湘教版一元二次方程测试题
一元二次方程测试卷
班级：____________.姓名：_______________.得分：____________
一、填空：（每小题2分，共20分）
1、将方程3x 2=8x -2化为一元二次方程的一般形式为____________.
2、在22510x x m -+-=中，a=_________,b=________,c=___________。
3、当m________时，关于x 的方程()()
22220m x m x +++-=是一元二次方程。 4、一元二次方程x 2+2x-15=0的解是_________________。
5、将代数式x 2+6x+5配方得 。
6、若x=2是方程x 2+ax+1=0的解，则a= ;
7、方程()412=-x 的解为
8已知方程230x x k -+=有两个相等的实根，则k =
9、已知代数式x (x +5)与代数式x +8的值互为相反数，则x = .
10、若一个三角形的三边长分别为8和6，第三边长是一元二次方程x 2-16x +48=0，则此三角形的周长为 ____________________.
二、选择题（每小题3分，共30分）
11、下列方程中是一元二次方程的是 （ ） A 、()231
x x x +=+ B.2350x y -+= C.
0= D.()21x x x -=+
12、若一元二次方程ax 2+bx-c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a-b-c 的值是（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
13、已知一元二次方程(2x+1)(x －1)=0的解是（ ）
A 、1
B 、12-
C 、1或-2 （
D ）1或12
- 14、方程2680x x -+=左边配方后可得方程是 （ ） A 、
()2910X --= B 、()2910X -+= C 、()2310X --= D 、()2310
X -+=
15、下列方程有两个不相等的实数根是 （ ） A 、2450X X +-= B 、2210X X -+=
C 、2(1)0X -=
D 、2474X X +=-
16、方程22320x x +-=的两根为 （ ）
A 、121,22x x ==
B 、121,22
x x =-=- C 、121,22x x ==- D 、121,22
x x ==- 17、一元二次方程2210x x ++=的根的情况是( )
(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根
(C)没有实数根 (D)不能确定
18、若关于x 的一元二次方程21202
mx x -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．m<2
B ．m>-2
C ．m>2
D ．m<-2
19、某商品原价200元，连续两次提价a ％后售价为280元，下列所列方程正确的是（ ）
A ：200(1+a%)2=280
B 、200(1－a%)2=280
C 、200+200 a ％=280
D 、200+2×200 a ％=280
20、九年级（1）数学兴趣小组在中秋节这一天人人相互送一个月饼，共用90个月饼，九年级（1）数学兴趣小组有（ ）人。
A 、7；
B 、8；
C 、9；
D 、10
三 解答题（21题12分、22、23题7分、24、25、26题8分）
21、根据要求解下列方程。（每小题3分，共12分）
（1）、2(1)3(1)x x x -=- （用因式分解法）；（2）()2
3327x +=（用直接开平方法）
（3）、212130x x --=（用配方法）；（4）241250x x ++=（用公式法）
22、14、若关于x的方程x2+2（k-1）x+k2=0有实数根，求k的取值范围。（7分）
23、跳水运动员从10米高台跳水，他所在的高度很h（m）与所用时间t（s）的关系是h= -5（t-2）（t+1），求该运动员从起跳到入水所用的时间是多少秒？（7分）
24、20、现用一张长20cm，宽16cm的长方形铁片制作一个无盖长方体容器，制作时需要在四个角上各挖出一个正方形铁片，然后把各边向上焊折起，若容器的底面积为96cm2。求小正方形的边长；（8分）
26、一超市销售某品牌的牛奶，进价为每盒1.5元，售价为每盒2.2元，每天可
售5000盒，若每盒降价0.1元，则可多卖2000盒，要使每天盈利4500元，问该超市应如何定价？（8分）
新湘教版数学九年级上册一元二次方程测试题
一元二次方程测试题 姓名: 总分：120分 成绩: 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分) 1．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为( ) A.ax 2+bx+c ＝0 B.x ＋y ＝2 C ． x ２ +３y ﹣５=0 D.?x ２ ﹣1=０ 2．将一元二次方程２ｘ2＋7=９x 化成一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( ) ?A ．２，9 B. 2,7 C.?2，﹣9 D ．2?x ２ ,﹣９x 3．用配方法解方程ｘ２ ＋１0x+９=0，配方后可得( ) Ａ．（ｘ＋5）2＝16?B ．?（ｘ+５)2=１ C ．?(x+10)2=9１ D ．?(x+10）2=１0９ 4.使分式2561 x x x --+ 的值等于零的x 是( ) Ａ．6 Ｂ.-１或6 Ｃ．－1 D.－6 ５.对于一元二次方程3ｙ2 +5y —1=０，下列说法正确的是（ ） A 、方程无实数根 B 、方程有两个相等的实数根 C 、方程有两个不相等的实数根 D 、方程的根无法确定 ６．下列一元二次方程两根均为负数的一元二次方程是（ ) Ａ．05x 12x 72 =+- B ．05x 13x 62 =-- Ｃ．05x 21x 42 =++? D ．08x 15x 22 =-+ 7.三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2﹣１３ｘ＋3６＝０的两根，则该三角形的周长为( ) A ．13? B ． 1５? C ．?１8?D. 13或１8 8．若关于x 的一元二次方程(ａ﹣1)x 2﹣2ｘ+2＝0有实数根，则整数a 的最大值为（ ） A.