正比例函数的概念

正比例函数教学设计

教学目标

知识与技能：理解正比例函数的意义；识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。

过程与方法：通过现实生活中的具体事例引入正比例函数，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

情感态度与价值观：培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯，同时渗透热爱大自然和生活的教育。

教学重点：识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。

教学难点：理解正比例函数的意义。

教学设计

（一）、创设情境，引入新知 1 ?提出问题，创设情境

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学生回答，教师总结

（1）200 千米；（2）y = 200x （0 < x< 128）;⑶9000 千米

类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多?它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习.

2 ?导入新课

教师活动：教师用多媒体呈现问题，

学生活动：学生思考并解答.

教师重点关注：学生能否顺利写出y与x的函数关系式.注意自变量的取值范围. 设计意图：

通过这一实际情境引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分，同时发展学生

从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力?

（二）、观察思考、归纳概念

问题1：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？请指出函数解析式中的常数、自变量和自变量的函数．

（1）圆的周长l 随半径r 的大小变化而变化；

（2）铁的密度为7.8g/ cm3，铁块的质量m （单位：g）随它的体积V （单位：cm3的大小变化而变化.

（3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；

（4）冷冻一个0 C物体，使它每分下降2 C,物体的温度T （单位：C）随冷冻时间t （单位：分）的变化而变化．

教师活动：教师多媒体呈现上述四个实际问题. 学生活动：学生独立解答，解答后小组交流，出代表进行反馈.

教师要重点关注：（1）题中学生易将写成.（4）题中每分钟下降2C应

记为“ -2 C” ,避免学生将写为.关注学生能否准确找出中的常量.

设计意图：通过指出常数、自变量、自变量的函数，对函数的概念进行回顾，从而为后续环节找正比例函数的共同点建立生长点.

通过对实际问题讨论，使学生体验从具体到抽象的认识过程.

问题2：

教师活动：将上表中的前四个函数进行比较，思考：四个函数有什么共同特点？学生活动：观察、思考. 小组交流，分析、归纳共同特点，出代表反馈.

教师要根据学生的具体表现，通过引导、点拨，使学生比较、观察得出共同点. 教师根据学生的表述板书：

共同点：常数X自变量.

学生阅读教材正比例函数的概念，

教师板书：

概念：一般地，形如y=kx （k是常数，k工0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．

教师追问：这里为什么强调k是常数，k工0呢？正比例函数y=kx （k M 0）

的结构特征

①k工0 ②x的次数是1

学生活动：学生交流、讨论，互相补充.

设计意图：

通过将前四个函数进行比较，是学生通过比较、观察、分析、概括出正比例函数的共同特点，使学生明白正比例函数的特征，从而归纳出正比例函数的概念.有效地克服了因没有对比直接观察使学生出现的不适性、盲目性.培养学生的观察、分析、归纳、概括等思维能力.

（三）练习运用，内化概念

1、判断下列各题中所指的两个量是否成正比例。

（1）圆周长C与半径r（）

（2）圆面积S与半径r （）

（3）在匀速运动中的路程S与时间t （）

（4）底面半径r为定长的圆锥的侧面积S与母线长I （）

（5）已知y=3x-2，y 与x （）

2、判断下列函数是否为正比例函数？如果是，请指出比例系数.

2 x 口2

（1）y=3x; （2）y=—:⑶丫二;（4 ）s= n r ; ；

x 2

教师活动：出示上题

学生活动：独立解答，教师巡视.

教师根据学生反馈情况，引导学生根据“常数X自变量”归纳辨别正比例函数要注意的问题.

教师重点关注学生能否正确辨别以下函数：、.

设计意图：

使学生结合实例深入理解概念的内涵，做到具体问题具体分析.

（四）、针对训练，提升能力

例1 （1）若y=5x3m-2是正比例函数，m= 。

（2）若y= （3m-2）x是正比例函数，贝U m的取值范围.

变式练习：1、若y=（m-1）xm2是关于x的正比例函数，贝U m=

2、若一个正比例函数的比例系数是4，则它的解析式是____________ .

3、正比例函数y=kx中，当x=2时，y=10,则它的解析式是____________ .

例2 已知△ ABC的底边BC=8cm当BC边上的高线从小到大变化时，△ ABC 的面积也随之变化。

（1）写出△ ABC的面积y （cm2与高线x的函数解析式，并指明它是什么函数；

（2）当x=7 时，求出y 的值。

例3:已知y与x成正比例，当x=4时，y=8，试求y与x的函数解析式。练习：1、已知y与x —1成正比例，x=8时，y=6，写出y与x之间函数关系式，并分别求出x=4 和x=-3 时y 的值。

2、已知y与x+2成正比例，当x=4时，y=12，那么当x=5时，y= ________

3、某学校准备添置一批篮球，已知所购篮球的总价y （元）与个数x （个）成正比例，当x=4 （个）时，y=100 （元）。

（1）求正比例函数关系式及自变量的取值范围；

（2）求当x=10 （个）时，函数y的值；

（3）求当y=500 （元）时，自变量x的值。

（五）、小结：

本节课你有哪些收获？用你的语言说一说.

