高一物理必修二天体运动与航天(有答案)

天体运动与航天

= G M m R

2→2

gR M G =

②当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时，设中心星球质量为M ，半径为R ，环绕星球质量为m ，线速度为v ，公

转周期为T ，两星球相距r ，由万有引力定律有：2

222??

? ??==T mr r mv r GMm π，可得出中心天体的质量：2

3224GT r G r v M π== ρ=V M

=33

4R

M π=3223R GT r π

由上式可知，只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r 及运行周期T ，就可以算出天体的质量M ．若知道行星的半径则可得行星的密度

【例题分析】

1、某人质量为50kg ，若g 取9.8m/s 2

，G ＝6.67×10-11

N ·m 2

/kg 2

，地球半径R ＝6.4×106

m ，试求地球的质量。

2、登月火箭关闭发动机在离月球表面112km 的空中沿圆形轨道运动，周期是120.5min,月球的半径是1740km ，根据这组数据计算月球的质量和平均密度。

8．23

7.1610M =? ，3

3

2.710kg

m ρ=?

3、中子星是由中子组成的密集星体,具有极大的密度.已知某中子星的自转角速度W=60πrad/s,为使中子星不因自转而

瓦解,其密度至少为多大?又已知某中子星的密度是1×1017 kg /m 3

，中子星的卫星绕中子星做圆周运动,试求卫星运动的最小周期.

17 .1.3*1014 kg/m 3 1.2*10-3s

4、若已知行星绕太阳公转的半径为r ，公转的周期为T ，万有引力恒量为G ，则由此可求出（ B ）

A ．某行星的质量

B ．太阳的质量

C ．某行星的密度

D ．太阳的密度

5、已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M 地（引力常量G 为已知） （ AC ）

A ．月球绕地球运动的周期T 及月球到地球中心的距离R 1

B ．地球绕太阳运行周期T 2及地球到太阳中心的距离R 2

C ．人造卫星在地面附近的运行速度v 3和运行周期T 3

D ．地球绕太阳运行的速度v 4及地球到太阳中心的距离R 4

二、三种宇宙速度

1、第一宇宙速度（环绕速度）：v=7.9km/s ,是天体或物体最小发射速度，是环绕地球运动的最大速度。

2、第二宇宙速度（脱离速度）：v=11.2km/s ,是物体挣脱地球的引力束缚所需要的最小发射速度。

3、第三宇宙速度（逃逸速度）：v=16.7km/s ,是物体挣脱太阳的引力束缚所需的最小发射速度。

第一宇宙速度的计算．

方法一：地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力． G

()2

h r mM

+=m ()h r v +2，v=h

r GM +。当h ↑，v ↓，所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的最大速度。其大小为r ＞＞h

（地面附近）时，1V =

=7．9×103

m/s 方法二：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力．

()

21v mg m

r h =+．当r ＞＞h 时．g h ≈g 所以v 1＝gr =7．9×103

m/s 第一宇宙速度是在地面附近h ＜＜r ，卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度．

【例题分析】

1、关于地球的第一宇宙速度,下列说法中正确的是( BC ) A 它是人造地球卫星环绕地球运转的最小速度 B 它是近地圆行轨道上人造卫星的运行速度 C 它是能使卫星进入近地轨道最小发射速度 D 它是能使卫星进入轨道的最大发射速度

2、月球的质量约为地球的1/81，半径约为地球半径的1/4，地球上第一宇宙速度约为7.9km/s,则月球上第一宇宙速度月为多少？

三、人造卫星变轨问题专题

（1）发射同步卫星时，先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v 1；变轨时在P 点点火加速，短时间内将速率由v 1增加到v 2，使卫星进入椭圆形的转

移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q 时的速率为v 3；此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v 3增加到v 4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。

