arma模型参数估计的格林函数法

arma模型参数估计的格林函数法

ARMA模型是时间序列分析中应用广泛的一种模型。尤其在金融、经济等领域，ARMA模型被广泛应用。该模型可以表示为一个自回归模型和一个移动平均模型的组合。在实际应用中，常常需要估计ARMA模型的参数，以便进行后续的预测和分析。本文将介绍一种利用格林函数法估计ARMA模型参数的方法。

一、ARMA模型的基本结构

ARMA模型可以表示为下面的式子：

$$

y_t=a_0+\sum_{i=1}^p a_i y_{t-i}+\sum_{j=1}^q b_j

\varepsilon_{t-j}+\varepsilon_t

$$

其中，$y_t$表示时间序列在$t$时刻的取值；$a_0$是一个常数项；$a_i$是自回归模型的系数，$p$表示自回归模型的阶数；$b_j$是移动平均模型的系数，$q$表示移动平均模型的阶数；

$\varepsilon_t\sim N(0,\sigma^2)$表示白噪声误差。在ARMA模型中，自回归模型描述了当前时刻的值与之前的若干个时刻值的关系，而移动平均模型则描述了当前时刻的值与前面的若干个随机噪声的关系。

二、格林函数法基本原理

格林函数法是一种线性时不变系统的参数估计方法，主要用于一维离散系统的建模。对于ARMA模型的参数估计，格林函数法可以看作是将ARMA模型在离散频域上拓展成一维离散系统，并构造出相应的状态转移矩阵。

具体地，ARMA模型在频域上可以表示为：

$$

Y(z)=\frac{\Theta(z)}{\Phi(z)}E(z)

$$

其中，$Y(z)$是时间序列的$z$变换，$\Theta(z)$和

$\Phi(z)$分别是自回归模型和移动平均模型的$z$变换，$E(z)$是白噪声误差的$z$变换。格林函数法的核心思想是，将这个离散系统映射到一维空间中，并构造出相应的状态转移矩阵。具体地，假设$g_k$是该离散系统在状态$k$时的输出，$g_{k+1}$是该离散系统在下一个状态$k+1$时的输出。则可以利用状态转移矩阵$A$描述这个系统的状态转移过程：

$$

\begin{bmatrix}

g_{k+1}\\

g_{k}

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

\Theta(z^{-1})/\Phi(z^{-1}) & -b_1/\Phi(z^{-1})\\

1 & 0

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

g_{k}\\

g_{k-1}

\end{bmatrix}

+

\begin{bmatrix}

1/\Phi(z^{-1})\\

\end{bmatrix}

\varepsilon_{k}

$$

其中，$A$矩阵的具体形式可以根据ARMA模型的参数来求解。矩阵中的$b_1$表示移动平均模型的第一个系数，即$b_1=-b_1$。运用格林函数法，可以通过求解该状态转移矩阵的特征值及特征向量，进而

估计出ARMA模型的参数。

三、ARMA模型参数估计的步骤

格林函数法通过求解状态转移矩阵的特征值及特征向量，来估计ARMA模型的参数。具体步骤如下：

1、对数据进行预处理。将时间序列数据平稳化，即将非平稳的序列通过差分等方法转化为平稳序列。

2、将ARMA模型转化为离散系统。将ARMA模型在离散频域上拓展成一维离散系统，并根据ARMA模型的阶数及系数构造出状态转移矩阵。

3、计算状态转移矩阵的特征值及特征向量。利用矩阵运算及线性代数方法计算状态转移矩阵的特征值及特征向量。

4、根据特征值及特征向量估计ARMA模型的参数。根据特征值及特征向量代入ARMA模型，可以得到ARMA模型的估计参数。

5、对估计结果进行检验。对估计结果进行检验，包括检验参数的显著性、残差的序列性质等。

四、总结

ARMA模型是时间序列分析中常用的一种模型。在实际应用中，ARMA模型的参数估计是一个关键问题。本文介绍了一种利用格林函数法估计ARMA模型参数的方法，该方法基于状态转移矩阵的特征值及特征向量求解，具有良好的估计效果和理论基础。在实际应用中，可以根据需要选择不同的参数估计方法，以达到较好的效果。