2.2常见曲线的参数方程

2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程

一椭圆的参数方程

1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22

221(0)x y a b a b

+=>>的椭圆的参数方程

为cos (sin x a y b ?

??=??=?

为参数）

同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22

221(0)y x a b a b

+=>>的椭圆的参

数方程为cos (sin x b y a ?

??=??=?

为参数）

2、椭圆参数方程的推导

如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。

设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角?的终边上，由三角函数的定义有

cos cos ,sin sin x OA a y OB b ????==== 3

当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ?

??

=??=?为

参数）

这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数?的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θ

θθ

=??

=?为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆

的参数方程cos (sin x a y b ?

??

=??

=?为参数）中的参数?不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点

(,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋

转角，通常规定[)0,2?π∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化

可以借助同角三角函数的平方关系将普通方程和参数方程互化。 ①由椭圆的参数方程cos (sin x a y b ???

=??

=?为参数，0)a b >>，易得cos ,sin x y

a b ??==，可以

利用平方关系将参数方程中的参数?化去得到普通方程22

221(0)x y a b a b

+=>>

②在椭圆的普通方程22

221(0)x y a b a b

+=>>中，令cos ,sin x y a b ??==，从而将普通方程

化为参数方程cos (sin x a y b ?

??=??

=?

为参数，0)a b >>

注：①椭圆中参数的取值范围：由普通方程可知椭圆的范围是：,a x a b y b -≤≤-≤≤，结合三角函数的有界性可知参数[)0,2?π∈

②对于不同的参数，椭圆的参数方程也有不同的呈现形式。

二、双曲线的参数方程

1、以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上，标准方程为22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的双曲线的

参数方程为sec (tan x a y b ?

??

=??

=?为参数）

同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22

221(0,0)y x a b a b

-=>>的双曲线

的参数方程为tan (sec x b y a ?

??

=??

=?为参数）

2、双曲线参数方程的推导

如图，

以原点O 为圆心，,(0,0)a b a b >>为半径分别作同心圆

12,C C ，设A 为圆1C 上任一点，作直线OA ，过点A 作圆1C 的切线'AA 与x 轴交于点'A ，

过圆2C 与x 轴的交点B 作圆2C 的切线'BB 与直线OA 交于点'B 。过点','A B 分别作y 轴，

x 轴的平行线','A M B M 交于点M 。

设Ox 为始边，OA 为始边的角为?，点(,)M x y ，那么点'(,0),'(,)A x B b y 因为点A 在圆1C 上，由圆的参数方程的点A 的坐标为(cos ,sin )a a ??。

所以(c o s ,s i n O A a a ??= ，'(cos ,sin )AA x a a ??=--

，因为'OA AA ⊥ ，所以'0OA AA ?=

，

从而2cos (cos )(sin )0a x a a ???--=，解得cos a x ?

=，记1

s e c c o s ??=

则sec x a ?=。

因为点'B 在角?的终边上，由三角函数的定义有tan y

b

?=

，即tan y b ?=? 所以点M 的轨迹的参数方程为sec (tan x a y b ?

??=??=?

为参数）

这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的双曲线的参数方程。

3、双曲线的参数方程中参数?的意义

参数?是点M 所对应的圆的半径OA 的旋转角，成为点M 的离心角，而不是OM 的旋转角，通常规定[)0,2?π∈，且2,2

3

π

π

??≠

≠

4、双曲线的参数方程中参数?的意义

因为222

1sin 1cos cos ???

-=，即22

sec tan 1??-=，可以利用此关系将普通方程和参数方程互化

① 由双曲线的参数方程sec (tan x a y b ???

=??=?为参数）

，易得sec ,tan x y

a b ??==，可以利用平方关系将参数方程中的参数?化去，得到普通方程22

221(0,0)x y a b a b -=>>

② 在双曲线的普通方程22

221(0,0)x y a b a b

-=>>中，令sec ,tan x y a b ??==，从而将普

通方程化为参数方程sec (tan x a y a ?

??

=??=?为参数）

三、抛物线的参数方程

1、以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线2

2y px =(0)p >的参数方程为2

2(2x pt t y pt ?=?

=?

