2020年高考理科数学考前押题卷附参考答案 (4)

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，算法至今仍是多项

式求值比较先进的算法.已知()20172016

2018201721f x x x x =++++L ，下列程序框图设计的是

求()0f x 的值，在“

”中应填的执行语句是

A ．n i =

B ．1n i =+

C ．n =2018i -

D ．n =2017i -

2．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（） A ．乙做对了

B ．甲说对了

C ．乙说对了

D ．甲做对了

3．若圆心坐标为()2,1-的圆，被直线10x y --=截得的弦长为2，则这个圆的方程是（） A ．22(2)(1)4x y -+-= B ．22(2)(1)4x y ++-= C ．22(2)(1)9x y ++-=

D ．22(2)(1)9x y -+-=

4．将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球分别放入3个不同的盒子中，每个盒子都不空，则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为 A ．

17

B ．16

C ．

625

D ．

724

5．已知复数z 满足()13i z i +=+，i 为虚数单位，则z 等于（ ）

A ．1i -

B ．1i +

C ．1122

i -

D ．1122

i +

6．某几何体的三视图如图所示，在该几何体的体积是（）

A ．

103

B ．

203

C ．

25

D ．

45

7．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为

A ．

B ．

C ．

D ．

8．已知正项等比数列{}n a （*n N ∈）满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a 使得

14m n a a a =，则

15

m n

+的最小值为（）

A ．2

B ．51+

C ．

74

D ．

114

9．在C ?AB 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 2sin cos 0B A C +=，则当cos B 取最小

值时，c

a

=（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．

33

10．函数()f x 在定义域()0,∞+内恒满足()()3()f x xf x f x '<<，其中()f x '为()f x 导函数，则（）

A ．1(1)1

8(2)2

f f <

< B ．1(1)1

8(2)4

f f <

< C ．

1(1)116(2)8f f << D ．1(1)13(2)2

f f << 11．设12F F 、是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，满足

()

220OP OF PF +?=u u u v u u u u v u u u u v （O 为坐标原点），且1234PF PF =u u u v u u u u v

，则双曲线的离心率为（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．5

12．设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），g （x ）=（ax+1）（cx 2+bx+1）．记集合S={x|f （x ）=0，x ∈R}，T={x|g （x ）=0，x ∈R}．若{S}，{T}分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）

A ．{S}=1且{T}=0

B ．{S}=1且{T}=1

C ．{S}=2且{T}=2

D ．{S}=2且{T}=3 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．已知抛物线28y x =，过点(1,0)M 的直线交抛物线于,A B 两点，F 为抛物线的焦点，若

||6AF =，O 为坐标原点，则OAB ?的面积是__________.

14．若四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，则在平面PAB 、平面PBC 、平面PCD 、平面PDA 和平面ABCD 中，互相垂直的平面一共有_______对.

15．已知数列{}n a 和{}n b 满足()

*

1112,1,2n n a b a a π+===∈N ，

()*1231111

123n n b b b b b n n ++++???+=-∈N ，即数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，则n T =______.

16．非零向量的夹角为，且满足

，向量组

由一个和两个排列而成，向量组

由两个和一个排列而成，若所有可能值中的最小值为

，则

__________．

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考

题，每个考题考上都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共60分。

17．已知直线l ：y x b =+与抛物线C ：24y x =相切于点A . （1）求实数b 的值；

（2）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.

18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中

//AD BC ，AB AD ⊥，1

22AB AD BC ==

=，4PA =，E 为棱BC 上的点，且14

BE BC =．

（1）求证：DE ⊥平面PAC ； （2）求二面角A PC D --的余弦值；

（3）设Q 为棱CP 上的点（不与C ，P 重合），且直线QE 与平面PAC 所成角的正弦值为

5

CQ CP 的值．

19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()()2

*

1N n n n S a S n =∈-.