（六）作业：

1、已知正比例函数y=2x 中,

（1） __________________________________ 若0< y <10, 则x 的取值范围为.

（2） __________________________________ 若-6< x <10, 则y 的取值范围为.

2、已知y=y1+y2, y1与x2成正比例，y2与x—2成正比例，当x=1时，y=0; 当

x= —3时，y=4，求x=3时，y的值。

3、87 页课后练习1 题、2 题.

设计意图：通过学生自己回顾、归纳本节内容，使学生对本节课的内容进行一次重新梳理，使学生能从整体上对本节内容有一个深刻地认识，使知识内化

六、板书设计

正比例函数

一、正比例函数概念：一般地，形如y=kx （k是常数，k丰0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．

正比例函数的概念

初中函数知识点总复习姓名

正比例函数的概念一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大．当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小．正比例函数的性质 1.定义域：R（实数集） 2.值域：R（实数集） 3.奇偶性：奇函数 4.单调性：当k>0时，图象位于象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于象限，y随x的增大而减小（单调递减）。 5.周期性：不是周期函数。 6.对称轴：直线，无对称轴。正比例函数解析式的求法设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y 值即可。正比例函数的图像正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。正比例函数图像的作法 1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y值 2.根据第一步求的x、y的值描出点 3.做过第二步描出的点和原点的直线正比例函数的应用正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然还有，y=kx 是y=k/x 的图像的对称轴。 ①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能

正比例函数定义及性质

正比例函数的图象与性质教学设计教学目标知识与技能 1、认识正比例函数的意义，理解正比例函数。 2、会用描点法画正比例函数图象，掌握正比例函数的性质。 3、能利用正比例函数知识解决相关实际问题。过程与方法 1、通过作出函数图象和从图象上获取信息，体会数形结合思想。 2、亲自经历“问题情境——函数解析式——函数图象——从图象中获取信息——解决问题”的过程，体验数学知识在实际生活中的广泛应用。情感态度与价值观 1、通过对实际问题的解决，亲身感觉数学来源于生活。 2、体会在学习活动中与同学合作和独立思考的重要性，并在学习活动中获得成功的体验，增强学习的自信心。教学重难点重点：正比例函数图象的画法和性质的理解。难点：利用正比例函数图象与性质灵活解题。教学过程：一、问题研讨：问题：1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在25600千米外的澳大利亚发现了它。

（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？（2）25600÷128＝200（km）（3）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行的时间x（单位：天）之间有什么关系？ y=200x （0≤x≤128）（4）这只燕鸥飞行1个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？当x=45时，y=200×45=9000 二、新知构建：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？（1）圆的周长L随半径r 大小变化而变化；（2）铁的密度为7.8g/立方cm，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：立方cm）大小变化变化；（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本撂在一起的总厚度h （单位cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；（4）冷冻一个0℃物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化。观察以下函数：（1）l=2πr（2）m=7.8V （3）h=0.5n （4）T= -2t

正比例函数的性质(教案)

正比例函数的性质（教案）宛平中学韩群一、教学目标（1）知识目标：能根据正比例函数的图像，观察归纳出函数的性质；并会简单应用。（2）能力目标：逐步培养学生的观察能力，概括的能力，通过教师指导发现知识，初步培养学生数形结合的思想以及由一般到特殊的数学思想；（3）情感目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，逐步培养学生实事求是的科学态度。二、教学的重点和难点教学重点：正比例函数的性质及其应用。教学难点：发现正比例函数的性质三、教学方法与学法指导教学方法：通过本节课的教学，我选用引导发现法和直观演示法，本节课的难点是发现正比例函数的性质，通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多活动（画图）、多观察（图像），主动参与到整个教学活动中来，最后发现其性质。学法指导：教师引导学生学会观察、归纳的学习方法。五、教学过程：（一）温故知新，引入课题温故：正比例函数的图像是什么？答：正比例函数图像是经过原点（0，0）和点(1,k)的一条直线（二）：知新：在两个直角坐标系内，分别画出下列每组函数的图像：