（2）第一次加速：卫星需要的向心力r mv 2增大了，但万有引力2

r GMm

没变，因此卫星开始做离心运动，进入

椭圆形的转移轨道Ⅱ。在远地点Q 处，如果不进行再次点火加速，卫星将继续沿椭圆形轨道运行，从远地点Q 回到

近地点P ，不会自动进入同步轨道。这种情况下卫星在Q 点受到的万有引力大于以速率v 3沿同步轨道运动所需要的向心力，因此卫星做向心运动。

（3）为使卫星进入同步轨道，在卫星运动到Q 点时必须再次启动卫星上的小火箭，短时间内使卫星的速率由v 3

增加到v 4，使它所需要的向心力r

mv 24

增大到和该位置的万有引力大小恰好相等，这样才能使卫星进入同步轨道Ⅲ做

匀速圆周运动。

【例题分析】

1、人造飞船首先进入的是距地面高度近地点为200km ，远地点为340km 的的椭圆轨道，

在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆行轨道上，如图所示，

（地球的半径R=6370km ，g=9.8m/s 2）。飞船在椭圆轨道１上运行，Q 为近地点，P 为远地点，

当飞船运动到P 点时点火，使飞船沿圆轨道２运行，以下说法正确的是 A ．飞船在Q 点的万有引力大于该点所需的向心力

B ．飞船在P 点的万有引力大于该点所需的向心力

C ．飞船在轨道1上P 的速度小于在轨道2上P 的速度

D ．飞船在轨道1上P 的加速度大于在轨道2上P 的加速度 解析 飞船在轨道1上运行，在近地点Q 处飞船速度较大，相对于以近地点到地球球心的距离为半径的轨道做离心运动，说明飞船在该点所受的万有引力小于在该点所需的向心力；在远地点P 处飞船的速度较小，相对于以远地点到地球球心为半径的轨道飞船做向心运动，说明飞船在该点所受的万有引力大于在该点所需的向心力；当飞船在轨道1上运动到P 点时，飞船向后喷气使飞船加速，万有引力提供飞船绕地球做圆周运动的向心力不足，飞船将沿椭圆轨道做离心运动，运行到轨道2上，反之亦然，当飞船在轨道2上的p 点向前喷气使飞船减速，万有引力提供向心力有余，飞船将做向心运动回到轨道1上，所以飞船在轨道1上P 的速度小于在轨道2上P 的速度；飞船运行到P 点，不论在轨道1还是在轨道2上，所受的万有引力大小相等，且方向均于线速度垂直，故飞船在两轨道上的点加速度等大。

2、（双）发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火， 将卫星送人同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图所示，，则当卫星分别在1、2、3 轨道上正常运行时，下列说法中正确的是

A ．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率

B ．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度

C ．卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度

D ．卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度 3、如图所示，是某次发射人造卫星的示意图。人造卫星先在近地的圆周轨道1上运动， 然后改在椭圆轨道2上运动，最后在圆周轨道3上运动。a 点是轨道1、2的交点，b 点是 轨道2、3的交点．人造卫星在轨道1上的速度为v 1，在轨道2上a 点的速度为v 2a ，在轨 道2上b 点的速度为v 2b ，在轨道3上的速度为v 3，则以上各速度的大小关系是（

）

A ．v 1＞v 2a ＞v 2b ＞v 3

B ．v 1 < v 2a < v 2b < v 3

C ．v 2 a ＞v 1＞v 3 ＞v 2b

D ．v 2 a ＞v 1＞v 2b ＞v

4、（双）在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球 同步轨道Ⅱ。则 （ ）

P 地球

Q 轨道1 轨道2

P Q Ⅰ Ⅱ

地

A ．该卫星的发射速度必定大于11.2km/s

B ．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9km/s

C ．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度

D ．卫星在Q 点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ

四、两种常见卫星

1、近地卫星。

近地卫星的轨道半径r 可以近似地认为等于地球半径R ，由式②可得其线速度大小为v 1=7.9×103

m/s ；由式③可

得其周期为T =5.06×103

s=84min 。由②、③式可知，它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。 神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km ，线速度约7.6km/s ，周期约90min 。

2、同步卫星。

“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期，即T =24h 。由式G

()2

h r mM

+=m ()

h r v +2= m

2

24T

π（r+h ）可得，同步卫星离地面高度为 h ＝3

2

24π

GMT －r ＝3·58×107

m 即其轨道半径是唯一确定的。离地面

的高度h =3.6×104

km ，而且该轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致即由西向东。如果仅与地球自转周期相同而不定点于赤道上空，该卫星就不能与地面保持相对静止。因为卫星轨道所在平面必然和地球绕日公转轨道平面重合，同步卫星的线速度 v=

h

r GM +=3.07×103

m/s.又叫通讯卫星。 通讯卫星可以实现全球的电视转播，如果能发射三颗相对地面静止的卫星（即同步卫星）并相互联网，即可覆盖

全球的每个角落。由于通讯卫星都必须位于赤道上空3.6×107

m 处，各卫星之间又不能相距太近，所以，通讯卫星的

总数是有限的。设想在赤道所在平面内，以地球中心为圆心隔50

放置一颗通讯卫星，全球通讯卫星的总数应为72个。

同步卫星的五个一定：

“同步”的含义就是和地球保持相对静止（又叫静止轨道卫星）. 1．轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．（即卫星在赤道正上方） 2．周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24h. 3．角速度一定：与地球自转的角速度相同．

4．高度一定：由 同步卫星离地面的高度h ≈3.6×107

m.

5．速率一定：v ≈3.1×103

m/s.

同步卫星、近地卫星及赤道上物体的区别

<1>.同步卫星“同步”的含义是它绕地心匀速圆周运动的角速度跟地球自转的角速度相同，且圆轨道平面跟赤道平面重合，即静止在赤道正上方. 万有引力为它提供向心力，其向心加速度等于轨道处的重力加速度，比地面处的重力加速度小的多，运行周期T ＝24小时．

<2>．近地卫星可看做绕地球表面运行的卫星．

近地卫星由于离开了地球，它只受到一个万有引力的作用，万有引力全部充当向心力，其向心加速度近似等于地面上的重力加速度，即a ＝g.