为参数）

同样，顶点在坐标原点，开口向上的抛物线2

2(0)x py p =>的参数方程是2

2(2x pt

t y pt

=??=?为

参数）

2、抛物线参数方程的推导：如图

设抛物线的普通方程为22y px =(0)p >，其中p 表示焦点到准线的距离。设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角为α。当α在(,)22

ππ

-

内变化时，点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的点M 与之对应，故可取

α

为参数来探求抛物线的参数方程。

由于点M 在α的终边上，根据三角函数的定义可得

tan y

x

α=，即tan y x α=，代入抛物线普通方程可得22tan (2tan p x p y ααα?=???

?=??

为参数） 这就是抛物线22y p x =(0)p >（不包括顶点）的参数方程。如果令

1

,(,0)(0,)t a n t t α

=∈-∞+∞ ，则有2

2(2x pt t y pt

?=?

=?为参数） 当0t =时，由参数方程表示的点正好是抛物线的顶点(0,0)，因此当(,0)(0,)t ∈-∞+∞ 时，参数方程就表示整条抛物线。

3、抛物线参数方程中参数t 的意义是表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。 四、例题：

例1、已知椭圆的参数方程为2cos (4sin x y ???

=??

=?为参数）

，点M 在椭圆上，对应的参数3π

?=，点O 为原点，则直线OM 的斜率为____________.

解：当3π?=

时，2cos 13

4sin 3x y ππ?

==????==??故点M

的坐标为(1，所以直线OM

的斜率为

例2、已知椭圆的参数方程为4cos (4sin x y θ

θθ=??=?

为参数，R θ∈）

，则该椭圆的焦距为

________.

解：由参数方程得cos 4

sin 5

x

y θθ

?=????=??将两式平方相加得椭圆的标准方程为

2211625x y +=

所以焦距为6= 例3、O 是坐标原点，P 是椭圆3cos 2sin x y ??

=??

=?(?为参数）上离心角为6π

-所对应的点，那么

直线OP 的倾斜角的正切值是_________ 解;把?=6

π

-

代入椭圆参数方程3cos 2sin x y ??=??

=?

(?为参数），可得P

点坐标为1)-，所

以直线OP

的倾斜角的正切值是tan ?=

= 例4、已知曲线14cos :(3sin x t C t y t =-+??=+?为参数），28cos :(3sin x C y θ

θθ=??=?

为参数）

化12,C C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

解：2

2

1:(4)(3)1C x y ++-=，2:

C 22

1649

x y +=，1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆，2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。

例5、设M 为抛物线2

2y x =上的动点，定点0M (1,0)-，点P 为线段0M M 的中点，求

点P 的轨迹方程。

解：设点(,)P x y ，令2y t =，则22

22y x t ==，得抛物线的参数方程为222x t y t ?=?=?

，则动点2(2,2)M t t ，定点0M (1,0)-，由中点坐标公式知点P 的坐标满足方程组

2

1(12)2

1(02)2

x t y t ?=-+????=+?? 即212

x t y t ?=-+???=?(t 为参数） 这就是P 点的轨迹的参数方程。 消去参数化为普通方程是2

12y x =+

，它是以x 轴为对称轴，顶点为1

(,0)2

-的抛物线。

例6、在椭圆

22

1

94

x y

+=上求一点M，使点M到直线2100

x y

+-=的距离最小，并求

出最小距离。

解：因为椭圆的参数方程为

3c o s

(

2s i n

x

y

?

?

?

=

?

?

=

?

为参数），所以可设点M的坐标为

(3c o s,2s i n

??

由点到直线的距离公式，得到点M到直线的距离为：

d=

=

)10

??

=--

其中

?满足于

00

34

cos,sin

55

??

==

由三角函数的性质知，当

??

-=时，d

9

3cos3cos

5

??

==，

8

2sin2sin

5

??

==，因此，当点M位于

98

(,)

55

时，点M与直线2100

x y

+-=

例7、已知抛物线22(0)

y px p

=>，O为坐标原点，,

M N

是抛物线上两点且MN=

若直线,

OM ON的倾斜角分别为

2

,

33

ππ

，求抛物线方程。

解：设(,)

M x y，由抛物线参数方程可知

2

2cot

3

2cot

3

x p

y p

π

π

?

=

??

?

?=

??

，即

2

3

x p

y p

?

