高中数学集合与函数试题.docx

一、集合与函数

命题人：广东广雅中学吴新华付院花

1．（人教版第 14 页 B 组第 1 题）

已知集合A1,2，集合 B 满足 A U B1,2，则集合 B 有个 .

变式1：已知集合A1,2，集合 B 满足 A U B A ，集合 B 与集合 A 之间满足的关系是

解：B A

变式 2：已知集合 A 有n个元素，则集合 A 的子集个数有个，真子集个数有个解：子集个数有2n个，真子集个数有2n1个

变式 3：满足条件1,2 U A1,2,3的所有集合 A 的个数是个

解： 3 必须在集合A里面，A的个数相当于 2 元素集合的子集个数，所以有 4 个 .

设计意图：考察集合的运算与集合之间的关系

2．（人教版第 14 页 A 组第 10题）

已知集合 A x | 3x7 ， B x | 2x10，求 C R(AUB) ， C R(AI B) ，(C R A) I B ， AU (C R B)

变式 1：已知全集U R,且A x | x 1 2 , B x | x26x 8 0 , 则(C U A) I B 等于 A. [ 1,4) B (2,3) C (2,3] D ( 1,4)

解：答案为 C，集合A x || x1|2x | x3或x1，

所以 C U A x | 1x3，集合B x | x26x 8 0x | 2 x 4 ，

所以 (C U A) I B 为 (2,3]

变式 2：设集合A x x 2 2, x R ，B y | y x2 , 1 x 2 ，则 C R A I B 等于（）

A．R B ．

x x R, x 0 C ．0D．

解： A[0,4] ， B[ 4,0] ，所以C R AI B C R{0}，故选 B。

变式 3．已知集合P x N |1 x10 , 集合 Q x R | x2x 6 0,则PIQ

等于

（A ） 1,2,3

（ B ）

2,3 （C ） 1,2

（ D ）

解：集合 Q

x R | x 2

x 6 0

3,2 ，所以答案为 D.

设计意图：结合不等式考察集合的运算

3．（北师大版第 21页 B 组第 2 题）已知集合 A

1,3, a 3 ， B

1, a 2 ，是否存

在实数 a ，使得 B

A ，若存在，求集合 A 和

B ，若不存在，请说明理由 .

变式 1：已知集合 A ＝ { － 1，3，2 m － 1 } ，集合 B ＝ { 3， m 2 } ．若 B

A ，则实数 m

＝

．

解：由已知 m 2 2m 1

m 2

2m 1 0 m 1

变式2：A

x | x 2 x 6 0 ， B

x | mx 1 0 ，且 AUB

A ，则 m 的取值范

围是 ______ .

解：A

x R | x 2 x 6

3,2 ，当 B

时，m

0 ，当 m 0 时，x

1 ，

所以

1 2 或 1 3 ，所以 m

1 或 m 1 ，所以 m 0, 1 , 1

m m

2 3

变式 3：设 Ax | x 2 4x 0 ， B

x | x 2 2( a 1)x a 2 1

0 且AI B

B ，

求实数 a 的值 .

解： A

4,0 ，因为 AI B B ，所以 B

A ，所以 B

或 B 4 或 B

0 或

B 4,0 ，当 B

时，

4( a 1)2 4( a 2

1) 0 a

1，当 B

4 或

0 时，

0 a

1 ， B

0 符合题意，当 B

4,0 时，

4 0

2( a 1)

4 0 a

所以 a

1 或 a 1

设计意图：结合参数讨论考察集合运算

，求函数

页 B

组第 1

题）设函数

f ( x)3x

2 ， g (x)

．（北师大版第

2x 3

f ( x)gg( x) 的定义域 .

变式 1：函数

3x 2

lg(3

1) 的定义域是

f (x)

1 x

A. (

)

( 1 C. (

1 1

D. 1 ,

,1)

)

( , )

3 3

解：由

1 x

0 1 x

1，故选 B.

1 0

变式 2：设 f

2 x ，则 f

2 的定义域为

x 2

A. 4,0

0,4

B. 4,

1 1,4

2, 1

1,2

4, 2

2,4

2 x

解：选 C.由

0 得， f ( x) 的定义域为

x | 2 x 2 。故

2 2 x

4, 1U1,4

。故 f

x f

2 的定义域为 4,

1U1,4

2 x

设计意图：考察函数的定义域

5．（人教版第 84 页 B 组第 4 题）

已知函数 f (x)

log a ( x 1) ， g(x)

log a (1 x)(a 0 ，且 a 1)

（1）

求函数 f ( x)

g( x) 定义域

，解得

（2）判断函数 f (x) g( x) 的奇偶性，并说明理由 .

