变换基础知识 1. 傅里叶级数展开 最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。 1.1 周期信号的傅里叶级数 在有限区间上，任何周期信号()x t 只要满足狄利克雷（dirichlet ）条件，都可以展开成傅里叶级数。 1.1.1 狄利克雷（dirichlet ）条件 狄利克雷（dirichlet ）条件为： （1）信号()x t 在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t 从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值）； （2）信号()x t 在一周期内只有有限个极大值和极小值； （3）信号在一个周期内是绝对可积分的，即00/2/2 ()dt T T x t -⎰ 应为有限值。 1.1.2 间断点 在非连续函数()y f x =中某点处0x 处有中断现象，那么，0x 就称为函数的不连续点。 （1）第一类间断点（有限型间断点）： a. 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义（0x 令分母为零时等情况）； b. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（0/y x x =在点0x =处等情况）。 （2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。 1.1.3 傅里叶级数三角函数表达式 傅里叶级数三角函数表达式为 式中：0a 为信号的常值分量；n a 为信号的余弦信号幅值；n b 为信号的正弦信号幅值。 0a 、n a 、n b 分别表示为： 式中：0T 为信号的周期；0ω为信号的基频，即角频率，002/T ωπ=，1,2,3...n =。 合并同频项也可表示为 式中：信号的幅值n A 和初相位n θ分别为 1.1.4 频谱的相关概念 （1）信号的频谱（三角频谱）：构成信号的各频率分量的集合，表征信号的幅值和相位随频率的变化关系，即信号的结构，是n A ω-（或n A f -）和n θω-（或n f θ-）的统称； （2）信号的幅频谱：周期信号幅值n A 随ω（或f ）的变化关系，用n A ω-（或n A f -）表示； （3）信号的相频谱：周期信号相位n θ随ω（或f ）的变化关系，用n θω-（或n f θ-）表示； （4）信号的频谱分析：对信号进行数学变换，获得频谱的过程； （5）基频：0ω或0f ，各频率成分都是0ω或0f 的整数倍； （6）基波：0ω或0f 对应的信号；
数字信号处理基础
数字信号处理基础 一、概述 数字信号处理（Digital Signal Processing）是一种涉及数字信号 的处理技术，包括数字滤波、谱分析、数据压缩、图像处理等等。数字信号处理广泛应用于通信、音频、视频等领域，尤其在现代 通信系统中占据着重要地位。 数字信号处理的基础知识包括离散时间信号、离散时间系统和 傅里叶变换等。本文将对数字信号处理的基础知识做进一步介绍。 二、离散时间信号 1. 离散时间信号的定义 离散时间信号是指信号的取样点只能在离散的时间间隔内取样。其数学表达式可表示为： x[n] = x(nT)
其中x[n]表示离散时间信号，x为实数或复数的函数，n为离散时间信号的序号，T为采样间隔。 离散时间信号是离散的，与连续时间信号不同，这是数字信号处理的基础。 2. 离散时间信号的分类 离散时间信号可以按照实部虚部的性质进行分类。实部虚部都为实数的信号被称为实信号，实部虚部都为复数的信号被称为复信号。此外，还有一种称为实部为零的纯虚信号，实部为零，虚部非零。 三、离散时间系统 离散时间系统是指离散时间信号在离散时间下的输入和输出之间的关系。离散时间系统可以分为线性系统和非线性系统。 线性系统满足以下两个性质：
1. 叠加性：当系统输入为信号x1[n]和x2[n]时，系统的输出为 y1[n]和y2[n]，则当输入为x1[n] + x2[n]时，系统的输出为y1[n] + y2[n]。 2. 齐次性：当系统输入为信号ax1[n]时，系统的输出为ay1[n]，其中a为实数，则当输入为x1[n]时，系统的输出为y1[n]。 非线性系统不满足上述性质。 四、傅里叶变换 傅里叶变换可以将一个信号分解成许多不同频率分量的叠加， 包含离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和快速 傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）两种。 1. 离散傅里叶变换（DFT） 离散傅里叶变换可以将离散时间信号变换为频域的信号，公式 如下：
信号与系统知识点总结
