抽象代数名词解释

1，抽象代数名词解释

1-1映上的映射（30 ）

当映射 f 是单射又是满射，称之为双射或f 是1-1 映上的。

2，二元运算（50）

设S上个非空集合，把S×S到S的映射称之为S上的二元运算，简称为S上运算。3，二元多项式（329）

设R是个有1的交换表达式f(x,y)=a0.0+a1.0x+a0.1y+a2.0x2 +a0.2y2+a1.1xy+…+a n.0x n+a n-1. 1

x n-1y+…+a0.n y n, a ij∈R,称为R上关于x,y的二元多项式。

4，子环（222）

设（R，+，·）上个环，S是R的一个非空子集，如果+和·也是S的运算，且（S，+，·）也是个环，则说（S，+，·）是（R，+，·）的一个子环。

5，子域（334）

设（F，+，·）是个域，F上的子集S称为（F，+，·）的子域。如果（1）（S，+，·）是（F，+，·）的子环，（2）（S，+，·）本身是个域。6，子集合（3）

设A，B都是集合，说集合A是集合B的子集合。

7，子集族（6）

设J是一共非空集合（可以有无限多个元素），每个j ∈J对应集合S的一个字集A j，则通常说｛A j︱A j?S，j ∈J｝是S的一个以J标号的字集族，J称为指标集。8，子集生成的子群（80）设G是个群，S为其一非空字集合，?为G的所有包含S的子群的族，则称子群I

?

∈

H

H为S在G中生成的子

群，记为〈S〉。

9，子集生成的理想（236）

设R是个环，T?R，ΦΦT

非空，作R的理想族B={I

是R的理想，T ?I}得到的

理想I

B

I

I

∈

称之为R的由子

集T生成的理想，记为

（T）。

10.子群（75）

设（G，·）是个群，如果G

的子集H对于·也构成群，

则说（H，·）是（G，·）的

子群。

10.么元（59）单位元，恒等

元，中性元

设·是集合A上的一个运

算，如果元素e∈A对任何a

∈A都有a*e=e*a=a，则说e

是A对于运算·的一个单位

元或恒等元，或么元、中性

元。

12．元素（1）

集合里的各个对象叫做这

个集合的元素。

13．元素的阶数（110）

群G中元素的个数称为G

的阶数。

14．无零因子环（217）

如果环R不含非零的零因

子，则称R为无零因子环。

15．不可约元（343）

D的元素a不是单位也不是

0且没有非平凡因子，则称

a为不可约元或既约元。

16．不交的循环（90）

循环（i1 i2‥i k）与（j1 j2‥

j k）称之为不交的。

17．不变子群，正规子群

（152）

设G是个群，H是G的一

个子群，如果H 在每个内

直同构映射之下都不变，即

对任意a∈G，对任意h∈H

都有aha-1∈H，则说H是G

的不变子群或正规子群。

18．不变子集（151）

若f是集合A到A本身的一

个映射，T是A的子集，且

f（T）?T，则说T上f的

一个不变子集。

19.内直和（272）

19．内直积（群的）（193）

20．分式域（310）

21.分配律（209）

22.分裂域（419）

设F是个域，f（x）是F上

的一个n次多项式，F的扩

张域E称为是f（x）的分裂

域。

21．分类（18）

一个集合B，如果有以?为

标集的子集族｛Ti|i∈?｝，

对任意i∈?,有Ti≠Φ,且

(1)T i∩Tj=Φ,,只要i≠j,

(2)B=Y

?

∈i

Ti

则说这是B的一个分类。

22．反序数（45）

数码1，2。……，n的每一

个有确定次序的排列称为

一个n排列,在一个n排列

中，如果有较大的数排在较

小的数之前，则说这两个数

构成一个反序，该排列中出

现的反序的个数称为是它

的反序数。

23．双射（30）

当映射f是单射又是满射

时，称之为双射。

24．双侧理想或双边理想

(234)

25．中心（群的）（79）

设G是个群，集合C＝｛a

∈G|ax=xa,对所有x∈G｝是

G的一个群，此群称为群G 的中心。

26．中性元或单位元、恒等元、么元（59）

设●是集合A上的一个运算，如果元素e∈A对任何a∈A都有a·e=e·a=a，则说e是A对于运算·的一个单位元

27．平凡子群（86）

对任意群G而言，G本身是G的一个子群，单独一个恒等元e也构成一个子群｛e｝，这两个子群称为G的平凡子群。

28．平凡因子（343）

对于a∈D，所有单位及与a 相伴的元素均称为a的平凡因子。

29．平凡理想（247）

对任意环R而言，R本身和｛0｝都是R的理想，通常称它们为R的平凡理想。30．左单位元（69）31．左逆元（69）32．左、右消去律（68）

设G为群，对任意a,b,c∈G,ab=ac蕴涵b=c,ba=ca蕴涵b=c,并分别称为左、右消去律。

33．左陪集（113）

A=,B为子群，则记aB＝AB，并称aB为B在G中的一个左陪集。

34．左理想（240）

设R是个环，R的非空子集S在其加法之下是R的加法子群，且对于任意r∈R，x ∈S恒有rx∈S,则说S是R 的一个左理想。

35．右理想（240）

36．右关系（112）

设H是群G的一个子群，H 在群G中确定关系～如下，a,b∈G,a～b当且仅当ab-1∈

H，称～是H在G中确定的

右关系。

37．可逆映射（35）

设f：A→B，说f是可逆影

射，如果有g：B→A使得g

○f=i A f。g=i B

38.可逆变换（144）

设（G，·）是个群。将G到

G的可逆映射称为G上.可

逆变换。

38．主理想（236）

如果T仅有元素（{a}）记

为(a)，并称为是由a生成的

主理想。

39．主理想整环（356）

如果整环D的每个理想都

是主理想，则说D是主理想

整环。

40．公因子（350）

设D是个整环，a1,…,a n∈

D,如果c∈D,c整除a1,…,a n

的每一个，则说c是元素

a1,…,a n的一个公因子。

41．代数元（384）

设域E是域F的扩张域，a

∈E。如果有F上非零多项

式f(x)使(fa)=0，则说a是F

上的一个代数元。

42．代数扩张（412）

设E是域F的一个扩张域，

如果任意a∈E都是F上代

数元，则说E是F的一个代

数扩张域或代数扩张。

43．代数扩张域（412）

44．代数封闭的（418）

域E称为是代数封闭的，如

果E没有真的代数扩张，此

时亦说E是个代数封闭域。

45．代数封闭域（418）

46．四元数环（283）

47．四元数除环（283）

48．四元数群（87）

49．对称群（87）

集合S={1，2，…，n}上所

有置换在映射合成之下构

成群，称这个群为n次对称

群，记为S n

50．外直积（122）

51．互素（350）

当一个单位是a1,…,a n的一

个最大公因子时，则说它们

是互素的。

52．有1环（217）

53．有单位元环（217）

设（R，+，·）是个环，如果

R的乘法有单位元e，则说

R是个有单位元环，或称有

1环。

54．有限扩张（402）

设E是域F的扩张域，如果

E在F上有基底，则说E是

F的一个有限扩张。

55．有限域（416）

域只含有限个元素时称为

有限域。

56．交集（4，6）

由任意集合A，B可决定一

集合{x|x∈A同时x∈B}称

为A和B的交集，记为A

∩B。

57．交代群（88）

58．交换群（72）

群（G，·）的运算通常称为

乘法。当群的运算·满足交

换律时，即称之为交换群或

阿贝尔群。

59．交换律（58）

设·是集合A上的一个运

算，如果对任意a，b∈A都

有a·b=b·a，则说运算·满

足交换律。

60．并集（4，6）

由任意集合A，B决定一个

集合{x|x∈A或者x∈B}称

为A和B的并集，记为A

∪B。

61．多项式（312）

设（S，+，·）是个有1的交换环，每个形如下面的表达式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a n x n （其中n为非零整数，a0，a1，…，a n∈S）均称为是环S上的一个关于x的多项式。