(1)求出1S ,2S ,3S 的值,并求出n S 及数列{}n a 的通项公式; (2)设()

()()1

*11N n n n n b a a n ++=-+∈,求数列{}n b 的前n 项和n

T

;

(3)设()()

*

1N n n c n a n =+∈,在数列{}n c 中取出m (*N m ∈且3m ≥)项,按照原来的顺序排列成

一列,构成等比数列{}n d ,若对任意的数列{}n d ,均有12n d d d M +++≤L ,试求M 的最小值. 20．有一块半径为(R R 的正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池

ABCD 和其附属设施，附属设施占地形状是等腰CDE ?，其中O 为圆心，,A B 在圆的直径上，,,C D E 在半圆周上，如图.

（1）设BOC θ∠=，征地面积为()f θ，求()f θ的表达式，并写出定义域；

（2）当θ满足()()2

sin g f R θθθ=+取得最大值时，开发效果最佳，求出开发效果最佳的角θ

的值，

求出()g θ的最大值.

21．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200kg，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．

(1)该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？

(2)若提供饲料的公司规定：当一次购买饲料不少于5t时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由．

（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一道题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），在极坐标

系（以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴）中，曲线的方程为

，曲线、交于A、B两点．

（Ⅰ）若p=2且定点，求的值；

（Ⅱ）若成等比数列，求p的值．

e的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作23．如图，AB是O

e的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF.

O

e的切线；

（1）求证：BF是O

（2）已知圆的半径为2，求EF的长.

【参考答案】

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．C 解析：C 【解析】

第一次循环：0020182017201820172S x n S x i ===+=，

，，； 第二次循环：22

00002018201720162018201720163S x x n S x x i =+==++=，

，，； 以此类推，可知M 处应填的执行语句是2018n i =-. 故选 B. 2．B 解析：B 【解析】 【分析】

分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项. 【详解】

分以下三种情况讨论：

①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；

②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾； ③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾. 故选： B. 【点睛】

本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题. 3．C 解析：C 【解析】 【分析】

由弦长为利用点到直线距离求得d ,进而求解即可 【详解】

由题,设圆的半径为r ,圆心到直线距离为d , 则

d =

=

所以弦长为2,则29r =, 所以圆的方程为22(2)(1)9x y ++-=, 故选:C 【点睛】

本题考查圆的方程,考查弦长的应用,考查数形结合思想 4．C 解析：C 【解析】 【分析】

先判断奇偶性不同则只能是2,2,1，再计算概率 【详解】

由题知，要求每个盒子都不空，则3个盒子中放入小球的个数可分别为3,1,1或2,2,1, 若要求每个盒子中小球编号的奇偶性不同则只能是2,2,1， 且放入同一盒子中的两个小球必须是编号为一奇一偶，

故所求概率为3

33

223333

22235356

252

C A P C C A A C A ==

+ 故答案选C 【点睛】

本题考查了概率的计算，判断奇偶性不同则只能是2,2,1是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 5．A 解析：A

【解析】 因为2(1)

1(1)(1)

i z i i i -===-+-，所以应选答案A ． 6．B 解析：B 【解析】

由三视图，可得该几何体为四棱锥，由体积公式即得解.

【详解】

如图所示，该几何体为四棱锥，其中PA⊥平面ABCD，作BE CD

⊥，垂足为E 底面可以看成直角梯形ADEB和直角三角形BEC构成，

则：

112120 4(222)

3223 V

+

=???+??=

故选：B

【点睛】

本题考查了三视图及棱锥的体积，考查了学生空间想象，运算求解能力，属于基础题. 7．B

解析：B

【解析】

【分析】

分，两种情况，当，对恒成立，当时，需开口向下，判别式小于0，不等式恒成立.

【详解】

当时，原不等式可化为，对恒成立；

当时，原不等式恒成立，需，

解得，

综上.故选

B.

【点睛】

本题主要考查了分类讨论思想，二次不等式恒成立的条件，属于中档题.

8．C

【解析】

∵正项等比数列{a n }满足：654

7651112,2a a a a q a q a q =+∴=+，又q ＞0，解得2q =，∵存在两

项a m ，a n 14a =，

∴22

21116m n a q

a +-=，即22166m n m n +=+=﹣，，

∴

()151********n m m n m n m n m n ???