信号与系统知识点总结 在现代科学和工程领域中，信号与系统是重要的基础理论。它涉及到从电子通信、音频处理到图像识别等许多领域的技术和应用。本文将对信号与系统的若干关键概念和知识点进行总结与概括。 一、信号的分类和性质 信号可以被分为连续时间信号和离散时间信号两类。连续时间信号是在定义域上连续存在的信号，它可以用连续的函数描述。离散时间信号是在定义域上只取有限或无限多个离散点的信号，它可以用序列来表示。 信号还可以根据其能量和功率来分类。能量信号是其能量有限的信号，如脉冲信号；功率信号是其功率有限的信号，如正弦信号。这个概念对于信号在通信中的传输和处理具有重要意义。 二、线性时不变系统 线性时不变系统（简称LTI系统）是信号与系统领域中最为重要的概念之一。它的特点是输出与输入之间存在线性关系且不随时间发生变化。 LTI系统的性质可以由其冲激响应来描述。冲激响应是当输入信号为单位冲激函数时，LTI系统的输出。通过对冲激响应进行线性叠加和时间平移，可以得到系统对任意输入信号的响应。 三、卷积运算
卷积运算是在信号与系统中常用的一种数学运算方法。它可以将两 个信号进行融合和混合，得到新的信号。 连续时间信号的卷积可以通过函数乘积和积分运算得到。离散时间 信号的卷积可以通过序列元素的加权和得到。 卷积运算在信号的滤波和频域分析中扮演着重要的角色。例如，通 过卷积可以实现低通滤波和高通滤波，以及信号的快速傅里叶变换。 四、傅里叶变换 傅里叶变换是将一个信号从时域变换到频域的数学工具。它可以将 信号表示为一系列复数的和，从而揭示信号的频率分量和功率分布。 连续时间信号的傅里叶变换可以通过积分运算得到，离散时间信号 的傅里叶变换可以通过离散的和运算得到。 傅里叶变换在信号压缩、频谱分析和滤波等方面有广泛应用。例如，通过傅里叶变换可以将音频信号从时域转换为频域，实现音频的压缩 和编码。 五、采样定理与信号重构 在实际应用中，信号往往是以离散时间形式进行采样和处理的。采 样定理规定了对连续时间信号进行采样的条件，以保证信号的原始信 息不丢失。 根据采样定理，信号的采样频率应至少是信号最高频率的两倍，才 能将信号完全还原。
数电基本知识点总结
数电基本知识点总结 随着现代电子技术的快速发展和广泛应用，数字电子技术已经 成为新时代中不可或缺的重要组成部分。数字电子技术作为电子 技术的一个分支，已经成为电子科学研究的主要方向之一，在现 代应用中也扮演着重要的角色。数字电子技术的基本知识点包括 数字电路、数字信号处理等。本文将对这些基本知识点进行总结。 一、数字电路 数字电路是计算机硬件、通信系统以及灯胆等各种电子器件的 基本组成部分，是数字电子技术的基础。数字电路包括组合逻辑 电路和时序逻辑电路两种。组合逻辑电路根据输入信号产生输出 信号，其中不需要考虑时序。时序逻辑电路则是由组合逻辑模块 和时钟模块组成的，处理输入信号时需要考虑时序。数字电路有 以下基本知识点： 1.逻辑运算 数字电路中的逻辑运算包括与、或、非、异或等逻辑运算。其 中与运算是指各输入信号同时为1时，输出为1；或运算是指各输
入信号中有一个或多个为1时，输出为1；非运算是指输入信号为1时，输出为0，反之亦然；异或运算是指各输入信号不相同时输出为1，否则输出为0。 2.编码器 编码器是将不同的输入信号映射为不同的输出信号的电路。常用的编码器有BCD编码器、八位编码器和十六位编码器等。 3.译码器 译码器是将不同的输入信号转换为不同的输出信号，按照特定的规则进行转换。译码器是数字电路的重要组成部分。常用的译码器有BCD译码器、八位译码器和十六位译码器等。 4.计数器 计数器是可以计数的电路，也是数字电路中经常使用的模块之一。计数器可以按照一定的规则计数，并可以将计数结果反馈给其他电路模块使用。计数器包括同步计数器和异步计数器等。
5.时序电路 时序电路是根据特定的时序要求来设计的数字电路。时序电路有微处理器、时钟电路等。 二、数字信号处理 数字信号处理是应用数字电子技术的一个重要方向，将模拟信号转换为数字信号，并对其进行数字处理和分析。数字信号处理有以下几个基本知识点： 1.采样定理 采样定理是数字信号处理中最基本的知识点之一。其核心思想是：一个信号能够以完全的方式重构，只需要一定的采样频率。通俗地讲，就是要想准确地数字化一个信号，需要以一定的频率对信号进行采样。 2.傅里叶变换
以傅里叶变换为主题,制作小知识锦囊
以傅里叶变换为主题，制作小知识锦囊 傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数从时域（时间域）转换为频域（频率域）。它由法国数学家傅里叶在19世纪提出，并广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域。下面是关于傅里叶变换的一些基本知识点，帮助你更好地理解和应用傅里叶变换。 1. 傅里叶级数：傅里叶级数是指将周期函数表示为正弦和余弦函数的和。它表示了一个周期函数在频域上的频谱特性。 2. 傅里叶变换：傅里叶变换是将非周期函数表示为连续谱的一种数学变换。它将一个函数分解为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合，并得到频率分量的幅度和相位信息。 3. 时域与频域：时域表示信号随时间变化的情况，频域表示信号在不同频率上的成分。傅里叶变换将信号从时域转换为频域，可以更方便地分析和处理信号。 4. 傅里叶变换的基本公式：傅里叶变换将一个函数f(t)转换为 另一个函数F(ω)，其中f(t)表示时域信号，F(ω)表示频域信号。傅里叶变换的基本公式为： F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] d t 其中e^(-jωt)表示复指数函数，ω表示角频率。 5. 傅里叶变换的逆变换：傅里叶变换的逆变换将频域信号F(ω)
