函数图象与曲线的方程例题讲解解读
函数图象与曲线的方程例题讲解
一、函数图像
利用函数图像，我们可以研究函数本身的性质，如课本上我们是根据幂函数、指数函数等函数的图像归纳出它们的性质，并以此来进一步研究其它函数的性质．
在解决函数的其它问题时，我们也可以利用函数图像帮助我们打开思路．
例１．试判断函数：???++∈-+∈=)
22,12(,1)
12,2(,1)(k k x k k x x f （k ∈Z ）的奇偶性．
分析：由函数奇偶性的定义直接确定函数的奇偶性有些困难，但我们若给出函数图像．以奇偶函数的图像关于原点或y 轴对称这一性质判断，则问题不难解决．
解：令,2,1,0±±=k … … 得到各段函数的离散区间，从而得到函数)(x f 的图像，如图．
由图知，函数)(x f 是奇函数．
例2．设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上以2为周期的函数，对k ∈Z 用I k 表示区间]12,
12(+-k k
，已知当0I x ∈时，2)(x x f =．
(1)求)(x f 在I k 上的解析表达式；
(2)对自然数k ，求集合M k = {a | 使方程ax x f =)(在I k 上有两个不相等的实根}． 分析：借助于函数图像，不仅能正确理解题意寻求解题思路，还可以直接从图像上得出答案．
当)(,,112x f x y x 又时=≤<-是以２为周期的函数，故它的图像就是：
)11(2≤<-=x x y 左、右平移后的重复出现．
O
所以在每一周期I k 内对应的解析式点2)2(k x y -=．又考虑ax y =的图像是过原点的直线，要满足题目的条件就应使斜率a 在]1
21
,
0(+k 上取值．当然利用图形的直观性得出结论不能完全替代逻辑推理的论证，但重视函数图像的作用是十分必要的．
解：（1）)(x f 是以2为周期的函数，∴当z k ∈时，2 k 是)(x f 的周期． 又k I x ∈ 时o I k x ∈-)2(， ∴2)2()2()(k x k x f x f -=-=，
即对z k ∈，当k I x ∈时，2)2()(k x x f -=．
（2）当N k ∈且k I x ∈时，由（１）有.)2(2ax k x =- 整理得 04)4(2
2
=++-k x a k x
).8(16)4(22k a a k a k +=-+=?
方程在区间Ｉk 上恰有两个不相等的实根的充分必要条件是a 满足
[][
]
)8(42
1
12)8(421
120
)8(k a a a k k k a a a k k k a a ++
+≥++-
+<->+
解不等式组得1
21
0+≤
?? ???+≤ <1210k a a ． 说明：函数图像可以帮助我们理解题意，寻求思路，并可以帮助我们检验结论． 例３．已知c bx x x f +-=2 )(，且)(),()2(,3)0(R x x f x f f ∈=-=，则（ ） (A))()(x x c f b f ≥ (B))()(x x c f b f ≤ (C))()(x x c f b f < (D))()(x x c f b f 和大小不定． 分析：)(x b f 与)(x c f 的大小取决于两个条件： (1)x b 与x c 的大小； (2)x b 与x c 在)(x f 的增区间中还是减区间中； 因此解决本题要抓住这两个环节． 由3)0(=f 可知c 值； 由)()2(x f x f =-可知1=x 是函数图像的对称轴，从而可知b 的值． 解法一：.3,3)0(=∴=c f )()2(x f x f =- 对任何实数x 成立， )(x f ∴的图像关于直线1=x 对称． .2=∴b 函数x x y y 3,2==的图像如图所示． 可见，0>x 时，.123>>x x 此时，x x 2,3同在)(x f 的增区间中，故)2()3(x x f f >，即).()(x x b f c f > 当0=x 时，x x 23=，∴)2()3(x x f f =，即 )()(x x c f b f =． 当0 x 2,3都在)(x f 的减区间内， 故)2()3(x x f f >，即)()(x x b f c f >． 综上所述，对任意R x ∈，总有).()(x x c f b f ≤故应选（Ｂ）． 解法二：3)0(=f ，∴c=3． )()2(x f x f =- 对任何实数x 成立， ∴)(x f 的图像关于直线1=x 对称．∴ b =2 考虑幂函数,α x y = 当0>α时，αx 在),0(+∞上是增函数， 当0<α时，αx 在),0(+∞上是减函数． 因此有，0>x 时，12323>>?>x x ． x 3，x 2都在)(x f 的增区间，所以)2()3(x x f f >．即)()(x x b f c f >． 