线段的垂直平分线教案一

线段的垂直平分线

教学目标

(一)教学知识点

1．经历探索、猜测过程，能够运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．

2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．

(二)思维训练要求

1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．2．体验解决问题策略的多样性，发展实践能力和创新精神．

3．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．

(三)情感与价值观要求

1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

教学重点

1．能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论．

2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．

教学难点

写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题．

教学方法

探索——交流——合作法

教具准备

多媒体演示

教学过程

Ⅰ．创设现实情境，引入新课

教师用多媒体演示：

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使

它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？

其中“到两个仓库的距离相等”三次闪烁，强调这几个字在题中有很重要的作用．

[生]码头应建在线段AB的垂直平分线与在A，B一侧的河岸边的交点上．

[师]你为什么要这样做呢？

[生]我们在七年级时研究过线段的性质，线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．

[师]这位同学分析得很详细，我们曾利用折纸的方法得到：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．你能用公理或学过的定理证明这一结论吗？

教师演示线段垂直平分线的性质：

定理线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

同时，教师板演本节的题目：

§1．3．1 线段的垂直平分线(一)

Ⅱ．讲述新课

[师]我们从折纸的过程中得到了线段垂直平分线的性质定理，大家知道这是不够的，还必须利用公理及已学过的定理推理、证明它．现在就请同学们自己思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程．遇到困难，请同学们大胆提出来，我会给你启示．

[生]我有一个问题，要证“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，可线段垂直平分线上的点有无数多个，需一个一个依次证明吗？何况不可能呢．

[师]谁有办法来解决此问题呢？

[生]我觉得一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表．

[师]我觉得这位同学的做法很好．我们只需在线段垂直平分线上任取一点代表即可，因为线段垂直平分线上的点都具有相同的性质．

[师生共析]

已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．

求证：PA＝PB．

分析：要想证明PA＝PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．证明：∵MN⊥AB，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

∵AC＝BC，PC＝PC，

∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．

教师用多媒体完整演示证明过程．同时，用多媒体呈现：

想一想

你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？

[生]这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．

[师]谁来分析原命题的条件和结论呢？注意表述时要流畅，完整．

[生]原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．

[师]有了这位同学的精彩分析，逆命题就很容易写出来．

[生]如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等．

[师]谁能把它描述得更简捷？

[生]到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

[师]当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．

[生A]证法一：

已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB．

求证：P点在AB的垂直平分线上．

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC．∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PA C≌Rt△PBC(HL定理)．

∴AC＝BC，

即P点在AB的垂直平分线上．

[生B]证法二：取AB的中点C，过PC作直线．

∵AP＝BP，PC＝PC，AC＝CB，

∴△APC≌△BPC(SSS)．

∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．

又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，

∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB．

∴P点在AB的垂直平分线上．

[生C]证法三：过P点作∠APB的角平分线．

∵AP＝BP，∠1＝∠2，PC＝PC，

∴△APC≌△BPC(SAS)．

∴AC＝DC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．

又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．

∴P点在线段AB的垂直平分线上．

[生D]证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC．

∵AC＝CB，∠PCA＝∠PCB＝90°，

∴P在AB的垂直平分线上．

[生]前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂．

[师]先请同学们看两个图．如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB．这说明一般情况下：过P作AB的垂直平分线“是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．

[师]从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．

我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线．现在我们学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢？

教师多媒体演示：

做一做

用尺规作线段的垂直平分线．

[师]要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两个端

点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个到线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．

下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．

[师生共析]

已知：线段AB (如图)．

求作：线段AB 的垂直平分线．

作法：1．分别以点A 和B 为圆心，以大于

2

1AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ．

2．作直线CD ．

直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．

[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD 为什么是AB 的垂直平分线吗？请与同伴进行交流．

[生]从作法的第一步可知

AC ＝BC ，AD ＝BD ．

∴C 、D 都在AB 的垂直平分线上(线段垂直平分线的判定定理)．

∴CD 就是线段AB 的垂直平分线(两点确定一条直线)．

[师]我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB 的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．

Ⅲ．随堂练习

课本P 25

1．如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点．如果EC ＝7cm ，那么ED ＝________cm ；如果∠ECD ＝60°，那么∠EDC ＝________．

解：∵AB是线段CD的垂直平分线，

∴EC＝ED．又∵EC＝7cm，

∴ED＝7cm．

∴∠EDC＝∠ECD＝60°．

2．已知直线l和l上一点P，利用尺规作l的垂线，使它经过点P．

已知：直线l和l上一点P．

求作：PC⊥l．

作法：1．以点P为圆心，以任意长为半径作弧，直线l相交于点A和B．2．作线段AB的垂直平分线PC．

直线PC就是所求的垂线．

Ⅳ．课时小结

本节课我们先推理证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学会用尺规作线段的垂直平分线．

Ⅴ．课后作业

习题1．6第1、3题

Ⅵ．活动与探究

(1)在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝40°，求∠NMB的大小；

(2)如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的大小．

(3)你发现了什么样的规律？试证明之；

(4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改．

[过程]由(1)、(2)不难认识到∠BMN的大小是∠A的一半，但也容易认为点

M 一定在BC 的延长线上，通过(4)也就是让△ABC 保持AB ＝AC 的前提下发生变化，认识就会更全面、更准确了．

[结果](1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB (等边对等角)．

∴∠B ＝21(180°－∠A )＝2

1×(180°－40°)＝70°． ∵∠BNM ＝90°，

∴∠M ＝90°－∠B ＝90°－70°＝20°〔如图(1)〕．

(2)如图(2)，同(1)求得∠BMN ＝35°．

(3)如图(3)，∠NMB 的大小为∠A 的一半．

证明：设∠A ＝α．

∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C (等边对等角)．

∴∠B ＝2

1(180°－α)． ∵∠BNM ＝90°， ∴∠BMN ＝90°－∠B ＝90°－

21(180°－α)＝21α， 即∠BMN 等于顶角的一半．

(4)完整的叙述上述规律为：等腰三角形一腰上的垂直平分线与底边或底边的延长线相交，所成的锐角等于顶角的一半．

板书设计

§1．3．1 线段的垂直平分线(一)

一、线段垂直平分线的性质定理．

二、线段垂直平分线的判定定理．

三、用尺规作线段的垂直平分线．