转换回时域信号f(t)。逆傅里叶变换的基本公式为： f(t) = (1/2π) * ∫[F(ω) * e^(jωt)] dω 6. 常见傅里叶变换的应用：傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用，例如： - 频谱分析：通过傅里叶变换可以将信号的频谱特性可视化， 帮助我们理解信号的频率成分。 - 滤波器设计：傅里叶变换可以通过频域的操作来设计滤波器，实现信号的滤波处理。 - 压缩与编码：傅里叶变换可以对信号进行压缩和编码，在保 持关键信息的同时减少数据量。 以上是关于傅里叶变换的一些基本知识点，希望对你理解和应用傅里叶变换有所帮助。傅里叶变换是一个非常重要的数学工具，深入学习和掌握它将有助于你在相关领域的研究和应用中取得更好的成果。
傅里叶变换通俗理解
傅里叶变换通俗理解 傅里叶变换是一种广为使用的数学技术，它已经成为多个领域的工程和科学技术的基础。在近百年来，傅里叶变换一直致力于探索数学与物理，以及自然界的结构和规律。它不仅在科学技术方面有着重要的应用，还在艺术、建筑、计算机科学和更多其他领域都有广泛的应用。但是，很多人发现傅里叶变换有点难以理解和掌握，这就是本文要讨论的重点所在。 第二段： 傅里叶变换的定义非常简单：它是一种将一个函数的时间变量转换为频率变量的变换，以便更加清楚地描述函数的特性。换句话说，傅里叶变换能够将那些奇怪的函数，例如振动函数，转换成一系列更容易理解的元素，例如低频率和高频率波。另外，傅里叶变换也为许多复杂的数学问题提供了一种解决方法，如飞行器设计，声学表面以及许多其他应用。 第三段： 傅里叶变换的实现是通过一种叫做傅里叶级数的数学工具，其中系数代表了函数的频率分量和相位分量。傅里叶级数可以用来计算函数的不同频率组成，这也反映了它们在某一点函数上出现的次数。此外，傅里叶级数也被用来表示次要函数，它们可以用来提供函数的周围曲线的更多细节。 第四段： 傅里叶变换的实际应用可以说是多种多样的，它依赖于给定的
数学问题。以，傅里叶变换可以用来求解各种微分方程，像波动方程，光纤传输，模拟电路，数字信号处理，数据压缩，图像处理等等。例如，在声学中，傅里叶变换可以用来研究声波，分析音乐乐器的音调，甚至研究语言特征。此外，它也可以用于地形模型，气象学，石油勘探以及医学影像处理。 第五段： 更重要的是，傅里叶变换的原理和应用也让它成为一种重要的基础知识，可以帮助学生更好地理解许多计算机科学中涉及的数学基础知识，以及微积分，概率论和统计学，这些都是计算机科学体系中不可或缺的基础。 第六段： 总而言之，傅里叶变换是一个重要的数学工具，它有着广泛的应用，从现代科技到计算机科学，以及许多其他不同的学科。在这篇文章中，我们试图通过一种通俗的方式来帮助有兴趣的读者理解傅里叶变换。
基本傅里叶变换
基本傅里叶变换 傅里叶变换是一种将一个信号从时域转换成频域的方法，常常被 用来分析和处理信号。这种方法可以将一个复杂的信号分解成若干个 不同频率的正弦波，从而可以更深入地研究其特性和性质。在本文中，我们将讨论基本的傅里叶变换步骤以及其在信号处理中的应用。 第一步是选取一个待处理的信号。这个信号可以是任何类型的波 形信号，包括声音信号、图像信号、视频信号等等。一般情况下，我 们要求这个信号是周期性的，并且在整个周期内都是平滑的。 第二步是将信号分解成若干个周期函数。这个步骤可以通过傅里 叶级数来实现。傅里叶级数是一个数学公式，可以将一个周期函数表 示成若干个正弦波的叠加。这些正弦波的频率和振幅都是通过傅里叶 变换计算得出的。 第三步是进行傅里叶变换。这个步骤可以使用快速傅里叶变换（FFT）算法来实现。FFT算法是一种高效的算法，可以在计算机上快 速地计算出傅里叶变换的结果。在进行傅里叶变换之前，我们需要将 周期函数进行采样，得到一组离散的值。然后，通过FFT算法，我们 可以计算出这些离散值的傅里叶变换。 第四步是分析傅里叶变换的结果。傅里叶变换的结果是一个复数 函数，可以表示信号在各个频率上的幅度和相位信息。我们可以根据 这些信息对信号进行进一步的分析和处理。例如，可以通过滤波来去 除某些频率上的噪声，或者可以对信号进行压缩，以减少存储空间的 占用。 最后一步是将处理后的信号进行重构。通过傅里叶逆变换，我们 可以将傅里叶变换的结果转换回时域，得到处理后的信号。这个步骤 可以使用IFFT算法来实现。 傅里叶变换在许多领域都有广泛的应用，特别是在音频和视频处 理中。例如，我们可以将音频信号进行傅里叶变换，得到其频谱图， 从而可以分析其频率和振幅信息。在视频处理中，我们可以对视频信
离散傅里叶变换基础知识