0 时，12323<x x ， x x 2,3都在)(x f 的减区间上，所以有),2()3(x x f f >即)()(x x b f c f >． 而当0=x 时，x x b c =，所以).()(x x c f c f = 故∈x R 时，总有)()(x x c f b f ≤． 应选Ｂ． 错解：.3,0)0(=∴=c f )()2(x f x f =- 对任何实数x 都成立， ∴ f (x )的图像关于直线x =1对称，∴b =2 ∵3>2，∴3x >2x ，∴f(3x )>f(2x )．即f(b x ) )． 而x =0时3x =2x ，所以f(b x )=f(c x )． ∴总有)()(x x c f b f ≤．选Ｂ． 说明：本题把一元二次函数，指数函数，幂函数的性质综合在一起，对于考察学生对函数基本性质及函数图像的掌握情况作用不小，但以选择题形式出现，有些地方就没有完全体现出来，如上面的错解，事实上，.23 23x x >≠>> 例４：已知函数d cx bx ax x f +++=2 3 )(的图像如图，则 (Ａ))0,(-∞∈b (Ｂ))1,0(∈b (Ｃ))2,1(∈b (Ｃ)),2(+∞∈b 分析：给了三次函数的图像，欲求二次项系数b 的范围，情景新，没有现成套路，只能从形上多找信息． 从图像知，三次函数图像过（０，０），（１，０），（２，０）三点，故1,0==x x 和2=x 是方程0)(=x f 的三个根，又知在不同区间数值的正负及单调性，再注意到选择题的解法可获如下思路． 解法一：由图知0，1，2是方程0)(=x f 的三个根，代入得 0,3 2,3=-=- =d b c b a ∴x b bx x b x f 3 23)(23-+- =． 又0)2 1 (>f 得0 解法二：由图知，０，１，２是方程0)(=x f 的三个根， ∴可设f(x)=ax(x －1)(x －2)=ax 3 －3a 2 +2ax ∴b=－3a 又0 )1(<-f ∴0 >a ∴0 解法三：由0)0(=f 及0)1(=f 得： 0=++c b a ① 又0,0)1(>-+-∴<-c b a f ② ①＋②得 0 说明：三种解法都紧扣目标，“求b 的范围”考查了消元，化归及待定系数法等重要方法及转化，函数，方程等数学思想，特别是抓住图形提供的信息，采取有效办法直奔目标，化为熟知问题，以便解决． 例５．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的３００天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图１的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图２的抛物线表示． 图１ 图２ (1)写出图１表示的市场售价与时间的函数关系式);(t f p = 写出图２表示的种植成本与时间的函数关系式);(t g Q = (2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿的收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位；元／１０２ kg ，时间单位：天） 分析：本题是2000年高考的第２１题，主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数的最大值的问题，考查运用所学知识解决问题的能力． 解：（１）由图（１）可得市场售价与时间的函数关系为： ?? ?≤<-≤≤-=; 300200300 2. 2000300)(t t t t t f 由图２可得种植成本与时间的函数关系为： 3000,100)150(200 1 )(2≤≤+-= t t t g ; (2) 设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得：).()()(t g t f t h -= 即 ???? ?? ?≤<-+-≤≤++-=.300200,2 1025272001,2000,2 175 212001)(22t t t t t t t h 当2000≤≤t 时，配方整理得：100)50(200 1 )(2+-- =t t h ． 所以，当50=t 时，)(t h 取得区间［0，200］上的最大值100； 当300200≤ 综上，由5.87100>可知，)(t h 在区间[0，300]上可以取到最大值100，此时50=t ，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． 说明：图像法和解析法是表示函数的最基本方法．曲线与方程的理论，参数方程的概念都是中学数学重要的基础知识．