① y =2x y=x y=41x ② y =－2x y=－x y=－4 1x 引导学生观察图像，看看每组直线分布的特征？观察图像，思考问题： 1、图像经过的象限与k 的取值有何联系？不够明确。图像经过的象限与k 的取值（特别是符号）有何联系？ 2、对其中的某一个正比例函数图像(例如y=2x)，当x 增大时，函数值y 怎样变化？x 减小呢？是不是要提出减小？请斟酌。 3、你从中得出什么规律？第一个问题：图像经过的象限与k 的取值有何联系？估计生：发现第一组的三条直线都经过第一象限和第三象限；而第二组的三条直线都经过第二和第四象限。师：从比例系数来看呢，函数的比例系数和他们的图像分布有什么联系?用词前后宜一致估计生：第一组k>0，而第二组k<0。师：很好，谁能把他们联系一下？估计生：当k ＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k ＜0时，函数图像经过第二、四象限。师：那么是不是对于所有的正比例函数的图像都有：当k ＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k ＜0时，函数图像经过第二、四象限呢？【电脑演示：任意正比例函数的图像，当在一、三象限运动时，它的解析式中的k 的值无论怎样变化都是大于零的，反之，图像在二、四象限运动时，k 的值都小于零的。】下面由老师来证明这个性质：（由观察猜想到逻辑证明）当k ＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k ＜0时，函数图像经过第二、四象限。（板书）证明：这个证明是书上要求的吗？如果书上没有要求，你也不要求。下

正比例函数概念的教学设计

正比例函数概念的教学设计教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书》八年级数学上册第110页《正比例函数》。教学目标： 1. 通过对不同背景下函数模型（关系式）的比较，接受正比例函数的概念。 2. 培养学生分析和运用正比例函数的兴趣和能力。 3. 初步体验研究函数的一般思路和方法。教学重点：理解正比例函数的概念。教学难点：正比例函数图像性质特点的掌握以及研究函数的一般思路和方法。教学过程设计：一、创设情境，引出概念 1、写出下列问题中的函数关系式（1）圆的周长L 随半径r 变化的关系；（2）铁块的质量m （单位：g ）随它的体积v （单位：cm3)变化的关系（铁的密度为7.8g/cm3) m=7.8v （3）每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本叠在一起的总厚度 h 随练习本的本数n 变化的关系； h=0.5n （4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T(单位：℃）随冷冻时间t （单位：分） T=-2t 这些函数解析式都是常熟与自变量的乘积的形式。 r l π2=

函数=常数×自变量 ↓ ↓ ↓ y = k · x 4、通过讨论，归纳总结（让学生思考、分析、讨论，教师给予必要的引导）一般地，形如y=k x （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． y = k x (k ≠0的常数) 注: 正比例函数y=kx （k ≠0）的结构特征 ①k ≠0 ②x 的次数是1 二、初步应用，感悟新知 1.判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？ (k 为常数) 2、请同学们举出几个具体的正比例函数的解析式：…… ( 对于学生列举的不属于正比例函数的实例，不回避，恰当引导，紧扣定义，认真分析。) 三、认识的深化 1、已知函数y=(m-1)x 是正比例函数，求m 的取值范围。 2、如果 y=5x m-1 是正比例函数，求m 的值. 3、若3 2 )2(--=m x m y 是正比例函数，m= 。四、归纳小结，布置作业 1、本节课学了那些内容？你是如何理解的？ 2、布置作业：（为了更好的体现数学课程的基础性、普及性和发展性，实现“人人学有价值的数学；人人都能获得必要的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念，充分展示分层教学的优势，结合学生的实际水平，设计分层作业。）案例设计说明：在前一单元的学习中，学生始终是在数形结合的背景下整体地感受并理解这函数的概念。在描点法的学习中，初步感受了通过描点画出图像，并感知其增减性的过程。函数概念的学习要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言的灵活转换，这样才可以加深对函数概念的理解。但函数概念的学习向来是一个难点，除知识点本身原因外，更因为学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的，所以，在可能的情况下，我们应当设计一种有助于学生整体认识与把 x 2(1)y = 2x (2)y =2 x y 3=）（x 6y 4-=）（kx y 5=）（5 2y (6)+=x

正比例函数的概念

正比例函数的概念一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数。正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b 中，若b＝0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）当K＞0时（一三象限），K越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大．当K＜0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小． [编辑本段]正比例函数的性质 1.定义域：R（实数集） 2.值域：R（实数集） 3.奇偶性：奇函数 4.单调性：当k>0时，图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大（单调递增）；当k<0时，图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小（单调递减）。 5.周期性：不是周期函数。 6.对称轴：直线，无对称轴。 [编辑本段]正比例函数解析式的求法设该正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），将已知点的坐标带入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。 [编辑本段]正比例函数的图像正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（x，kx）两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。 [编辑本段]正比例函数图像的作法 1.在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y值 2.根据第一步求的x、y的值描出点 3.做过第二步描出的点和原点的直线 [编辑本段]正比例函数的应用正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然还有，y=kx 是y=k/x 的图像的对称轴。 ①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示： ②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？

