开放探究题(含答案)

开放探究题

开放探究题是一种新的题型, 关于开放题的概念，主要有下列几种描述：（1）答案不固定或者条件不完备的习题成为开放题；（2）具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题.

开放探究题的特点是：（1）条件多余需选择,条件不足需补充；（2）答案不固定；（3）问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法.

开放探究题常见的类型有：（1）条件开放型：即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；（2）结论开放型：即在给定的条件下，结论不唯一；（3）策略开放型：即思维策略与解题方法不唯一；（4）综合型：即条件、结论、策略中至少有两项均是开放的.

在解决开放探究题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.这类题主要考查我们分析问题和解决问题的能力和创新意识.

类型之一条件开放型问题

解这种类型的开放性问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

1. （郴州市）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可

判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．

2.（庆阳市）如下左图，D、E分别是A B C

△的边AB、AC上的点，则使

△的条件是．

△∽A B C

AED

类型之二结论开放型问题

解决这种类型的问题的时候要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维. 它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。

3.（滨州市）如上右图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），

在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC

交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；

③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_________（把你认为正确的序号都填上）。

4.（?梅州）如图，四边形ABCD是平行四边形．O是对角线AC的中点，过

点O的直线EF分别交AB、DC于点E、F，与CB、AD的延长线分别交于点G、H．

（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；

（2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的

线段，请选出其中一对加以证明．

5.（?常德市）如图，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．

（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？

（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明．

类型之三策略开放型问题

策略开放型也称为设计方案型，是指题目的条件和结论都已知或部分已知，需要探索解题方法或设计解题方案的一类试题；这种类型的开放性试题的处理方法一般需要模仿、类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决。策略开放性问题的解题方法一般不惟一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。

6.（盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

（3）若AC＝42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

类型之四综合型问题

这类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，并寻求解法的一类问题；它更具有开发性，能为我们提供宽松的思维环境，解这类题时，要求我们对课本知识特别熟悉并能灵活运用。

7．（大连市）点A、B分别是两条平行线m、n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC = kAB，连结AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF =∠A BC，EF交直线m于点F．

⑴如图1，当k = 1时，探究线段EF与EB的关系，并中以说明；

说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；

②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图2中补全图形，完成证明．

⑵如图3，若∠ABC = 90°，k≠1，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．

图1 图2 图3

参考答案

1.【解析】由90A B

C ∠=∠=∠=?可知四边形

ABCD 是矩形,再得到正方形方法有很多,比如邻边相等、对

角线互相垂直等。答案不唯一。

【答案】 AB=BC 或者BC=CD 或者CD=DA 或者DA=AB

2.【解析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两边对应成比例即可。 【答案】 AED

B

=∠∠，或A D E

C

=∠∠，或A D

A E A C

A B

=

3.【解析】由于A 、C 、E 三点共线可证明三角形ACD 与三角形BCE 全等（边角边）从而可证AD=BE 、∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CCBE+∠CEB =∠ACB= 60°，再证三角形ACP 全等于三角形BCQ ，从而可证AP=BQ ，PQ ∥AE 。如果DE=DP ，那么就会有DE=DP=EQ （三角形CEQ 全等于三角形CDP ）EQ=CE 因为∠DCE=60°，所以三角形CEQ 为等边三角形，矛盾。

【答案】（1）（2）（3）（5）

4.【解析】考察了相似的两种基本图形，平行四边形中利用全等三角形的简单证明.

【答案】（1） ?AEH 与?DFH ．（或?AEH 与?BEG ， 或?BEG 与?CFG ，或?DFH 与?CFG ） （2）OE =OF ．

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

AB ∴∥CD ，AO C O = E A O F C O ∠=∠∴，

A O E C O F ∠=∠∵， ∴△A O E ≌△C O F ， O E O F =∴．

5.【答案】解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④其中有两组（①③，②④）是相似的．

∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P 3

1=

（2）证明：选择①、③证明． 在△AOB 与△COD 中, ∵AB ∥CD, ∴∠CDB ＝∠DBA , ∠DCA ＝∠CAB, ∴△AOB ∽△COD 选择②、④证明.