﹣1?B ． ０?C. 1 D.?2 9.已知关于x 的一元二次方程ｘ２ +ｍｘ＋n=0的两个实数根分别为x 1＝﹣２，x ２=４,则m+n 的值是( ） A ．﹣10 Ｂ． 10 C.?﹣６ D. 2 10．关于ｘ的方程ｋx 2 ＋3x-１＝0有实数根,则k 的取值范围是（ ） A 、k ≤-49 B 、k ≥-49 且k ≠0 C 、k ≥-49 D 、k ＞－49 且k ≠０ 11．某超市一月份的盈利100万元,第一季度的盈利80０万元．如果平均每月增长率为x ，则所列方程应为( ) A ．100（１+x)2=8００ B ．?１0０+100×2x ＝800 C ．１00+10０×3x=8００ D ．10０[1+（1+x ）+（1+x)2]=8０0 １2.若（x 2+y 2）(x ２＋ｙ２+6)＝７,则x 2+ｙ２ 的值是( ) A ．-１ B ．1 Ｃ.７ D ．－7 二.填空题(共８小题,每小题3分,共２４分) 11．关于x 的方程5)3(7 2 =---x x m m 是一元二次方程，则m 应满足条件是 . 12.已知x =-1是方程012 =++mx x 的一个根,则m = ． 13.已知x= 时,代数式x 2－ｘ+1与代数式x+４的值相等。 14.关于x 的一元二次方程x 2+ａ=0没有实数根,则实数a 的取值范围是 . 15．整式x 2+3x +4的最小值是 ． 16.如图，矩形花草区,其长为40ｍ，宽为２６m ，其间有三条等宽的路,要使花草的面积为864m 2,设路的宽度为ｘ 米,则可列方程为 . 1７.已知一元二次方程032)1(2 =+++-k kx x k 有两个不相等的实数根，则k ． 18．某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙（墙长2５ｍ），另外三边用木栏围成,木栏长40ｍ.若养鸡场面积为２00m 2,求鸡场靠墙的一边长为 . 三.解答题(共8小题,共6６分） 19.（8）已知关于x 的方程（ｍ2﹣1）x 2﹣(m ﹣1）ｘ+m=0. （１）m 为何值时，此方程是一元二次方程? (2）若x=1是方程的解,求m 的值。 ２0．(２4分）运用适当的方法解方程： (１）2（ｘ﹣3)2=８ (２)４x 2﹣6x ﹣3=０ (3）(2x ﹣３）２ =5(２ｘ﹣３) (4)（x+8)(x ＋1）=﹣1２ 21．(10分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ＋2)ｘ+2k=0. （1)若ｘ=１是这个方程的一个根,求ｋ的值和它的另一根； (2)对于任意的实数k ，判断原方程根的情况,并说明理由. 22.（8分）已知：x １、x 2是关于ｘ的方程x 2+（2ａ-1）x ＋a ２ ＝０的两个实数根,且(x １+２）(x 2+２）=１1,求a 的值． 23.(１０分）已知x 1,ｘ２是一元二次方程（a ﹣6)ｘ２ +2a ｘ+a=0的两个实数根,是否存在实数ａ,使x 1x 2﹣ｘ1=4+ｘ2成立?若存在，求出a 的值；若不存在,请你说明理由． 24.(10分)据某市车管部门统计，2008年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2010年底,全市的汽车拥有量已达２16万辆,假定汽车拥有量年平均增长率保持不变. （1）求20０９年底该市汽车拥有量；
鲁教版初三数学下册第八章《一元二次方程》-单元测试题(一)含参考答案.doc
学习必备 欢迎下载 鲁教版初三数学下册《一元二次方程》 单元测试题（一）含参考答案 一、选择题 (每题 3 分，计 30 分 ) 1．下列方程中，一元二次方程共有（ ）．A ． 2个 B ．3 个 C ．4 个 D ． 5个 ① 3x 2 x 20 ② 2x 2 3xy 4 0 ③ x 2 1 4 ④ x 2 1 ⑤ x 2 x 3 0 x 3 2．方程 2x( x 3) 5( x 3) 的根为（ ）． A ． x 5 B ． x 3 C ． x 1 5 , x 2 3 D ． x 1 5 , x 2 3 2 2 2 3．若方程 x 4 2 a 有解，则 a 的取值范围是（ ）． A ． a 0 B ． a C ． a 0 D ．无法确定 4．若分式 x 2 9 的值为零，则 x 的值为（ ）． A ． 3 B ．3 或-3 C ． 0 D ． -3 2x 6 5．用配方法将二次三项式 a 2+ 4a +5 变形，结果是（ ）． 2 B.(a +2) 2 2 2 A.(a –2) +1 +1 C.(a –2) -1 D.(a +2) -1 6．一元二次方程 x 2-x+2=0 的根的情况是（ ）． A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．无实数根 D ．只有一个实数根 7．已知一个三角形的两边长是方程 x 2-8x+15=0 的两根，则第三边 y 的取值范围是（ ）． A ．y<8 B ． 3 一、选择题 1、一元二次方程x2-4=0 的根是：A、x=2 B、x=-2 C、x=4 D、x=2，x=-2 （） 2、方程x2-8X+5=0的左边配方成一个完全平方式后，所得的方程是：（） A、（x-6）2=11 B、（x-4）2=11 C、（x-4）2=21 D、（x-4）2=16 3、下列方程有两个相等实数根的是：（） A、x2+4X+35=0 B、x2+1=2X C、4x2+7X=3 D、-（x-1）2=-1 4、已知一元二次方程x2-10x+9=0 的两个根是x1，x2，那么x1+x2等于：（） A、9 B、-9 C、10 D、-10 5、把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，所得的长方形的面积比正方形的面积 增加14cm2，那么原来正方形的边长是：A、3cm B、5cm C、4cm D、6cm （） 6、某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润为25万元，若利润平均每月的 增长率为x，则依题意列方程为：A、25（1+x）2=82.75 . B、25+50x=82.75 C. 25+75x= 82.75 D. 25[1+(1+x) +(1+x)2]=82.75 （） 二、填空题 7、如果二次三项式x2-6x+m2是一个完全平方式，则m的值是____. 