变式 1：已知 f ( x)

ax 2 bx 3a

是偶函数，定义域为 [ a 1,2a] .

，

则 a

解：函数是偶函数，所以定义域关于原点对称.∴ a 1

1 0

， b

变式 2：函数 y

9 x 2

的图象关于

（

）

| x 3 |

| x 4 |

A ． x 轴对称

B ． y 轴对称

C ．原点对称

D ．直线 x y 0 对称

解：函数定义域为 9 x 2

3 x

3 ，所以 y

9 x 2 9 x 2 ，所以函

4 x 3 x

数为偶函数，图像关于 y 轴对称 .

变式 3：若函数 f ( x) log a ( x

x 2 2a 2 ) 是奇函数，则 a

解：由于 f ( x)

log a ( x

x 2 2a 2 ) 是奇函数，∴

f ( x) f ( x)

0 ，

即 log a ( x x 2 2a 2 ) log a ( x

x 2

2a 2 )

0 ，

∴ log a 2a 2

2a 2

1 a

2 ，又 a 0 ，∴ a 2

设计意图：考察定义域与奇偶性

6．（人教版 83 页 B 组第 2 题）若 log a

1(a 0 ，且 a

1) ，求实数 a 的取值范围 .

1 a

2 0 ，则 a 的取值范围是

变式 1：若 log 2a

（

）

A ．(1

)

B ． (1,

)

C ．(1

,1)

D ． (0,1

)

解：当 2a

1 a 1

时，若 log 1 a 2 0，则 0

1 a

2 1

0 a 1 1 a 1

2 2a

1 a

，∴

当

1 2a

0 a

时，若 log

0 ，则

a 2

a 1 ，此时无解！

2 2a

1 a

所以选 C

变式 2：设

0 a 1 ，函数 f (x)

log a ( a 2x 2 a x 2) ，则使 f (x)

0 的 x 的取值范围是

（A ） ( ,0)

（B ） (0, )

（C ） (

, log a 3) （ D ） (log a 3, )

解：要使 f ( x)

0 ，且 0

a 1，所以 a 2 x

2a x

2 1

a 2x

2a x

3 0

( a x

3)( a x

1) 0

a x

3 ，又

0 a ，∴

log a 3 ，故选 C.

设计意图 : 考察对数函数的单调性

7．（人教 A 版 126页 B 组第 1题）

经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量）

，而用横轴来表示产品数

量（因变量），下列供求曲线，哪条表示厂商希望的供应曲线，哪条表示客户希望的需求曲

线？为什么？（图略）

变式1：某地一年的气温Q（t）（单位：℃）与时间t （月份）之间的关系如图（1）所示，

已知该年的平均气温为10℃，令G（ t）表示时间段〔0，t 〕的平均气温，G（ t）与t 之间

的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（）

G(t)

G(t)G(t)

10oc

O612612t t

O O612

图（ 1）

G(t)

10oc

O6t

O12

答案： A

变式 2：为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格 a 与其前三个月的市场收购价格有关，且使 a 与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前 6 个月的市场收购价格：

月份1234567价格（元 /担）687867717270

则 7 月份该产品的市场收购价格应为（）A．69 元B．70 元C．71 元D．72元

答案： C

设计意图：考察学生读图、读表的能力

8．（人教版 43 页 B 组第 3 题）

已知函数 f (x) 是偶函数，而且在 (0, ) 上是减函数，判断 f (x) 在 ( ,0) 上是增函数

还是减函数，并证明你的判断

变式 1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A. y

x 3 , x R

B. y

sin x, x

C. y x, x R

1 x , x R

D. y ( )

解： B 在其定义域内是奇函数但不是减函数 ;C

在其定义域内既是奇函数又是增函数

在其定义域内不是奇函数 ,是减函数 ;故选 A.