函数的概念与正比例函数

八年级数学学科总计20 课时第课时课题函数的概念与正比例函数概念回顾： 1、在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做；保持数值不变的量叫做。 2、函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的。 3、如果变量y是自变量x的函数，那么对于x 在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的。 4、解析式形如的函数叫做正比例函数。 5、正比例函数的图像是。一、求函数定义域应注意的问题 ○5若函数中含有0x，则应0 x 例：求下列函数的定义域

练习：（1）4 241 y x x =+-；（2）3 22 x y x --=+；（3）0 3(2)y x =- （4）2439 y x x =---+；（5）24 x y -= 二、()y f x =的相关问题把语句“y 是x 的函数”用记号()y f x =来表示，这里括号内的字母x 表示自变量，括号外的字母f 表示y 随着x 变化的规律。练习：已知2(2)32 x y x -=-，把它改写成y=f （x ）的形式，并求f （3）的值。三、成正比例的相关问题例3、已知y+1与2 x 成正比例，且当2,9x y =-=-时。求（1）y 关于x 函数的解析式；（2）若点A （2，a ）和点B （b,-13）也是函数图像上的点，求a 、b 的值. 练习：y-1与2x+3成正比例，且当1,x =-时3y =。

求（1）y 关于x 函数的解析式；（2）若点A （0，a ）和点B （b ，0）也是函数图像上的点，点O 为坐标原点，求△AOB 的面积。四、正比例函数(0)y kx k =≠的概念注：1、系数k 不能为0；2、x 的次数为1 例4、若函数2 2 1 ()k k y k k x --=+?是正比例函数，求函数的解析式。练习：若函数222 (1)26 k k y k x k --=-+-是正比例函数，求函数的解析式。五、已知点的坐标用待定系数法求正比例函数的解析式例5、已知正比例函数图像经过点（3,5），（a ，-15），求函数的解析式与a 的值。

正比例函数及其性质练习题

正比例函数专题练习知识点 1．形如___________（k是常数，k≠0）的函数是正比例函数，其中k 叫，正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式 2．正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过________的_______，我们通常称之为直线y=kx．当k>0时，图像位于第象限，从左向右，y随x的增大而，也可以说成函数值随自变量的增大而_________；当k<0时，图像位于第象限，从左向右，y随x的增大而，也可以说成函数值随自变量的增大而_________． 3．正比例函数的图像是经过坐标点和定点__ __两点的一条。根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象．一、填空题(每小题3分，共30·分) 1、形如的函数是正比例函数。 2、大连市区与庄河两地之间的距离是160km，若汽车以每小时80 km 的速度匀速从庄河开往大连，则汽车距庄河的路程s (km)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式为. 3、正比例函数y kx =（k为常数，0 k<）的图像经过第象限，函数值随自变量的增大而。 4、已知一个正比例函数的图像经过点(-2，4)，则这个正比例函数的表达式是。 5、已知y与x成正比例，且2 x=时6 y=-，则9 y=时x=。 6如果函数23 y mx m =+-是正比例函数，则m= 。 7.若x、y是变量，且函数2 )1 (k x k y+ =是正比例函数，则k的值为_____________。 8.已知y=（k+1）x+k-5是正比例函数求k的值是______________. 9.若函数y=（2m+6）x2+（1-m）x是正比例函数，则m的值是______________. 10.已知函数y=(2m+1)x+m－3若此函数图象经过原点,则m=____________. 8、已知正比例函数(12) y a x =-如果y的值随x的值增大而减小，那么a的取值范圆是 9、结合正比例函数4 y x =的图像回答：当1 x>时，y的取值范围是。 10.函数y=－7x的图象在第象限内,经过点(0, )与点(1, ),y随x的增大而 .函数y=4x的图象在第象限内,经过点(0, )与点(1, ),y随x的增而 . 11.正比例函数x m y)1 (- =的图象经过一、三象限，则m的取值范围是 12.若正比例函数图像又x k)6 3( y- =的图像经过点) , ( 1 1 y x A和B) , ( 2 2 y x B，当2 1 x x< 时， 2 1 y y>则k的取值范围是 13、已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（） A、1 B、2 C、3 D、4 14、（2000?西城区）在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k＜0 ）的图象

正比例函数图像与性质(20201109201806)

19.2.1正比例函数图像与性质学习目标知识与技能 1.会画正比例函数的图象； 2?能根据正比例函数的图象和表达式y =kx（山0）,理解k>0和k v 0时, 函数的图象特征与增减性；情感、态度与价值通过观察图象、归纳总结概括出正比例函数性质的活动，发展数学感知、数学表征、数学概括能力，体会数形结合的思想，发展几何直观. 学习重点：用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比例函数的图象特征及性质。学习难点：:发现、归纳正比例函数的性质。教学过程一、复习导入 1、什么是正比例函数？ 2、画函数图象需要经历哪些步骤？二、研读课文（一）例1画出下列正比例函数的图象：

（1）y=2x, y= 3 x 说一说：这些图象都是经过原点的 ________ ，函数y=2x的图象从左向右 ______________ , 经过第________________ 象限, y随x的增大而___________ ;函数y= 1x 的图象从左向 3 右_____ ，经过第_________ 象限，y随x的增大而_________ < ⑵y=-1 ?5x, y=-4x 当k v 0时，正比例函数的图象特征及性质又怎样呢?