62．多项式的和（314）63．多项式的乘积（314）64．多项式的根（318）

设S是有1交换环，f(x) ∈S[x]，说元素r∈S是多项式f(x)的一个根。如果f(r)=0，也可以说r满足多项式f(x)。65．多项式的首系数（320）设D是个整环，多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+…a r x r+…+a n x n，a i∈D中，a r≠0,且当j＞r时有a j=0，即degf=r，则说a r是f(x)的首系数。66．自同态（270）

67．自同构（270）

68．自然同构（182）69．群的同态映射（160）设（G，·）是个群，（H，#）也是个群，那么G到H的映射f称为是G到H的同态映射，如果对任意a,b∈G 都有f(a 。b)=f(a)#f(b)。70．环的同态映射（252）设（R，+，·）和（S，#，⊙）都是环·R到S的映射Ψ称之为R到S的环的同态映射。如果对任意的a,b∈R 恒有Ψ(a+b)= Ψ(a)# Ψ(b), Ψ(a·b)=Ψ(a) ⊙Ψ(b).特别地，当Ψ是满射时，称S是R的同态像，当Ψ是满射又是单射时，说Ψ是R到S的环同构映射。71．同态像（168，257）

设Ψ是环（R，+，·）到环（S，#，⊙）的环同态映射，那么，称集合lmg(Ψ)={s∈S|有r∈R使s=Ψ(r)}为映射

Ψ的像，称集合

Ker(Ψ)={ r∈R|Ψ(r)=0}

为映射Ψ的核。

72．同态核（164，257）见

71

73．群的同构映射（130）

设（G，△）是个群，（H，·）

也是个群，如果f：G→H是

个双射，且对任意a,b∈G

恒有f(a△b)=f(a) ·f(b),则

说f是G到H的群同构映

射。

74．环的同构映射（252）

见70

75．关系（12）

设A 和B都是集合，任取

笛卡儿积A×B的一个子集

R我们都说确定了A和B

的一个关系R。对任意a∈

A，b∈B，如果(a ，b) ∈R，

则说 a 与b有R关系，记

为a R b；如(a ，b) R ,则

说a与b没有R关系.

76．原像(38)

对B的任意子集T，称A的

子集{x∈A|f（x）∈T}为T

在f之下的原像。

77．扩张次数（402）

基底所含元素的个数（这里

由E和F唯一确定的一个正

整数）称为E在F上的扩张

次数。

78．阶数（110）

群G中元素的个数称为G

的阶数。

79．体（282）

80．克莱因四元群（143）

81．克莱因四元数群（87）

82．投影（28）

设A，B是集合，规定，任

意元素(a，b) ∈A×B对应

a，这是笛卡儿积A×B到A

的映射，记为P A，即P A(（a，

b）)= a，对任意(a，b) ∈A

×B，该映射称为A×B到

A的投影。

83.完全集（20）

设～是集合A上的一个等

价关系，说A的子集T是关

系～下的一个等价类表示

的完全集，简称完全集。

83．系数（312）

设（S，+，·）是个有1的交

换环，每个形如下面的表达

式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a n x n

（其中n为非零整数，a0，

a1，…，a n∈S）均称为是环

S上的一个关于x的多项

式。其中a i x i称为是多项式

f(x)的i次项，a i称为f(x)的

第i次项系数。

84．运算（50）

设S是个非空集合，把S×

S到S的映射称之为S上的

二元运算，简称为S的运算。

85．运算表（51）

86．单位（221）

设R是有单位元1的环，R

的元素a称为R的一个单

位。如果有b∈R使ab=ba=1.

87．单射（30）

若对任意a,b∈A，f(a)=f(b)

蕴涵a=b，则说f是单射或

f是单的。

88．单的（映射）（30）见

87题

89．单同态（270）

单的同态映射称为单同态。

90.单环（247）

如果环R只有两个理想R

和（0），那么R的商环极为

明了，这种环称为单环或单

纯环。

91.单纯环（247）

92.单群（159）

93.单纯扩张（382）

94.单纯扩张域（382）

95.奇置换（47）

96．环（208）

97．极小多项式（385）98．极大理想（294）99．空集（3）

100．周期（110）

101．线性无关（396）102．线性相关（395）103．线性组合（398）104．定义域（39）105．拉格朗日定理（115）106．欧氏环（360）107．映射（26）

108．逆元素（65）109．逆映射（37）110．恒等映射（26）111．指标集（6）

112．相伴（343）

113．既约元（343）114．结合环（208）115．结合律（55）116．素元（349）

117．素理想（297）118．素域（335——119．哈密尔顿四元数环（283）

120．除环（282）

121．除体（282）

122．复合（映射）（31）123．真子集（3）

124．乘积（群的子集）（113）125．根（318）

126．特征数（288）127．换位子群（159）128．高斯环（361）129．消去律（68）130．陪集（113，173）131．唯一分解整环（345）132．值域（39）

133．偶置换（47）134．域（282）

135．商环（243）

136．商集（21）137，商群（175）

138．理想（234）

139．理想子环（234）

140．基底（398）

141．添加（382）

142．笛卡尔积（10）

143．斜域（282）

144．常数项（312）

145．集合（1）

146．最小子域（338）

147．最大公因子（350）

148．等价关系（17）

149．等价类（18）

150．等价类表示的完全集

（20）

151．像（30，38）

152．循环（89）

153．循环群（100）

154．超越元（385）

155．幂集（4）

156．剩余环（243）

157．零因子（217）

158．群（64）

159．置换（43）

160．整除（342）

161．整区（217）

162．整环（217）

163．整数模n关系（23）

164．满射（30）

165．满的（映射）（30）

166．满同态（环的）（270）

抽象代数复习题

第一章第三节

命题1、设~是集合A上的一个

等价关系，则对每个x∈A，Sx

非空；对任意x，y∈A，若Sx

≠Sy，则必有Sx∩Sy=Φ；A恰

为其所有不同的等价类的并集。

（P18）

命题2、若有集合A的一个分类，

即有A的子集族Si，i∈△满足：

（1）Si ISj=Φ，i≠j，

（2）A = YSi

i∈△

规定，对任意a、b∈A，a~b当

而且仅当a与b属于同一Si，则

~为A上等价关系，且诸Si，i

∈△恰为~对应的不同的等价

类。（P19）

第四节

定理1、如果R是集合A和集合

B的一个映射关系，对任意a∈

A，有唯一确定的b∈B使（a，

b）∈R。我们规定a对应这个b，

并把此规则称为f，则f是A到

B的映射。反之，若f是集合A

到集合B的一个映射，令R｛（a，

b）∈A×B∣b=f（a）｝就得到A

和B的一个映射关系。（P26）

定理2、映射f：A→B是可逆的，

必要而只要，f是双射。（P36）

引理1、对任意m∈I，恒有q，

r∈I使得m=q．n+r，0≤r﹤n，

而且，满足上述要求的q，r均

又m唯一确定。（P36）

命题1、设f：A→B，g：B→C，

h：C→D。则h。（g。f）=（h。

g）。f（P32）

命题2、设f：A→B，则f。i A=i B。

f=f（P34）

命题3、设f：A→B，g：B→C，

那么，

（1）如果f和g都是满的，则g。

f亦然；

（2）如果f和g都是单的，则g。

f亦然；

（3）如果g。f是满的，则是g

满的；

（4）如果g。f是单的，则是f

单的。（P34）

命题4、设f：A→B是可逆映射。

那么，使得f。g= i B，g。f= i A

的g：B→A是由f唯一确定的（此

时记g=f -1）（P37）

命题5、设f：A→B，S是A的

自己，则f∣s=f。i B.