本题提出问题的背景是现实的，提供的信息是用图示的方式直观形象表现出来的，若能在头脑中形成“图像———函数—方程”的意识，利用熟知的折线段，抛物线，用解析式表示函数图像，定性地反映问题本质，便可顺利找到思路，再加上对二次函数性质的运用，便可顺利求解． 二．图像变换 例6．函数)2 52sin(π + =x y 的图像的一条对称轴是 (A)2 π - =x (B)4 π - =x (C)8 π = x (D)4 5π= x 分析：将45.8,4,2 π πππ - - =x 分别代入函数),2 52sin(π +=x y 求得分别对应的函数值,2 2 , 0,1-0，其中1-=y 是函数的最小值，故选A ． 说明：这是一道考查正弦函数的图像的几何特征的题目，而求解的方式是检验自变量的值与对应的函数值的数量关系，简便有效．如果通过作函数)2 52sin(π + =x y 的图像—正弦曲线以及相应的直线，也可以得到正确的结果 ，只是对图像变换的要求比较高．事实上，对于函数)sin()(?ω+=x A x f (其中R x ∈)，过曲线的一个最高点或一个最低点且垂直于x 轴的每一条直线，都是曲线的对称轴．我们证明如下： 设A a f ±=)(，则ω)(2 Z ∈+ =+k k a π π?这时，对任意k t ∈， )()(t a f t a f --+ [][]?ω?ω+--++=)(sin )(sin t a A t a A 0sin )sin(2=+=t a A ω?ω 恒成立，即)()(t a f t a f -=+恒成立，因此)(x f 的图像关于直线a x =对称． 借助于对数量关系的推理论证，对图形的几何特征进行精确刻划，是函数图像及其应用的重要组成部分． 例2．函数)(x f 是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当 []3,2∈x 时，x x f =)(，则当[]0,2-∈x 时，)(x f 的解析式是： (A)4)(+=x x f (B)x x f -=2)( (C)13)(+-=x x f (D)13)(++=x x f ． 分析：本题涉及函数解析式，奇偶性，周期性等问题．从不同角度入手，也可有不同解法．下面我们借助函数图像加以讨论． 解：依题意在区间[2，3]上，函数的图像是线段AB ∵函数周期是2， ∴把线段AB 左移两个单位得[0，1]上的线段CD ；再左移两个单位得[－2 ，－1] 上的图像线段EF ． ∵函数是偶函数， ∴把线段CD 沿y 轴翻折到左边，得[－1，0]上的图像线段FC ． 于是由直线的点斜式方程，得函数在[－2，0]上的解析式： [] (]?? ?-∈++---∈++=0,13 )1(1,22 )2()(x x x x x f 即[] (] ?? ?-∈+---∈++=0,1) 1(31,2)1(3)(x x x x x f 由于]1,2[--∈x 时，x+1≤0 ]0,1(-∈x 时，x+1>0 [].0,21 3-∈+-=∴x x y 例3．已知函数R x x x x y ∈++= ,1cos sin 2 3cos 212 (1) 当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合; (2) 该函数的图像可由)(sin R x x y ∈=的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 分析：本题是全国2000年高考理科第17题，主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力． 解：(1)1cos sin 2 3cos 212+?+= x x x y 452sin 432cos 411)cos sin 2(4341)1cos 2(412++=+++-= x x x x x .4 5)62sin(214 5)6cos 2sin 6sin 2(cos 21++=+?+?=πππx x x y 取得最大值必须且只需,,22 6 2Z ∈+= + k k x ππ π 即.,6 Z ∈+= k k x ππ ． 所以当函数y 取得最大值时，自变量x 的集合为{ }z k k x x ∈+= ,6 ππ ． (2)将函数x y sin =依次进行如下变换： ①把函数x y sin =的图像向左平移 ,6 π得到函数)6sin(π +=x y 的图像； ②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 2 1 倍(纵坐标不变)，得到函数)6 2sin(π + =x y 的图像； ③把得到的图像上各点的纵坐标缩短到原来的 2 1 倍，(横坐标不变)，得到函数)6 2sin(21π += x y 的图像； ④把得到的图像向上平移 45个单位长度，得到函数4 5 )62sin(21++=πx y 的图像；综上得到函数1cos sin 2 3 cos 212+?