离散傅里叶变换基础知识 离散傅里叶变换基础知识 傅里叶是一位法国数学家，他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数做为基函数来表示，也就是我们数学上面学到的傅里叶级数，设一个周期函数f(t)，其周期为T，则其角频率为w0=2π T ，则该函数可以展开为一系列三角函数的累加： f(t)=a0+a1cosw0t+b1sinw0t+a2cos2w0t+b2sinw2t+? =a0 2 +∑a n cosnw0t+b n sinnw0t ∞ n=1 其中，上式中的各个系数： a0=2 T ∫f(t)dt T2 T2 a n=2 T ∫f(t)cosnw0tdt T2 T2 b n=2 T
∫f(t)sinnw0tdt T2 T2 但这个形式不太好用，因为正弦和余弦项是分开的，我们要考虑把他们两个整合起来，这样对每一个频率nw0我们就可以得到一个系数项（比如上式的a n或者b n），这其实就是该频率对应的幅值。然后我们以频率为X轴，以其对应的幅值为Y轴，就可以得到该函数在频域里面的图像了。对于周期函数，其频域里面的图像是不连续的，只在w=0,±w0,±2w0…才有图像。 那么我们该如何将上面的正弦项和余弦项整合到一块呢？答案是欧拉公式。下面就是鼎鼎大名的欧拉公式： e iwt=coswt+isinwt 换个表达方式： coswt=1 2 (e iwt+e?iwt) sinwt=1 2i (e iwt?e?iwt) 将上面的公式代入傅里叶级数中： f(t)=a0+a1cosw0t+b1sinw0t+a2cos2w0t+b2sinw2t+? =a0 2 +∑a n cosnw0t+b n sinnw0t ∞ n=1 =a0 2 +∑{a n e inw0t+e?inw0t
信号与系统知识点整理
信号与系统知识点整理 信号与系统是电子、通信、自动化等领域中的基础课程之一，主要研 究信号的产生、传输、处理和分析等内容。下面是信号与系统的知识点整理。 1.信号的分类： -连续信号：在时间和幅度上都是连续的信号，如声音、电压波形等。 -离散信号：在时间上是离散的信号，如数字音频、数字图像等。 -周期信号：在一定时间周期内重复出现的信号，如正弦信号、方波等。 -非周期信号：在一定时间段内不重复出现的信号，如脉冲信号、矩 形波等。 2.基本信号： -阶跃信号：在其中一时刻突然跃变的信号。 -冲击信号：在其中一时刻瞬间出现并消失的信号。 -正弦信号：以正弦函数表示的周期信号。 -方波信号：由高电平和低电平构成的周期信号。 3.系统的分类： -时不变系统：输出不随时间变化而变化的系统。 -线性系统：满足叠加性质的系统。 -因果系统：输出仅依赖于当前和过去的输入的系统。
-稳定系统：有界的输入产生有界的输出的系统。 4.线性时不变系统的特性： -线性性质：满足叠加性质。 -时不变性：系统的输出只取决于输入信号的当前和过去的值。 -冲激响应：线性时不变系统对单位冲激信号的响应。 5.离散时间系统的表示： -差分方程：用差分方程表示离散时间系统。 -传输函数：用传输函数表示系统的输入和输出之间的关系。 6.离散时间信号的分析： -Z变换：将离散时间信号从时域变换到Z域的方法。 -序列的频率表示：幅度谱、相位谱和角频率。 7.连续时间系统的表示： -微分方程：用微分方程表示连续时间系统。 -传递函数：用传递函数表示系统的输入和输出之间的关系。 8.连续时间信号的分析： -傅里叶级数：将连续时间周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的和。 -傅里叶变换：将连续时间非周期信号从时域变换到频域。 9.信号处理的应用：
信号与系统基础知识
第1章 信号与系统的基本概念 1.1引言 系统是一个广泛使用的概念，指由多个元件组成的相互作用、相互依存的整体。我们学习过“电路分析原理”的课程，电路是典型的系统，由电阻、电容、电感和电源等元件组成。我们还熟悉汽车在路面运动的过程，汽车、路面、空气组成一个力学系统。更为复杂一些的系统如电力系统，它包括若干发电厂、变电站、输电网和电力用户等，大的电网可以跨越数千公里。 我们在观察、分析和描述一个系统时，总要借助于对系统中一些元件状态的观测和分析。例如，在分析一个电路时，会计算或测量电路中一些位置的电压和电流随时间的变化；在分析一个汽车的运动时，会计算或观测驱动力、阻力、位置、速度和加速度等状态变量随时间的变化。系统状态变量随时间变化的关系称为信号，包含了系统变化的信息。 很多实际系统的状态变量是非电的，我们经常使用各种各样的传感器，把非电的状态变量转换为电的变量，得到便于测量的电信号。 隐去不同信号所代表的具体物理意义，信号就可以抽象为函数，即变量随时间变化的关系。信号用函数表示，可以是数学表达式，或是波形，或是数据列表。在本课程中，信号和函数的表述经常不加区分。 信号和系统分析的最基本的任务是获得信号的特点和系统的特性。系统的分析和描述借助于建立系统输入信号和输出信号之间关系，因此信号分析和系统分析是密切相关的。 系统的特性千变万化，其中最重要的区别是线性和非线性、时不变和时变。这些区别导致分析方法的重要差别。本课程的容限于线性时不变系统。 我们最熟悉的信号和系统分析方法是时域分析，即分析信号随时间变化的波形。