8、若x2-a=0 有实数根，则a的取值范围是___________. 9、某工厂计划经过两年的时间将某种产品的产量从每年的144万台提高到169万台，则每 年的平均增长率是_____. 10、若x=2是方程x2-ax+1=0 根，则a=___________. 11、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了促销，商场决定降 价销售，经调查发现若每件降价5元，那么商场平均每天可多销10件，若设每件降价x 元，则每件利润为______________.元，平均每天能销售衬衫_______________.件；每天的利润为____________________元。 12、三角形两边的边长分别为8和6，第三边长是一元二次方程x2-16X+48=0 的一个实数根， 则三角形的周长是______________________。 三、解答题13、用应当的方法解下列方程 （1）、x2+6X+5=0 （2）x2-8X-20=0 （3）3x（2x- 5）=10- 4x （4）x2+6X+7=0 （5）X2=6X-9 （6）x2+2x-3=0 14、若关于x的方程x2+2（k-1）x+k2=0有实数根，求k的取值范围。 7.1 二元一次方程组 ●教学目标 (一)教学知识点 1．体会方程是刻画现实世界的有效数学模型． 2．二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念． (二)能力训练要求 1．通过分析实际问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的数学模型．2．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解． (三)情感与价值观要求 1．体会方程的模型思想，培养学生良好的数学应用意识． 2．通过对学生熟悉的传统内容(如鸡兔同笼)的讨论，激发学生学习数学的兴趣． ●教学重点 1．通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效模型． 2．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解． ●教学难点 1．探索实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组． 2．判断一组数是不是二元一次方程组的解． ●教学方法 学生自主探索——教师引导的方法． 学生已具备了列一元二次方程解决实际问题的经验基础．在教学中，教师可引导学生思考列二元一次方程时，如何寻求等量关系，放手让学生经过自主探索列出二元一次方程组． ●教具准备 投影片三张： 第一张：老牛和小马的对话(记作§7.1 A)； 第二张：“希望工程”义演(记作§7.1 B)； 第三张：做一做(记作§7.1 C)． ●教学过程 Ⅰ．创设情境，引入新课 ［师］小学时，我们就解答过著名的“鸡兔同笼”的问题，如“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”谁能用我们学过的知识来解答一下呢？ ［生］解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，根据题意，可得： 2x+4(35－x)=94 解得x=23 ∵35－x=35－23=12 答：鸡有23只，兔有12只． ［生］不用方程也可以解答： 如果让每只鸡都抬起一条腿，让每只兔子都抬起两条腿，即让它们表演“优美动人”的“金鸡独立”和“玉兔拜月”，这样它们一共抬起了94÷2=47条腿，并且只有47条腿着地了．接着让鸡飞上蓝天，让兔练习“金鸡独立”，也就是每只兔子只有一只腿着地，这样着地的腿数又减少了35条，而只有47－35=12条腿着地了，并且有一条腿着地，就有一只兔子，所以应该有12只兔子，35－12=23只鸡． ［师］这两位同学解答“鸡兔同笼”的问题都非常精彩，特别是第二位同学．我们用掌声鼓励他们．接下来，老师说一种新的思路．在上面“鸡兔同笼”的问题中，我们会发现它有两个等量关系：鸡的只数+兔子的只数=35；鸡的腿数+兔子的腿数=94．如果我设鸡有x只，兔子有y只，这时我们就得到了方程x+y=35和2x+4y=94． 这节课我们就来学习这样的方程及由它们组成的方程组． Ⅱ．讲授新课 出示投影片(§7.1 A)，并讨论回答下列问题． 墙xm 5m 3m x x 《一元二次方程》精品教案 姓名： 学习目标：1、正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2、知道一元二次方程的一般形式)0(02 ≠=++a c bx ax 和各项及系数，常数 项。 一、自学解决问题： 问题1：正方形的面积是22cm ，求它的边长。 问题2：如图矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m,如果花 圃的面积是242m ，求花圃的长和宽. 问题3：如图梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m,如果梯子底端向右 滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离. 二、自学、互助：观察归纳 观察上面所列的方程，讨论它们与我们所学的一元一次方程有什么异同？ 1、一元二次方程的概念： 2、认识一元二次方程需从几个方面去考虑： 3、一元二次方程的一般形式： 其中c bx ax 、、2分别叫________、_______和_____，b a 、分别叫做________和 ________ 4、确定是否是一元二次方程需要注意什么？ 5、（1）当0,0==c b 时，方程)0(02≠=++a c bx ax 的形式为__________； （2）当0,0≠=c b 时，方程)0(02≠=++a c bx ax 的形式为__________。 它们是一元二次方程吗？ 三、练习尝试： 1、已知方程m x m x m m 4)3()2(2 =+--。 （1）当m 为何值时，此方程为一元一次方程；（2）当m 为何值时，此方程为一 元二次方程。 四、收获与存在的问题： 1.1当堂检测 姓名__________得分 ___________ 1、下列方程中是一元二次方程的是 （ ） A.023=-x x B.02=++c bx ax C.