=

??

?

?=

??

故

2

()

3

p

M p

，同理知

2

(,)

3

N p p

，因为MN=

所以

1

6

p=，得抛物线方程为2

1

3

y x

=

例8、

已知两曲线的参数方程分别为

sin

x

y

θ

θ

?=

?

?

=

??

(0)

θπ

≤<和

2

5

()

4

x t

t R

y t

?

=

?

∈

?

?=

?

，它们的交点坐标为___________.

解：sin x y θ

θ

?=??=??

，表示椭圆221(01)5x y x y +=≤≤≤ 25()4x t

t R y t

?

=?∈??=?表示抛物线

24

5

y x =

，联立

得

2

221(01)5

45x y x y y x ?+=≤≤≤≤???

?=??

解得245015()x x x x +-=?==-或舍 又因为01y ≤≤

，所以它们的交点坐标为 例9、如图所示，

设M 为双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上任意

一点，过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点，试求平行四边形MAOB 的面积。

解：双曲线的渐进线方程为b

y x a

=±

，不妨设M 为双曲线右支上一点，其坐标为(sec ,tan )a b ??，则直线MA 的方程为tan (sec )b

y b x a a

??-=--

将b y x a =代入，解得点A 的横坐标为(sec tan )2

A a

x ??=+

同理可得，点B 的横坐标为(sec tan )2

B a

x ??=-，设AOx α∠=

则，t a n b a

α=，所以平行四边形M A O 的面积为

s i n 2s i n 2

c o s c o s

A B MAOB x x

S OA OB αααα=??=?? 222222

(sec tan )sin 2tan 4cos 222a a a b ab a ??ααα-=?=?=?= 直角坐标系，,A B 是抛物线

例10、如图所示，

O

是

22(0)y px p =>上异于顶点的两动点，且OA OB ⊥，OM AB ⊥并与AB 相交于点M ，

求点M 的轨迹方程。

解：根据条件，设点M ，A ，B 的坐标分别为221122(,),(2,2),(2,2)x y pt pt pt pt

1212(,0)t t t t ≠?≠且，则 2

11(,),(2,2)OM x y OA pt pt == ，222(2,2)OB pt pt = 222121(2(),2())AB p t t p t t =--

，

因为OA OB ⊥ ，所以0OA OB ?=

即：22121212(2)(2)01pt t p t t t t +=∴=-①，

因为O M A B ⊥ ，所以0O M A B ?= ，即2221212()2()0px t t py t t -+-=，所以

12()0x t t y ++=，即()120y

t t x x

+=-

≠② 因为2

21122(2,2),(2,2)AM x pt y pt MB pt x pt y =--=-- ，且,,A M B 三点共线，

所以 221212(2)(2)(2)(2)x pt pt y y pt pt x --=-- 化简得 1212()20y t t pt t x +--=③

将①②代入③，得到()20y y p x x

-+-=，即轨迹方程22

20(0)x y px x +-=≠。

随堂练习

1、一颗人造地球卫星的运行轨道是一个椭圆，长轴长为15565km ，短轴长为15443km ，取椭圆中心为坐标原点，求卫星轨道的参数方程。 解：1556515443

7782.5,7721.522

a b =

=== 所以参数方程为7782.5cos 7721.5sin x y θ

θ=??

=?

2、已知椭圆22

221x y a b

+=上任意一点M （除短轴端点外）与短轴两端点12,B B 的连线分别与

x 轴交于,P Q 两点，O 为椭圆的中心，求证：OP OQ ?为定值

解：设(cos ,sin )M a b θθ，12(0,),(0,)B b B b - 直线1MB 方程：sin cos b b y b x a θθ++=?，令0y =，则cos sin 1

a x θ

θ=+

所以cos sin 1

a OP θθ=

+

直线2MB 方程：sin cos b b y b a θθ--=

x ?，令0y =，则cos 1sin a x θ

θ

=

- 所以cos 1sin a OQ θθ=- 所以OP OQ ?222

2

cos 1sin a a θθ

==- 即OP OQ ?为定值。

3、求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。

证明;设222x y a -=是等轴双曲线，(sec ,tan )P a a ??是双曲线上任意一点，它到两渐近线y x =±

的距离分别是12d d =

=

所以22222

12sec tan 2

2

a a a d d ??