(二)归纳：正比例函数的图象及性质怎样? (三)分析图像，探究画正比例函数图像的简单方法：过原点_________ 和点 _________ 画直线，得到y =kx 的图象. 四、归纳小结 1.你有哪些收获？ 2.你还有哪些困惑？自我检测: 1. 直线y = 5x经过第______ 象限，y随x增大而______ ; 2. 直线y…(a2T)x经过第 ____________ 象限，y随x增大而______ 3. 若直线y二(2k - 3)X经过二、四象限，则k的取值范围是 --------- 5—— m2-3 4. 若直线y = (m T)x 经过一、三象限，则m= ______ .

正比例函数的图像与性质

《19.2.2正比例函数图像及性质》教案【教学目标】 1.知识与技能（1）掌握正比例函数的概念；（2）会求正比例函数的解析式；（3）掌握正比例函数的性质。 2.过程与方法使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识。 3.情感态度和价值观实例引入，激发学生学习数学的兴趣。【教学重点】正比例函数的概念及图像。【教学难点】正比例的性质与常数k的关系。【教学方法】教法：启发引导。学法：自学与小组合作学习相结合的方法。【课前准备】多媒体课件，直尺，彩色粉笔。【课时安排】 1课时【教学过程】

一、复习导入【过渡】我们学习了第一节的内容，主要是学习了函数的基本知识，如变量与常量，函数的解析式等等，现在，我们一起来回忆一下这几个基本概念吧。 1、正比例的解析式是什么？ 2、已知y与x成正比例，且当x =-1时，y =-2，求y与x之间的函数关系式？（可以由学生回答）【过渡】在学习基础知识的过程中，我们会看到不同种类的函数解析式，那么，这些函数解析式有没有哪些具有共同的特征呢？又有什么样的性质呢？今天，我们就来探究一种具有独特性质且简单的函数：正比例函数。二、新课教学 1．正比例函数课本P86思考内容。【过渡】这几个问题的函数关系式很容易就能得到，大家观察这四个关系式，这几个关系式有什么共同点呢？（学生回答）列表更清晰直观。【过渡】根据大家的观察，这些函数有什么共同点？这些函数都是常数与自变量的乘积的形式！【过渡】在数学中，我们将这样的函数称为正比例函数。一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k

函数的概念及正比例函数

授课类型 T - 函数的概念 C - 正比例函数的概念 C 正比例函数的图像与性质授课日期及时段教学内容函数的概念知识要点一：常量和变量在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，而数值始终保持不变的量为常量. 判断一个量是常量还是变量，需看两个方面： ①看它是否在一个变化的过程中；②看它在这个变化过程中的取值情况。知识要点二：定义在某个变化过程中有两个量x 和y ，如果在x 的允许范围内，变量y 随x 的变化而变化，它们之间存在确定的依么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫自变量，y 叫做因变量。自变量与函数概念的形成过程：①一个变化过程；②两个变量；③一个量随另一个量的变化而变化。若两个量满足上述三个条件，就说这两个量具有函数关系。对于函数的关系，即两个变量的对应关系，有三种表示方法：（1）解析法（2）列表法（3）图象法表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式. 知识要点三：定义域与函数值函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。求自变量的取值范围的两个依据是：（1）自变量取值范围是使函数解析式(即是函数表达式)有意义．（2）自变量取值范围要使实际问题有意义．对自变量x 在定义域内的每一个值，变量y 都有唯一确定的值与它对应。在定义域内，取x=a 对应的y 值叫x=a 时的函数值。有时把y 用()f x 来代替，所以x=a 时的函数值也可以用()f a 来表示。如

()()()()211,0,1,,12x f x f f f f a x +??=- ?-?? 求理解函数概念把握三点：①一个变化过程，②两个变量，③一种对应关系。判断两个量是否具有函数关系也以这三点为依据。各类型函数的定义域（1）整式-----一切实数（2）分式-----分母不为零（3）根式-------()()? ??≥被开方数为一切实数奇数根式被开方数偶数根式0 （4）零指数-----底数≠0 1．汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y (千米)与行驶时间x 之间的函数关系是。 2．圆的面积y (厘米2)与它的半径x 之间的函数关系是。函数的定义域： 1、下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（） A ．y=2x 2中，x 取全体实数 B ．y= 11x +中，x 取x ≠-1的实数 C ．y=2x -中，x 取x ≥2的实数 D ．y=13 x +中，x 取x ≥-3的实数 2、已知函数y=212 x x -+中，当x=a 时的函数值为1，则a 的值是（） A ．-1 B ．1 C ．-3 D ．3 3、已知函数y = 2x －1x ＋2 ，当x=m 时的函数值为1，则m 的值为（）（A ） 1 （B ）3 （C ）－3 （D ）－1 4、函数y =x －2＋3－x 中自变量x 的取值范围是（）（A ）x ≥2 （B ）x ≤3 （C ）2≤x ≤3 （D ）x ≥3或x ≤2 1.写出下列函数关系式,并指出式中的自变量与因变量.