()()03213=+-x x D.()()()()1172-+=-+x x x x 2、若一元二次方程02=++c bx ax 的一个根为-1，则 （ ） A.0=++c b a B.0=+-c b a C.0=+--c b a D.0=++-c b a 3、方程()()131122-=+-x x x 中二次项系数、一次项系数和常数项分别是 （ ） A.1,-3,1 B.-1,-3,1 C.-3,3,-1 D.1,3,-1 4、方程()1232 +=--x x x 化为一般形式是_______ _________， 其中二次项是______ ____,一次项系数__________,常数项__________. 5、若关于x 的一元二次方程062242=----a ax ax x 常数项为4，则一次项系 数________。 6、根据题意，列出方程： 剪出一张面积是2402cm 的长方形彩纸，使它的长比宽多8cm ，这张彩纸的长是 多少？ 7.1一元二次方程教学设计教学任务分析 教学目标知识技 能 1、理解一元二次方程的概念. 2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系 数及常数项. 教学思考 1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题 及解决问题的能力. 2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性 和深刻性. 3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学 生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的 能力. 解决问题 在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一 元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工 具，增加对一元二次方程的感性认识. 情感态度 1、培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识. 2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识. 重点一元二次方程的概念及一般形式. 难点 1、由实际问题向数学问题的转化过程. 2、正确识别一般式中的“项”及“系数”. 教学流程安排 活动流程图活动内容和目的 活动1 创设情境引入新课活动2 启发探究获得新知 活动3 运用新知体验成功 活动4 归纳小结拓展提高 活动5 布置作业分层落实复习一元一次方程有关概念；通过实际问题引入新知。 通过类比一元一次方程的概念和一般形式，让学生获得一元二次方程的有关概念。 巩固训练，加深对一元二次方程有关概念的理解。 回顾梳理本节内容，拓展提高学生对知识的理解。 分层次布置作业，提高学生学习数学的兴趣。 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图「活动1」 问题1： 20XX年奥运会将在北京举办，许多大学生都希望为奥运奉献自己的一份力量。现组委会决定对高校奥运志愿者进行分批培训，由已合格人员培训第一轮人员，再由前面所有合格人员培训第二轮人员,以此类推来完成此次培训任务。 某高校学生李红已受训合格，成为一名志愿者，并由她负责培训本校志愿者。若每轮培训中每个志愿者平均培训x人。 (1)已知经过第一轮培训后该校共有11人合 通过多媒体 播放视频短片,引 入情境,提出问题. 在第(1)问中,通过 教师引导,学生列 出方程,解决问题. 在第(2)问 中,遵循刚才解决 问题的思路,由学 生思考,列出方程. 活动中教师 应重点关注: 通过创设情 境,引导学生复 习一元一次方程 的概念和一般形 式,为后面学习 一元二次方程的 有关内容做好铺 垫. 通过解决实 际问题引入一元 二次方程的概 念,同时可提高 学生利用方程思 想解决实际问题 2019-2020年九年级数学上册第2章一元二次方程2.1一元二次方程 作业新版湘教版 一、选择题 1．下列关于x 的方程：①ax 2＋bx ＋c ＝0；②3(x －9)2－(x ＋1)2 ＝1；③x ＋3＝2x ；④(x －1)(x ＋2)＝1.其中一元二次方程的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．关于x 的方程ax 2 －3x ＋2＝x 2 是一元二次方程，则a 的取值范围为( ) A ．a ≠0 B．a ＞0 C ．a ≠1 D．a ＞1 3．xx·衡阳中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民xx 年年人均收入200美元，预计xx 年年人均收入将达到1000美元，设xx 年到xx 年该地区居民年人均收入平均增长率为x ，可列方程为( ) A ．200(1＋2x )＝1000 B ．200(1＋x )2 ＝1000 C ．200(1＋x 2 )＝1000 D ．200＋2x ＝1000 二、填空题 4．方程2x 2＝3(x －6)化为一般形式为__________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________． 5．当m ＝________时，方程(m －2)xm 2 －2＋2mx ＋3＝0是关于x 的一元二次方程． 三、解答题 6．下列方程是不是一元二次方程？若是，请指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)x 2 ＋1＝2x ；(2)－2＝3x 2 ；(3)x (2x －1)＝x ；(4)2(x ＋1)(x －1)＝2x 2 －4x . 7．根据题意列方程： (1)剪一块面积为150 cm2的长方形铁皮，使它的长比宽多5 cm.设铁皮的宽为x cm，请列出满足题意的方程． (2)一个数比另一个数小3，且这两数之积为6，求这两个数．设其中较小的一个数为x，请列出满足题意的方程． (3)为了庆祝某节日，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了45场比赛．如果设这次有x支队参加比赛，列出满足题意的方程． 苏教版九年级上册一元二次方程2019中考真题 一、单选题（共10题；共20分） 1.