?+=++=++≥ ? ????

?， 当且仅当n m =5m

n

取等号，但此时m ，n ?N *．又6m n +=，所以只有当24m n ==，，取得最小值是

7

4

．故选C ． 点睛：本题解题时要认真审题，注意正项等比数列的性质，利用等比数列的通项公式，解得

6m n +=，运用均值不等式求最值，一般运用均值定理需要要根据一正、二定、三取等的思路

去思考，本题根据条件构造1

16

m n +=（）

，研究的式子乘以1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式． 9．B 解析：B 【解析】 【分析】

由正余弦定理可得22220a b c +-=，从而得3cos 44a c B c a

=+，利用基本不等式可得解. 【详解】

因为sin 2sin cos 0B A C +=，

由正弦定理及余弦定理得：222

202a b c b a

ab

+-+=. 整理得：22220a b c +-=

又2222233cos 24442

a c

b a

c a c B ac ac c a +-+===+≥

,

当且仅当344a c c a =，即c a

=. 故选 B.

本题主要考查了三角形的正余弦定理及基本不等式求最值，属于中档题. 10．A 解析：A 【解析】 【分析】

分别构造函数()()f x g x x

=，(0,)x ∈+∞，3()

()f x h x x =，(0,)x ∈+∞，利用导数研究其单调性即

可得出． 【详解】 解：令()

()f x g x x

=

，(0,)x ∈+∞， 2

()()

()xf x f x g x x '-'=

， (0,)x ?∈+∞Q ，()()3()f x xf x f x '<<恒成立，

()0f x ∴>，

2

()()

0xf x f x x '-<

， ()0g x ∴'>，

∴函数()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，

()()12g g ∴<，即()()212f f <，2

(1)1

(2)f f <； 令3

()

()f x h x x =

，(0,)x ∈+∞， 4

()3()

()xf x f x h x x '-'=

，

(0,)x ?∈+∞Q ，()()3()f x xf x f x '<<恒成立， 4

()3()

()0xf x f x h x x '-∴'=

<，

∴函数()h x 在(0,)x ∈+∞上单调递减，

()()12h h ∴>，即()(2)

18

f f >

，(1)1(2)8f f >， 综上可得1(1)1

8(2)2

f f <

< 故选：A ． 【点睛】

本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．D 解析：D 【解析】

试题分析：设,则002200(,),(,0),(,)OP x y OF c PF c x y ===--u u u r u u u u r u u u u r

A,因

22()0OP OF PF u u u r u u u u r u u u u r

+?=,故,即

,故点

在以坐标原点为圆心为半径

的圆上,所以

,设,由双曲线的定义可得,又

,即

,所以

,即

,故应选

D.

考点：双曲线及有关性质和向量的数量积公式． 12．D 解析：D 【解析】

∵f （x ）=（x+a ）（x 2+bx+c ），当f （x ）=0时至少有一个根x=﹣a 当b 2﹣4c=0时，f （x ）=0还有一根只要b≠﹣2a ，f （x ）=0就有2个根；当b=﹣2a ，

f （x ）=0是一个根

当b 2﹣4c ＜0时，f （x ）=0只有一个根； 当b 2﹣4c ＞0时，f （x ）=0只有二个根或三个根 当a=b=c=0时{S}=1，{T}=0

当a ＞0，b=0，c ＞0时，{S}=1且{T}=1 当a=c=1，b=﹣2时，有{S}=2且{T}=2 故选D

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．【解析】【分析】由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离求出A 的坐标又过M 点进而求出直线AB 的方程与抛物线联立求出B 的坐标由面积公式求出三角形AOB 的面积【详解】抛物线的准线方程为设过点作准线的垂 解析：

52

2

【解析】

由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离求出A 的坐标，又过M 点进而求出直线AB 的方程，与抛物线联立求出B 的坐标，由面积公式求出三角形AOB 的面积． 【详解】