正比例函数地概念

初中函数知识点总复习

3.做过第二步描出的点和原点的直线正比例函数的应用正比例函数在线性规划问题中体现的力量也是无穷的。比如斜率问题就取决于K值，当K越大，则该函数图像与x轴的夹角越大，反之亦然还有，y=kx 是y=k/x 的图像的对称轴。 ①正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．①用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，（一定）正比例关系可以用以下关系式表示：②正比例关系两种相关联的量的变化规律：对于比值为正数的,即y=kx(k>0),此时的y与x,同时扩大，同时缩小，比值不变．例如：汽车每小时行驶的速度一定，所行的路程和所用的时间是否成正比例？以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时应注意这两种相关联的量，虽然也是一种量，随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比例关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系。反比例函数的定义一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-1。 [编辑本段]反比例函数表达式 y＝k／x 其中X是自变量，Y是X的函数 y=k/x=k·1/x xy=k y=k·x^-1 y=k\x(k为常数(k≠0），x不等于0）反比例函数的自变量的取值围 ①k ≠ 0; ②一般情况下, 自变量x 的取值围是x ≠ 0 的一切实数; ③函数y 的取值围也是一切非零实数. [编辑本段]反比例函数图象反比例函数的图象属于双曲线, 曲线越来越接近X和Y轴但不会（K≠0）。反比例函数性质 1.当k>0时，图象分别位于象限；当k<0时，图象分别位于象限。 2.当k>0时.在同一个象限，y随x的增大而；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而。 k>0时，函数在x<0上为函数、在x>0上同为函数；k<0时，函数在x<0上为函数、在x>0上同为函数。定义域为x≠0；值域为y≠0。

正比例函数与一次函数的概念

正比例函数与一次函数的概念 1．下列函数中，是正比例函数的是( ) (A) x y 3= (B) 4x y -= (C)93+=x y (D)22x y = 2．下列关系中的两个量成正比例的是（） A ．从甲地到乙地，所用的时间和速度； B ．正方形的面积与边长 C ．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量； D ．人的体重与身高 3．下列说法中不成立的是（） A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例； B ．在y=-2 x 中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例 4．若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（） A ．m=-3 B ．m=1 C ．m=3 D ．m>-3 5．对于函数x y 3-=的两个确定的值1x 、2x 来说，当21x x <时，对应的函数值1y 与2y 的关系是( ) (A) 21y y < (B) 21y y = (C) 21y y > (D) 无法确定 6．在下列各图象中，表示函数)0(<-=k kx y 的图象是( ) (A) ( B) ( C ) ( D ) 7．下列一次函数中，y 随x 值的增大而减小的（） A ．y=2x+1 B ．y=3-4x C ．y=πx+2 D ．y=（5-2）x 8．已知一次函数y=mx+│m+1│的图象与y 轴交于（0，3），且y 随x?值的增大而增大，则m 的值为（） A ．2 B ．-4 C ．-2或-4 D ．2或-4 9．已知一次函数y=3x －b 的图象经过点P(1，1)，则该函数图象必经过点( ) A.(－1,1) B.(2，2) C.(－2，2) D.(2，－2) 10．已知一次函数y=mx-（m-2）过原点，则m 的值为（） A ．m>2 B ．m<2 C ．m=2 D ．不能确定 11．当0>x 时，y 与x 的函数解析式为x y 2=，当0≤x 时，y 与x 的函数解析式为x y 2-=，则在同一直角坐标系中的图象大致为( ) x x x x x x x x

正比例函数的概念

正比例函数教学设计教学目标知识与技能：理解正比例函数的意义；识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。过程与方法：通过现实生活中的具体事例引入正比例函数，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。情感态度与价值观：培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯，同时渗透热爱大自然和生活的教育。教学重点：识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。教学难点：理解正比例函数的意义。教学设计（一）、创设情境，引入新知 1 ?提出问题，创设情境丽-年*电类軒究暑建芬兰診一只撫跨｛帔码）誓上拆進歼匚兀約席8天后，Mrjrt 25 600于厳并的覆光和亚发现r它* 这灵遵踽飞斤一牛半尺￡一牛求按3Q丸讣的行樫大的是客夕 TM? 学生回答，教师总结（1）200 千米；（2）y = 200x （0 < x< 128）;⑶9000 千米类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多?它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习. 2 ?导入新课教师活动：教师用多媒体呈现问题，学生活动：学生思考并解答. 教师重点关注：学生能否顺利写出y与x的函数关系式.注意自变量的取值范围. 设计意图：通过这一实际情境引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分，同时发展学生