若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且＝﹣，则m等于（） A. ﹣2 B. ﹣3 C. 2 D. 3 2.关于x的一元二次方程（k为实数）根的情况是（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定 3.能说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例为（） A. m=-1 B. m=0 C. m=4 D. m=5 4.若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（） A. B. C. D. 5.用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（） A. (x-3)2=17 B. (x-3)2=14 C. （x-6)2=44 D. (x-3）2=1 6.用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（）． A. B. C. D. 7.用配方法解方程，变形后的结果正确的是( ) A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为（）A. 0 B. C. 1 D. 9. 若，，则以，为根的一元二次方程是（） A. B. C. D. 10.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A. B. C. D. 二、填空题（共10题；共14分） 11.在的括号中添加一个关于的一次项，使方程有两个相等的实数根________ 12.一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是________. 13.设是方程的两个根，则. 14.关于的一元二次方有两个相等的实数根，则的取值为________. 15.已知是关于的方程的两个不相等实数根，且满足 ，则的值为________. 16. 一元二次方程的根是________. 17.你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程即 为例加以说明.数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是： 构造图（如下面左图）中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方 形的面积，即，据此易得.那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的 小正方形网格格点上）中，能够说明方程的正确构图是________.（只填序号） 18. 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围________. 19.如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是________. 20.若关于x 的一元二次方程2x2-x+m=0 有两个相等的实数根，则m 的值为________． 三、计算题（共3题；共15分） 21.用配方法求一元二次方程的实数根． 22.解方程：x2+6x=-7 23.解方程：2x2﹣x﹣3=0． 四、综合题（共8题；共80分） 24.已知关于x的方程x2-2x+2k-1=0有实数根. （1）求k的取值范围； （2）设方程的两根分别是x1、x2，且，试求k的值. 《一元二次方程》跟踪练习 一. 选择题 1. 如果(a －1)x 2＋ax ＋a 2－1＝0是关于x 的一元二次方程，那么必有（ ） A. a ≠0 B. a ≠1 C. a ≠－1 D. a ＝±－1 2. 某种产品原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本 ，现在的成本是81元，设平均每次降 低成本的百分率为x ，则所得方程为（ ） A. 100(1＋x)2＝81 B. 100(1－x)2＝81 C. 81 (1－x)2＝100 D. 81(1＋x)2＝100 3. 若a －b ＋c ＝0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 4. 若ax 2－5x ＋3＝0，是一元二次方程，则不等式3a ＋6>0的解集是（ ） A. a>－2 B. a<－2 C. a>－2且a ≠0 D. a< 12 5. 一元二次方程3x 2－2x ＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3,2,1 B. 3,－2,1 C. 3,－2, －1 D. －3,2,1 二. 填空题： 6. 关于x 的一元二次方程(ax －1)(ax －2) ＝x 2－2x ＋6中，a 的取值范围是 7. 已知关于x 的方程mx |m －2|＋2(m ＋1)x －3＝0是一元二次方程，则m ＝ 8. k 为何值时，(k 2－9)x 2＋(k －5)x －3＝0不是关于x 的一元二次方程？ 9. 已知09|25|2=+++-b a a ，关于x 的方程ax 2＋bx ＝5x 2－4是一元二次方程，则5x 2＋2x －1＝ 三. 解答题： 10. k 为何值时，(k 2－1)x 2＋(k ＋1)x －2＝0；（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？ 11. 已知一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且a 、b 满足等式 的根求方程0c y 41,3a 22a b 2=---+-= 12. 根据题意列出方程 （1）长5m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m ，如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶 端向下滑动的距离相等，设为xm ，求梯子滑动的距离。 （2）已知，矩形花园一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m ，如果花园的面积是24m 2，求花 园的长和宽。 （3）有n 支球队参加排球联赛，每队都与其余各队比赛2场，联赛的总场次为132次，问共有多少 支球队参加联赛？ （4）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台，求每年的增长率x 是 多少？ 《一元二次方程》基础练习 积累●整合 1、下列方程一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．ax 2+bx+c=0 B ．m 2x+5m+6=0 C ．4 2x 3－33x －1=0 D ．（k 2+3）x 2+2x －3=0 2、一元二次方程x 2－2（3x －2）+（x+1）=0的一般形式是（ ） A ．x 2－5x+5=0 B ．x 2+5x －5=0 《一元二次方程》教案 教学目标： 知识与技能目标 1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义； 2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项． 过程与方法目标 1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性． 情感与态度目标 由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识． 教学重、难点： 重点：一元二次方程的意义及一般形式． 难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”；判定一个数是否是方程的根. 教学过程: 一、创设问题情境 1．用电脑演示下面的操作：一块长方形的薄钢片，在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，就成为一个无盖的长方体盒子，演示完毕，让学生拿出事先准备好的长方形纸片和剪刀，实际操作一下刚才演示的过程．学生的实际操作，为解决下面的问题奠定基础，同时培养学生手、脑、眼并用的能力． 2．现有一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在每个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，那么应该怎样求出截去的小正方形的边长？ 教师启发学生设未知数、列方程，经整理得到方程x2-70x+825=0，此方程不会解，说明所学知识不够用，需要学习新的知识，学了本章的知识，就可以解这个方程，从而解决上述问题． 学生看投影并思考问题 二、探究新知 1．复习提问 (1)什么叫做方程？曾学过哪些方程？ (2)什么叫做一元一次方程？“元”和“次”的含义？ (3)什么叫做分式方程？ 2．引例：剪一块面积为150cm2的长方形铁片使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？ 墙xm 5m 3m x x 《一元二次方程》教案 教学目标：1、正确理解一元二次方程意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程； 2、知道一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax 和各项及系数，常数项。 教学重点：通过实际问题情境，用建模思想列出方程，体会一元二次方程的定义及意义。 教学难点：理解并会用一元二次方程一般形式中0≠a 这一条件 教学过程： 一、情境创设： 问题1：正方形的面积是22cm ，求它的边长。 问题2：如图矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m,如果花 圃的面积是242m ，求花圃的长和宽. 问题3：如图梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3m,如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离. 二、自学：观察归纳 观察上面所列的方程，讨论它们与我们所学的一元一次方程有什么异同？ 一元二次方程的概念：只含有______未知数，且未知数的最高次数是______的______方程叫一元二次方程。 注：认识一元二次方程需从以下几个方面去考虑： （1）只含有一个未知数；（2）未知数最高次数2；（3）方程是整式方程； （4）有的方程要整理后才能判断是否是一元二次方程。 三、互助探究： 1、一元二次方程的一般形式 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成c b a c bx ax 、、(02=++是常数0a ≠）的形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中c bx ax 、、2 分别叫_________、________和______，b a 、分别叫做_________和_________。 注意：（1）二次项系数0a ≠；（2）方程化为一般形式后才能确定二次项、一次项、常数项。 一元二次方程专题复习（三） 温故知新： 1、一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫 做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2、根的判别式 1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）?=ac b 42 - （2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ） ①当? ??≥?≠时00a ?方程有实数根； （当?? ?>?≠时00a ?方程有两个不相等的实数根；当???=?≠时 00a ?方程有两个相等的实数根；） ②当? ?? 知识梳理： 列一元二次方程解应用题的一般步骤如下： （1）审题：读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系 （2）设元：就是设未知数，根据题意，选择适当的未知量，并用字母（X)表示出来，设元又分直接设元和间接设元 （3）列方程：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意的一元二次方程 （4）解方程：求出所列方程的解 （5）验根：检验未知数的值是否符合题意 （6）写出答案。 