教案直线的倾斜角

《直线的倾斜角与斜率》教学设计及教案

本节课选自高中数学《必修2》（普通高中课程标准实验教科书）第三章第一节第一节课。

一、内容和内容解析

内容：解析几何介绍，直线的倾斜角和斜率。

每一章的第一节课非常重要，所讲内容要体现出“大问题”，“显著问题”，要从全章的角度来看问题。因此教学内容不仅有倾斜角、斜率的概念，还应当包含坐标法、数形结合思想、解析几何发展史等。

直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角用几何位置关系刻画，斜率从数量关系刻画，二者的联系桥梁是正切函数值，并且可以用直线上两个点的坐标表示。建立斜率公式的过程，体现了坐标法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质。

本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带，研究斜率、直线的平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用，这是因为在直角坐标系下，确定直线的条件最本质条件是直线上的一个点及其斜率，其他形式都可以化归到这两个条件上来。

教学重点：

1、使学生经历几何问题代数化的过程，初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法；

2、理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。

二、目标和目标解析

1．理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。

2．理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。

3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。

三、教学问题诊断分析

平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向，这与‘一个点和直线的方向确定一条直线’是一致的”。在教学中应注意引导学生建立这种联系。

由于学生还没有系统学习三角函数，所以要求学生利用补充的公式对倾斜角和斜率的关系进行研究，并猜想出一般的结论，是比较困难的。

函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。它们都体现了数形结合思想，但角度不同。学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。因此在教学时要注意澄清二者的不同。

教学难点：

直角坐标系下刻画直线的几何要素的认识——倾斜角概念的形成；用坐标刻画倾斜角的方法——斜率概念本质的认识。

四．教学支持条件分析

可以借用几何画板动态演示坐标系下确定直线的几何要素，倾斜角的变化与斜率变化之间的关系等。借助实物展台展示学生的研究方法和计算过程。

五．教学过程设计

（一）引言

解析几何是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。解析几何的创立是数学发展史上的一个重要的里程碑，数学从此由常量数学进入变量数学时期。解析几何由此成为近代数学的基础之一。

今天，我们从直线开始研究，也就是研究直线上的点是如何满足等量关系式的，让直线插上方程的翅膀，带着我们一起去遨游奇妙的解析几何世界。

（设计意图：使学生了解学习的新内容的特点及意义。站在高处了解本章内容。）（二）倾斜角概念的形成

大家请看大屏幕，美丽的夷陵长江大桥是一座斜拉桥，将桥上的斜拉索抽象成如图的一组直线

请问：这组直线在位置上有何不同之处？

【生】倾斜程度不同

【师】这节课我们来研究直线的倾斜角与斜率

（

当在y

斜率）

【板书】直线的倾斜角和斜率

来看本课【知识与技能】

1．理解倾斜角的概念。

2．理解斜率的定义和斜率公式。

3．掌握过两点的直线斜率的计算方法。

【过程与方法】自学、讨论、交流

【情感态度与价值观】

1． 体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。 2． 经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。 3． 通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。

【师】请同学们将书打开第82页，自学第82页至第83页倒数第4行，完成学案上问题1～问题7，时间5分钟。

（设计意图：通过学生自学，掌握基本内容。体现出“学生自己给自己上新课”。）

【探究一】直线的倾斜角与斜率

问题1：倾斜角的定义：当直线与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴 方向与直线l 向 上 方向所成的最小角α叫做直线l 的 倾斜角 。特别地，当l 与x 轴 平行 或 垂直 时，规定倾斜角为 零度和90度 ． 问题2：请说出下列四个图中直线的倾斜角。

（答案：0

0；0

20；0

90；0

135

）

问题3：倾斜角的范围是 0

1800<≤α

问题4：确定直线位置的几何要素是 直线上的一个点及其倾斜角

（设计意图：通过学生回答，教师了解学生对基本概念的掌握情况。）

【师】平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角α，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角α相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角α不相等。因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

【师】日常生活中，我们是如何刻画楼梯或山坡的倾斜程度呢？坡比 问题5：直线斜率的定义： 倾斜角的正切值

问题6：判断正误,并说明理由：

（1）平行于x 轴的直线的倾斜角是0或π。 （?） （2）因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以它的倾斜角不存在。(? )

（设计意图：通过学生回答，教师了解学生对斜率的掌握情况及对斜率部分解释。）

【探究二】已知直线上两点坐标求斜率

【师】两点可以确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，能否求出这条直线的斜率呢？请看问题8。

问题8．已知直线l 经过点

A (4, 3),

B (2, 2)

（1） 请在坐标系内作出此直线，判断它的倾斜角是锐角还是钝角；

（2） 它的斜率多少？

（答案：2

1=k ）

（设计意图：通过学生尝试解答，一方面学生可以通过初中学过的知识加以解答，同时也可以让学生带着问题去自学课本）

【师】请同学自学课本第83页至第85页【例1】，然后小组一起讨论问题9。

问题9：已知直线l 经过点),(),,(222111y x P y x P ，结合图1和图3，说出斜率公式的推导

过程。

（设计意图：让学生上黑板演板斜率的推导过程，掌握学生自学情况和教师对斜率的推导加以解释）

问题10：已知直线l 经过点A (1，1), B (3, 1)

（1） 请在坐标系内作出此直线，它与坐标轴的位置关系是怎样的？ （2） 它的斜率多少？倾斜角是多少？

（答案：0=k ）

【思考】结合公式1

21

2x x y y k --=，当直线平行于x 轴，或与x 轴重合时，上述公式还适用吗？

为什么？

（设计意图：学生通过具体例子知道斜率为0的时候直线是怎样的。）

问题11：已知直线l 经过点A (1，1), B (1, 3)

（1） 请在坐标系内作出此直线，它与坐标轴的位置关系是怎样的？ （2） 它的斜率多少？倾斜角是多少？

y O

y

【思考】结合公式1

21

2x x y y k --=，当直线平行于y 轴，或与y 轴重合时，上述公式还适用吗？

为什么？

（设计意图：学生通过具体例子知道直线与y 轴平行的时候直线是怎样的。）

问题12： 已知直线上两点),(),,(1111y x B y x A 运用上述公式计算直线AB 的斜率时，与A 、B 的顺序有关吗？为什么？请同学们自己举例说明。

（设计意图：学生通过具体例子知道直线的斜率与直线上两点的位置关系是否有联系。）

【当堂训练】 1、判断正误：

（1）任意一条直线都有倾斜角和斜率。 （ ? ） （2）直线的倾斜角越大，它的斜率也越大。 （ ? ） 2、直线的倾斜角0

150=α，则直线的斜率k=＿3

3

-＿； 3、已知直线过点A(2，32)、B(1, 3)，求它的斜率和倾斜角。

（答案：3=k ，060=α）

（设计意图：学生当堂训练，加深对本节课知识的了解。教师也可以了解学生的掌握情况）

【小结】

通过本节课的学习你有哪些收获？可以从知识，方法，数学思想等方面谈谈。 预设的回答：

知识方面：倾斜角的定义，斜率的定义和利用坐标求斜率的公式及其适用范围； 方法：坐标法；

数学思想：数形结合，分类讨论，化归等数学思想；

（设计意图：培养学生总结的习惯，做题学会反思，举一反三）【作业】课本86页练习题的1～4题