一元二次含参不等式的解法ppt课件
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题复习)
含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按 x 2项的系数 a 的符号分类,即 a 0,a 0,a 0; 例 1 解不等式: ax 2 a 2 x 1 0 分析: 本题二次项系数含有参数, a 2 2 4a a 2 4 0 ,故只需对二次项 系数进行分类讨论。 2 解 :∵ a 2 2 4a a 2 4 0 a 2 a 2 4 a 2 a 2 4 ∴当 a 0时,解集为 x|x a 2 a 4 或x a 2 a 4 2a 2a 当 a 0 时,不等式为 2x 1 0, 解集为 x| x 1 例 2 解不等式 ax 2 5ax 6a 0a 0 分析 因为 a 0, 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 a(x 2 5x 6) a x 2 x 3 0 当 a 0时,解集为 x|x 2或x 3 ;当 a 0时,解集为 x|2 x 3 、按判别式 的符号分类,即 0, 0, 0 ; 例 3 解不等式 x 2 ax 4 0 分析 本题中由于 x 2 的系数大于 0, 故只需考虑 与根的情况。 解: ∵ a 2 16 ∴当 a 4,4 即 0 时,解集为 R ; 解得方程 2 ax 2 a 2 x 1 0 两根 x 1 a 2 a 2 4 2a , x 2 a 2 a 2 4 2a 当 a 0时 , 解集为 x| a 2 a 2 4 2a x a 2 a 2 4 2a
当 a 4即Δ=0时,解集为 x x R 且x a ; 当 a 4 或 a 4 即 0, 此时两根分别为 x 1 a a 16 , x 2 2 x 1 x 2 , a a 2 16 a a 2 16 x 或 x 〈 22 例 4 解不等式 m 2 1 x 2 4x 1 0 m R 2 2 2 2 解 因 m 2 1 0, ( 4)2 4 m 2 1 4 3 m 2 当 m 3或 m 3 ,即 0 时,解集为 R 。 2 三、按方程 ax bx c 0 的根 x 1 , x 2的大小来分类,即 x 1 x 2,x 1 x 2 ,x 1 x 2; 1 例 5 解不等式 x 2 (a )x 1 0 (a 0) a 1 分析: 此不等式可以分解为: x a (x ) 0 ,故对应的方程必有两解。本题 a 只需讨论两根的大小即可。 11 解: 原不等式可化为: x a (x ) 0 ,令 a ,可得: a 1 aa 11 ∴当 a 1或 0 a 1时, a ,故原不等式的解集为 x |a x ; a 1 当 a 1 或 a 1 时, a , 可得其解集为 ; a 11 当 1 a 0或a 1时, a ,解集为 x| x a a 例 6 解不等式 x 2 5ax 6a 2 0 , a 0 分析 此不等式 5a 2 24a 2 a 2 0 ,又不等式可分解为 x 2a (x 3a) 0 ,故 所以当 m 3 ,即 0 时,解集为 x| x 1 2 当 3 m 3 ,即 0 时,解集为 2 3 m 2 x 或 x m 2 1 2 m 2 1 3 m 2 ; ; a a 2 16 a a 16 ,显然 ∴不等式的解集为
一元二次不等式及其解法教学设计
一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高;逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 (创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价) 【课前准备】 教具:“几何画板”及PPT课件. 粉笔:用于板书示范.