∵四边形ABCD 是等腰梯形, ∴∠DAB ＝∠CAB, ∴在△DAB 与△CBA 中有 AD=BC, ∠DAB ＝∠CAB,AB=AB,

∴△DAB ≌ △CBA, ∴∠ADO ＝∠BCO.

又∠DOA ＝∠COB, ∴△DOA ∽△COB

6.【答案】：（1）①CF 与BD 位置关系是 垂直、数量关系是相等； ②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立． 由正方形ADEF 得 AD=AF ，∠DAF=90o．

∵∠BAC=90o，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC ， 又AB=AC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴CF=BD ∠ACF=∠ABD ．

∵∠BAC=90o， AB=AC ，∴∠ABC=45o，∴∠ACF=45o， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即 CF ⊥BD （2）画图正确 当∠BCA=45o时，CF ⊥BD （如图丁）．

理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG 可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o． 即CF ⊥BD （3）当具备∠BCA=45o时，

过点A 作AQ ⊥BC 交BC 的延长线于点Q ，（如图戊）

∵DE 与CF 交于点P 时， ∴此时点D 位于线段CQ 上， ∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x ， 容易说明△AQD ∽△DCP ，∴

C P C

D D Q

AQ

= ， ∴

44

C P

x x

=

-，2

2

1(2)1

4

4

x

C P x x ∴=-

+=-

-+．

∵0＜x ≤3 ∴当x=2时，CP 有最大值1．

7.【答案】（1）EF=EB．证明：如图，以E为圆心，以EA为半径画弧交直线m于点M,连结EM．

∴EM=EA, ∴∠EMA=∠EAM．

∵BC=Kab,k=1，∴BC=AB．

∴∠CAB=∠ACB．

∵m∥n，∴∠MAC=∠ACB, ∠FAB=∠ABC．

∴∠MAC=∠CAB．

∴∠CAB=∠EMA．

∵∠BEF=∠ABC, ∴∠BEF=∠FAB．

∵∠AHF=∠EHB, ∴∠AFE=∠ABE．

∴△AEB≌△MEF．

∴EF=EB．

探索思路：如上图，∵BC=Kab,k=1，∴BC=AB．

∴∠CAB=∠ACB．

∵m∥n，∴∠MAC=∠ACB．

添加条件：∠ABC=90°．

证明：如图，在直线m上截取AM=AB，连结ME．

∵BC=kAB,k=1，∴BC=AB．∵∠ABC=90°, ∴∠CAB=∠ACB=45°,

∵m∥n，∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°, ∠FAB=90°．

∵AE=AE, ∴△MAE≌△ABE．

∴EM=EB, ∠AME=∠ABE ．

∵∠BEF=∠ABC=90°, ∴∠FAB+∠BEF=180°． ∴∠ABE+∠EFA=180°,又∵∠AME+∠EMF=180°, ∴∠EMF=∠EFA ． ∴EM=EF ． ∴EF=EB ． (2)EF=

k

1EB ．

说明：如图，过点E 作EM ⊥m 、EN ⊥AB,垂足为M 、N ．

∴∠EMF=∠ENA=∠ENB=90°． ∵m ∥n ，∠ABC=90°, ∴∠MAB=90°．

∴四边形MENA 为矩形．∴ME=NA, ∠MEN=90°． ∵∠BEF=∠ABC=90°． ∴∠MEF=∠NEB ． ∴△MEF ∽△NEB ． ∴

.

EB EF EN

ME =∴

.EB

EF EN

AN =

在Rt △ANE 和Rt △ABC 中，tan ∠BAC=k ==AB

BC AN

EN ，

∴EF=k

1EB ．