导学案013(导数的含义、几何意义与运算)

导数的概念、几何意义及运算

一、考纲要求：

导数的概念 导数的几何意义 导数的运算

二、复习目标：

1、理解导数的定义，能根据导数的定义求简单函数的导数；

2、理解导数的几何意义，能求函数图象在某一点处切线的斜率；

3、能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；

4、求简单的复合函数的导数。

三、重点难点：

理解且能正确对常见函数求导，导数的几何意义。

四、要点梳理：

1、函数的平均变化率：一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为__________ 。

2、导数的概念：

设函数()y f x =在区间(),a b 上有定义，()0,x a b ∈，若x 无限趋近于0时，比值

____________y x

= 无

限趋近于一个常数A ，则称()f x 在0x x =处__________，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的__________，记作__________.

若()f x 对于区间(),a b 内任一点都可导，就称()f x 在区间(),a b 内可导，其导数称为()f x 的导函数，简称

导数，记作__________.

3、导数的几何意义：曲线()y f x =在点()00,()P x f x 处的__________

，即0().k f x '=

4、导数的物理意义：

（1）设()s s t =是位移函数，则0()s t '表示物体在0t t =时刻的__________. （2）设()v v t =是速度函数，则0()v t '表示物体在0t t =时刻的__________. 5、基本函数的导数公式

（1）()_______(a

x a '=为常数），（2）(sin )________,(cos )___________x x ''==；

（3）()________(0x a a '=>且1a ≠），()____

x

e '=；

（4）(log )________(01),a x a a '=>≠且(ln )________x '=。

7、导数的运算法则：（1）[()()]__________f x g x '±=；（2）

,[()()]_______f x g x '?=； （3）[()]________.cf x '= （4）

()[

]________.()

f x

g x '=

8（理）、若(),,_____________x

y f u u ax b y '==+=则.

五、基础自测：

1、如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；(1)(1)

0,

_______

f x f x x

+?-→→? ．（用数字作答）

2、在曲线21y x =+的图象上取一点(12)，及附近一点(12)x y ++ ，

，则________

y x

= ．

3、设()2sin f x x x =-，若0()0f x '=且0(0,)x π∈，则0____x =．（选修2-226P 4变题）

4、一质点的运动方程为210S t =+，则该质点在3t s =的瞬时速度为________/m s ．（选修2-212P 练习1）

5、已知函数()()cos sin 4

f x f x x π

'=+，则(

)________

4

f π

=．

6、直线12

y x b =

+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数________

b =．

六、典例精讲:

例1、导数的概念

1、神州飞船发射后的一段时间内，第t s 时的高度32()53045 4.h t t t t =+++其中h 的单位是,m t 的单位是s 。（1）求第1s 内的平均速度v ；（2）求第t s 末的瞬时速度()v t ； （3）经过多长时间飞船的速度达到75/m t ？

变式：已知函数2()f x x x =-在区间[]1,t 上的平均变化率是2，求t 的值。 2

、用定义求函数()f x =的导函数。

变式：用定义求函数3

21y x x =--在1x =处的导数。 例2、求下列函数的导数。

（1）2

(23)(13)y x x =+-；（2）32

y x

lnx -

=+；

（3）2121

x

x

y -=+；

(4)（理） 2

sin cos y x x x =+；（5）（理）4

1(13)

y x =-；（6）（理）2

sin (2)3

y x π

=+

例3、1、已知曲线3

13

y x =在P 点处的切线方程为123160x y --=，求点P 的坐标；

2、设函数()b f x ax x

=-

，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=，

（1）求()y f x =的解析式；（2）证明：，曲线()y f x =上任意一点处的切线与直线y x =和直线0x =所围成三角形的面积是定值，并求出此定值。

2、（理）已知函数3

2

1()2()3

f x x x ax a R =

-+∈，在曲线()y f x =的所有切线中，仅有一条切线l 与直线y x =垂

直。（1）求a 的值和切线l 的方程；（2）设曲线()y f x =上任意点的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围。

七、反思感悟：

八、

一、选择题

1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2

－a 2

) B ．2(x 2

＋a 2

) C ．3(x 2－a 2) D ．3(x 2＋a 2)

2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3

t

(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为

( )

A.194

B.174

C.154

D.134

3．(2012·江南十校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝( ) A ．－1 B ．－2

C ．1

D ．2

4．函数f (x )＝ln x

x (x 0，f (x 0))处的切线平行于x 轴，则f (x 0)等于( )

A ．－1e B.1e

C.1e 2 D ．e 2

5．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )

A ．f (x )＝g (x )

B ．f (x )＝g (x )＝0

C ．f (x )－g (x )为常数函数

D ．f (x )＋g (x )为常数函数

二、填空题

6．与直线2x －6y ＋1＝0垂直，且与曲线f (x )＝x 3＋3x 2－1相切的直线方程是________．

7（理）．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *

，n ≥2)，则f 1??π2＋f 2????π2＋…＋f 2 012???

?π

2＝________.

三、解答题

8．求下列函数的导数．

(1)y ＝x 2

sin x ；(2)y ＝e x ＋1

e x －1

；

(3)[理]y ＝log 2(2x 2＋3x ＋1)． .

9．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．

10．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．