命题6、设f：A→B，对B的任

意子集T，都有f（f -1（T））=T

∩Img（f）

第五节

命题1、S上有n！个不同的置

换。

命题2、若把一个n排列中某相

邻两位数码互换位置，则所得到

的新排列的反序数与原排列的

反序数差1。

命题3：当n＞1时，n！个n排

列中，反序数为偶数者恰有一

半，即n！/2个。（P46）

命题4、将一n排列之两数码（未

必相邻）对调，得到的新排列与

原排列的反序数奇偶性相反。

（P46）

命题5、偶置换P用任意方式给

出P=

i1i ∧i n

P（i1）P（i2）∧P(i n)

其上两排排列的反序数之差恒为偶数，P为奇置换，则任意一个n排列i1，i2，∧，i n的反序数与P（i1），P（i2），∧，P(i n)的反序数之差恒为奇数。（P47）

命题6、两个奇偶性相同的置换复合后为偶置换，两个奇偶性相反的置换复合后为奇置换。（P48）

命题7、置换P的逆映射（在此处称为逆置换）P-1与P的奇偶性相同。（P49）

第六节

引理1、任意两个非零证书a、b 恒有高公因子d，且必有s，t∈I 使d=sa+tb。（P53）

引理2、设b为正证书，a为任意证书，则a和b的最高公因式d可表为d=sa+tb，s，tI，

0≤s＜b。（P54）

推论1、设P为素数，对任意i*∈I P，如果

i≠0，则必有j＜p使

i*×j*=l*。

命题1、给定A上运算·和任意（有序的）元素a1，a2，…，a n，如果运算·满足合律，那么I=1，2，…，t都有程序i（a1，a2，…，an）=a1·a2·…·a n。（P57）

命题2、设·是A上的一个运算。如果运算·适合结合律和交换律，那么n个元素a1，a2，…，a n的任何一个顺序的任意一个运算程序，程序l（a1，a2，…，a n），都等于。a1·a2·…·a n其中i1，I2，…，i n是数码1，2，…，n的一个排列。（P58）

命题3、集合A对其上的运算·而言，如果有恒等元，则必唯一。（P60）

第二章第一节

命题1、设（G·）是个群，那么G中任意元素a只有唯一的一个逆元素。（P67）

命题2、设G是个群，对任意a，b∈G有

（a-1）-1=a，b-1a-1=

（ab）-1（P68）

命题3、设G为群，对任意a，b，c∈G，ab=ac蕴涵b=c，ba=ca，蕴涵b=c，并分别称为左，右消去律。（P68）

推论1、如果G是个群，a1a2…

a k∈G，则

（a1a2∧a n）-1=a k-1∧a2-1a1-1

定理1、设·是集合G上的一个运算，只要它们满足：（1）结合律，（2）有左单位元e，即有e ∈G，对任意a∈G都有ea=a，

（3）有左逆元，对于e，每个元素a

∈G都有b∈G使得ba=e，则

（G·）是个群。

定理2、设·是集合G上的一个

运算且满足结合律，那么（G·）

是个群，必要而只要，对a，b

∈G都有唯一确定的c，d∈G使

得a·c=b，d·a=b。

命题4、对任意正整数n都有a -n=

（a-1）n（P70）

命题5、设a是群G的一个元素，

对任意整数m，n都必有a n a m=

a m+n，（a n）m=a nm（P71）

第二节

命题1、如果H是G的子群，那

么H的恒等元f等于G的恒等

元e；也就是说e∈H。（P76）

定理1、设（G，·）是个群，H

是G的子群，那么H是G的子

群，当而且仅当（1）H非空，（2）

如果a，b∈H，则a·b∈H，（3）

如果a∈H则a在G中的逆元a-1

∈G。（P76）

定理2、设G是个群，H是G的

子集，那么，H是G的子群，当

而且仅当（1）H非空，（2）对

任意a，b∈H，都有ab-1∈H。

（P77）

命题2、设G是个群，对于G的

任意一个子群族｛H i∈G︱H j为

G的子群，j∈J｝其交集

H= I H j仍为G的

j∈J

子群。（P77）

命题3、设G是个群，a是G的

元素，则＜｛a｝＞=｛a i︱i∈I｝

（P80）

定理3、设S是群G的一个非空

子集，G中所有形如g1l1g2l2∧g m

lm，0＜m∈I，g1，∧，g m∈S，

t1∧t m∈I的元素构成G的一个

子集H，则＜S＞=H（P82）

第三节

定理1、在S n中任何一个不等于

恒等映射的置换必可表示成若

干个互不相交的循环的乘积。

定理2、设P是个n置换，P=P1

∧P L=Q L∧Q k。

命题1、当n≥3时，S n不是可

交换的（P88）

命题2、若（i1，i2，∧，i k）与

（j1，j2，∧，j k）不交，则它们

可交换（P90）

命题3、任意一个k循环都可以

表示成若干个2循环的乘积

（P93）

命题4、在S n中，k循环P生成

的子群是＜P＞=｛I，P，∧P k-1｝

（P94）

命题5、设S=｛1，2，∧n｝，G

是S上的一个置换群。对于S的

任意一个子集T，令G T=｛P∈G

︱P（t）=t，对于每个t∈T｝。

则G T是G的一个子群。（P94）

命题6、设S=｛1，2，∧n｝，G

是S上的一个置换群，T是S的

一个子集。令G T=｛P∈G︱P（t）

T｝，则G T是G的一个子群。

（P94）

第四节

命题1、设G是个群，g∈G，如

果有不同的整数r和k使得g

r=g k，则存在一个m使得

（1）g m=e，e是G的恒等元；

（2）l≤i≤j≤m时，

g i≠g j；（3）如果有整数t，g t

≠e，则m/t；

（4）＜g＞=｛e，g，

g 2，∧，g m-1｝。（P101）

命题2、设G是个群，g∈G，如

果对任意不同的整数r，k都有

g r≠g k，则＜g＞是个无限群（即

有无限多个元素）（P102）

定理1、设g是循环群，G的一

生成元，那么（1）当有正整数r

≠k，使g r=g k时，G=｛e，g，∧，

g m-1｝，对任意l≤i≤j≤m，均有

g i≠g j；（2）当对任意正整数

r≠k均有g r≠g k时，G=｛∧，g

-1，e，g，g2，∧｝，它又称为循

环群结构定理。（P102）

命题3、设g=｛e，g，∧，g m-1｝，

正整数p与m互素且p＜m…那

么G＜g p＞（P102）

命题4、无限循环群的每个子群

都是循环群。（P103）

命题5、在I 中，如果[a1]=[a2]，

[b1]=[b2]，则[a1+ b1] =[ a2+ b2]。

（P106）

命题6、（I，⊕）是个交换群。

（P106）

第五节

命题1、设a是群G的一个元素，

那么a的阶数与子群＜a＞的阶

数相等。（P111）

命题2、设H是群G的子群，则

H在G上确定的右关系∽是个

等价关系。（P112）

命题3、设H是G的子群，∽是

H在G中确定的右关系，那么元

素a∈G在等价关系∽之下的等

价类恰好是H的右陪集Ha。

（P114）

推论：设H是群G的子群，a，

b∈G，那么ab -1∈G，当且仅当

Ha=Hb。

命题4、如果H是群G的有限子

集，则子集Ha的元素个数等于

H的阶数。（P115）

拉格朗日（Lagrange）定理：设G是个有限群，那么G的任意子群H的阶数一定整除G的阶数，即︱H︱︱G︱。（P115）

推论1、设G是个有限群，那么它的任意元素a的阶数都能整除G的阶数。

推论2、设G是个有限群，︱G ︱是个素数，那么G只有｛e｝和G两个子群。

推论3设G是个有限群，︱G︱是儿歌素数，那么G必为循环群。

命题5、设G是个有限交换群，如果a∈G得阶数t大于等于G 中所有元素的阶数，那么每个元素的阶数均可整除t。（P117）

第三章第一节

命题1、设（G，△）和（H，。）是群，f是（G，△）到（H，。）的同构映射，那么f（e G）=e H。（P132）

命题2、设（G，△）和（H，。）是群，f是（G，△）到（H，。）的同构映射，那么对于G中之任意元素a，都有f（a -1）=f（a）-1。其中f（a）-1即H中元素f （a）的逆元。（P132）

命题3、设A=｛（G，△），（H，。），（K，＃），∧｝是由一些群构成的一个集合，我们在A中定义关系≈，（G，△）≈（H，。）当而且仅当G同构H，那么，≈是A 上的等价关系。（P132）