变式 2：函数 y

f (x) 是 R 上的偶函数，且在 (

,0] 上是增函数，若 f ( a)

f (2) , 则

实数 a 的取值范围是（

）

A. a 2

a 2 C. 2 a 2

a 2 或 a 2

解：当 a 0 时，∵函数 y f (x) 是 R 上的偶函数，且在 (

,0] 上是增函数， ∴ y f ( x)

在 (0,

) 上是减函数，所以若

f (a) f (2) ，则 a 2 ，当 a 0 时，函数 y

f ( x) 是

R 上的偶函数，且在 ( ,0] 上是增函数，且 f ( 2)

f (2) ，∴ a

2，故选 D

设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系

9．（人教版第 49页B 组第 4题）

已知函数 f (x)

x( x 4), x 0

(1) ， f ( 3) ， (a 1) 的值

x( x

4), x

，求 f

变式 1：设 g( x)

e x , x 0. 则

g (g ( 1 )) __________

lnx, x 0. 2

解： g(g (1

))

g(ln

) ln 1

变式 2：已知 f (x)

(3a 1)x 4a, x

, ) 上的减函数，那么 a 的取值范围

log a x, x

是 (

是

A. (0,1)

B. (0, )

1 3

C. [ , )

D. [ ,1)

7 3

解：分段函数的单调性需分段处理

.答案选 C

(x 1) 2 x 1

则使得 f （ x ）≥ 1 的自变量 x 的取值范围

变式 3：设函数 f （ x ） =

x 1x

为

A. （－∞，－ 2］∪［ 0， 10］

B. （－∞，－ 2］∪［ 0， 1］

C.（－∞，－ 2］∪［ 1， 10］

D. ［－ 2， 0］∪［ 1， 10］

解：当 x ＜ 1 时， f （ x ）≥ 1

（ x+1） 2≥ 1

x ≤－ 2 或 x ≥0，∴ x ≤－ 2 或 0≤x ＜ 1.

当 x ≥ 1 时， f （ x ）≥ 1 4－ x

1 ≥ 1

x 1 ≤ 3 1≤ x ≤ 10.

综上，知 x ≤－ 2 或 0≤ x ≤ 10.

答案： A

设计意图：考察分段函数的概念和性质

10．（北师大版 54 页 A 组第 5 题）

对于下列函数，试求它们在指定区间上的最大值或最小值，并指出这时的

x 值

（2） y 2x 2

x 1 ， x [ 3,1]

变式 1：函数

，则 a 的值为（

y a

在 [0 ， 1]

上的最大值与最小值的和为

）

B.2

C.4

A ．

解：当 a

1 或 0 a

1时，函数 y a x 都是定义域上的单调函数，

∴ a 0

a 1 3

a 2，故选 C.

变式 2：若函数 f ( x)

log a x(0 a 1) 在区间 [ a, 2a] 上的最大值是最小值的

3 倍，则 a

的值为（）

A ．

2 C ．

1 D ．

1 4

B ．

解：∵ 0

a 1 ， ∴ f ( x) 是定义域上的减函数，所以 f (x)max log a a 1 ，

f ( x)min lo

g a 2a ，∴ 1 3log a 2a

a (2 a) 3

8a 2

1 a

2 ，故选 A

设计意图：考察函数的最值 11.（人教版 65 页第 8 题）

已知下列等式，比较 m ， n 的大小

（1） 2m 2n (2) 0.2m

0.2n

变式 1：设

( 1)b ( 1) a

1 ，那么

（

）

2 2

A.a a ＜ a b ＜ b a

B.a a ＜ b a ＜ a b

C.a b ＜ a a ＜ b a

D.a b ＜ b a ＜ a a

解：由

( 1) b ( 1 )a

1 1 b

a 0 ，在 A 和 B 中， y

a x (0 a 1) 在定义域

内是单调递减的，∴

a a a

b ，所以结论不成立 .在 C 中， y

x n (n 0) 在 (0,

) 内是

单调递增的，又 a b

a a

b a ，所以答案为 C.

变式 2：已知 log 1 b log 1 a log 1 c ，则（）

A ． 2b

2a 2c B. 2a 2b 2c

B. 2c

2b 2a

D. 2c

2a 2b

解：由已知 b

a c ，因为 y

2x 在定义域内是单调递增的，所以

2b 2a 2c

答案为 A.