抛物线28y x =的准线方程为2x =-，

设()()1122,,,A x y B x y ，过点A 作准线的垂线AH ，如图，

由抛物线的定义可知，||||6AF AH ==， ∴126x +=，∴114,42x y ==， 设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，

由2(1)8y k x y x

=-??=?，得()

2222280k x k x k -++=， ∴122111

1,4

x x x x ==

=，∴22y =- ∴OAB ?的面积1211152

1122)222OAB AOM BOM S S S y y ???=+=?+?=?=

. 52

【点睛】

考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．

14．5【解析】【分析】可证平面平面再结合平面可得互相垂直的平面的对数【详解】因为平面平面故因为四边形为正方形故因故平面因平面所以平面平面同理平面平面平面平面而平面平面故平面平面同理平面平面故共5对填5【 解析：5 【解析】 【分析】

可证CD ⊥平面PAD 、CB ⊥平面PAB ，再结合PA ⊥平面ABCD 可得互相垂直的平面的对数.

因为PA ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，故PA CD ⊥， 因为四边形ABCD 为正方形，故CD AD ⊥，因AD PA A ?=， 故CD ⊥平面PAD ，因CD ?平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD ， 同理平面PBC ⊥平面PAB ，平面PAB ⊥平面PDA ，

而PA ⊥平面ABCD ，PA ?平面PAB ，故平面PAB ⊥平面ABCD ， 同理平面PDA ⊥平面ABCD ， 故共5对.填5. 【点睛】

本题面面垂直的判定，注意利用线面垂直得到线线垂直，再得到线面垂直，此类问题为基础题.

15．【解析】【分析】先分别求出数列和直接解出为等比数列当时当时可得与已知的做差再整理可得数列再求【详解】解：由得由题意知当时故当时和原递推式作差得整理得：∴；因此两式作差得：【点睛】从已知的中无法直接求 解析：()()1

*122N n n n +-?+∈

【解析】 【分析】

先分别求出数列{}n a 和{}n b ，{}n a 直接解出为等比数列()*2n n a n N =∈，当1n =时，22b =，

当2n ≥时，可得1231111

1231

n n b b b b b n -+++???+

=--，与已知的1231111

123n n b b b b b n

++++???+=-做差再整理可得数列{}n b ，再求n T 。

【详解】

解：由112,2n n a a a +==，得()*2n n a n N =∈.

由题意知，当1n =时，121b b =-，故22b =，

当2n ≥时，1231111

1231n n b b b b b n -+++???+

=--，和原递推式作差得， 11

n n n b b b n +=-，整理得：11n n b b n n

+=+， ∴()

*

n b n n N =∈；

2n n n a b n =?，

因此23222322n

n T n =+?+?+???+?

23412222322n n T n +=+?+?+???+?，

两式作差得：()2112122222212

n n n n n T n n ++--=++???-?=

-?-，

()()1*122N n n T n n +=-?+∈. 【点睛】

从已知的()*

1231111123n n b b b b b n n ++++???+=-∈N 中无法直接求出n b ，但是可以得到

1231111

1231n n b b b b b n -+++???+=--，两式做差可以求出数列{}n b ，此时需要验证1n =时，是

否也满足通项公式，用错位相减法求数列前n 项和时需要认真计算。

16．83【解析】由题意x1?y1+x2?y2+x3?y3的运算结果有以下两种可能：①m2+m ?n+n2＝m2+λ|m||m|cosπ3+λ2m2=(λ2+λ2+1)m2；②m ?n+m ?n+m ?n=3λ| 解析：

【解析】由题意，

的运算结果有以下两种可能：①＝；②＝

，又，所以

，即

，解得

．

点睛：本题主要考查向量的数量积，以集平面向量为载体，通过向量的数量程式，考查运算能力．解答本类题目应首先读懂题意，根据所陈述的运算法则进行计算，然后将本题转化为所熟悉的知识，本题中要注意两种情况的可能，不能丢掉.