命题4、任意n阶循环群都同构于（I n，+）。（P133）

命题5、任意无限循环群都同构于整数加法群（I，+）。（P134）命题6、设群（G，△）同构于群（H，。），而G是个循环群，则H也是循环群。（P135）

命题7、设A是由n个元素的集合，G是A到A的所有可逆映射在映射合成之下做成的群，那么G同构于S n。（P138）

第二节

命题1、G的所有自同构的集合Aut（G）是I（G）的一个子群。（P144）

命题2、设G是个群，a是G的一个固定元素，通过a可以得到G上的一个变换λa，规定每个x ∈G对应ax，即λa（x）=ax，x ∈G。则λa是G上的可逆变换，称为a左乘变换。（P145）

命题3、设G是个群，G中元素的所有左乘变化的集合L=｛λa ︱a∈G｝是I（G）的一个子群。（P146）

命题4、设G为任意一个群，L

是其元素导出的所有左乘变换

形成的群，则G同构于群L。

（P147）

定理：每个群G都同构于其上所

有可逆变换做成的群I（G）的一

个子群。（P148）

推论：每个n阶有限群必同构于

n阶对称群S n的一个子群。

命题5、设G是个群，a是G的

一个固定元素，通过a可导出一

个G到G的映射γ，

γa（x）=axa-1，x∈G。那么γ

必为G到G的同构映射（P151）。

命题6、设H是群G的子群，那

么H是G的不变子群的充分必

要条件是对任意g∈G，gh=Hg。

（P153）

命题7、设N和H都是群G的

不变子群，则NH也是G的不变

子群。（P154）

命题8、设G是个群，N a都是G

的不变子群，a∈M。那么N= I

N a

a∈M

也是G的不变子群。（P155）。

第三节

命题1、设f是群（G，。）到（H，

#）的同态映射，那么f（e G）=e H。

（P163）

命题2、设f是群（G，。）到群（H，

#）的同态映射，那么，对G中

任意元素g，元素f（g）在H中

的逆元素恰为

f（g-1），即f（g）-1=

f（g-1）。（P163）

命题3、设f是群（G，。）到群（H，

#）的同态映射，H中恒等元e H

的原像K=f-1（e H）=｛g∈G︱f

（g）= e H｝是G的不变子群。

（P163）

命题4、如果f是群（G，。）到群

（H，#）的同态映射，g是群（H，

#）到群（K，*）的同态映射，

则gf是群（G，。）到群（K，*）

的一个同态映射。（P165）

定理1设f是群（G，。）到群（H，

#）的同态映射，g是群（H，#）

到群（K，*）的同态映射，那么

有Ker（gf）=

f-1（Ker（g））（P165）

定理2、设f是群（G，。）到群（H，

#）的同态映射，g是群（H，#）

到群（K，*）的同态映射，那么

Img（gf）=g（Img（f））。（P167）

命题5、设f是群（G，。）到群（H，

#）的同态映射，如果A是G的

子群，则f（A）是H的子群，

如果B是H的子群，则f-1（B）

是G的子群。（P167）

命题6、、设f是群（G，。）到群

（H，#）的满同态映射，A是G

的不变子群，B是H的不变子群。

那么，f（A）是H的不变子群，

f-1（B）是G的不变子群。（P168）

定理3、设f是群（G，。）到群（H，

#）的同态映射，那么，f是单射

的充分必要条件是Ker（f）=

｛e G｝。（P169）

命题7、设f是群G到群H的同

态映射，B是H的子群，则f（f-1

（B））=BI Img（f）。（P169）

命题8、设f是群G到群H的同

态映射，A是G的子群，则f-1

（f（A））=Aker（f）。（P169）

命题9、群到群的满同态映射

f是同构映射，当而且只当，Ker

（f）=｛e H｝。（P171）

第四节

定理1、设N是群（G，。）的一

个不变子群，G/N代表G对N

的所有陪集构成的集合，规定，

任意，An，bN∈G/N，对应G/N

的元素（a。b）N，则得到G/N

的一个运算，记为#，即aN#bN=

（a。b）。进一步，（G/N，#）是

个群。（P174）

定理（同态基本定理）：设（G，。）

和（H，*）都是群，f是G到H

的满同态映射，Ker（f）=K，那

么有映射φ：G/K→H，使得φ

（aK）=f（a），对于每个aK∈

G/K，且φ是G/K到H的同构映

射，从而G/K≈H。（P183）

命题1、如果G是个群，N是G

的不变子群，那么映射f：G→

G/N，

f（a）=An，对任意a∈G，是满

同态映射，且Ker（f）=N。（P181）

第四章第一节

命题1、设（R，+，·）是个环，

0是R的零元素，-a代表（R，+）

中a的负元素。那么，对任意a，

b，c∈R，有（1）0·a=a·0=0

（2）a·（-b）=（-a）·b= -a·b

（3）（-a）·（-b）=a·b

（4）a·（b-c）=a·b - a·c

（5）（a-b）·c=a·c-b·c（P216）

命题2、如果（R，+，·）是个整

区，那么R的乘法满足消去律；

即a，b，c∈R，a≠0，则a·b=a·c

蕴涵b=c。（P218）

第二节

命题1、设（R，+，·）是个环，

S是R的非空子集，那么S是R

的子环的充分必要条件是（1）

对任意a，b∈S，有a+b∈S；

（2）对任意a∈S，有-a∈S；（3）对任意a，b∈S，有a·b ∈S。（P223）

命题2、设（R，+，·）是个环，S是R的非空子集，那么S是R 的子环的充分必要条件是（1）（S，+）是（R，+）的子群；（2）对任意a，b∈S，有a·b ∈S。（P225）

命题3、设（R，+，·）是个环，S是R的非空子集，那么S是R 的子环的充分必要条件是（1）*对任意a，b∈S，有a-b∈S；（2）*对任意a，b∈S，有a·b ∈S。（P226）

命题4、设Sα，α∈I，都是环R的子环，那么，它们的交集

S= I S必然也是R

α∈I

的子环。（P226）

命题5、设R是个环，α∈R，那么，R中所有形如ma，ma+na2，…

m1a+m2a2+…+m t a t，…的元素（其中t是正整数，m，n，m t，都是整数）做成的集合S恰好就是a 生成的子环＜a＞。（P227）

命题6、设T是环R的非空子集，则T在R中生成的子环恰为由下述形式元素组成的集合，

a1+…+a n+b1c1+…+b m c m+d1e1f1+…d t e t f t+…+x1x2…x1+…+z1z2…z1，其中诸a i，b j，…，z k均为T中元素或它们的负元。（P229）

命题7、设R是个环，Aα，α∈I，都是R的理想，那么它们的交集A= I Aα必然也是R α∈I

的理想。（P235）

定理1：设T是环R的非空子集，那么，R中所有形如（*）上午元素的集合恰为（T），所谓（*）型元者乃有如n1a1+…+n t a t+r1b1+…r k b k+c1s1+…+c l s l+x1d1y1+…+x i d i y i，其中n1，…，n t是整数，a1，…，a t；b1，…，b k；c1，…，c l和d1，…，d i是T中元素。而r1，…，r k；s1，…，s l和x1，…，x i及y1，…，y i是R的元素。（P236）

推论2：设R是个有恒等元素e 的环，a∈R那么a生成的主理想（a）恰为所有形如下的元素构成的集合：x1ay1+…+x j ay j，其中x1，…，x j和y1，…，y j是R的任意元素。

