第二十八章锐角三角函数全章教案

28.1锐角三角函数（1）

教学目标：

1、 理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的表示法；

2、 能根据锐角三角函数的定义计算一个锐角的各个三角函数的值；

3、 掌握Rt △中的锐角三角函数的表示：

sinA=

斜边的对边

A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠，tanA=的邻边

的对边A A ∠∠

4、掌握锐角三角函数的取值范围；

5、通过经历三角函数概念的形成过程，培养学生从特殊到一般及数形结合的思想方法。 教学重点：

锐角三角函数相关定义的理解及根据定义计算锐角三角函数的值。 教学难点：

锐角三角函数概念的形成。 教学过程：

一、创设情境：

鞋跟多高合适？

美国人体工程学研究人员卡特·克雷加文调查发现，70％以上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7厘米左右的高跟鞋。但专家认为穿6厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等处的肌肉非常容易疲劳。

据研究，当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11度左右时，人脚的感觉最舒适。假设某成年人脚前掌到脚后跟长为15厘米，不难算出鞋跟在3厘米左右高度为最佳。 问：你知道专家是怎样计算的吗？ 显然，高跟鞋的鞋底、鞋跟与地面围城了一个直角三角形，回顾直角三角形的已学知识，引出课题。

二、探索新知：

1、下面我们一起来探索一下。

实践一：作一个30°的∠A ，在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C 。 ⑴计算

BC ，AC ，BC

的值，并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。

⑵将你所取的AB 的值和你的同伴比较。

实践二：作一个50°的∠A ，在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C 。 （1）量出AB ，AC ，BC 的长度（精确到1mm ）。

A

C

B

（2）计算

AB BC ，AB AC ，AC

BC

的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所

0 2、经过实践一和二进行猜测

猜测一：当∠A 不变时，三个比值与B 在AM 边上的位置有无关系？ 猜测二：当∠A 的大小改变时，相应的三个比值会改变吗？ 3、 理论推理

如图，B 、B 1是α∠一边上任意两点，作BC ⊥AC 于点C ，B 1C 1⊥AC 1于点C 1， 判断比值

222B C AB 与11

1

AB C B ，AB AC 与11AB AC ，AC BC 与1

11AB C B 是否相等，并说明理由。

4、归纳总结得到新知：

⑴三个比值与B 点在α∠的边AM 上的位置无关；

⑵三个比值随α∠的变化而变化，但α∠（00﹤α∠﹤900

）确定时，三个比值随之确定；

比值

AB BC ，

AB AC ，AC

BC

都是锐角α的函数 比值

AB BC 叫做α∠ 的正弦(sine)， sin α=

AB BC

比值

AB AC 叫做α∠的余弦(cosine)，cos α=AB AC

比值

AC

BC 叫做α∠的正切(tangent)，tan α=AC

BC

（3）注意点：sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin ”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写。

强化读法，写法；分清各三角函数的自变量和应变量。

三、深化新知

1、三角函数的定义在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.则有 sinA ＝

斜边

的对边

A ∠

cosA

斜边

的邻边

A ∠ tan A A A ∠=∠的对边的邻边

2、提问：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函

数值的取值范围吗？

B

（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边． 生：独立思考，尝试回答，交流结果．

明确：锐角的三角函数值的范围：0＜sin α＜1，0＜cos α＜1.

四、巩固新知

例1.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°，AB=5,BC=3, （1） 求∠A 的正弦、余弦和正切. （2）求∠B 的正弦、余弦和正切.

分析：由勾股定理求出AC 的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系求出各函数值。

提问：观察以上计算结果,你发现了什么?

明确：sinA=cosB ，c osA=sinB ，tanA ·tanB=1

五、升华新知

例2 .如图:在Rt △ABC,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6，求BC 的长.