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个考题考上都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。） （一）必考题：共60分。

17．（1）1b =；（2）()()22

121x y -+-=. 【解析】 【分析】

（1）联立直线方程与抛物线方程消去y ，再利用0?=，即可求得b 的值； （2）求出切点坐标及圆的半径，即可得答案. 【详解】

（1）由264y x y x =+??=?，联立消去y ，得()22

240x b b +-+=，

∴0?=，即()2

22440b b --=， ∴1b =.

（2）由（1）知：1y x =+，

∴214y x y x =+??=?，得12x y =??=?

，

切点()1,2A ，准线1x =-，∴2r =， 方程：()()2

2

121x y -+-=. 【点睛】

本题考查直线与抛物线相切、圆的方程求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 18．（1）见解析；（2

；（3）

23

CQ CP = 【解析】 【分析】

（1）建立适当的空间直角坐标系，确定各点坐标，得到0DE AC ?=u u u r u u u r ，0DE AP ?=u u u r u u u r

，根据线面垂直的判定定理，即可证明.

（2）由（1）可知，平面PAC 的法向量()2,1,0m =-u r ，确定平面PCD 的法向量()2,2,1n =-r

，

根据

cos ,m n m n m n ?=?u r r

u r r u r r ，求解即可. （3）设()01CQ

CP

λλ=<<，确定()22,44,4Q λλλ=--，()2,43,4QE λλλ=--u u u r ，根据直线QE 与平面PAC

λ，即可.

【详解】

（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AB ì平面ABCD ，AD ?平面ABCD 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥ 因为AB AD ⊥

则以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

.

由已知可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()0,2,0D ，()0,0,4P ，()2,1,0E .

所以()2,1,0DE =-u u u r ，()2,4,0AC =u u u r ，()0,0,4AP =u u u r

.

因为221400DE AC ?=?-?+=u u u r u u u r ，0DE AP ?=u u u r u u u r

. 所以DE AC ⊥，DE AP ⊥

又AP AC A ?=，AP ?平面PAC ，AC ?平面PAC . 所以DE ⊥平面PAC ．

（2）设平面PAC 的法向量m u r

，由（1）可知，()2,1,0m DE ==-u r u u u r

设平面PCD 的法向量(),,n x y z =r

因为()0,2,4PD =-u u u r ，()2,4,4PC =-u u u r

.

所以00n PD n PC ??=??=?u u u v v u u u v v ，即2402440y z x y z -=??+-=?

不妨设1z =，得()2,2,1n =-r

．

()()22222212025cos ,521221m n m n m n ?-+-?+?===-?+-?-++u r r

u r r u r r 所以二面角A PC D --的余弦值为

25

．

（3）设()01CQ

CP

λλ=<<，即()2,4,4CQ CP λλλλ==--u u u r u u u r . 所以

()22,44,4Q λλλ=--，即()2,43,4QE λλλ=--u u u r

. 因为直线QE 与平面PAC

所以

cos ,QE m QE m QE m ?===?u

u u r u r u u u r u r u u u r u r 3=解得2

3

λ= 即

2

3

CQ CP =． 【点睛】

本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于较难题.

19．(1)112S =,223S =,334S =,1n n S n =+.()11n a n n =+;(2)()()()()1

1,21211,212n n n n T n n n ?+?++?=??-?++?为奇数为偶数

(3

)2 【解析】 【分析】

（1）利用1n n n a S S -=-及2

(1)n n n S a S -=整理可知1

1

2n n S S -=

-，通过计算出前三项的值，利用

归纳推理猜想1

n n

S n =

+，进而利用数学归纳法证明即可； （2）通过（1）裂项可知111(1)2n n b n

n +?

?

=--

?+??