解应用题常见类型 常见类型 1、传播问题 ①有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ ②某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 4.7一元二次方程的应用（1） 学习目标：1.能根据题意找出正确的等量关系. 2.能正确的列出一元二次方程解决实际问题. 学习过程： 前面我们学习过了一元一次方程、分式方程，并能用它们来解决现实生活与生产中的许多问题，同样，我们也可以用一元二次方程来解决一些问题。 想一想，列方程解应用题的关键是什么？ 一、自主学习 例1.如图，将一根为64cm的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形，如果两个正方形的面积的和等于160平方厘米，求两个正方形的边长。 分析：这个问题中的等量关系是： 解： 例2.某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵数有关。当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元。以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元。要使每盆的盈利增加10元，每盆应当种植该花卉多少棵？ 二.对应练习 1.天全村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室。要求长宽的比为3:1,。在温室内，沿前后两侧内墙各留3m宽的空地放置工具，其他两侧内墙各留1 m的通道。当矩形温室的长与宽多少时，蔬菜种植区的面积是300平方米？ 2.矩形ABCD的边AB=200cm,O为AB的中点，O E⊥AB交CD于点E.质点P从点A出发，以2cm/s 的速度沿AB向点B运动；另一质点Q同时从点O出发，以3cm/s的速度沿OE向点E运动。经过多少秒时，⊿OPQ的面积为1800平方厘米？ 三、当堂检测 1.两个实数的和是10，积是-75，求这两个数. 2. 如图，道路AB与BC分别是东西方向和南北方向，AB＝1000m.某日晨练，小莹从点A出发，以每分钟150m的速度向东跑；同时小亮从点B出发， 以每分钟200m的速度向北跑，二人出发后经过几分钟，他们之间的直线距离仍然是10002 m？ 教学反思： A 苏教版窗初三数学一元二次方程知识点整 合 一、定义和特点 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：ax的平方 +bx+c=0(ane;0)，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax的平方+叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c 叫做常数项。 二、方程起源 古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年(2000 BC)古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约西元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。西元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。 7世纪印度的婆罗摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得 用使用代数方程，它同时容许有正负数的根。 11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求 方程的正数解。亚伯拉罕巴希亚(亦以拉丁文名字萨瓦索达 著称)在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。 据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是(引自婆什迦罗第二)： 在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍; 在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方; 在方程的两边同时开二次方。 三、性质 方程的两根与方程中各数有如下关系：x1+x2= -b/a，x1 x2=c/a(也称韦达定理) 方程两根为x1，x2时，方程为：x+(x1+x2)X+x1x2=0(根据韦达定理逆推而得) b-4acgt;0有2个不相等的实数根，b-4ac=0有两个相等的实数根，b-4aclt;0无实数根。 一元二次方程的一般解法有以下几种： 配方法(可解部分一元二次方程) 公式法(在初中阶段可解全部一元二次方程，前提： △ge;0) 因式分解法(可解部分一元二次方程) 直接开平方法(可解全部一元二次方程) 一元二次方程测试卷 班级：____________.姓名：_______________.得分：____________ 一、填空：（每小题2分，共20分） 1、将方程3x 2=8x -2化为一元二次方程的一般形式为____________. 2、在22510x x m -+-=中，a=_________,b=________,c=___________。 3、当m________时，关于x 的方程()() 22220m x m x +++-=是一元二次方程。 4、一元二次方程x 2+2x-15=0的解是_________________。 5、将代数式x 2+6x+5配方得 。 6、若x=2是方程x 2+ax+1=0的解，则a= ; 7、方程()412=-x 的解为 8已知方程230x x k -+=有两个相等的实根，则k = 9、已知代数式x (x +5)与代数式x +8的值互为相反数，则x = . 10、若一个三角形的三边长分别为8和6，第三边长是一元二次方程x 2-16x +48=0，则此三角形的周长为 ____________________. 