例如，对于一个电压测量系统，要判断测量的准确度，可以直接分析比较被测的电压波形)(in t v （测量系统输入信号）和测量得到的波形)(out t v （测量系统输出信号），观察它们之间的相似程度。为了充分地和规地描述测量系统的特性，经常给系统输入一个阶跃电压信号，得到系统的阶跃响应，图1-1是典型的波形，通过阶跃响应的电压上升时间（电压从10％上升至90％的时间）和过冲（百分比）等特征量，表述测量系统的特性，上升时间和过冲越小，系统特性越好。其中电压上升时间反映了系统的响应速度，小的上升时间对应快的响应速度。如果被测电压快速变化，而测量系统的响应特性相对较慢，则必然产生较大的测量误差。 信号与系统分析的另一种方法是频域分析。信号频域分析的基本原理是把信号分解为不同频率三角信号的叠加，观察信号所包含的各频率分量的幅值和相位，得到信号的频谱特性。图1-2是从时域和频域观察一个周期矩形波信号的示意图，由此可以看到信号频域和时域的关系。系统的频域分析是观察系统对不同频率激励信号的响应，得到系统的频率响应特性。频域分析的重要优点包括：（1）对信号变化的快慢和系统的响应速度给出定量的描述。例如，当我们要用一个示波器观察一个信号时，需要了解信号的频谱特性和示波器的模拟带宽，当示波器的模拟带宽能够覆盖被测信号的频率围时，可以保证测量的准确。（2）
傅里叶级数和傅里叶变换的基础知识
傅里叶级数和傅里叶变换的基础知识傅里叶级数和傅里叶变换是数学中的重要概念，被广泛地应用 在各领域中。它们是研究周期性信号和非周期性信号的关键工具，可以展开信号的频率内容，使得我们可以更好地理解它们的特性。本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基础知识，并探讨它们的 应用。 一、傅里叶级数的概念 傅里叶级数是将一个周期函数分解为一组正弦、余弦函数的和 的形式。在周期为T的函数f(x)中，可以用如下的式子来表示它 的傅里叶级数： $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum^\infty_{n=1}a_n\cos(n\omega_0 x)+\sum^\infty_{n=1}b_n\sin(n\omega_0 x)$$ 其中$\omega_0=\frac{2\pi}{T}$，是周期为T的函数f(x)的基频率，$a_n$和$b_n$是系数，表示第n个正弦、余弦函数的振幅。 $a_0$表示函数f(x)在一个周期内的平均值。
二、傅里叶变换的概念 傅里叶变换是将非周期信号分解为一组正弦、余弦函数的积分形式，它是傅里叶级数的推广。对于非周期的信号f(x)，它的傅里叶变换定义如下： $$F(\omega)=\int^\infty_{-\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx$$ 其中，$\omega$表示频率，$e^{i\omega x}$是一个复数形式，描述了正弦、余弦函数的频率和相位。傅里叶变换可以将一个信号从时域转换到频域，从而可以研究信号的频率内容。 三、傅里叶级数和傅里叶变换的联系 虽然傅里叶级数和傅里叶变换看起来像是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系。我们通过将一个信号分段处理，分别应用傅里叶级数和傅里叶变换来理解这一联系。 对于一个长度为T的周期信号f(x)，我们可以将它分为N个等长的段，每一段的长度为$\Delta t=T/N$。此时，我们可以使用傅
傅里叶变换的基础知识
傅里叶变换的基础知识 傅里叶变换是一项基础的数学工具，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、信号处理等领域。本文将介绍傅里叶变换的基 本概念，其中包括连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 1. 连续傅里叶变换 在介绍傅里叶变换之前，我们需要先了解两个概念：周期函数 和Fourier 级数。周期函数是指在一定区间内具有重复特征的函数，而 Fourier 级数是将一个周期函数表示为正弦和余弦函数的和。 傅里叶变换是将一个函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦 函数的和，可以理解为是将 Fourier 级数推广到了一般的非周期函 数上。具体来说，若一个函数 f(x) 满足某些条件，那么它可以被 表示为如下形式： F(ω) = ∫ f(x) e^(-iωx) dx 其中，F(ω) 是函数 f(x) 的傅里叶变换，ω 表示角频率，即单位 时间内变化的弧度数。
从公式可以看出，傅里叶变换将函数 f(x) 转化成一个复数F(ω)，表示了该函数在不同频率下的振幅和相位信息。特别地，若函数 f(x) 是实函数且满足对称性条件，那么它的傅里叶变换F(ω) 是一 个实函数。 2. 离散傅里叶变换 连续傅里叶变换适用于连续信号的处理，但在实际应用中，我 们往往处理的是数字信号，即离散信号。为了将连续傅里叶变换 推广到离散信号上，人们发明了离散傅里叶变换。 离散傅里叶变换的定义如下： F_k = ∑_{n=0}^{N-1} f_n e^{(-i2πkn)/N} 其中，f_n 表示离散信号在第 n 个采样点处的取值，N 表示采 样点数量，k 表示在 K 点处的频率。