从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力? （二）、观察思考、归纳概念问题1：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？请指出函数解析式中的常数、自变量和自变量的函数．（1）圆的周长l 随半径r 的大小变化而变化；（2）铁的密度为7.8g/ cm3，铁块的质量m （单位：g）随它的体积V （单位：cm3的大小变化而变化. （3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；（4）冷冻一个0 C物体，使它每分下降2 C,物体的温度T （单位：C）随冷冻时间t （单位：分）的变化而变化．教师活动：教师多媒体呈现上述四个实际问题. 学生活动：学生独立解答，解答后小组交流，出代表进行反馈. 教师要重点关注：（1）题中学生易将写成.（4）题中每分钟下降2C应记为“ -2 C” ,避免学生将写为.关注学生能否准确找出中的常量. 设计意图：通过指出常数、自变量、自变量的函数，对函数的概念进行回顾，从而为后续环节找正比例函数的共同点建立生长点. 通过对实际问题讨论，使学生体验从具体到抽象的认识过程. 问题2：教师活动：将上表中的前四个函数进行比较，思考：四个函数有什么共同特点？学生活动：观察、思考. 小组交流，分析、归纳共同特点，出代表反馈. 教师要根据学生的具体表现，通过引导、点拨，使学生比较、观察得出共同点. 教师根据学生的表述板书：共同点：常数X自变量. 学生阅读教材正比例函数的概念，教师板书：概念：一般地，形如y=kx （k是常数，k工0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．教师追问：这里为什么强调k是常数，k工0呢？正比例函数y=kx （k M 0）

人教版正比例函数

14.2.1 正比例函数教学设计一.教学目标知识与技能：（1）理解正比例函数的概念（2）能够识别正比例函数. 数学思考：通过现实生活中的具体事例引入体会建立函数模型的思想. 解决问题：会利用正比例函数解决简单的数学问题. 情感态度：积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲，形成合作交流、独立思考的学习习惯．二、教学重难点教学重点：正比例函数概念教学难点：正比例函数概念及其应用三．教学方法本节课通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多观察，多练习，主动参与到整个教学活动中来，通过观察能发现正比例函数的特征，教师的主导作用与学生主体地位达到相互统一. 四、教学设计【活动1】问题引入

1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它． (1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？ (2) 这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？ (3) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？教师活动：教师用多媒体呈现问题. 学生活动：学生思考并解答. 教师重点关注：学生能否顺利写出y与x的函数关系式. 注意自变量的取值范围．设计意图：通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分，向学生渗透热爱自然、关注珍惜物种、人与动物和谐共处的情感教育.同时发展学生从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力. 【活动2】正比例函数概念的学习 1.讨论与思考下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？请指出函数解析式中的常数、自变量和自变量的函数．（1）圆的周长l 随半径r的大小变化而变化；（2）铁的密度为7.8g/ cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化. （3）每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化；

正比例函数概念与性质

正比例函数概念与性质【教学目标】知识与技能： 1.理解正比例函数的概念. 2.会用描点法画正比例函数图象. 3.掌握正比例函数的性质．过程与方法： 1.通过“燕鸥”这一实际情境引入，培养学生数学建模的能力． 2.通过对正比例函数的性质的探究，使学生经历做数学的过程，初步形成正确、科学的学习方法. 情感态度与价值观： 1.通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到生活实例中有大量的函数模型，激发学生学习数学的兴趣． 2.培养学生热爱自然、热爱生活的优秀品质. 【教学重点】 1.正比例函数的概念. 2.探究正比例函数的性质. 【教学难点】正比例函数的性质中的y与x的变化关系. 教学过程一、创设情境，引入新知像许多迁徙的鸟一样，北极燕鸥要在北半球的春季北上繁殖，秋季南迁越冬，很难相信，这只轻盈的海鸟轻的好像能被一阵风吹走似的，然而他们却能进行着令人难以想象的长距离的飞行，它飞过的距离比所有鸟都要长，比你我想象的都要远，据研究发现北极燕鸥一年飞行的距离竟然高达8万公里。鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；4个月零1周后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它 (一个月按30天计算) ． (1) 这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？ 25600÷127≈200（千米） (2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？ y=200x 像y=200x这样的函数是什么函数呢？它们的图像是怎样的呢？这节课我们学习“正比例函数”

设计意图：通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分，向学生渗透热爱自然、关注珍惜物种、人与动物和谐共处的情感教育. 同时发展学生从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力. 二、观察思考、归纳概念列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式？ 1.圆的周长L随半径r的变化而变化？ 2.铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m(单位;g)随它的体积V的变化而变化。 3.每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随联系标的本数n的变化而变化。 4.冷冻一个0°C的物体，使它每分下降2°C,物体的温度T(单位：°C）随冷冻时间t(单位：min）的变化而变化。师生活动：教师多媒体呈现上述五个实际问题. 学生独立解答，解答后小组交流，出代表进行反馈. 教师要重点关注：（1）题中学生易将写成 .（4）题中每分钟下降2℃应记为“-2℃”，避免学生将写为 .关注学生能否准确找出中的常量.