+= x x x y 的图像． 说明：由于函数的图像变换与变换顺序可以有不同选择．所以本例(2)的变换方式不唯一．如也可将函数)(sin R x x y ∈=的图像依次作如下变换． ①把函数x y sin =图像上各点横坐标缩短为缩短为原来的 2 1 (纵坐标不变)，得到x y 2sin =的图像． ②把得到的图像向左平移 12π，得到函数)62sin()12(2sin ππ+=????? ? +=x x y 的图像; ③把得到的图像上各点纵坐标缩短为原来的 2 1 (横坐标不变)，得到)6 2s i n (21π += x y 的图像; ④把得到的图像上平移 45个单位长度，得到函数4 5 )62sin(21++=πx y 的图像; 综上得到1cos sin 2 3 cos 212++= x x x y 的图像． 例4．已知,121)(x x x f +-= 函数)(x g y =的图像与函数)1(1 +=-x f y 的图像关于直 线x y =对称，则=)5(g ． 分析：依题意知)(x g y =是)1(1 +=-x f y 的反函数，只要把)1(1+=-x f y 反函数 求出即可．怎样得到)1(1 +=-x f y 的反函数就成为解决本题的关键． 解法一：由x x y +-= 121得,21x xy y -=+解出x ，得)2(2 1-≠+-=y y y x . 32)1()1(1)1().2(2 1)(1 1x x x x x f x x x x f y +-=+++-=+∴-≠+-= =∴-- 设x x y +-= 3，去分母得x xy y -=+3，解出x ，得 ).1(1 3-≠+-= y y y x )1(1+∴-x f 的反函数).1(13)(-≠+-= x x x x g .2 5 5153)5(-=+?-= ∴g 解法二：如图，)(x f 和)(1 x f -互为反函数，当) (1x f -的图像沿x 轴负方向平移1个单位时，作为“镜面”的另一侧图像)(x f 的图像一定向下平移1个单位，因此， )1(1+-x f 的图像与1)(-x f 的图像仍保持关于直线x y =对称． 故)1(1 +-x f 的反函数是.1)()(-=x f x g .2 5 1)5()5(-=-=∴f g 解法三：)1(1 +=-x f y [] . 1)(1 )() 1()(1-=?+=?+=?-y f x x y f x f f y f )1(1+=∴-x f y 的反函数是.1)()(-=x f x g .2 5 1511011)5()5(-=-+-= -=∴f g 解法四 (错解)依题意．)(x g 是)1(1 +=-x f y 的反函数，而)1(1+=-x f y 的反函 数是221)1(+--= +x x x f ，即.7 11 )5(.212)(-=∴++- =g x x x g 说明 解法四的错误原因是误认为)1(1 +-x f 的反函数是)1(+x f ，忽略了 )1(1+-x f 中的x 对应看它的反函数中的因变量)1(,1+-x f y 中的“加”对应着“减”， 于是)1(1+-x f 与1)(-x f 对应． 解法二从图像的运动变化中，探求出)1(1 +-x f 的反函数．体现了数形结合的优势，体现了图像变换的作用． 三．函数图像与方程曲线 函数图像与曲线方程的联系十分密切，运用十分广泛，从代数到几何的各种问题中处处都有其优美的例证，尤其是笛卡尔直角坐标系这一划时代的创造，更使数形结合充满着勃勃生机．其中几何问题代数化是中学数学里解析几何的基本任务．也是中学数学的必修内容． 例１ 给定实数,1,0,≠≠a a a 设函数11--= ax x y (其中R x ∈且a x 1 ≠)． 求证．(1)经过这个函数上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴．(2)这个函数的图像关于直线x y =成轴对称图形． 分析：由于给出了函数的解析式，故可反解知函数存在反函数，且原函数与反函数为同一函数．根据函数必须是一一映射才存在反函数，且原函数与反函数的图像关于直线x y =对称，于是第(1)，(2)两小题同时得证． 解 由)1 ,(11a x R x ax x y ≠∈--= 得.1)1(-=-y x ay ① 若01=-ay ，则由0≠a 有a y 1 = ，而由①可有1=y ， 于是得 1,11 =∴=a a ．与1≠a 矛盾，.01≠-∴ay 由①得 )1 ,(11a y R y ay y x ≠∈--= 即)1 ,(11)(1 a x R x ax x x f ≠∈--= - 即函数)1 ,(11a x R x ax x y ≠∈--= 的反函数是其本身．