含参不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的,这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答,但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点,此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论,而参数的讨论实际上就是参数的分类,而参数该如何进行分类?下面我们通过几个例子体会一下。 一. 二次项系数为常数 例1、解关于x 的不等式:0)1(2>--+m x m x 解:原不等式可化为:(x-1)(x+m )>0(两根是1和-m ,谁大?) (1)当1<-m 即m<-1时,解得:x<1或x>-m (2)当1=-m 即m=-1时,不等式化为:0122 >+-x x ∴x ≠1 (3)当1>-m 即m>-1时,解得:x<-m 或x>1 综上,不等式的解集为: (){}m x x x m -><-<或时当1|,11 (){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当 例2:解关于x 的不等式:.0)2(2>+-+a x a x (不能因式分解) 解:()a a 422--=?(方程有没有根,取决于谁?) ()()R a a a 时,解集为即当32432404212+<<-<--=? ()()32432 404222+=-==--=?a a a a 或时当
(i )13324-≠-=x a 时,解得:当 (ii )13-324-≠+=x a 时,解得:当 ()()时或即当32432 404232+>-<>--=?a a a a 两根为()242)2(21a a a x --+-= ,()242)2(22a a a x ----=. ()()242)2(242)2(22a a a x a a a x --+->----<或此时解得: 综上,不等式的解集为: (1)当324324+<<-a 时,解集为R ; (2)当324-=a 时,解集为(13,-∞-)?(+∞-,13); (3)当324+=a 时,解集为(13,--∞-)?(+∞--,13); (4)当324-a 时, 解集为(248)2(,2+---∞-a a a )?(+∞+-+-,2 48)2(2a a a ); 二.二次项系数含参数 例3、解关于x 的不等式:.01)1(2<++-x a ax 解:若0=a ,原不等式.101>?<+-?x x 若0--?或.1>x 若0>a ,原不等式.0)1)(1(<--?x a x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定,故 (1)当1=a 时,式)(*的解集为φ; (2)当1>a 时,式)(*11< x a ; (3)当10< 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一:解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 (1)2 50x x -<; (2)2 440x x -+>; (3)2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数,数形结合解决,或利用符号法则解答. 解析: (1)方法一: 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为:10x =,25x = 函数25y x x =-的简图为: 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二:2 50(5)0x x x x --<050x x >???- 或0 50x x ?->? 解得05x x >?? 或 0 5 x x ?>?,即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. (2)方法一: 因为0?=, 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为: 所以,原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二:2244(2)0x x x -+=-≥(当2x =时,2 (2)0x -=) 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ (3)方法一: 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<,方程2 450x x -+=无实数解, 函数245y x x =-+的简图为: 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二:∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华: 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决,培养并提高数形结合的分析能力; 2. 当0?≤时,用配方法,结合符号法则解答比较简洁(如第2、3小题);当0?>且是一个完全平方数时,利用因式分解和符号法则比较快捷,(如第1小题). 3. 当二次项的系数小于0时,一般都转化为大于0后,再解答. 举一反三: 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->;(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤; (4) 2 230x x -+->. 【答案】 (1)方法一: 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为:11 2 x =-,22x = 函数2 232y x x =--的简图为: 因而不等式2 2320x x -->的解集是:1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二:∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->(, ∴ 原不等式的解集是:1 {|2}2 x x x <->或. (2)整理,原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =, 元二次不等式及其解法 设计思想】 新的课程标准指出:数学课程应面向全体学生;促进学生获得数学素养的培养和提高; 逐步形成数学观念和数学意识;倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课 正是基于上述理念,通过对已学知识的回忆,引导学生主动探究。强调学习的主体性,使学 生实现知识的重构,培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心,以探究解决 问题的方法为主线展开。这种安排强调过程,符合学生的认知规律,使数学教学过程成为学 生对书本知识的再创造、再发现的过程,从而培养学生的创新意识。 教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5 第三章《不等式》第二节一元 次不等式及其解法,本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式,并能解一元二次不 等式。这一节共分三个课时,本节课属于第一课时,课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学,除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外,更重要的是要领 悟函数、方程、不等式的密切联系,体会数形结合,分类讨论,等价转换等数学思想。 学情分析】 学生在初中就开始接触不等式,并会解一元一次不等式。 教学目标】 知识与技能:通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数 之间的关系和一元二次不等式的解法; 过程与方法:自主探究与讨论交流过程中,培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解 决数学问题的能力; 情感态度价值观:培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点】一元二次不等式的解法。 教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 教学策略】 探究式教学方法 创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价)课前准备】教具:“几何画板”及PPT 课件. 粉笔:用于板书示范. 第1 页共4 页 含参数的一元二次不等式的解法 含参一元二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按2 x 项的系数a 的符号分类,即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式:()0122 >+++x a ax 分析:本题二次项系数含有参数,()04422 2 >+=-+=?a a a ,故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解:∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24 222++--= ∴当0>a 时,解集为?? ????????