-?=

=是常数。 4、经过抛物线22(0)y px p =>的顶点O 任作两条互相垂直的线段OA OB 和，以直线OA 的斜率k 为参数，求线段AB 的中点M 的轨迹的参数方程。 解：设OA 方程：y kx =，则OB 方程：1y x k

=-

由2

2y kx

y px

=??

=?，求得222(

,)p p A k k

，同理可得2

(2,2)B pk pk - 所以AB 中点M 的参数方程为

2

2

22221()2(221()

2p pk

k x p k k

k p

pk

k y p k k

?

+?==+????-?==-??为参数）

5

、设曲线2cos (x y θ

θθ

=???

=??为参数）与x 轴交点为M N ，。点P 在曲线上，则,PM PN 所在直线的斜率之积为（） A 、34-

B 、43-

C 、34

D 、43

解：曲线的普通方程为22

143

x y +=，与x 轴的交点坐标为(2,0),(2,0)-，又设曲线上任意

一点(2cos )P θθ， 则,PM PN

的斜率的积为22

3sin 3

4(cos 1)4

MP NP

k k θθ?===-- 选A

6、过点(3,2)-且与曲线3cos (2sin x y ?

??

=??

=?为参数）有相同焦点的椭圆的方程是（）

A 、

2211510x y += B 、222211510x y += C 、2211015

x y += D 、22

2211015x y += 解：曲线3cos (2sin x y ???=??=?

为参数）的普通方程为22

194x y +

=，把点(3,2)-代入选项可知应选A

。再验证一下焦点是否为( 7、中心在原点，准线方程为4x =±，离心率为

1

2

的椭圆方程是（） A 、2cos sin x y θθ=??

=? B

、2sin x y θθ

?=??=?? C

、2cos x y θ

θ=???=?? D 、cos 2sin x y θθ=??=?

解：由2

41

2

a c

c a ?=????=?? 解得21a c =??=?，选C

8、椭圆3cos (5sin x y ?

??

=??

=?为参数）的两个焦点坐标是（）

A 、(0,3),(0,3)-

B 、(0,4),(0,4)-

C 、(4,0),(4,0)-

D 、(3,0),(3,0)-

解：由椭圆3cos (5sin x y ?

??

=??=?为参数）

，

可知5,3,4a b c ====，且焦点在y 轴上，焦点坐标为(0,4),(0,4)-，选B 。

9、点(1,0)P 到曲线2

2x t y t ?=?=?

（其中，参数t R ∈）上的点的最短距离是（）

A 、0

B 、1 C

D 、2

解：方程2

2x t y t

?=?=?表示抛物线2

4y x =的参数方程，其中2p =，设点(,)M x y 是抛物线上

任意一点，则点(,)M x y 到点(1,0)P

的距离11d x ===+≥

所以最短距离为1 ，选B 。

10、双曲线3tan (1cos x y ???=??

?=??

为参数）的两条准线方程分别是__________.

解：双曲线的普通方程为2

2

19

x y -=，所以双曲线的焦点在y 轴上，且中心在原点，对称轴为x 轴，y 轴，所以两条准线方程为2

a y c

=±

，且1,3,a b c ===，所

以准线方程为10

y =±

。 11、椭圆2cos sin x y θ

θ

=??

=?中斜率为1的平行弦的中点轨迹方程是__________

解：设斜率为1的平行弦的方程为y x b =+，代入椭圆方程2

214x y +=可得。2

2

58440x bx b ++-=，所以方程的两根12,x x 满足1285b x x +=-，21244

5

b x x -=，则

中点(,)M x y 满足12425

5x x b x b y x b +?

==-????=+=

??

消去b 得到40x y +=（椭圆内部分），即为斜率为

1的平行弦的中点轨迹方程。

第二节 直线的参数方程

一、知识点;

1、 经过点000(,)M x y ，倾斜角为α()2

π

α≠

的直线l 的普通方程是00tan ()y y x x α-=-

如图所

示

在直线l 上任取一点(,)M x y ，则

0000(,)(,)(,)

M M x y x y x x y

y =-=-- 设e 是直线l 的单位方向向量（单位长度与坐标轴的单位长度相同），则

[)(cos ,sin ),(0,)e αααπ∈

因为0M M e ，所以存在实数t R ∈，使0M M te =

，即 00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=

于是00cos ,sin x x t y y t αα-=-=，即00cos ,sin x x t y y t αα=+=+ 因此，经过点000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为

00cos (sin x x t t y y t α

α=+??