近地卫星的线速度为第一宇宙速度7.9 km/s ，远大于地面赤道上物体的速度．其运行周期可由方程G Mm R 2＝m 4π

2

T

2R

求出，T ＝84 min ，远小于地球同步卫星的周期．

<3>．放在赤道上的物体随地球自转时受到两个力的作用，一个是万有引力，另一个是地面对物体的支持力，其合力提供了物体做圆周运动的向心力，即

G Mm R

2－F N ＝mω2

R.(F N ＝mg)．

由于物体的向心加速度远小于地面的重力加速度，因此在近似计算中常忽略地球自转影响，而认为物体的重力与物体受到的万有引力相等(这在前面已经提到过)．但在研究它随地球的自转而做匀速圆周运动时，应另当别论，此时它的周期及轨道半径分别等于地球自转周期24小时及地球半径．

通过以上讨论可以看出，放在赤道上的物体与近地卫星有着显著的区别. 首先两者的受力不同，前者受到的万有引力只有一小部分充当向心力，绝大多数作为重力使得物体紧压地面；而后者受到的万有引力全部充当向心力，它们的运动周期和速度也不同，并且有很大的差异．赤道上的物体相对地球保持静止，而近地卫星相对于地球而言处于高速旋转状态. 而同步卫星和近地卫星都只受万有引力，全部提供向心力，研究方法相同．

1、我们国家在1986年成功发射了一颗实用地球同步卫星,从1999年至今已几次将”神州”号宇宙飞船送入太空,在某次实验中,飞船在空中飞行了36h,环绕地球24圈.则同步卫星与飞船在轨道上正常运转相比较( AD ) A 卫星运转周期比飞船大 B 卫星运转速度比飞船大 C 卫星运加转速度比飞船大 D 卫星离地高度比飞船大

3、双星问题

两颗星球相互绕着旋转的现象，叫双星。双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。

一、要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源

双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提

供。由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。 二、要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系

两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等。 三、要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角 速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：

M 1： 2

2121

11112

1

M M v G M M r L

r ω==

M 2： 2

212222222

2

M M v G M M r L

r ω==

注意：在求两子星间的万有引力时，两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。

【例题分析】

1、两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是：

A 、它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比。

B 、它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比。

C 、它们做圆周运动的半径与其质量成正比。

D 、它们做圆周运动的半径与其质量成反比。

解析：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等。由v=r ω得线速度与两子星圆周运动的半

径是成正比的。因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由21211

2

M M G M r L ω=，212222

M M G

M r L

ω=可知：22

1122M r M r ωω=，所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的。而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比的。正确答案为：BD 。

2、如右图，质量分别为m 和M 的两个星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速周运动，星球A 和B 两者中心

之间距离为L 。已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。引力常数为G 。求两星球做圆周运动的周期。

【解析】 ⑴A 和B 绕O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A 和B 的向心力相等。且A 和B 和O 始终共线，说明A 和B 有相同的角速度和周期。因此有

2 2

R M r m 22ωω=，L R r =+，连立解得L M

m m R +=

，L M m M

r +=

对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得L m M M

T m L GMm +=22

)2(π 化简得 )

(23

m M G L T +=π

3、两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动,现测得两星中心

距离为R,其运动周期为T,求两星的总质量? 4π2r 3/GT 2

4、在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星．它们围绕两球连线上的某一点作圆周运动．由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变．已知两星质量分别为M 1和M 2，相距L ，求它们的角速度．

5、科学家们推测，太阳系的第十颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现 它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定（ A ） A ．这颗行星的公转周期与地球相等 B ．这颗行星的半径等于地球的半径 C ．这颗行星的密度等于地球的密度 D ．这颗行星上同样存在着生命

【提高练习】

1.(08宁夏理综23)天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星.双星系统在银河系中很

普遍.利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量.已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动,周期均为T ,两颗恒星之间的距离为r ,试推算这个双星系统的总质量.（万有引力常量为G ）

答案 3

22π4r G

T

解析 设两颗恒星的质量分别为m 1、m 2,做圆周运动的半径分别为r 1、r 2,角速度分别为ω1、ω2.根据题意有

ω1=ω2

① r 1+r 2=r

②

根据万有引力定律和牛顿运动定律,有

12112

2

1r m r

m m G

ω= ③

22

222

21r m r

m m G

ω= ④

联立以上各式解得

G r r r m m /)(2212121+=+ω

⑤

根据角速度与周期的关系知

T

π221=

=ωω

⑥

联立②⑤⑥式解得

m 1 + m 2 =3

22π4r G

T