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时,不等式为012>+x ,解集为? ?????> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ,0>?,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时,解集为{}32|> 含参一元二次不等式的解法 温县第一高级中学数学组 任利民 解含参一元二次不等式,常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解,这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素:①比较两根大小;②判别式的符号;③二次项系数的符号.下面例举几例来加以分析说明. 一、 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类 例1解关于x 的不等式 2(1)0x x a a --->. 分析:原不等式等价于()(1)0x a x a -+->,所对应方程的两根是 x a =或1x a =-.这两个根的大小关系不确定,因此分类的标准是a 与1a -的大小关系.这样就容易将a 分成111,,222 a a a >=<这三类. 解:原不等式等价于()(1) 0x a x a -+->,所对应方程的两根是x a =或1x a =-. 当12 a >时,有1a a >-,所以不等式的解集为{x x a >或1}x a <-. 当12a =时,有1a a =-,所以不等式的解集为{x x R ∈且1}2 x ≠ 当12 a <时,有1a a <-,所以不等式的解集为{1x x a >-或}x a <. 【评注】对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的,并非一开始就对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时,其解法较容 易,只讨论根的大小.本题中对a 的讨论时,12的选取依据就是比较两个根的大 小.解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征,做到眼中有题,心中有图. 二、 根据判别式的符号分类 例2解关于x 的不等式 2220x ax ++>. 分析:设2()22f x x ax =++,欲确定()0f x =的根的情况,需讨论 0,0,0?>?=?<三种情况,由此来确定()f x 的图像,并最终确定不等 一元二次不等式及其解法练习 班级: 姓名: 座号: 1 比较大小: (1)2 6+ (2)2 21)-; (3 ; (4)当0a b >>时,12log a _______12 log b . 2. 用不等号“>”或“<”填空: (1),____a b c d a c b d >--; (2)0,0____a b c d ac bd >><; (3)0a b >>? (4)2211 0___a b a b >>?. 3. 已知0x a <<,则一定成立的不等式是( ). A .220x a << B .22x ax a >> C .20x ax << D .22x a ax >> 4. 如果a b >,有下列不等式:①22a b >,②11 a b <,③33a b >,④lg lg a b >, 其中成立的是 . 5. 设0a <,10b -<<,则2,,a ab ab 三者的大小关系为 . 6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小. 7. 若2()31f x x x =-+,2()21g x x x =+-,则()f x 与()g x 的大小关系为( ). A .()()f x g x > B .()()f x g x = C .()()f x g x < D .随x 值变化而变化 8.(1)已知1260,1536,a a b a b b <<<<-求及的取值范围. (2)已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤,求9a b -的取值范围. 9. 已知22 ππ αβ-≤<≤,则2αβ-的范围是( ). A .(,0)2 π - B .[,0]2π - C .(,0]2π- D .[,0)2 π - 10.求下列不等式的解集. (1)2230x x +->; (2)2230x x -+-> (3)2230x x -+-≤. 一对一个性化辅导教案 一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.比如: 250x x -<.一元二次不等式的一般形式:20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <,则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或,不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释:讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤,设ac b 42-=?,它的解按照 0>?,0=?,0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集. 二次函数 c bx ax y ++=2(0>a )的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释: (1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值,是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标; (2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式,然后讨论解决; (3)解集分0,0,0?>?=?<三种情况,得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 (1)先看二次项系数是否为正,若为负,则将二次项系数化为正数; (2)写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >,计算判别式?: ①0?>时,求出两根12x x 、,且12x x <②0?=时,求根a b x x 221- ==; 学科:数学 专题:含参一元二次方程的解法 主讲教师:黄炜 北京四中数学教师 重难点易错点解析 当系数中含有字母时,注意有实解的判断。 题一 题面:(x -m )2 =n .(n 为正数) 金题精讲 题一 题面:解关于x 的一元二次方程 1. x 2+2mx =n .(n +m 2≥0). 2. x 2-2mx +m 2-n 2=0. 3. .0422 2 =-+-b a ax x 4. abx 2-(a 2+b 2)x +ab =0.(ab ≠0) 解含参的一元二次方程:配方法、因式分解 满分冲刺 题一 题面:解关于x 的一元二次方程 1. ()()()b a a c x c b x b a ≠=-+-+-0 2 2. ()()()01222≠--=-b a x b a x 3. ()()() 0222222≠+-=-++b a b a bx a b ax 解含参的一元二次方程:因式分解 题二 题面:解关于x 的方程kx 2-(k +1)x +1=0. 解含参的方程,分类讨论。 题三 题面:已知关于x 的方程x 2-2ax -a +2b =0,其中a ,b 为实数. (1)若此方程有一个根为2a (a <0),判断a 与b 的大小关系并说明理由; (2)若对于任何实数a ,此方程都有实数根,求b 的取值范围. 一元二次方程的解,判别式。 讲义参考答案 重难点易错点解析 题一 答案:.,21m n x m n x +-=+= 金题精讲 题一 答案:1. .,2221n m m x n m m x +--=++-= 2. x 1=m +n ,x 2=m -n . 3. .2 ,221b a x b a x +=-= 4. ?==b a x a b x 21, 满分冲刺 题一 答案:(1)121,c a x x a b -==- (2) 12,1a ab x a x b +==- (3)当b=0时,120x x ==;当b ≠0时,无实根。 题二 答案:k =0时,x =1;k ≠0时,.1,121==x k x 题三 答案:解:(1)∵方程x 2-2ax -a +2b =0有一个根为2a ,∴4a 2-4a 2-a +2b =0. 整理,得2 a b = . ∵0《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
完整版一元二次不等式及其解法教学设计
含参数的一元二次不等式的解法
含参一元二次不等式的解法知识讲解
一元二次不等式及其解法练习题.doc
一元二次不等式及其解法例题分类
含参一元二次方程的解法
含参数的一元二次不等式的解法以及含参不等式恒成立问题(专题复习)