=+?

为参数） 2、 因为(cos ,sin ),1e e αα=∴=，由0M M te =

，得到0M M t = ，因此，直线上的动

点M 到定点0M 的距离，等于00cos (sin x x t t y y t α

α=+??

=+?

为参数)中参数t 的绝对值。

3、 当0απ<<时，sin 0α>，所以，直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上。此时，

若0t >，则0M M 的方向向上；若0t <，则0M M

的方向向下；若0t =，则点M 与

点0M 重合。

4、直线的一般参数方程转化为标准的参数方程

已知直线的参数方程为00(x x at

t y y bt =+??=+?为参数），由直线的参数方程的标准形式

00cos (sin x x t t y y t α

α=+??

=+?

为参数）可知，参数t 的系数分别是其倾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和为1

，故可将原式转化为00

(x x t y y ?=+??

??=+??

为参数）

再令cos αα=

=

，由直线倾斜角的范围让α在[)0,π范围内取值，

并且

把

t 看成标准方程中的参数't ，即得标准形式的参数方程式为

00'c o s (''sin x x t t y y t α

α=+??

=+?

为参数） 5、直线参数方程的应用

设过点000(,)P x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos (sin x x t t y y t α

α

=+??

=+?为参数） 若12,P P 是l 上的两点，它们所对应的参数分别为12,t t ，则

（1）12,P P 两点的坐标分别是0101(cos ,sin )x t y t αα++，0202(cos ,sin )x t y t αα++ （2）1212PP t t =-

（3）线段12PP 的中点P 所对应的参数为t ，则12

2

t t t +=

，中点P 到定点0P 的距离12

02

t t PP t +==

（4）若0P 为线段12PP

的中点，则120t t += （5）曲线上有两点A ，B 关于直线y kx b =+对称，可设AB 中点为0(,)M a ka b +，则直

线AB 的参数方程为cos sin x a t y ka b t αα

=+??=++?，其中

sin 1

cos k αα=-，再利用120t t +=解之。 二、例题

例1、

直线2(3x t y ?=-??=??为参数）上与点(2,3)P -

_________

，解得t =±(3,4)-或(1,2)- 例2、直线l 过点0(1,5)M ，倾斜角为3

π

，且与直线0x y --=交于M ，则0MM 的长为-_________

解：直线l

的方程为125t x y ?=+??

??=+??

代入0x y --=，解得0MM

=10t =+例3、已知直线l 的斜率1k =-，经过点0(2,1)M -，点M 在直线上，以0M M

的数量t 为

参数，则直线l 的参数方程为__________.

解：由参数t 的几何意义可知，直线的参数方程可以写成标准形式00cos sin x x t y y t θ

θ

=+??=+?(t 为参

数）其中θ为直线的倾斜角。

因为直线的斜率为1-，所以直线的倾斜角0

135θ=

，所以cos 22

θθ=-

=

所以直线l

的参数方程为2(12

x t y ?=????=-+??为参数） 例4、设曲线C 的参数方程为23cos (13sin x y θ

θθ

=+??

=-+?为参数）

，直线l 的方程为320x y -+=，则曲线C 到直线l

的点的个数为（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

解：由曲线C 的参数方程得对应的圆的圆心坐标为(2,1)C -，半径3r =，那么C 到直线

320x y -+=

的距离d =

=

l 与曲线C 相交，结合图像可知C 上到l

距离为

10

的点有2个。 例5、设极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合。已知曲线1C 的极坐标方

程是

sin()0)42k k π

ρθ-=≠，曲线2C 的参数方程为22cos (2sin()2

x y α

θπ

θ=+??