命题得证． 说明：本题为高考题，需要正确理解数学概念（如函数图像、反函数、轴对称图形等概念），并在此基础上灵活地综合运用代数、解析几何知识（如互为反函数的图像之间的关系，两条直线平行的条件等），进行推理论证． 另证一：设),(),,(222111y x M y x M 为函数图像上两个不同的点，且21M M ‖x 轴，即 21x x ≠且21y y =，那么 1 1 1122 11--=--ax x ax x ． 即 1.)(2121=∴-=-a x x x x a ．与1≠a 矛盾，假设不成立． 故图像上任意两个不同点的连线均不可能与x 轴平行． 另证二： 设),(),,(212111y x M y x M 为函数图像上两个不同点，,21x x ≠ 则) 1)(1() 1)((11111212112212----= -----= -ax ax a x x ax x ax x y y 2121,,1y y x x a ≠∴≠≠ 得证． 另证三 任取一条与x 轴平行的直线y = m ．(m 为实常数)． 解方程组 ,11?? ? ??--==ax x y m y 得.1)1(-=-m x ma 当1=ma 即a m 1= 时，由1≠a 知无解;当1≠ma 即a m 1 ≠时，有唯一解11--=ma m x ． 故平行于x 轴的直线与所给函数图像或者不相交，或者恰有一个交点． 故函数图像上任意两个不同点的连线均不可能与x 轴平行． 例2 设R a ∈，解关于x 的不等式：.222a x x a +>- 分析：这是一个含字母系数a 的无理不等式的求解问题，由于字母a 的制约因素较多．求解时既要对字母系数a 进行讨论， 又要对相应的图形进行思考和对照． 解：当0=a 时，不等式变为x x >-22，由于22x -的定义域是｛０｝，而0=x 时，不等式00>不成立，原不等式的解集是空集?． 若0≠a ，则原来不等式? （Ⅰ）???<+≥-00222a x x a 或（Ⅱ）??? ??+>-≥+≥-2 222 2) (200 2a x x a a x x a 当0>a 时， （Ⅰ）?????-<≤≤- ?. ,2 2 22a x a x a 由于.22a a -<-此不等式组无解． （Ⅱ）????? ????<<--≥≤≤-?.03 2 .,22 22x a a x a x a 由于.03222<-<-<-a a a 此不等式组的解是.03 2 <<- x a 当0 （Ⅰ）?? ? ??-<-≤≤?. .2 2 22a x a x a 由于a a a -<-<2222，此不等式组的解是.2 222a x a -≤≤ （Ⅱ）???? ? ????-<<-≥-≤≤?.32 0.22 22a x a x a x a 由于a a a -<- <-2232，此不等式组无解． 综上可知，当0 ?? ???-≤≤a x a x 2222|;当0=a 时，不等式的解集是空集?;当0>a 时，不等式的解集是? ?? ???<<-032|x a x ． 说明：借助于函数的图像与方程的曲线，可以对题意理解得更清楚、准确，并对所得的解集进行有效的检验． 设222x a y -=，当0≠a 时，?????=+≥?-=1,022 2 2 22 22a y x y x a y a ，可知它的图像是以原点为中心，焦点在y 轴上的椭圆的上半部分(包括短轴的两个端点)，其半长轴为a ， 半短轴为a 2 2 ， 与x 轴交于)0,22(a ±两点，与y 轴交于点),0(a ，而函数a x y +=的图像是斜率为1，纵截距为a 的直线． 如左图，当0>a 时，此直线交上半椭圆于)3 1 ,32(a a - 和(0，a )两点，因此半椭圆位于直线上方部分各点横坐标的集合是区间)0,3 2(-． 如右图，当0 ?????-≤≤a x a x 2222| 就是椭圆上各点横坐标的集合． 当0=a 时，22x y -=的图像是坐标原点，而直线x y =通过原点，原不等式无 解． 联想代数问题的几何背景，对深化数形结合的思想方法的理解，提高分析问题和解决问题的水平是十分重要和有益的． 例3 已知函数)(x f 是函数)(11 102R x y x ∈-+= 的反函数，函数)(x g 的图像与 函数1 34--= x x y 的图像关于直线1-=x y 成轴对称图形．记).()()(x g x f x F += (1) 求函数)(x F 的解析式及定义域; (2) 试问在函数)(x F 的图像上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直．若存在，求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由． 