由例2启发学生解决情境创设中的问题。

六、课堂小结：谈谈今天的收获 1、内容总结

（1）在Rt ΔABC 中,设∠C=900

，∠α为Rt ΔABC 的一个锐角，则 ∠α的正弦斜边的对边αα∠=

sin ， ∠α的余弦 斜边的邻边

αα∠=cos ，

∠α的正切的邻边

的对边

ααα∠∠=

tan

2、方法归纳

在涉及直角三角形边角关系时，常借助三角函数定义来解 四、布置作业

1、 必做题：书本作业题A 组和作业本

2、 选做题：书本作业题B 组

学生实践报告：

实践一：作一个30°的∠A ，在角的边上任意取一点B ，

作BC ⊥AC 于点C 。

1、计算

BC ，AC ，BC

的值，并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。

2、将你所取的AB 的值和你的同伴比较。 实践二：作一个50°的∠A ，

在角的边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C 。 1、 量出AB ，AC ，BC 的长度（精确到1mm ）。 2、 计算

AB BC ，AB AC ，AC

BC

的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较。 =50学生4经过实践一和二进行猜测

猜测一：当∠A 不变时，三个比值与B 在AM 边上的位置有无关系？ 猜测二：当∠A 的大小改变时，相应的三个比值会改变吗？

28.1 锐角三角形

第二课时

教学目标： 知识与技能：

1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比．

2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力． 过程与方法：

通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． 情感态度与价值观：

引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 重难点：

1．理解余弦、正切的概念．

2．难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算． 教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【复习】

1、口述正弦的定义

2、（1）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ．

（2）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ）

A

B ．23

C D 二、探索新知、分类应用 【活动一】余弦、正切的定义

一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？

如图：Rt △ABC 和Rt △A′B′C′，∠C=∠C ′ =90°，∠B=∠B ′=α，

那么

''

''

BC B C AB A B 与有什么关系？

分析：由于∠C=∠C′ =90o，∠B=∠B′=α，

所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，，即

结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。

如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，

记作cosB即

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,

即

锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.

【活动二】余弦、正切简单应用

教师解释课本第65页例2题意：如课本图28.1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA、cosA、tanA的值．

教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直角三角形中两条边的值，要求正弦，余弦，正切值，就要求另一个直角边的值．我们可以通过已知边的值及勾股定理来求．

教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．

三、总结消化、整理笔记

在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正切，记作tanA．四、书写作业、巩固提高

学生做课本第65页练习1、2、3题．分层作业

五、教学后记

课题 30°、45°、60°角的三角函数值

一、教学目标

1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数。

2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 二、教学重点、难点

重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式

难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程 三、教学过程 （一）复习引入

还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即01sin 302=

，0sin 45=你还能推导出0sin 60的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？

（二）实践探索

1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30° cos45° tan60° 归纳结果

（三）教学互动

例 求下列各式的值：

（1）0

0020245sin 30sin 245cos 60cos ++ （2）

0000

0000

cos60sin 45cos60cos 45cos60sin 45sin 30cos 45+-+-+

解 （1）原式=2

2

21222212

2

??

+???

? ??+??? ??

4

5212141=++=

（2）原式=2

232

1212

221222122212221--=-+

=+-

+-+

说明：本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值。易错点因没有记准特殊角的正弦余弦值，造成计算错

例3:(1)如图(1), 在中，,,,求的度数.

(2)如图(2),已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 的倍,求

.

解: (1)在图(1)中

, (2)在图(2)

中

.

（四）巩固再现

1、P82 例3

2、P83 练习

3、随机抽查学生对82页的表的记忆情况

四、布置作业

P85 3

28.1 锐角三角函数

第四课时

教学目标：

知识与技能：

1．让学生熟识计算器一些功能键的使用．

2．会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角．

过程与方法：

自己熟悉计算器，在老师的指导下求一般锐角三角函数值．

情感态度与价值观：

让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会函数的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．

重难点、关键：

1．重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．

2．难点：正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【引入】

通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？

我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。

二、探索新知、分类应用

【活动一】用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值

利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）

sin37°24′； sin37°23′； cos21°28′； cos38°12′；

tan52°； tan36°20′； tan75°17′；

【活动二】熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角. 例如：sinA=0.9816，∠A ＝ ； cosA ＝0.8607，∠A ＝ ； tanA ＝0.1890，∠A= ； tanA ＝56.78，∠A ＝ 。 【活动三】知识提高 1．求下列各式的值：