变式 3：已知函数 y f ( x) 的图象与函数

y a x （ a 0 且 a 1 ）的图象关于直线 y x

对称，记 g(x)

f (x)[ f (x) 2 f (2) 1] ．若 y

g( x) 在区间 [ 1

,2] 上是增函数，则实数 a

的取值范围是（

）

A ． [2, )

B ． (0,1)

(1,2)

C ．[ 1

,1)

D ． (0,1

]

2 2

分析：本题根据反函数的定义求出 f ( x) 的解析式，再用换元法判断 g(x) 的单调性，结合条

件 y

g(x) 在区间 [

,2] 上是增函数，求出实数

a 的取值范围是，答案为 D

设计意图：考察指、对数函数的单调性

12．（人教版 48 页 A 组第 8 题）

设 f (x)1x

2，求证：（ 1）f ( x) f ( x)（ 2）f (

) f ( x)

1x2x

变式 1 ：函数f x对于任意实数 x 满足条件 f x 2

5, 则f

，若 f 1

f f 5__________.

解： f (3) f (12)

f (32)

5 ，又

f (1)

， f (5)

f (3)

f x2

，∴ f (x)

，f x f (x2)

∴

f (5)

f (1)

11 f (52) f (3) f (1)5

变式 2：若奇函数f x(x R) 满足 f (2)1, f (x 2) f ( x) f (2) ，则 f (5)解：由已知 f (5) f (3) f (2) f (3)1 f (1) f (2)1 f (1) 2，令 x 1 ，则

f (1) f (1)1，又∵f x是奇函数，所以 f (1) f (1) ，

∴ f (1) f (1)1 f (1)1，∴ f (5) 2

221

，则 f (x) 等变式 3：函数f ( x)是一个偶函数，g( x)是一个奇函数，且f ( x)g( x)

于

A. x 212x2

x 2

22x 1

x 211

x 21

解析：由题知 f (x)g( x)

①x1

以 x 代 x ，①式得 f ( x)g(

，即 f ( x) g( x)

②x)

x 1

① +②得f (x)1

x21

答案： A

设计意图：考察函数的抽象运算与综合性质13．（人教版第49 页 B 组第 5 题）证明：

(1)若 f ( x)ax b ，则f (x

2 ) f ( x1 ) f ( x2 )

(2)若 g (x)x2ax b ，则g(x

2 )g( x1 )g( x2 )

变式 1：如图所示，f i ( x)(i 1,2,3, 4) 是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x1和x2，任意[0,1], f [x1(1) x2 ]f ( x1 )(1 ) f ( x2 ) 恒成立”的只有（）

f1 (x) f 2 ( x)f3 (x) f 4 ( x)

A ．f1(x)和f3( x)B．f2( x)C．f2( x)和f3(x) D ．f4(x)

解：当1

f1 ( x) 和 f3 (x) ，选择A.时，符合条件的函数是凹函数，从图像可看出有

变式 2： .设函数f ( x) = ax b

的图象如下图所示，则a、 b、 c 的大小关系是x 2c

-1

O1x

-1

A. a＞ b＞ c

B.a＞ c＞ b

C.b＞a＞ c

D.c＞ a＞b

解析： f（ 0） = b

=0，∴ b=0. f（ 1） =1，∴a=1. c1c

∴ a=c+1.由图象看出 x＞ 0 时， f（x）＞ 0，即 x＞ 0 时，有ax＞ 0，

x2c

∴ a＞ 0.又 f（ x） =a，

x c

当 x＞ 0 时，要使 f （ x）在 x=1 时取最大值1，需 x+ c

≥ 2 c ，x

当且仅当 x= c =1时.∴c=1，此时应有f（x）=a

=1.∴a=2. 2

答案： B

变式 3：如图所示，单位圆中弧AB的长为x, f ( x)表示弧 AB与弦 AB

所围成的弓形面积的２倍，则函数y f (x) 的图象是

答案： (D)

设计意图：考察图象与式子运算的能力

14：（北师大版 136 页 B 组第 1 题）

判断下列方程在（0， 10）内是否存在实数解，并说明理由.

(1)1

x ln x0（ 2）x2lg x0

变式1：设二次函数 f x ax 2bx c a0 ，方程 f x x0 的两个根 x1 , x2满足

0x1x21.当 x0 x

时，证明 x f x x1

. a,1

分析：在已知方程f x x0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数 f x x的表达式，从而得到函数 f ( x) 的表达式.

证明：由题意可知 f ( x)x a(x x1 )( x x2 ) .

0x x1x21 , a

∴a(x x1 )( x x2 ) 0 ,

∴当x0 x时，.