?=-??为参数），则两曲线公共点的个数为_________

解：将两曲线方程化为直角坐标方程，得1:10C kx ky --=，2:20C x y --=，两直线平行或重合，所以公共点的个数为0或无数。填：0或无数 例6、已知直线:34120l x y +-=与圆12cos :22sin x C y θ

θ

=-+??=+?(θ为参数），试判断它们的公

共点的个数

解：圆的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=，其圆心为(1,2)C -，半径为2，圆心到直线的

距离为7

25

d =

=

<，所以直线和圆相交，交点个数为2. 例7、设直线1l 过点(2,4)A -，倾斜角为

56

π （1）求1l 的参数方程；（2）设直线2:10l x y -+=，2l 与1l 的交点为B ，求AB

解：（1）由题意得52cos 6(54sin 6x t t y t ππ?=+????=-+??为参数）

，即22(142

x t y t

?=-????=-+??为参数）

（2）点B 在1l 上，只要求出B 点对应的参数t ，则t 就是点B 到点A 的距离，把1l 的参数方程代入2l 中，得

1(2)(4)102t --++=，

7=，

即1)t =

=，t 为正值，

根据参数的几何意义，知1)AB =

例8、直线122x t y t

=+??=+?(t 为参数）与圆3cos 3sin x y θ

θ=??

=?(θ为参数）交于A ，B 两点，求AB 的长

解：若求AB 的长度，显然要根据直线的参数方程的参数的几何意义，把圆的方程由参数

方程化为普通方程。由圆的参数方程3cos 3sin x y θ

θ

=??=?知圆的普通方程为229x y +=

所以将直线方程122x t

y t

=+??

=+?代入圆的方程，得22(12)(2)9t t +++=

即2

5840t t +-=，所以由121284,5

5

t t t t +=-=-

知125

AB t =

-==

例9、已知点(,)p x y 是圆22(1)1x y +-=上任意一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，求c 的取值范围

解：圆22(1)1x y +-=的参数方程为cos 1sin x y θ

θ

=??

=+?，

则有1sin cos 1)4

x y π

θθθ+=++=++

()1)4

x y π

θ-+=--+，()x y -+的最大值为1-由于0x y c ++≥恒成

立，即1c ≥-例10、在圆2

2

42200x y x y +---=上求两点,A B ，使它们到直线43190x y ++=的距离分别最短和最长。

解：将圆的方程化为参数方程25cos (15sin x y θ

θθ

=+??=+?为参数）

，则圆上点P 的坐标为(25cos ,15sin )

θθ++，

它

到

所

给

直

线

的

距

离

为

4cos 3sin 6

d θθ=

=++4366

5(cos sin )5cos()5555

θθ?θ=?++=-+

，其中43cos ,sin 55??==。故当c o s ()?θ-=，即?θ=时，d 最长，这时，点A 的坐标为(6,4)；当cos()1?θ-=-，

即θ?π=-时，d 最短，这时，点B 的坐标为(2,2)--

例11、已知直线:10l x y -+=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，求线段AB 的长和点

(1,2)M -到A ，B 两点的距离之积

解：因为直线l 过定点M ，且l 的倾斜角为

34

π

，所以它们的参数方程是 31c o s 4(32s i n 4x t t y t ππ?

=-+????=+??

为参数）即1(22

x t y ?=-????=+??为参数）

把它代入抛物线的方程，得2

20t -=

，解得1222

t t =

=

由参数的几何意义得

12AB t t =-=122MA MB t t ?==

例12、经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆

22

1164

x y +=于A ，B 两点。如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程

解：设过点(2,1)M 的直线l 的参数方程为2cos (1sin x t t y t α

α

=+??=+?为参数）

代入椭圆方程，整理得 2

2(3sin

1)4(cos 2sin )80t t ααα+++-=

由t 的几何意义知1MA t =，2MB t =，因为点M 在椭圆内，这个方程必有两个实根，

所以122

4(cos 2sin )

3sin 1t t ααα++=-+，因为点M 为线段AB 的中点，所以1202

t t += 即 cos 2sin 0αα+=，于是直线的斜率为1

tan 2

k α==-，因此，直线l 的方程是

1

1(2)2

y x -=--，即

240x y +-= 三、练习题

1、直线3490x y --=与圆2cos 2sin x y θ

θ=??

=?