命题8、设A，B是R的理想，那么A+B=（A Y B）。（P238）第三节

定理1、设（R，+，·）是个环，

A是R的理想。作为加法群，得

商群R=R/A，加法#。在加法群

R中再定义乘法，任意a+A，b+A

∈R，对应ab+A，记为（a+A）

⊙（b+A）=ab+A。则（R，#，

⊙）是个环。（P241）

第四节

命题1、设Ф是环（R，+，·）到

环（S，#，⊙）的环同态映射。

那么Ф的像Img（Ф）是环S的

子环。注：一般的，Img（Ф）

未必是环S的理想。（P257）

命题2、设Ф是环（R，+，·）到

环（S，#，⊙）的同态映射。如

果Ф是满的，R有恒等元e，则

环S必有恒等元，而且恰好就是

Ф（e）。注：一般的，e是R的

恒等元，Ф不是满射，则Ф（e）

未必是S的恒等元。（P358）

命题3、设Ф是环（R，+，·）到

环（S，#，⊙）的满的同态映射。

那么，如果R是交换的，则S

必然也是交换的。（P259）

命题4、设Ф是环（R，+，·）到

环（S，#，⊙）的同态映射，ψ

是（S，#，⊙）到环（K，*，△）

的同态映射，那么符合映射ψ。

Ф是（R，+，·）到（K，*，△）

的环同态映射。（P259）

命题5、设Ф是环（R，+，·）到

环（S，#，⊙）的同态映射。那

么Ф是核Ker（Ф）必然是环R

的理想。（260）

命题6、A是环R的理想，那么

Ф：r→r+A是环R到环R/A的满

的同态映射。（P260）

命题7、设f是环（R，+，·）到

环（S，#，⊙）的满的同态映射，

Ker（f）=A。那么R/A同构于环

（S，#，⊙）。注：通常把命题

6和上面的定理合起来称为环同

态基本定理。（P261）

第五章第一节

命题1、只含有限个元素的整环

必为域。（186）

命题2、域不含非平凡的理想。

（P288）

命题3、设φ是环R到S的环同

态，且帷幔设。如果R是个域，

则φ或者为同构映射，或者将R

所有的元映成S的零元（φ是零

同态）。（P288）

命题4、有限环的特征数必整除

其元数。（P289）

命题5、域F的特征数或为0或

为素数。（P290）

命题6、设域F的特征数为P≠0，

那么，对任意a，b∈F，恒有（a+b）

P=a P+b P。（P290）

命题7、设环（R，+，·）由1。

那么，当1在群（R，+）中阶数

无限时，R之特征数为0；当1

的阶数为正整数n时，R之特征

数恰为n。（P291）

第二节

定理1、设R是个有1的交换环，

A是它的一个理想。那么，剩余

环R/A为域的充分必要条件是A

为R的极大理想。（P296）

命题1、设R是个交换环，那么，

环R的理想P（≠R）为其素理

想的充分必要条件是剩余环R/P

为无零因子环。（P298）

命题2、设R是个环，A是R的

理想。环R/A为交换环的充分必

要条件是A包含R中所有形如

xy-yx，x，y∈R的元素。（P299）

第三节

命题1、设R是个环，I是整数

环，在集合I×R中，规定运算，

对任意（m，a），（n，b）∈R，

（m，a）#（n，b）=（m+n，a+b），

（m，a）⊙（n，b）=（mn，

mb，+na+ab）。则（I×R，#，⊙）

是个环，R同构于它的一个子环。

（P302）

命题2、特征数为n的环恒同构

于一个特征数为n的有1环的子

环。（P303）

定理1、设R是个交换环的无零

因子环。那么，R必同构于某个

域的一子环。（P303）

第四节

命题1、设R是个由1的交换环，

R[X]是R上关于X的多项式环。

那么，取定u∈R时，

φ：a0+a1x+∧+aｎxｎ→a0+a1u+∧

+aｎuｎ是环R[x]到R的环同态映

射。（P317）

定理：设F是个域。那么，环F[x]

的每个理想都是一个主理想。

（P322）

命题2、设F是个域，f（x）∈

F[x]，a∈F，那么，a是f（x）

的根，当而且仅当x-a整除f（x）。

（P324）

第五节

命题1、设S是F的一个子环，

且至少含2个元素，那么，S是

F的子域，当且仅当，s∈S，s

≠0，蕴涵s -1∈S，其中s -1代表

s在域F中的逆元素。（P334）

定理1、设（F，+，·）是个域，

那么，F的素域P或者同构于有

理数域或者同构于I p，其中p是

个素数。（P336）

推论：域F的素域同构于I p充要条件是它的特征数为P；F的素域同构于Q的充分必要条件是F 的特征数为0。（P338）

第六章第二节

命题1、设D是个主理想整环，p∈D，p≠0。那么，下列说法等价：（1）p是D的一个素元；（2）（p）是D的一个极大理想；（3）（p）是D的一个素理想。（P358）定理1、每个主理想整环D都是唯一分解整环。（P359）

命题2、设D对映射d是个欧氏环，a∈D，a≠0。那么a为单位的充分必要条件是d（a）=d（1）。（P363）

定理2、每个欧氏环都是主理想整环。（P363）

第三节

定理：如果D是唯一分解整环，则D[x]也是唯一分解整环。

第七章第一节

命题1、设F是个域，E是F的单纯扩张，E=F（a）。那么，或者E同构于F[x]的分式域F｛x｝，或者有F上的不可约多项式p （x），使F（a）=F[x]/（p（x））。（P382）

命题2、设E是域F的扩张域。如果a∈E是F上的代数元，则必有F上的不可约多项式

p（x）使得：

（1）p（a）=0；

（2）任意f（x）∈F[x]只要f（a）=0，则

f（x）∈（p（x）），即p（x）︱f（x）。（P385）

定理：设E是域F的一个扩张域。S，T E，那么，F（S）（T）=F （SYT）。（P394）

第二节

定理1、设E是域F的有限扩张域，D是域E的有限扩张域。那么D必为F的有限扩张，而且[D：F]=[D：E][E：F]。（P402）定理2、设D，E，F都是域，F E D，且DF的有限扩张，则E是F的有限扩张，而且[E：F] ︱[D：F]。（P405）

第三节

命题1、如果E是域F的有限扩张，那么它一定是F的一个代数扩张。（P412）

命题2、设E是域F的一个扩张域，如果a，b∈E都是F上的代数元，那么a+b，a-b，ab都是F 上代数元；当b≠0时，ab-1也是域F上的代数元。（P413）

定理：设D，E，F都是域，而且E是F的代数扩张，D是E

的代数扩张，那么D也是F的代

数扩张。（P414）

命题4、设F是个有限域，P是

F的素域，那么F必为P的有限

扩张。设[F：P]=n，则F的元数

恰好是pｎ，其中p是P的元数。

（P416）

1、象代数名词解释

1-1映上的映射（30 ）

当映射 f 是单射又是满射，

称之为双射或 f 是1-1 映上

的。

10，二元运算（50）

设S上个非空集合，把S×S到

S的映射称之为S上的二元运

算，简称为S上运算。

11，二元多项式（329）

设R是个有1的交换表达式

f(x,y)=a0.0+a1.0x+a0.1y+a2.0x2+a0.2y

2+a1.1xy+…+a n.0x n+a n-1.1x n-1y+…

+a0.n y n, a ij∈R,称为R上关于

x,y的二元多项式。

12，子环（222）

设（R，+，·）上个环，S是R的

一个非空子集，如果+和·也是

S的运算，且（S，+，·）也是个

环，则说（S，+，·）是（R，+，·）

的一个子环。

13，子域（334）

设（F，+，·）是个域，F上的子

集S称为（F，+，·）的子域。如

果（1）（S，+，·）是（F，+，·）

的子环，（2）（S，+，·）本身是

个域。

14，子集合（3）

设A，B都是集合，说集合A是

集合B的子集合。

15，子集族（6）

设J是一共非空集合（可以有无

限多个元素），每个j∈J对应集

合S的一个字集A j，则通常说｛A j

︱A j

?S，j∈J｝是S的一个以J

标号的字集族，J称为指标集。

16，子集生成的子群（80）

设G是个群，S为其一非空字集

合，?为G的所有包含S的子

群的族，则称子群I

?