,1 f ( x)x

又 f ( x)

x 1 a(x x 1 )( x x 2 ) x x 1 ( x x 1 )( ax ax 2 1) , x

x 1

0, 且 ax ax 2 1

1 ax 2

∴

f ( x) x 1 ,

综上可知，所给问题获证

变式 2：已知二次函数

f (x)

ax 2 bx c ．

（ 1）若 a>b >c ，且 f （ 1） =0，证明 f （ x ）的图象与 x 轴有 2 个交点；

（ 2）在（ 1）的条件下，是否存在 m ∈R ，使得 f （m ）=－ a 成立时， f （m+3）为正数，若

存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；

（ 3）若对 x 1 , x 2

R, 且 x 1

x 2 , f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，方程 f ( x)

[ f (x 1 ) f (x 2 )] 有

2 个不等实根，证明必有一个根属于 (x 1 , x 2 )

解: （1）

f (1) a b c 0且a b

c, a 0且c 0,

b 2 4ac

f ( x)

的图象与 x 轴有两个交点 .

（ 2）Q f (1)

0 ，∴ 1 是 f ( x)

0 的一个根，由韦达定理知另一根为

c ，

∴ a 0且c 0, c

0 1,又a b c,b a c,

)(m 1) a 0

m 1

2 3 1

则a(m

a 3

f ( x) 在（ 1， +∞）单调递增，

f (m

f (1)

0 ，即存在这样的 m 使

f (m 3)

（ 3）令 g (x)

f ( x)

[ f (x 1 ) f ( x 2 )] ，则 g( x) 是二次函数 .

g( x ) g( x ) [ f ( x )

f (x 1 )

f ( x 2 )

][ f ( x )

f (x 1 )

f ( x 2 )

]

[ f (x ) f (x )] 2

4 1 2

又 Q f (x 1 )

f (x 2 ), g(x 1 )

g ( x 2 ) 0, g( x) 0 有两个不等实根，且方程 g (x) 0 的

根必有一个属于 ( x 1 , x 2 ) .

设计意图：考察函数的零点

15．（北师大版第 66 页 B 组第 3 题）

求二次函数

f ( x) x 2 2(2a 1)x 5a 2 4a 2 在区【 0， 1】上的最小 g( a) 的表达

式.

式 1： a 数，函数

f ( x) a 1 x 2

1 x 1 x 的最大 g(a).

（Ⅰ） t ＝ 1 x

x ，求 t 的取范，并把

f(x)表示 t 的函数 m(t)

（Ⅱ）求 g(a)

（Ⅲ）求足 g( a) g( 1

) 的所有数 a

a 解：（ I ）∵ t

1 x 1 x ，

∴要使 t 有意，必 1 x

0且 1 x 0，即

1 x 1

∵ t 2 2 2 1

x 2

[ 2,4] ，且 t 0 ??①

∴ t 的取范是 [ 2,2] 。

由①得：

1 x 2

1 t

2 1，∴ m(t ) a( 1

t 2 1) t

1 at

2 t a ， t

[ 2,2] 。

2 2

（II ）由意知 g(a) 即函数 m(t)

1 at

2 t a ， t [ 2,2] 的最大，

1 at

2 2

∵直 t

是抛物 m(t)

t a 的称， ∴可分以下几种情况行：

a 2

（1）当 a 0 ，函数 y

m(t) ， t

[ 2 ,2] 的象是开口向上的抛物的一段，

由 t

0 知 m(t ) 在 t [

2,2] 上增，故 g( a)

m( 2) a 2 ； a

（2）当 a 0 ， m(t ) t ， t [ 2,2] ，有 g(a) =2；

（3）当 a 0 ，，函数 y

m(t ) ， t [ 2,2] 的象是开口向下的抛物的一段，

若 t

1 (0,

2 ] 即 a

2 m( 2)

2 ，

， g (a)

若 t

1 ( 2,2] 即 a (

2 ,

] ， g( a)

m( 1)

1 ，

2 2

a 2a

若 t

1 (2, ) 即 a

(

,0) ， g( a)

m( 2)

a 2 。

)

上所述，有 g(a) = a

1 , (

2 a

) 。

2a 2 2

2 )

（III ）当 a

a 2

3 2 ；

， g( a)

当

2 a 1 ，

a [ 1 , 2

) ，

1 (

,1] ，∴

1 ，

2 2

2 2 2a

2 2a g( a)