分析：本题涉及函数图像、对称变换及直线位置关系等曲线方程与函数图像内容，需要我们把握住相互联系，集中解决． 解：(1) 由)(11 102R x y x ∈-+= ，得y y x +-= 1110 ,y y x +-=11lg )11(11log )(<<-+-=∴x x x x f 设点),(y x P 点函数)(x g 图像上任一点，点P 关于直线1-=x y 的对称点是Q ),(b a ， 则???????-+=+-=--.122 .1a x b y a x b y ,解得???-=+=.11x b y a ∴点Q 在函数1 34--= x x y 的图像上， ,1)1() 1(341-++-= -∴y y x 解得 .2 1+= x y 即 ).2(2 1 )(-≠+= x x x g . 2 111lg ) ()()(,+++-=+=x x x x g x f x F 综上 )(x f 的定义域为(－1，1)． (2)假设函数)(x F 的图像上存在两个不同的点),(),,(2211y x B y x A ，使直线AB 与y 轴垂直，其中)1,1(,21-∈x x ，即当21x x ≠时有21y y =， 不妨设21x x <， )()(1212x F x F y y -=- )2 1 11(lg )2111(lg 111222+++--+++-=x x x x x x ① ) 2)(2()1)(1()1)(1(lg 122 11212++-+ -++-=x x x x x x x x ,1121<<<-x x ,11021x x +<+<∴ ,01121>->-x x ,1110,111012 21<-+<<++< ∴x x x x ,1) 1)(1() 1)(1(01221<-+-+< ∴x x x x ,0) 1)(1() 1)(1(lg 1221<-+-+∴x x x x . 0) 2)(2(,0,02,02, 11,122 1212121<++-∴ <->+>+∴<<<-x x x x x x x x x x 同样 由①、②、③得 012<-y y ，这与21y y =相矛盾． 所以，函数)(x F 的图像上不存在两上不同的点A 、B ，使直线AB 与y 轴垂直． 说明：由直线y AB ⊥轴与A 、B 纵坐标相同这一转化，将直线位置关系问题转化为纵坐标数量大小的比较，为解决问题提供了思路． 例4 设函数ax x x f -+= 1)(2，其中0>a ． ① 解不等式：1)(≤x f ． ② 求a 的取值范围，使函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数． 分析 这是二○○○年全国高考理科19题，主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算推理能力． 解：(1)不等式1)(≤x f ，即 ax x +≤+112． 由此得ax +≤11即0≥ax ，其中常数0>a ． 所以，原不等式等价于 ? ??≥+≤+.0, )1(122x ax x ② ③ 即 ???≥+-≥. 02)1(,02a x a x 所以，当10< ?? ??? -≤≤2120|a a x x ; 当1≥a 时，所给不等式的解集为{}0|≥x x ． (2)在区间),0[+∞上任取21,x x ，使21x x <， .)1 1)( () (1 1) (11)()(22 2 121212122 2 12 2 21212 22121a x x x x x x x x a x x x x x x a x x x f x f -++ ++-=--++ +-= --+-+=- ① 当1≥a 时，01 1,11 122 21 2 122 21 2 1<-++ ++∴<++ ++a x x x x x x x x ． 又0)()(,02121>-∴<-x f x f x x ． 即 )()(21x f x f >． 所以，当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调递减函数． ②当10< 2112,0a a x x -= =，满足1)(1=x f ， 1)(2=x f ，即)()(21x f x f =，所以函数)(x f 在区间),0[+∞上不是单调函数． 综上，当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数． 说明 对于第(1)小题，可以从几何角度审视条件，从而得出相应的解法． 另解： 1)(≤x f 即111122+≤+?≤-+ax x ax x ． 证1,1221+=+= ax y x y ． 在同一坐标系中，分别作出两函数的图像，y 1图像是实、虚轴长均为2的等轴双曲线的上支，y 2图像为过点(0，1)，斜率为正数a 的直线．如图：