二、选择题（每小题3分，共30分） 11、下列方程中是一元二次方程的是 （ ） A 、()231 x x x +=+ B.2350x y -+= C. 0= D.()21x x x -=+ 12、若一元二次方程ax 2+bx-c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a-b-c 的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 13、已知一元二次方程(2x+1)(x －1)=0的解是（ ） A 、1 B 、12- C 、1或-2 （ D ）1或12 - 14、方程2680x x -+=左边配方后可得方程是 （ ） A 、 ()2910X --= B 、()2910X -+= C 、()2310X --= D 、()2310 X -+= 第三十课时二次函数与一元二次方程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2．了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间； 3．体验并理解函数与方程相互转化的 数学思想和数形结合的数学思想． 自学评价 1.二次函数的零点的概念 一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的根也称为二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的零点． 2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系 （1）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个不相等的实数根1x ，2x ?判别式0?>?对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有两个交点为()1,0x ，()2,0x ?对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个不同的零点1x ，2x ； （2）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个相等的实数根1x =2x ?判别式0?=?对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有唯一的交点为（1x ，0）?对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个相同零点1x =2x ； （3）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）没有实数根?判别式0? ∴一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根． 证法2 设2()237f x x x =+-， ∵函数的图象是一条开口向上的抛物线，且2(0)2030770f =?+?-=-<∴函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点，即一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根． 点评:例1还可用配方法将方程化为2365()416x +=再证明．也可仿照证法2，由抛物线开口向上及(1)23720f =+-=-<来推证． 例2：右图是一个二次函数()y f x =的图象． （1）写出这个二次函数的零点； （2）写出这个二次函数的解析式； （3）试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系． 【解】（1）由图象可知此函数的零点是：13x =-，21x =． 听课随笔 二次函数与 一元二次方程 函数的零点 二次函数的零点与对应 一元二次方程根的关系 函数的零点与 对应方程的关系 二次函数 的零点 一元二次方程四种常见题型 一元二次方程在初中代数中占有重要的地位，是进一步学好其它知识的基础，也是各类考试中必考内容之一，常见题型有如下四类： 一、 一元二次方程的有关概念 知识要点：1．一元二次方程满足的条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2；（4）系数不能为0．2．一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠，其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 典例分析： 例1下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是 （ ） A ．)1(2)1(32+=+x x B ．02112=-+x x C ．02=++c bx ax D ．1222-=+x x x 分析：根据一元二次方程需满足的条件可知，Ｂ中的未知数在分母中，是分式方程；Ｃ中二次项系数a 有可能为０；Ｄ整理后最高次项是一次，都不是一元二次方程，故选Ａ． 例2关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是为0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．–1 C ．1或–1 D ． 2 1 分析：由方程根的定义，将0x =代入原方程中，则原方程变为关于a 的一元二次方程． 解：.把0x =代入原方程中，得012=-a ，∴1a =±，∵10a -≠，即1a ≠，∴1a =-故应选B ． 评注：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，有时需要将其化简后再判断，如例1中的D ；（2）在求一元二次方程中的参数时，不要忽视二次项系数不等于0这一内含条件，如例2中10a -≠． 二、 一元二次方程的解法 知识要点：一元二次方程的一般解法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、-湘教版九年级上一元二次方程测试题
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