，进而分n 为奇数、偶数两种情况讨论即可； （3）通过（1）可知1n c n =，进而问题转化为求首项为1、公比为1

2

的等比数列的前n 项和． 【详解】

解:(1)∵1n n n a S S --=,

∴()()112n n n n n n S a S S S S --==-,即1

21

n n S S =--,

又∵11()122S S -=,即112

S =

,

∴

2121322

S =

=

-,3132423

S ==

-, … 猜想:1

n n S n =

+. 下面用数学归纳法来证明: ①当1n =时,命题成立; ②假设当(1)n k k =≥时,有1

k k S k =

+, 则

111221

k k S k k k ++=

=

+-

+,

即当1n k =+时,命题也成立; 由①②可知1

n n S n =

+. ∴()

()111211n n n n n a S S n n n n n --==-=≥++-, 又∵111

2

a S ==

满足上式, ∴数列{}n a 的通项公式()

1

1n a n n =+;

(2)由(1)可知,()

()()

1

1

111112n n n n n a n n b a +++=-??- ?+?=-?

+, 特别地,当n 为奇数时,1n +为偶数,此时11111

213

n n b b n n n n ++=

--++++, ①若n 为偶数,则()()()12341n n n T b b b b b b -=++++++L

11111111

11113243546112n n n n ??????=--++--+++--+ ? ? ?-++??????

L 1111212

n n =--+++

()()

11212n n =

-++; ②当n 为奇数且1n >时,1n n n T T b -=+, 故()()()

111111212212n T n n n n n n =

-+-=+++++,

又∵112

3

T b ==

满足上式, ∴当n 为奇数时,()()

11212n T n n =

+++; 由①②可知:()()()()1

1,21211,212n n n n T n n n ?+?++?

=??-?++?为奇数为偶数;

(3)由(1)可知()

1

1n a n n =+,

∴()()*1

1N n n c n a n n

=+=

∈, 由题意可知需等比数列{}n d 的首项及公比均达到最大,显然首项为1?公比为

1

2

, ∴211111121211222212

n n n -

??++++=

=- ???-L , ∵211

11lim 1lim 2122222n n n n →∞→∞??????++++=-= ? ?????????L , ∴M 的最小值为2. 【点睛】

本题考查数列的通项及前n 项和，考查分类讨论的思想，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．

20．（1）()2

(cos sin cos ),(0,)2f R πθθθθθ=+∈；（2）当4

πθ=时，()g θ

有最大值为

21

(2

R .

【解析】

试题分析：(1)利用()2OBCE f S θ=，四边形由一个直角三角形和一个等腰三角形组成，分别求

三角形面积即可求()f θ的表达式；（2）()()()22

sin sin cos sin cos g f R R θθθθθθθ=+=++，

令sin cos t θθ=+，可得()()22

11 2

2g h t R t t θ??==+- ???，利用单调性求最值即可. 试题解析：（1）连接,OE OC ，

在Rt ABC ?中，sin ,cos BC R OB R θθ==，因为()()2

21sin cos OBCE f S R θθθ==+，

()2cos sin cos ,0,2R πθθθθ??

=+∈ ???

.

（2）()()()22

sin sin cos sin cos g f R R θθθθθθθ=+=++，

令sin cos t θθ=+，因为0,

2πθ??

∈ ??

?

，所以(

1,2t ?∈?， 所以()()22

112

2g h t R t t θ??==+- ???

因为()h t 在(

1,2t ?∈?上单调递增，所以2t =时()h t 有最大值为2122R ??+ ???

，此时4πθ=. 答：（1）()()2

cos sin cos ,0,2f R πθθθθθ??=+∈ ???

；

（2）当4

π

θ=

时，()g θ有最大值为2

122

R ??+ ???

.

21．（1）该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；（2）利用此优惠条件 【解析】

【试题分析】（１）借助题设条件建立函数关系，再运用基本不等式求解；（２）先建立函数关系，再运用导数知识分析求解： （Ⅰ）设该场（）天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费

用为，

因为饲料的保管费用与其他费用每天比前一天少（元），

所以天饲料的保管费与其他费用一共是（元）．

从而有， 当且仅当

，即

时，有最小值．

故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． （Ⅱ）设该场利用此优惠条件，每隔天（）购买一次饲料，平均每天支付的总费用为

，