离散傅里叶变换是计算机领域中常用的算法，广泛应用于音频、图像等信号处理领域。它可以将复杂的信号分解成一组频率，从 而实现信号的压缩、降噪等处理操作。 需要注意的是，离散傅里叶变换对于周期信号是有局限性的， 因为在离散信号中，我们无法表示无穷长的周期函数，因此在处 理周期信号时，我们需要采用其他方法。 3. 傅里叶变换的应用 傅里叶变换广泛应用于多个领域，下面简要介绍几个应用场景： (1) 信号处理：傅里叶变换可以将一个信号分解成它的频率成分，从而实现信号降噪、信号压缩等处理操作。 (2) 通信领域：傅里叶变换可以用于频域信号分析、频谱分析 等操作，能够帮助工程师优化通信系统的设计和运行。 (3) 图像处理：傅里叶变换可以将一个图像转换为频域上的函数，从而实现图像平滑化、边缘检测等处理操作。
信号分析基础理论知识之频谱分析
信号分析基础理论知识之 频谱分析
1. 从时域到频域 实际的波形可视为由若干正弦波所合成，每一正弦分量各有其一定的频率和幅值。 (a) 波形；(b) 由三个正弦波组成；(c) 频谱 2. 傅里叶变换 (1) FT （连续傅里叶变换） 正变换： 逆变换： 其中，ω=2πf，f(t)为时域数据序列，F(ω)为频域的谱函数序列。 (2) DFT（离散傅里叶变换） 对N个样点的数字化的时域波形进行数值积分计算，计算某一频率点的幅值。可在计算机上进行，但计算量巨大。 (3) FFT（快速傅里叶变换） 离散变换的一种快速算法，计算速度快，适合工程应用，但具有如下限制： 参与计算的数据点数（FFT分析点数）必须为2的幂次方，即2n。
频率分辨率问题，频率间隔Δf。 3. 频谱泄露误差 泄漏产生：当实际信号的频率处于f(i)和f(i+1)之间时，则会产生频率泄漏现象，导致误差。 频率误差：FFT频率反映的频率为(i-1)Δf Hz或者iΔf Hz，最大频率误差为Δf/2。 幅值误差：谱峰的幅值减小，泄漏到附近的谱峰上，最大幅值误差为36.3%。 整周期采样：信号的频率正好处于f(i)的位置上，即信号频率等于Δf 的整数倍，则不会产生泄漏。 产生机理（边缘截断）： 常用校正方法： 加窗处理：如hanning、平顶窗等，仅能校正幅值，不能校正频率； 频率计校正：可以对若干个单个谱峰进行校正，特点为快速实时，
既能校正幅值，又能校正频率； 平滑处理：能有效校正最大谱峰处的幅值，不能校正频率。 4. 加窗和平滑 加窗可消除或减轻信号截断和周期化带来的不连续问题。平滑是将频谱任何一点的附近若干点进行相加，将泄露到两边的能量加回来。 (a) 整周期；(b) 严重泄露；(c) 加汉宁窗；(d) 平滑 5. 窗函数基本特性 相当于滤波器。
信号与系统基础知识X
《信号与系统》基础知识要点 第一章 信号与系统 1、周期信号的判断 （1）连续信号 思路：两个周期信号()x t 和()y t 的周期分别为1T 和2T ，如果 11 22 T N T N =为有理数（不可约），则所其和信号()()x t y t +为周期信号，且周期为1T 和2T 的最小公倍数，即2112T N T N T ==。 （2）离散信号 思路：离散余弦信号0cos n ω（或0sin n ω）不一定是周期的，当 ① 2π ω为整数时，周期0 2N π ω= ； ② 1 2 2N N π ω= 为有理数（不可约）时，周期1N N =； ③ 2π ω为无理数时，为非周期序列 注意：和信号周期的判断同连续信号的情况。 2、能量信号与功率信号的判断 （1）定义 连续信号 离散信号 信号能量： 2 |()| k E f k ∞ =-∞ = ∑ 信号功率： def 2 22 1lim ()d T T T P f t t T →∞- =⎰ /2 2/2 1lim |()|N N k N P f k N →∞=-=∑ （2）判断方法 能量信号： P=0E <∞， 功率信号： P E=<∞∞， （3）一般规律 ①一般周期信号为功率信号； ②时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号； ③还有一些非周期信号，也是非能量信号。 ⎰∞∞ -=t t f E d )(2 def
例如：ε(t )是功率信号； t ε(t )为非功率非能量信号; 3、典型信号 ① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R ② 正弦信号： ()sin()f t K t ωθ=+ 4、信号的基本运算 1) 两信号的相加和相乘 2) 信号的时间变化 a) 反转: ()()f t f t →- b) 平移: 0()()f t f t t →± c) 尺度变换: ()()f t f at → 3) 信号的微分和积分 注意：带跳变点的分段信号的导数，必含有冲激函数，其跳变幅度就是冲激函数的强度。正跳变对应着正冲激；负跳变对应着负冲激。 5、阶跃函数和冲激函数 （1）单位阶跃信号 t
傅里叶变换算法详细介绍.
