测量结果的不确定度

测量结果与不确定度表示

JJF1059第8.13节指出输入量和输出量的估计值，应修约到与它们的不确定度的位数一致。这里所谓的位数实指其末位所到达的位数。例如，当测量结果及其不确定度以相同的计量单位给出时，其末位应对齐。也就是说不能达不到，也不能多出。其中更需注意的是所报告的测量结果(输出量的最佳估计值)，应与所报告的扩展不确定度U或U p的末位对齐。多数情况下是:确定了扩展不确定度取几位(一或两位)之后，按这一修约间隔来修约所报告的测量结果。但有时也会碰到，特别是通过数字显示式仪器的一次测量结果作为被测量的最终结果时，评定出的扩展不确定度的末位已小于所显示的末位。这时，对测量结果是否能采用补零的方式使其末位对齐？专家们对不同意见进行了讨论，例如:通过数字式电压表一次测量的结果为220. 043V，其扩展不确定度U=2.5mV(k=2)，U修约成两位，末位达到0.1mV，但测量结果只到1mV，专家们认为这时的测量结果应报告成:220.0430V。写成V=(220.0430±0.0025)V，其末位是对齐的。应该认为，表明测量结果可靠程度的不是所给出的结果本身而是其不确定度。那种认为物理实验结果只能保留一位不可靠的值(只有末位不可靠而不能有两位是不可靠的)的观点和做法，与当今不确定度的表述并不一致。现在认为不确定度可以有两位有效数，从而测量结果的末两位均为可疑值了。

关于所报告的扩展不确定度(U，U p和U rel，U p rel)应采取何种规则进行修约，在JJF1059第8.13节给出两种方法均可以用，其一为“只进不舍”，其二为通用的修约规则，即大于半个修约间隔则进，小于半个修约间隔则舍，正好等于半个修约间隔则看前面一位是奇数还是偶数而定。根据第一种方法，如果对U=0.1112修约成为一位有效数，按只进不舍，就成为U=0.2，比修约前增大了几乎一倍，虽不违反规则，但显然并不可取。如果U=0.3112，也只取一位有效数而给成为U=0.4，比修约前也大了1/4左右，似亦不可取。专家们推荐采用:当第一个有效数为1和2时，取两位有效数为好，至于3以上，既可取一位也可取两位，对于一般测量，可均只取一位。至于是按上述两种修约方法中的哪一种，评定人员可自行选用。上述的这种建议，在JJF1059以及GUM中都未提及，只是在某些国家的标准中提到，例如DIN，不无道理，未必不可以参照使用。

现在在一些检定证书或是校准证书上，给出了测量结果(校准结果、某些检定点或校准点的示值误差或修正值)。对于校准(自愿行为)，给出校准值及其不确定度，是符合JJF1059中8.2节要求“证书上的校准结果或修正值应给出测量不确定度。”但是在检定中，例如:对压力表、千分尺、台案秤等类衡器，按检定规程，其证书上是不给出测量结果的，现在也要求给出检定结果，有时甚至也给出其不确定度。从测量仪器的使用上来说，这些内容不起任何作用，因不能按测量结果修正使用。惟一的作用是让使用者知道这些仪器距离不合格还有多远。专家们认为，究竟在证书上如何给出和给出什么，应按有关规程处理，至于自愿的校准要求，则可按用户需要。

关于测量仪器特性评定问题，目前仍按JJG1027-1991技术规范中的有关规定处理。计量司官员在会上表示，用于代替该技术规范这部分的内容的新的技术规范现已审定通过，处于报批之中，预计今年内可发布。其中规定了测量仪器特性评定的基本原则、通用方法、准确度等、级、响应特性、灵敏度、鉴别力、稳定性、漂移、响应时间等性能的评定以及有关不确定度问题。关于测量仪器重复性的评定，该规范给出了基本方法，即按重复性条件下通过重复观测，采用贝塞尔公式计算出单次结果的实验标准差s。s的相对标准不确定度:

式中:n——重复观测次数。

对于只有一个被测量来说，上式也就是:

式中:ν——标准差s的自由度。

该标准还给出了最大残差法用于测量仪器重复性的评定。上述内容可作为JJF1059的补充。

按该新规范，可以采用MPEV作为测量仪器的最大允许误差绝对值的符号。

四、测量结果的不确定度

对测量不确定度的量化评定和表示，国际社会正在致力建立一套国际统一、各行各业通用的准则，以便于国际上对测量和实验成果的相互利用和交流。目前已经获得国际公认的主要原则有３点：①测量结果的不确定度一般包含若干分量，这些分量可按其数值的评定方法归并成Ａ、Ｂ两类，Ａ类是指对多次重复测量结果用统计方法计算的标准偏差，Ｂ类是指用其他方法估计的近似相当于标准偏差的值；②如果各分量是独立的，测量结果的合成标准不确定度是各分量平方和的正平方根；③根据需要可将合成标准不确定度乘以一个包含因子ｋ（取值范围２～３），作为展伸不确定度，使测量结果能以高概率（９５％以上）包含被测真值。

１Ａ类和Ｂ类不确定度分量的评定方法

１）采用统计方法评定的Ａ类不确定度分量ｕA

对于多次重复测量的物理量，用平均值x作为测量结果，把平均值的标准偏差作为测量结果标准不确定度的Ａ类分量

（１．４—１）

本课程约定，测量次数在５次以下（含５次）时，为了保证标准不确定度的置信水平，应把标准偏差Ｓx乘以ｔ0.68 因子作为测量结果的Ａ类不确定度，即

ｕA＝ｔ0.68Ｓx（１．４—２）

２）采用其他方法评定的Ｂ类不确定度分量ｕB

对于用其他方法估计的不确定度分量统称为Ｂ类分量。一般说来，在对可定系统误差进行消减或修正后，列出观察值的全部误差因素并作出不确定度估计。这对于初学者是一件相当困难的事，需要在实践中不断积累经验。以下几个方面的误差来源可以作为实验误差分析的思路。

（１）仪器误差。任何量具、标准器、指示仪表等，都有一定的准确度等级，也就是说它们的标称值、分度值或指示值都具有一定误差。一些仪器、仪表的灵敏程度也有限度，告诉的信息只是某种变化量已小到它们的灵敏度以下。

（２）原理方法误差。即因测量方法不完善，或所用公式的近似性，或在测量公式中没有得到反映而实际起作用的某些因素都会对测量产生误差。

（３）环境误差。系由于实际环境条件不满足规定条件而产生的误差。环境条件包括温度、湿度、气压、振动、电磁场、光照度等以及这些因素的空间不均匀性和时间不稳定性等。

（４）个人误差。即测量人员主观因素和操作技术所引起的误差。例如计时响应的超前或滞后、位置对准等在测量中表现出观测误差、估读误差和视差等。

（６）调整误差。由仪器装置的调整（包括水平、垂直、平行、准直、零点等）未达到规定要求所引起的误差。

在全面分析误差因素时，要注意到通常只有一、二种因素对测量结果影响比较大，而其他影响较小的因素可以忽略。

在本门课程中约定测量不确定度的Ｂ类分量主要由仪器误差引起。仪器误差限Δ可直接用仪器的示值误差限或允许误差限表示。在没有仪器准确度资料情况下也可采用仪器的最小分度值作为仪器误差限。在某些测量中测量的误差限远大于仪器误差限，可根据实际情况估计误差限，例如在杨氏模量实验中用钢卷尺测量光杠杆镜面到标尺的距离时，由于卷尺弯曲、对准、水平保持等问题，测量的误差限会远大于钢卷尺本身的仪器误差限。

为了从误差限Δ计算出接近于标准偏差置信概率的不确定度Ｂ类分量ｕB，可将Δ除以与仪器误差分布特性有关的常数Ｋ，即ｕB＝Δ/Ｋ。对于正态分布Ｋ＝３，对于均匀分布Ｋ＝√3，对于其他分布可在有关专著中查到Ｋ值。确定仪器误差属于何种分布需要有丰富的实验经验。为了便于教学，本课程约定仪器误差均按均匀分布近

似处理，即

（１．４—３）

需要指出，Ａ类和Ｂ类不确定度分量只说明不确定度数值评定的方法不同，它们并不对应于随机误差和系统误差的类型。所以把Ａ类不确定度分量理解为对随机误差的处理和把Ｂ类不确定度分量理解为对系统误差的处理是不妥当的。