∈

H

H为S

在G中生成的子群，记为〈S〉。

17，子集生成的理想（236）

设R是个环，T?R，ΦΦT非空，

作R的理想族B={I是R的理想，

T ?I}得到的理想I

B

I

I

∈

称之为

R的由子集T生成的理想，记

为（T）。

10.子群（75）

设（G，·）是个群，如果G的子

集H对于·也构成群，则说（H，·）

是（G，·）的子群。

10.么元（59）单位元，恒等元，

中性元

设·是集合A上的一个运算，如

果元素e∈A对任何a∈A都有

a*e=e*a=a，则说e是A对于运

算·的一个单位元或恒等元，或

么元、中性元。

12．元素（1）

集合里的各个对象叫做这个集

合的元素。

13．元素的阶数（110）

群G中元素的个数称为G的阶

数。

90．无零因子环（217）

如果环R不含非零的零因子，则

称R为无零因子环。

91．不可约元（343）

D的元素a不是单位也不是0且

没有非平凡因子，则称a为不可

约元或既约元。

92．不交的循环（90）

循环（i1 i2‥i k）与（j1 j2‥j k）

称之为不交的。

93．不变子群，正规子群（152）

设G是个群，H是G的一个子

群，如果H 在每个内直同构映

射之下都不变，即对任意a∈G，

对任意h∈H都有aha-1∈H，则说

H是G的不变子群或正规子群。

94．不变子集（151）

若f是集合A到A本身的一个映

射，T是A的子集，且f（T）?T，

则说T上f的一个不变子集。

19.内直和（272）

95．内直积（群的）（193）

96．分式域（310）

21.分配律（209）

22.分裂域（419）

设F是个域，f（x）是F上的一

个n次多项式，F的扩张域E称

为是f（x）的分裂域。

97．分类（18）

一个集合B，如果有以?为标集

的子集族｛Ti|i∈?｝，对任意i

∈?,有Ti≠Φ,且

(1)T i∩Tj=Φ,,只要i≠j,

(2)B=Y

?

∈i

Ti

则说这是B的一个分类。

98．反序数（45）

数码1，2。……，n的每一个有

确定次序的排列称为一个n排列,

在一个n排列中，如果有较大的

数排在较小的数之前，则说这两

个数构成一个反序，该排列中出

现的反序的个数称为是它的反

序数。

99．双射（30）

当映射f是单射又是满射时，称之为双射。

100．双侧理想或双边理想(234)

101．中心（群的）（79）

设G是个群，集合C＝｛a∈G|ax=xa,对所有x∈G｝是G的一个群，此群称为群G的中心。102．中性元或单位元、恒等元、么元（59）

设●是集合A上的一个运算，如果元素e∈A对任何a∈A都有a·e=e·a=a，则说e是A对于运算·的一个单位元

103．平凡子群（86）

对任意群G而言，G本身是G 的一个子群，单独一个恒等元e 也构成一个子群｛e｝，这两个子群称为G的平凡子群。104．平凡因子（343）

对于a∈D，所有单位及与a相伴的元素均称为a的平凡因子。105．平凡理想（247）

对任意环R而言，R本身和｛0｝都是R的理想，通常称它们为R 的平凡理想。

106．左单位元（69）107．左逆元（69）108．左、右消去律（68）设G为群，对任意a,b,c∈G,ab=ac 蕴涵b=c,ba=ca蕴涵b=c,并分别称为左、右消去律。

109．左陪集（113）

A=,B为子群，则记aB＝AB，并称aB为B在G中的一个左陪集。110．左理想（240）

设R是个环，R的非空子集S在其加法之下是R的加法子群，且对于任意r∈R，x∈S恒有rx∈S,则说S是R的一个左理想。111．右理想（240）112．右关系（112）

设H是群G的一个子群，H在群G中确定关系～如下，a,b∈G,a～b当且仅当ab-1∈H，称～是H在G中确定的右关系。113．可逆映射（35）

设f：A→B，说f是可逆影射，如果有g：B→A使得g○f=i A f。g=i B

38.可逆变换（144）

设（G，·）是个群。将G到G的可逆映射称为G上.可逆变换。114．主理想（236）

如果T仅有元素（{a}）记为(a)，并称为是由a生成的主理想。115．主理想整环（356）如果整环D的每个理想都是主

理想，则说D是主理想整环。

116．公因子（350）

设D是个整环，a1,…,a n∈D,如果

c∈D,c整除a1,…,a n的每一个，

则说c是元素a1,…,a n的一个公

因子。

117．代数元（384）

设域E是域F的扩张域，a∈E。

如果有F上非零多项式f(x)使

(fa)=0，则说a是F上的一个代

数元。

118．代数扩张（412）

设E是域F的一个扩张域，如果

任意a∈E都是F上代数元，则

说E是F的一个代数扩张域或代

数扩张。

119．代数扩张域（412）

120．代数封闭的（418）

域E称为是代数封闭的，如果E

没有真的代数扩张，此时亦说E

是个代数封闭域。

121．代数封闭域（418）

122．四元数环（283）

123．四元数除环（283）

124．四元数群（87）

125．对称群（87）

集合S={1，2，…，n}上所有置

换在映射合成之下构成群，称这

个群为n次对称群，记为S n

126．外直积（122）

127．互素（350）

当一个单位是a1,…,a n的一个最

大公因子时，则说它们是互素

的。

128．有1环（217）

129．有单位元环（217）

设（R，+，·）是个环，如果R

的乘法有单位元e，则说R是个

有单位元环，或称有1环。

130．有限扩张（402）

设E是域F的扩张域，如果E

在F上有基底，则说E是F的一

个有限扩张。

131．有限域（416）

域只含有限个元素时称为有限

域。

132．交集（4，6）

由任意集合A，B可决定一集合

{x|x∈A同时x∈B}称为A和B

的交集，记为A∩B。

133．交代群（88）

134．交换群（72）

群（G，·）的运算通常称为乘法。

当群的运算·满足交换律时，即

称之为交换群或阿贝尔群。

135．交换律（58）

设·是集合A上的一个运算，如

果对任意a，b∈A都有a·b=b·a，

则说运算·满足交换律。

136．并集（4，6）

由任意集合A，B决定一个集合

{x|x∈A或者x∈B}称为A和B

的并集，记为A∪B。

137．多项式（312）

设（S，+，·）是个有1的交换环，

每个形如下面的表达式

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（其中

n为非零整数，a0，a1，…，a n∈S）

均称为是环S上的一个关于x的

多项式。

138．多项式的和（314）

139．多项式的乘积（314）

140．多项式的根（318）

设S是有1交换环，f(x) ∈S[x]，

说元素r∈S是多项式f(x)的一个

根。如果f(r)=0，也可以说r满

足多项式f(x)。

141．多项式的首系数

（320）

设D是个整环，多项式

f(x)=a0+a1x+a2x2+…a r x r+…+a n x n

，a i∈D中，a r≠0,且当j＞r时有

a j=0，即degf=r，则说a r是f(x)

的首系数。

142．自同态（270）

143．自同构（270）

144．自然同构（182）

145．群的同态映射（160）

设（G，·）是个群，（H，#）也

是个群，那么G到H的映射f

称为是G到H的同态映射，如

果对任意a,b∈G都有f(a 。

b)=f(a)#f(b)。

146．环的同态映射（252）

设（R，+，·）和（S，#，⊙）都

是环·R到S的映射Ψ称之为R

到S的环的同态映射。如果对任

意的a,b∈R恒有Ψ(a+b)= Ψ

(a)# Ψ(b), Ψ(a·b)=Ψ(a)

⊙Ψ(b).特别地，当Ψ是满射

时，称S是R的同态像，当Ψ是

满射又是单射时，说Ψ是R到S

的环同构映射。

147．同态像（168，257）

设Ψ是环（R，+，·）到环（S，#，

⊙）的环同态映射，那么，称集

合lmg(Ψ)={s∈S|有r∈R使s=

Ψ(r)}为映射Ψ的像，称集合

Ker(Ψ)={ r∈R|Ψ(r)=0}为映

射Ψ的核。

148．同态核（164，257）

见71

149．群的同构映射（130）

设（G，△）是个群，（H，·）也

是个群，如果f：G→H是个双射，

且对任意a,b∈G恒有f(a△

b)=f(a) ·f(b),则说f是G到H

的群同构映射。

150．环的同构映射（252）见70

151．关系（12）

设A 和B都是集合，任取笛卡儿积A×B的一个子集R我们都说确定了A和B的一个关系R。对任意a∈A，b∈B，如果(a ，b) ∈R，则说a 与b有R关系，记为a R b；如(a ，b) ?R ,则

说a与b没有R关系.