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /***************************************************************************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。 /**************************************************************************************************/ 前言： “关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）
从傅里叶变换到快速傅里叶变换的基本实现方法
从傅里叶变换到快速傅里叶变换的基本实 现方法 傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将信号从时域转换为频域，从而实现信号的频谱分析和滤波等应用。然而，传统的傅里叶变换算法计算复杂度较高，对于大规模数据处理速度较慢。为了解决这个问题，快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）应运而生，它通过优化算法和技巧大大提高了傅里叶变换的计算效率。 本文将详细介绍傅里叶变换和快速傅里叶变换的基本原理和实现方法。 二、傅里叶变换的基本原理和实现方法 1. 傅里叶变换的基本原理 傅里叶变换是将一个信号分解为各个不同频率的正弦波成分，它基于以下数学理论：任何一个周期函数均可以表示为多个正弦波的叠加，而这些正弦波的频率是原函数周期的整数倍。 对于一个连续时间信号x(x)，傅里叶变换可以表示为： x(x) = ∫[−∞，+∞] x(x)x^(−xxx)xx 其中，x(x)表示在频域中信号的频谱，x为角频率。 2. 傅里叶变换的实现方法 对于连续时间信号，傅里叶变换可以通过积分来计算。但在实际应用中，我们常常处理的是离散时间信号，因此需要使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）来处理。离散傅里叶变换的基本公式为： x(x) = ∑[0，x−1] x(x)x^(−x2xxx/x) 其中，x(x)表示在频域中信号的频谱，x为信号的长度，x(x)为离散时间信号，x为频谱中的频率索引。 在实际编程实现过程中，可以使用时域和频域的互换性质，通过离散傅里叶变换的逆变换和正变换计算来实现傅里叶变换。 三、快速傅里叶变换的基本原理和实现方法 1. 快速傅里叶变换的基本原理 快速傅里叶变换利用信号的对称性和周期性，减少计算复杂度。它将离散傅里叶变换的计算复杂度从O(x^2)降低到O(x log x)，大大提高了计算效率。 2. 快速傅里叶变换的实现方法 快速傅里叶变换主要分为两种实现方法：基于蝶形运算和基于矩阵运算。 基于蝶形运算的快速傅里叶变换算法通过迭代的方式将信号的长度逐步二分，并在每一步中对频谱进行分解和合并，最终得到完整的频谱。 基于矩阵运算的快速傅里叶变换算法通过将信号的长度进行质因数分解，将傅里叶矩阵分解为一系列更小的矩阵的乘积。通过逐步进行矩阵运算，即可得到信号的频谱。 这两种方法在计算效率上都大大优于传统的傅里叶变换算法，具体选择何种方法取决于具体应用场景和计算资源。 本文从傅里叶变换的基本原理开始，介绍了傅里叶变换的实现方法，并详细阐述了快速傅里叶变换的基本原理和实现方法。通过使用快速傅里叶变换算法，可以提高信号频谱分析和滤波等应用的计算效率，从而更好地理解和处理复杂信号。 然而，快速傅里叶变换算法本身也存在一定的局限性，例如对于非2的幂次的信号长度处理会导致计算效率下降。因此，在实际应用中需要综合考虑具体场景和算法的特性，选择
matlab自修课程设计报告(matlab实现傅立叶变换)
ｍatlaｂ实现信号的傅立叶变换 一、设计目的 １．熟悉和掌握ｍａｔlａb的基本使用方法，能够熟练运用matlab。 ﻩ2.巩固信号与系统中的傅立叶变换内容，加深对这部分内容的理解。 二、设计任务 ﻩ1.掌握matlａb的基本操作。 ２.利用ｍatlab实现典型非周期信号的傅立叶变换，画出信号的时域图和频域图。 3.利用ｍatlab实现傅立叶变换的基本性质。 三、设计原理 １．matlab简介 MＡTLAB是MathWorｋs公司推出的一套高性能的数值计算和可视化软件,经过多年大量的、坚持不懈的改进，现在ＭATＬAB已经更新至7.x版。ＭATLＡB集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体,构成了一个方便的、界面友好的用户环境。在这个环境下，对所要求解的问题,用户只需简单地列出数学表达式,其结果便以人们十分熟悉的数值或图形方式显示出来。 MATLAB可用来解决实际的工程和数学问题,其典型应用有:通用的数值计算,算法设计,各种学科(如自动控制、数字信号处理、统计信号处理)等领域的专门问题求解。MATLAB语言易学易用,不要求用户有高深的数学和程序语言知识，不需要用户深刻了解算法及编程技巧。MＡTLＡB既是一种编程环境，又是一种程序设计语言。这种语言与C、FORTRAＮ等语言一样,有其内定的规则,但MAＴLAB的规则更接近数学表示。使用更为简便，可使用户大大节约设计时间，提高设计质量。 2.mａtlab2013b基本界面介绍 matlａb2013b主界面窗口基本分为五个部分： 1）主菜单界面 在此界面我们只需要用到新建命令文件和对程序进行间断调试的功能 ２）文件查看窗口，双击可快速打开文件
离散傅里叶变换和快速傅里叶变换