1 2 ( a) (

2 ，故当 a

2 ；

)

， g( a)

当 a

0 ，

0 ，由 g(a)

g( 1

) 知： a 2

1 2 ，故 a

1 ；

a a

当 a

0 ， a

1 ，故 a

1或 1

1，从而有 g (a)

或

g ( 1)

2 ，

要使 g(a)

g ( 1

) ，必有 a

2 ， 1 2

，即

2 ，

2 a

此， g (a)

g ( 1

) 。

上所述，足

g( a) g(

) 的所有数 a ：

2 1 。

或 a

意：考察二次函数的最与分的思想

16．（人教版 84 B 第 5 ）

着几个足“ 定域内任意数

a ，

b ，都有 f (a b)

f (a)gf (b) ”的函数例

子.

式 1：函数 f （x ）的定域是 N *，且 f ( x

f ( x)

f ( y) xy ， f (1) 1 ， f （ 25）

= ___________________.

解析：由 f ( x y)

f ( x) f ( y)

f (2)

f (1) f (1) 1

∴ f (2)

f (1) 2

同理， f （ 3）－ f （ 2） =3.

f（ 25）－ f（ 24） =25.

∴ f（ 25） =1+2+3+ ?+25=325.答案： 325

式 2： f ( x)是定在 R 上的偶函数，其象关于直x 1 称，任意 x1, x2[0, 1 ] ，2

都有 f ( x1x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )

（ 1） f (1)

11 2 ，求f (), f ( )

2 4

（2）明f (x)是周期函数 .

（1）解：由 f ( x1x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 知f (x) f ( x

) f (

)

f ( ) 0 ，x∈［0，1］.

因 f（ 1）=f（11

）· f（

） =［ f（

）］2，及 f（ 1） =2，所以 f （

） =2 2 . 2222

因 f（1

） =f（

）· f（

） =［ f（

111

）］2，及 f（

） =2 2，所以 f（1）=24.

244424（ 2）明：依y f ( x) 关于直x=1 称，故 f（ x） =f（ 1+1 － x）f（ x） = f（ 2－x）， x∈ R.

又由 f（ x）是偶函数知f（－ x） =f（ x），x∈ R，所以 f（－ x） =f（ 2－ x）， x∈R .将上式中－ x 以 x 代，得f（ x） =f （ x+2）， x∈ R.

表明 f ( x) 是R上的周期函数，且 2 是它的一个周期.

式 3：函数y f ( x) 定在R上，任意数m、n，恒有f (m n) f (m) f (n) 且当

x0,0 f ( x) 1

（1）求： f（ 0） =1，且当 x＜ 0 ， f（ x）＞ 1；

（2）求： f（ x）在 R 上减；

（3）集合 A={ （ x， y）|f（ x2）· f（ y2）＞ f（ 1） } ， B={ （ x， y） |f（ ax－ y+2 ） =1 ，a∈ R } ，若 A∩ B=，求a的取范.

（1）明：在 f（ m+n） =f（ m） f（n）中，令 m=1，

n=0，得 f（ 1）=f （ 1）f（0） .

∵0＜ f（ 1）＜ 1，∴ f（ 0） =1.

x＜ 0，－ x＞ 0.令 m=x，n=－ x，代入条件式有f（0）=f（x）·f（－ x），而 f（ 0）=1，

∴ f（ x） =＞1.

f ( x)

（2）证明：设x1＜ x2，则 x2－ x1＞ 0，∴ 0＜ f（ x2－ x1）＜ 1.

令 m=x1， m+n=x2，则 n=x2－ x1，代入条件式，得f（ x2） =f（ x1）· f（ x2－ x1），

即 0＜f ( x2)

＜ 1.∴ f（ x2）＜ f （ x1） . f ( x1 )

∴ f（ x）在 R 上单调递减 .

（3）解：由 f ( x2 ) f ( y2 ) f (1) f (x2y2 ) f (1)

又由（ 2）知 f（ x）为 R 上的减函数，∴x2y 2 1 点集A表示圆 x2y21的内

部 .由 f（ ax－ y+2） =1 得 ax－ y+2=0点集 B 表示直线 ax－ y+2=0.

∵A∩ B=，∴直线 ax－ y+2=0 与圆x2y21相离或相切。

于是

21 3 a3

a21

设计意图：考察抽象函数的性质及抽象运算的能力和数形结合的思想。