152．原像(38)

对B的任意子集T，称A的子集{x∈A|f（x）∈T}为T在f之下的原像。

153．扩张次数（402）

基底所含元素的个数（这里由E 和F唯一确定的一个正整数）称为E在F上的扩张次数。154．阶数（110）

群G中元素的个数称为G的阶数。

155．体（282）

156．克莱因四元群（143）157．克莱因四元数群（87）158．投影（28）

设A，B是集合，规定，任意元素(a，b) ∈A×B对应a，这是笛卡儿积A×B到A的映射，记为P A，即P A(（a，b）)= a，对任意(a，b) ∈A×B，该映射称为A×B到A的投影。

83.完全集（20）

设～是集合A上的一个等价关系，说A的子集T是关系～下的一个等价类表示的完全集，简称完全集。

159．系数（312）

设（S，+，·）是个有1的交换环，每个形如下面的表达式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（其中n为非零整数，a0，a1，…，a n∈S）均称为是环S上的一个关于x的多项式。其中a i x i称为是多项式f(x)的i次项，a i称为f(x)的第i 次项系数。

160．运算（50）

设S是个非空集合，把S×S到S的映射称之为S上的二元运算，简称为S的运算。161．运算表（51）162．单位（221）

设R是有单位元1的环，R的元素a称为R的一个单位。如果有b∈R使ab=ba=1.

163．单射（30）

若对任意a,b∈A，f(a)=f(b)蕴涵a=b，则说f是单射或f是单的。164．单的（映射）（30）见

87题

165．单同态（270）

单的同态映射称为单同态。

90.单环（247）

如果环R只有两个理想R和

（0），那么R的商环极为明了，

这种环称为单环或单纯环。

91.单纯环：如果环R只有两个

理想R和｛0｝，那么R的商环

极为明了，这种环称为单环或单

纯环。（247）

92.单群：若群不含非平凡的不变

子群则称为单群。（159）

93.单纯扩张：设E是F的一个

扩张域，S是E的一个子集，

由F Y S在E中生成的子域，

记为F（S），称为是F上添加

S得到的E的子域。当S=｛a1，

a2，…，a n｝时，记为F（S）

=F（a1，a2，…，a n）。当E=F

（a）时，，说E是F的一个单

纯扩张域，或是说E是F的一

个单纯扩张。（382）

94.单纯扩张域（同上）（382）

95.奇置换：见下题。（47）

96．偶置换：设P是｛1，2，…，

n｝上的一个置换，记P= 1

2 …n

P（1）P（2）…P（n）当排列

P（1），P（2），…P（n）的反序

数为偶数时，称P为偶置换，否

则为奇置换。（47）

97．极小多项式：当a是F上的

代数元，满足命题2条件（1）

和（2）的不可约多项式p（x）

就称为是a的一个极小多项式。

或最小多项式。（385）

98．极大理想环R的理想M≠R

称之为R的一个最大理想。如果

对R的任意理想A，M?A且

M≠A蕴涵A=R。（294）

99．空集：我们把不含任何元素

的集合称为空集。（3）

100．周期：有人把元素的阶数

称为元素的周期。（110）

101．线性相关：设E是域F的

扩张域，说E中元素u1，u2，…，

u n是在F上线性相关的，如果有

a1，a2，…，a n∈F使得（1）a1，

a2，…，不全为0；（2）a1 u1+ a2

u2+…+a n u n=0如果u1，u2，…，

u n在F上不是线性相关的，则说

它们是在F上线性无关的。

（395）

102．线性无关：同上（396）

103．线性组合：设E是域F的

扩张域，对于E中元ν，u1，

u2，…，u n，如果有a1，a2，…，

a n∈F使得ν=a1u1+ a2u2+…

+a n u n，则说ν是u1，u2，…，u n

的一个线性组合。（398）

104．定义域：设f：A→B是A

到B的映射，通常称A为B的

定义域。B为f的值域。（39）

105．拉格朗日定理：设G是个

有限群，那么G的任意子群H

的阶数一定整除G的阶数，即︱

H︱︱G︱。（115）

106．欧氏环：整环D称为欧氏

环，如果由D之所有非0元集合

D0到非负整数集I+的映射d满足

（1）如果a，b∈D0且

a︱b，则d（a）≤d（b）；（2）

如果a∈D，b∈D0，则必有q，r

∈D使得a=bq+r，d（r）＜d（b）

或r=0。（360）

107．映射：设A，B是集合。

如果有一对应规则f，对于集合

A中任何一个元素a，在集合B

中都有唯一的元素b和它对应，

这个对应叫做从集合A到集合B

的映射，记作f：A→B。f使集

合A中元a对应b，记为f（a）

=b，也就是f把a变成b。（26）

108．逆元素：每个元都有逆元

素，即对任意a∈G，都有b∈使

得a·b=b·a=e。（65）

109．逆映射：当f：A→B可逆

时，这个由f唯一确定的映射：

f-1：B→A即称之为f的逆映射。

（37）

110．恒等映射：设A是个集合。

规定，任意a∈A对应a自己。

这是A到A的映射，称为A上

的恒等映射，记为i A，即对任意

a∈A都有i A（a）=a，有时把i A

中的A省略，简记为i。（28）

111．指标集：设J是一个非空

集合（可以有无限多个元素），

每个j∈J对应集合S的一个子集

A j，则通常说，｛A j︱A j?S，

j∈J｝是S的一个以J标号的子

集族，J称为指标集。（6）

112．相伴：设a，b∈D。说元

素a和元素b是相伴的，如果a

︱b，且b︱a。（343）

113．既约元：D的元素a不是

单位也不是0且没有非平凡因

子，则称a为不可约元或既约元。

（343）

114．结合环：设集合R上有两

种元运算，一个叫加法，记为+；

一个叫乘法，记为·，且（1）（R，

+）是个交换群；（2）乘法·在

R上是结合的；（3）对任意a，b，

c∈R，都有a·（b+c）=a·b+a·c，

（b+c）·a=b·a+c·a，则说（R，

+，·）是个结合环，简单的说它

是个环。（208）

115．结合律：设·为集合A上一运算，若对任意a，b，c∈A，都有（a·b）·c=a·（b·c）则说与运算·满足结合律。（55）116．素元：设D是个整环，p ∈D。若p不是零元也不是单位，且对任意a，b∈D，只要p︱（ab），那么必有pa或者p︱b，则说p是D的一个素元。（349）117．素理想：设R是个交换环，P是R的一个理想。如果P≠R 且对任意a，b∈R，ab∈P蕴涵，a∈P或b∈P，则说P是R的一个素理想。（297）

118．素域：设F是个域，T是F 的一个非空子集，F的所有包含T的子域的交集称为是T生成的子域。特别地，由F的零元素0和恒等元素1生成的子域称为F 的素域。（335）

119．哈密尔顿四元数环：（283）120．除环：设（R，+，·）是个至少含2个元素的环。用R0代表R中所有非零元的集合。如果R0在R的乘法·之下是个群，则说环（R，+，·）是个除环。进一步，若（R，+，·）是个交换环，又是除环，则说（R，+，·）是个域。（281）

121．除体：有人称除环为体、除体、斜域。有人称域为交换除环或交换环。（282）

122．复合映射：设f：A→B，g：B→C，那么，规定，任意a∈A （此a唯一对应f（a），而f（a）∈b在g之下唯一对应C中元g （f（a）），对应g（f（a））∈C，这是A到C的映射，称为是f 和g的复合映射，也说是f和g 的乘积，并记为g。f，也就是g。f：A→C，（g。f）（a）=g（f（a）），a∈A。（31）