(θ为参数）的位置关系是（）

A 、相切

B 、相离

C 、直线过圆心

D 、相交但直线不过圆心

解：因为9

25

d r =

=

<=，所以直线与圆相交，选D

2、经过点(1,5)M 且倾斜角为3

π

的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是（）

A

、1125x t y ?=+????=?? B

、1125x t y ?=-????=+?? C

、1125x t y ?=-????=?? D

、1125x t y ?=+????=+??

解：根据直线参数方程的定义，易得1cos 35sin 3x t y t ππ?=+?????=+???

，即1125x t y ?=+????=??选D

3、参数方程1(2

x t t t y ?

=+?

??=-?为参数）所表示的曲线是（）

A 、一条射线

B 、两条射线

C 、一条直线

D 、两条直线 解：因为(][)1,22,x t t

=+∈-∞-+∞ ，即2x ≤-或2x ≥，故是两条射线。B

4、曲线cos (sin x y θ

θθ

=??

=?为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（）

A 、

12 B

、2

C 、1 D

解：由题意得cos sin d θθ=+，下面只解0,2πθ??∈????的情况，其他情况类似，当0,2πθ??

∈????

时，cos sin )4

d π

θθθ=+=

+

D

5、曲线方程22cos (2sin x y θ

θθ=+??

=?

为参数）上的点与定点(1,1)A --距离的最小值是______

解：最小距离

22d =

=

6、对任意实数k ，若直线y kx b

=+与圆2cos 12sin x y θθ

?=?

?=+??(02)θπ≤<恒有公共点，则b

的取值范围是________

解：由题意得点(0,)b 恒在圆内，由[]12sin 1,3y θ=+∈-，则[]1,3b ∈- 7、设直线l 经过点0(1,5)M 、倾斜角为

3

π

（1）求直线l 的参数方程；

（2）求直线l

和直线0x y --的交点到点0M 的距离； （3）求直线l 和圆2216x y +=的两个交点到点0M 的距离的和与积

解：（1）直线l

的参数方程为1125x t y ?=+??

??=??(t 为参数）

（2）将直线l 的参数方程中的,x y

代入0x y --=

，得(10t =-+，所以，直线

l

和直线0x y --=的交点到点0M

的距离为10t =+（3）将直线l 的参数方程中的,x y 代入2216x y +=

，得2(1100t t +++=

设该方程的两根为12,t t ，

则1212(110

t t t t +=-+=，可知12,t t 均为负值，所

以1212()1t t t t +=-+=+0M

的距离的和为1+10.

8、已知经过点(2,0)P ，斜率为43

的直线和抛物线2

2y x =相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点M ，求点M 的坐标。

解：设过点(2,0)P 的直线AB 的倾斜角为α，由已知可得34cos ,sin 55

αα== 所以 ，直线的参数方程为

325

(45x t t y t ?

=+???

?=??

为参数）代入22y x =，整理得2815500t t --= 中点M 的相应参数是1215

216

t t t +=

=，所以点M 的坐标为413(,)164

9、经过点(2,1)M 作直线交双曲线2

2

1x y -=于A ,B 两点，如果点M 对线段AB 的中点，求直线AB 的方程。

解：设过点(2,1)M 的直线AB 的参数方程为

2c o s (1s i n x t t y t α

α=+??=+?

为参数）代入双曲线方程，整理得

2

22(cos

sin )2(2cos sin )20t t αααα-+-+=，设12,t t 为上述方程的两个根，则

12224cos 2sin cos sin t t αα

αα

-+=

-，因为点M 为线段AB 的中点，由t 的几何意义知120t t +=

所以4cos 2sin 0αα-=，于是得到tan 2k α==，因此，所求直线的方程为 12(2)y x -=-，即230x y --=

10、经过抛物线22(0)y px p =>外一点(2,4)A --且倾斜角为0

45的直线l 与抛物线分别交于12,M M ，如果1122,,AM M M AM 成等比数列，求p 的值。

解：直线l 的参数方程

为22(42

x t

t y ?

=-+??

?

?=-+??

为参数）

，代入22(0)y px p =>，得

到

2)8(4)0t p t p -+++=，

由根与系数的关系，得到1212),8(4)t t p t t p +=+=+ 因为2

12

12M M AM AM =?，所以2121212()t t t t t t -=?=，即51212()5t t t t +=

所以2

)58(4)p p ??+=?+??

，即451p p +=∴=