２测量结果的合成不确定度

Ａ类和Ｂ类不确定度分量是以标准不确定度形式（标准差和近似标准差）给出的，如果它们互相独立，则测量结果的合成不确定度ｕ可表示为

（１．４—４）

最终的测量结果则表示为

（１．４—５）

在某些工程技术领域需要用高置信概率的展伸不确定度表达测量结果。展伸不确定度Ｕ可以用标准不确定度ｕ乘以包含因子Ｋ获得，即U＝K u。包含因子Ｋ的取值在２～３之间，一般情况下可简化为当Ｋ取２时，相应的置信概率约为９５％；当Ｋ取３时，相应的置信概率约为９９％。

本课程约定，在对一些电学量进行一次测量时，采用高置信概率不确定度表示测量结果，其Ｂ类不确定度ｕΔ仪，即

B等于仪器的误差限

ｕB＝Δ仪（１．４—６）

３间接测量结果的不确定度

对于间接测量，被测量ｗ是若干个独立测得的直接测量量ｘ、ｙ、ｚ…的 函数，ｗ＝Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ…）。

间接测量量ｗ的测量不确定度

（１．４—７）

其中：ｕx，ｕy，ｕz，…为各直接测量量的测量不确定度，用各自的Ａ类和Ｂ类不确定度分量合成得出；被测量ｗ对各直接测量量的偏导数是不确定度的传递系数。

当ｗ＝Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ…）为乘除或方幂的函数形式时，采用相对不确定度可以大大简化运算过程。方法是先取对数后再作方差和合成。例如ｗ＝Ａx p y q z r…可得

（１．４—８）

用式（１．４—６）和式（１．４—７）算得的常用函数形式的不确定度传递和合成关系见表１．４—１。

以上关于不确定度传递关系既适用于标准不确定度也适用于展伸不确定度，但要注意统一。

表１．４—１常用函数的不确定度传递和合成公式

４测量结果不确定度的评定步骤和最终表述

１）评定步骤

（１）尽可能把测量中的各种系统误差减至最小。例如采用适当的测量方法抵消，或改变测量条件使之随机化，或确定修正值进行修正。

（２）确定并记录仪器的型号、量程、最小分度值、示值误差限和灵敏阈。

（３）当准备好测量时，小心地取３～４个观测值并注意其偏差情况。如果偏差几乎不存在，或与仪器的误差限相比很小，那就不必进行多次测量，而以其中任一次测量值表达测量结果，其不确定度只以仪器误差限计算。

（４）若发现试测结果偏差较大，可与仪器误差限相比拟或更大，则要取５～１０次的测量值，以平均值表示测量结果，其不确定度应该以Ａ类和Ｂ类的合成不确定度表示。

２）测量结果的表述规范

（１）如果测量结果是最终结果，其不确定度可用一位或二位数字表示。本课程约定，当不确定度的第一位数字为１、２、３时取二位，其余可取一位也可以取二位。如果是作为间接测量的中间结果，其不确定度位数可比正常截断多取一位以免造成截尾误差的累积。

测量结果的相对不确定度一律用二位数的百分数表示。

（２）不确定度数值截尾时，采取“只入不舍”的方法，以保证其置信概率水平不降低。例如计算得到不确定度为０.２４１２，截取两位为０.２５。

（３）测量结果的最末位应与不确定度末位对齐，数据截断时其尾数按“小于５则舍，大于５则入，等于５凑偶”的修约原则处理。“遇５凑偶”的含意是当尾数为５时，把前一位数字凑成偶数，即末位是奇数则加１（５入），末位是偶数则不变（５舍）。

例如，某测量数据计算的平均值为１.８３５４９ｍ，其标准不确定度计算得０.０４３４７ｍ，则测量结果可表示为

（１.８３５±０.０４４）ｍU r＝２.４％（Ｐ≈６８％）

或（１.８４±０.０５）ｍU r＝２.７％（Ｐ≈６８％）

（４）为了清楚区分测量结果表示中是标准不确定度还是高概率不确定度，在测量结果后一律用括号注明置信概率的近似值。

（５）对于标准不确定度，目前科技资料中还有另一种表示形式。例如，牛顿引力常数Ｇ＝６.６７２５９（８５）×10-11m3kg-1·s-2，括号中的数字是以测量值末位为单位的标准不确定度，即

u G＝０.０００８５×10-11m3kg-1·s-2。