123．真子集：如果A?B，但A≠B，即有B的元素不属于A，则说A是B的真子集，记为A?B。（3）

124．乘积（群的子集）：对群G 之任意非空子集A，B，称G的子集｛g∈G︱g=ab，a∈A，b∈B｝为A与B的乘积，记为AB。（113）

125．根：设S是有1交换环，f （x）∈S[x]。说元素r∈S是多项式f（x）的一个根。如果f（r）=0。也可以说r满足多项式f（x）。（318）

126．特征数：设R是个环，如果有自然数m使得，对每个r∈R均有mr=0，而小于m的自然

数都不具备该性质，则说环R的

特征数为m。如果找不到满足上

述要求的自然数，则说环R的特

征数为0。（288）

127．换位子群：设G是个群，

G中有所求换位子元素aba-1b-1，

a，b∈G生成的子群（即所有形

如a1b1a-1b-1a2b2a-2b-2…

a n

b n a-n b-n，n=1，2…的集合）称

为是G的换位子群。（159）

128．高斯环：所有形如a+ib，a，

b∈I的复数是复数环的一个子

环，称为高斯环/可以断言，高斯

环是个欧氏环。（361）

129．消去律：设G为群，对任

意a，b，c∈G，ab=ac蕴涵b=c，

ba=ca，蕴涵b=c，并分别称为左，

右消去律（68）

130．陪集：当A为子群，B=｛b｝

时，记Ab=AB，并称Ab是A

在G中的一个右陪集。A=｛a｝，

B是子群，则记为aB=AB，并称

aB为B在G中的一个左陪集。

由于N是不变子群，每一个左陪

集就是一个右陪集，其陪集不区

分左右，简称为陪集。（113，173）

131．唯一分解整环：满足下列

条件的整环D称为唯一分解整

环。（1）如果a∈D，a≠0，a不

是单位，那么a必可以写成若干

个D的不可约元的乘积，即

a=p1p2…p s，p i是D的不可约元。

（2）如果a∈D且a= p1p2…p s

=q1…q t，其中p i和q j都是D的

不可约元，那么s=t，并且适当

调整q j的顺序后，可使p j与q j

恰好是对应相伴的，j=1，2，…，

t。（345）

132．值域：设f：A→B是A到

B的映射，通常，称A为B的

定义域，B为f的值域。（39）

133．环：设集合R上有两种二

元运算，一个叫加法，记为+，

一个叫乘法，记为·，且（1）（R，

+）是个交换群；（2）乘法·在

R上是结合的；（3）对任意a，b，

c∈R，都有a·（b+c）=a·b+a·c，

（b+c）·a=b·a+c·a则说（R，

+，·）是个结合环，简单地，说

它是个环。（208）

134．域：设（R，+，·）是个至

少含2个元素的环。用R0代表R

中所有非零元的集合。如果R0

在R的乘法·之下是个群，则说

环（R，+，·）是个除环。进一步，

若（R，+，·）是个交换环，又是

除环，则说（R，+，·）是个域。

有人称除环为体、除体、斜域。

有人称域为交换除环或交换环。

（282）

135．商环：设R是个环，A是

R的理想，有商群

R=R/A中规定

（a+A）⊙（b+A）=ab+A，

a+A，b+A∈R得到的环（R，#，

⊙）称为是环（R，+，·）对理想

A的商环。或称为剩余环。（243）

136．商集：设～是集合A上的

等价关系，T是关系～之下的一

个完全集，集合A =｛S t︱t∈T｝

称为对等价关系～的商集。（21）

137，商群设N是群（G，。）的

不变子群。在商集G/N中规定

aN#bN=（a。b）N；aN，bN∈

G/N。则（G/N，#）作成群，称

为群（G，。）对不变子群N的商

群。（175）

138．理想：设（R，+，·）是个

环，A是R的非空子集。如果（1）

（A，+）是（R，+）的子群；（2）

对任意x，y∈A和任意a，b∈R

都有ay∈A，xb∈A，则说A是

R的理想。（234）

139．理想子环：A为R的理想

则A必为R的子环。因此，有

人也称环的理想为环的理想子

环。（234）

140．基底：设u1，u2，…，u n

是E中元素，如果（1）u1，u2，…，

u n是线性无关的；（2）任意v∈

E，v必然是u，u2，…，u n的一

个线性组合；则说u1，u2，…，

u n是E在F上的一个基底。（398）

141．添加：设E是F的一个扩

张域，S是E的一个子集，由

F Y S在E中生成的子域，记为

F（S），称为是F上添加S得到

的E的子域。（382）

142．笛卡尔积：对任意集合A

和B，集合A×B=｛（a，b）︱a

∈A，b｝称为是A，B的笛卡尔

积，其中（a，b）=（a1，b1），a，

a1∈A，b，b1∈B当且仅当a=a1，

b=b1。（10）

143．斜域：有人称除环为体、

除体、斜域。有人称域为交换除

环或交换环。（282）

144．常数项：设（S，+，·）是

个有1的交换环，每个形如下面

的表达式

f(x)=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（其中

n为非零整数，a0，a1，…，a n∈S）

均称为是环S上的一个关于x的

多项式。a0称为常数项（312）

145．集合：每一组对象的全体

形成一个集合，集合里的各个对

象叫做这个集合的元素。（1）146．最小子域：由于每个子域都含有素域P，所以也称素域为域的最小子域。（338）

147．最大公因子：设D是个整环，a1，…，a n∈D。如果c∈D，c整除a1，…，a n的每一个，则说c是元素a1，…，a n的一个公因子。元素d∈D称为a1，…，a n的一个最大公因子，如果（1）d是a1，…，a n的一个公因子，（2）对任意c ∈D，只要c是a1，…，a n的一个公因子，则必有c︱d。（350）148．等价关系：设～是集合A 上的一个关系，若它满足下列三条性质：（1）*反身性，即对任意a∈A，都有a～a；（2）*对称性，即对任意a，b∈A，a～b蕴涵b～a；（3）*传递性，即对任意a，b，c∈A，如果a～b，b～c则必有a～c；则说～是A上的一个等价关系。（17）

149．等价类：对每个x∈A，称A的子集S x=｛y︱y～x｝为元素x的等价类。（18）

150．等价类表示的完全集：设～是集合A上的一个等价关系，说A的子集T是关系～下的一个等价类表示的完全集（简称完全集），如果T中不同的元素的等价类也不同，且A= S t。

t∈T（20）151．像：设f是A到B的映射，称Img（f）=｛y∈B︱有a∈A 使y=f（a）｝为映射f的像。（30，38）

152．循环：如果n阶置换P每把1到n中若干个数码i1，i2，…，i k按下方式对应P（i1）= i2，P（i2）= i3，…，P（i k）= i1，而对其余数码x有

P（x）=x，则说P是一个k循环。记P=（i1，i2，…，i k）（89）153．循环群：群G称为循环群，如果有g∈G，使得G=〈g〉。也有人称循环群为巡回群。（100）154．超越元：如果对F上的任意一个非零多项式f（x）都有f （a）≠0，则说a是F上的一个超越元。（385）

155．幂集：集合A的所有子集所形成的集合称为A的幂集。（4）

156．剩余环：（同商环）（243）157．零因子：对于环R的元素a，若有b≠0以及c≠0使ab=0以及ca=0，则说a是R的一个零因子。（217）

158．群：一个集合G和G上的一个运算·满足下列条件，则说G对·构成群，在不致引起混乱时（即从上下文可以清楚判断所说的运算时）也可以简单地说，G是个群。（64）

159．置换：只含有限元素的集合称之为有限集。非空的有限集A到A本身的可逆映射称之为A 上置换，也就是A的一个置换。（43）

160．整除：设a，b∈D，b≠0。说元素b能整除元素a，如果有c∈D使得a=bc。此时，也说a能被b整除，或说b是a的因子，并记为b︱a。否则，就说b 不整除a，记b︱a。（342）161．整区：有1的交换的无零因子环称为整环或整区。（217）162．整环（同上）（217）163．整数模n关系：设n为一正整数，在整数集Ⅱ中定义关系～，a～b当且仅当a-b是n的整数倍，并将这个关系称为整数模n关系。（23）

164．满射：设f是A到B的映射，若Img（f）=B，则说f是满射f是满的，或f是映上的。（30）165．满的（映射）（同上）（30）166．满同态（环的）：为说话方便人们常把满的同态映射称为满同态，单的同态映射称为单同态，而环到自己的同态称为自同态（进一步，此同态映射为双射时，称为自同态）。（270）