（1）sin42°31′ （2）cos33°18′24″ （3）tan55°10′ 2．根据所给条件求锐角α．

（1）已知sinα=0.4771，求α．（精确到1″） （2）已知cosα=0.8451，求α．（精确到1″）

（3）已知tanα=1.4106，求α．（精确到1″）

3．等腰三角形ABC 中，顶角∠ACB=108°，腰AC=10m ，求底边AB 的长及等腰三角形的面积．（边长精确到1cm ） 三、总结消化、整理笔记

本节课应掌握：已知角度求正弦值用90°的锐角用 四、书写作业、巩固提高

（一）巩固练习：课本68页练习 （二）提高、拓展练习：分层作业 五、教学后记

28.2.1 解直角三角形

教学目标：

知识与技能：

1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．

2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

过程与方法：

通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

情感态度与价值观：

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

重难点、关键：

1．重点：直角三角形的解法．

2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题

见课本在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=5.2m ，AB=54.5m ． sin=

5.2

54.5

BC AB =≈0.0954． 所以∠A≈5°28′． 二、探索新知、分类应用

【活动一】理解直角三角形的元素

【提问】1．在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角形？

总结：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

【活动二】直角三角形的边角关系

直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？

(1)边角之间关系

a b

A b a A c b A c a A ====

cot ;tan ;cos ;sin

如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

的对边的邻边

；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=

∠∠=∠=∠=

cot tan cos sin

(2)三边之间关系

a2 +b2 =c2 (勾股定理)

(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．

【活动三】解直角三角形

例1：在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，

且

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有

示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．

例2：在Rt△ABC中，∠B =35°，b=20，解这个三角形（结果保留小数点后一位．

引导学生思考分析完成后，让学生独立完成。

在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。

总结：完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”

三、总结消化、整理笔记

本节课应掌握：

1．理解直角三角形的边角之间的关系、边之间的关系、角的关系；

2．解决有关问题；

四、书写作业、巩固提高

（一）巩固练习：课本74页练习

（二）提高、拓展练习：分层作业

五、教学后记

28.2.2 应用举例（1）

教学目标：

知识与技能：

1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。

过程与方法：

1、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

2、注意加强知识间的纵向联系．

情感态度与价值观：

渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

重难点、关键：

重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

难点：实际问题转化成数学模型

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【复习引入】

1、直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．

2、在中Rt△ABC中已知a=12,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。

二、探索新知、分类应用

【活动一】例1：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角α一般要满足5070

?≤α≤?，(如图).现有一个长6m的梯子，问:

(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)

(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子。

引导学生先把实际问题转化成数学模型，然后分析提出的问题是数学模型中的什么量，在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？

几分钟后，让一个完成较好的同学示范。

【活动二】课本例3：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体当在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图,当组合体运行到地球表面上P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数)？

分析:从组合体上能直接看到的地球表面最远的点，应是视线与地球相切时的切点.

如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ 的长需先求出。

【活动三】课本例4

热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋离楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果取整数)?

老师分析：

1、可以先把上面实际问题转化成数学模型，画出直角三角形。

2、在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.

三、总结消化、整理笔记

本节课应掌握：

1、把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

2、归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

四、书写作业、巩固提高

（一）巩固练习：课本76页练习1、2

（二）提高、拓展练习：分层作业

五、教学后记

28.2.2 应用举例（2）

教学目标：

知识与技能：

1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角

2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．

3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．

过程与方法：

学会这样分析问题．

情感态度与价值观：

体会用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，提高学生的兴趣。教学重点、难点

重点：用三角函数有关知识解决方位角问题

难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【复习】

1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。

2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线

二、探索新知、分类应用

【活动一】

例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔P有多远(结果取整数)?

【活动二】巩固练习

1、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O 的正东方向是什么时间？(精确到1分)．

2、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A 位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？

【活动三】坡角问题，所用到的“化整为0，积0为整，化曲为直，以直带曲”

例题

利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：

①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；

②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．

三、总结消化、整理笔记

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．

2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．

3．得到数学问题的答案．

4．得到实际问题的答案．

四、书写作业、巩固提高

（一）巩固练习：课本77页练习2

（二）提高、拓展练习：分层作业

五、教学后记