沪教版八年级数学上册教案：18.1函数的概念及正比例函数

函数的概念及正比例函数知识精要 1.常量与变量在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。 2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数。（1）自变量取值范围的确是： ①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。 ②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。 ③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。（2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 3．正比例概念（1）．如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数(这个常数不等于零)那么就说这两个变量成正比例。（2）．解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数。精解名题

常量与变量例1.（1）瓜子每千克12元，买x千克瓜子需付款y元，用x的代数式表示y,并指出这个问题中的变量和常量。（2）写出圆周长公式，并指出公式中每个字母所表示的量是常量还是变量。解：（1）y=12x,单价12元是常量，瓜子的重量x、付款金额y是变量。 (2)C=2 例2.物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：G=mg，其中m表示质量，G表示重力，g=9.8牛/千克，物体所受重力G是不是它的质量m的函数？解：物体所受重力G随着它的质量m的变化而变化，由G=mg可知，这两个变量之间存在确定的依赖关系，所以物体所受重力G是它的质量m的函数。函数的定义域与函数值例3.求下列函数的定义域：（1）（2）（3）（4）解：（1）定义域是全体实数（2）x≠-3/2 (3)x≤5/2 (4)-3/4≤x<1/3 例4．1.已知，求的值。解： 2.已知。 (1) 求，，，。 (2) 当为何值时，没有意义？（3）当为何值时，。解：（1）1，-4，0，(a≠-1/2) （2）x=-1/2时，f(x)没有意义(3)-3 正比例函数例5.下列函数哪些是正比例函数？为什么？

正比例函数、一次函数的图像与性质

正比例函数与一次函数的图象与性质 1，正比例函数 2，一次函数y=kx+b的性质（对比正比例函数的性质和图像的性质） 3，函数是通过的观念研究已学过或未学过的知识。 4，变量的定义是：常量的定义是： 5，函数的定义：则函数的本质是： 6，在函数的定义中，自变量x在“在某一范围内”取值，这就是自变量的取值范围，它有两层含义，分别是：（1）（2） 7，函数解析式是式子，写函数解析式必写 8，函数的表示方法有种，它们分别是：；在运用时不是单独运用某一种，而综合运用它们。 9，由函数解析式画函数图像，一般步骤是 10，一次函数的定义是正比例函数的定义是 11，一次函数y=kx+b的平移：

1）在y轴如何平移 2）在x轴如何平移 12，正比例函数是一次函数的特例，特殊在什么地方13，一次函数y=kx+b的趋势是由什么决定的如何决定的 14，函数y 1=k 1 x+b 1 与y 2 =k 2 x+b 2 ： 1）平行的条件 2）相交的条件 3）重合的条件 15，作图与作题正比例函数的图像是由决定的而一次函数的图像是由决定的16，一次函数是函数中最简单、最基本的一种函数。函数与方程不同，方程是从静态的角度看待问题，是求方程所代表的未知数，如x+y=1，就方程而言一个二元一次方程没有意义，要想有意义就要是方程组，才能有一对实数解，这个解用平面直角坐标系来解释就是一个点；而函数是运用运动的观念来研究问题的，是从动态的角度看待问题的，也就是说自变量在某一变化过程中有一定的取值范围，从函数图像上看其就是点的集合，运用方程思想或方法只能求出一点，因此要想确定函数解析式或画出函数图像就要知道函数解析式中自变量的系数与常数即可，这就是待定系数法的由来。 17，待定系数法的定义是：待定系数法是解出函数解析式的方法，是运用方程思想解出函数解析式中未知的系数与常数，其步骤有：（1）根据图像或条件设定函数解析式；（2）运用方程思想方法解出未知的系数与常数。那么一次函数系数的确定需要的条件是：正比例函数系数的确定需要的条件是： 18，一次函数与二元一次方程组二元一次方程组有解是二元一次方程组无解是阅读——函数与方程的联系与区别：区别：（1）方程有若干个未知数，而函数则有若干个变量；（2）方程用等式表示若干个未知数的关系，而函数既可以用等式表示变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系。联系：（1）在平面直角坐标系中分别描绘出以方程的解为坐标的点，这些点都在相应的函数的图象上. （2）在函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的方程。