实验报告 课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：__________________ 实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名： 第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 一、实验目的 1.1掌握离散傅里叶变换（DFT ）的原理和实现； 1.2掌握快速傅里叶变换（FFT ）的原理和实现，掌握用FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 1.3 会用Matlab 软件进行以上练习。 二、实验原理 2.1关于DFT 的相关知识 序列x (n )的离散事件傅里叶变换（DTFT ）表示为 n j n j e n x e X Ω-∞ -∞ =Ω ∑= )()(， 如果x (n )为因果有限长序列，n =0,1,...,N-1，则x (n )的DTFT 表示为 n j N n j e n x e X Ω--=Ω ∑=1 )()(， x (n )的离散傅里叶变换（DFT ）表达式为 )1,...,1,0()()(21 -==--=∑N k e n x k X nk N j N n π， 序列的N 点DFT 是序列DTFT 在频率区间[0,2π]上的N 点灯间隔采样，采样间隔为2π/N 。通过DFT ，可以完成由一组有限个信号采样值x (n )直接计算得到一组有限个频谱采样值X (k )。X (k )的幅度谱为 )()()(22 k X k X k X I R +=，其中下标R 和I 分别表示取实部、虚部的运算。X (k )的相位谱为 ) () (arctan )(k X k X k R I =ϕ。 离散傅里叶反变换（IDFT ）定义为 )1,...,1,0()(1)(21 -== ∑-=N n e k X N n x nk N j N n π。 2.2关于FFT 的相关知识 快速傅里叶变换（FFT ）是DFT 的快速算法，并不是一个新的映射。FFT 利用了n N j e π2-函数的周期性 和对称性以及一些特殊值来减少DFT 的运算量，可使DFT 的运算量下降几个数量级，从而使数字信号处 装 订 线
第6章 傅里叶光学基础-a
目录 第6章傅里叶光学基础 §6.1数学基础知识和傅里叶变换的基本概念 (2) §6.2光波的傅里叶分析 (8) §6.3平面波角谱理论 (14) §6.4透镜的傅里叶变换 (18) §6.5阿贝成像原理 (1) §6.6光全息术 (1)
第6章傅里叶光学基础 傅里叶变换是现代科学技术研究中的十分重要的数学工具，在信息科学技术领域（例如电子，通信，自动控制，生物医学）中有着广泛的用途。特别是在现代光学研究中，由于傅里叶分析（频谱分析）方法的引入，逐渐形成了现代光学的一个重要分支----傅里叶光学。 尽管傅里叶光学采用了和经典光学完全不同的思想方法和解析方法，即空间频谱的分析方法，但是其物理内容和所研究的对象仍然是有关光波的传播、分解与叠加（干涉，衍射，偏振）和光学系统成像的规律，只不过，由于傅里叶分析方法的引入，使得对上述现象的本质和内在规律有了更为深入的了解。并且，在激光和光电子技术的推动下，开辟了许多新的应用领域。 §6.1数学基础知识和傅里叶变换的基本概念为了能够较深入地理解和掌握傅里叶光学的解析方法和思想方法，以便熟练地应用这种新的分析方法来研究各种具体的光学过程及现象，本节将集中介绍与傅里叶光学有关的数学基础知识和物理概念。 在现代光学中，常用各种非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。因此，熟悉这些函数的定义和性质，对于分析问题和解决问题具有十分重要的意义。 6.1.1 一些常用函数 一些常用函数及其在光学中的应用如下：
6.1.2 傅里叶级数的定义 一个周期性函数()g x ，周期为T ，它满足狄里赫利条件（函数在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点），则()g x 可以展开为三角傅里叶级数 0122()cos sin 2n n n a nx nx g x a b T T ππ∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∑ (6-1) 其中傅里叶系数 /2 0/22 ()T T a g x dx T -=⎰ /2/222()cos T n T nx a g x dx T T π-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ /2/222()sin T n T nx b g x dx T T π-⎛⎫= ⎪⎝⎭ ⎰ 应用欧拉公式，可将傅里叶级数展开式(6-1)改写为 011212()()exp ()exp 222n n n n n a nx nx g x a jb j a jb j T T ππ∞=⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∑ (6-2) 令002a c =，1()2n n n c a jb =-，*1()2 n n n n c c a jb -==+ 于是，式(6-1)的傅里叶级数可以表示为复指数函数的形式 ()exp 2n n n g x c j x T π∞ =-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ (6-3) 其中傅里叶系数为 /2/211()()exp 22T n n n T n c a jb g x j x dx T T π-⎛⎫=-=- ⎪⎝ ⎭⎰ (6-4) 将周期T 的倒数1T 称为函数()g x 的基频，表示为1T μ∆=，而n n T μμ==∆称为()g x 的谐频，或简称为频率。如果()g x 是时间函数，则μ代表时间频率；如果()g x 是空间函数，则μ代表空间频率。式(6-1) 或式(6-3)表明，周期函数()g x 可以分解为一系列频率为μ，复振幅为n c 的谐波。反之，若将各个谐波线性叠加，则可以 精确地综合出原函数()g x 。