圆锥曲线存在性问题(教师版)
圆锥曲线存在性问题
确定的 1．设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．340x y ±=
B ．350x y ±=
C ．430x y ±=
D ．540x y ±=
2. 已知F 1、F 2分别是双曲线
﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得（+）?＝0（其中O 为坐标原点），且||＝||，则双曲线离心率为 ．
3. 设F 是双曲线C ：﹣＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 ．
4. 已知F 1，F 2分别是椭圆+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点，点A 是椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若椭圆上的一点M 满足MF 1⊥MF 2，|MA |＝|MO |，则椭圆的离心率为 ．
5．设F 1，F 2分别是双曲线
﹣＝1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，O 为坐标原点，若按双曲线右支上存在一点P ，使
?＝0，且||＝||，则双曲线的离心率为
（ ）
A ．1±
B ．1+
C ．2
D ．
6．已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，在直线x＝﹣a上有一点P，使|PF1|＝|F1F2|，且，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．2
7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线r的离心率等于（）
A．B．或2 C． 2 D．
8．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝6：5：4，则曲线C的离心率等于．
9．设F1，F2是双曲线的左右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°，且|AF1|＝3|AF2|，则双曲线离心率为（）
A．B．C．D．
10．设F1，F2分别为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF
|+|PF2|＝3b，|PF1|?|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为（）
1
A．B．C．D．3
圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标（x0, y0） （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 22 例1：已知椭圆C : x+ y=1（a b0）的离心率为3，过右焦点F的直线l与C相交于A, B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（1）求a, b的值 uuur uuur uuur （2）C上是否存在点P，使得当l绕F旋转到某一位置时，有 OP = OA + OB成立？若存 在，求出所有的P的坐标和l的方程，若不存在，说明理由 解：（1）e = c = 3a:b:c = 3: 2 :1 a3
则a = 3c ,b = 2c ，依题意可得： F (c ,0) ，当l 的斜率为1时 l :y = x - c x - y - c = 0 d O - l = = 解得： c = 1 22 a = 3, b = 2 椭圆方程为： +=1 32 (2)设P ( x 0 , y 0 ) ， A (x 1, y 1),B (x 2, y 2) 当l 斜率存在时，设l :y = k (x -1) 联立直线与椭圆方程： y =k (x - 1) 消去y 可得： 2x 2+3y 2=6 (3k 2 +2)x 2 -6k 2x +3k 2 -6=0 uuur uuur uuur Q OP =OA +OB x 0 =x 1 +x 2 y 0 =y 1+y 2 x 1+x 2= 62k y 1+ y 2 =k (x 1+x 2)-2k = 6k 3 3k 2+2 -2k 4k 3k 2+ 2 4k P 3k 62k +2,-3k 42k +2 因为P 在椭圆上 23k 2+2+3-3k 2+2=6 72k 4 +48k 2 =6(3k 2 + 2)2 24k 2 (3k 2 +2)=6(3k 2 +2)2 24k 2= 6(3k 2+ 2) k = 2 当 k = 2 时， l : y =2 ( x -1) ， P , - 32 2,- 2 当k =- 2时，l : y =- 2(x -1)，P 3, 2 32 2, 2 当斜率不存在时，可知l :x =1 ，A 1,2 3 l :x =1 A 1, 3 ,B 1,-2 3 3 ，则P (2,0)不在椭圆上 2x 2+3k 2(x -1)2 = 6 ，整理可得：
教师招聘圆锥曲线经典总结
圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+ 2准线方程：2 a x c = （ a 方除以c ） 3椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距
离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =??==） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半. 则焦三角形的面积为：2 S b 2 tan θ = 证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理： 222m n 2mn 4c cos θ+-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+. 即：2 122b mn PF PF 1||||cos θ==+ 故：12 F PF 1S m n 2sin θ=??△2 2 12b b 211sin sin cos cos θθθθ=? ?=?++ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos θθ θ θ θθ = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan θ ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 1F 2F O x y P m n
圆锥曲线中存在探索型问题
圆锥曲线中存在探索型问题 存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习． 1．常数存在型问题 例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由． 分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论． 解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设 A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为????x 1＋x 22，y 1＋y 22. 依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22 ，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，① 又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， ∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，② 由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2， 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③ 联立????? y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0， ∴x 1＋x 2＝2a 3－a 2 ，④ 把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2 ＝2， 解得a ＝32 ，经检验符合题意， ∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32 ×2＝3≠－1. 故不存在满足题意的实数a . 2．点存在型问题 例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原 点O ，椭圆x 2a 2＋y 29 ＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程； (2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)
第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题 一、直线恒过定点问题 例1. 已知动点E 在直线:2l y =-上，过点E 分别作曲线2 :4C x y =的切线,EA EB ， 切点为 A 、 B , 求证：直线AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标； 解：设),2,(-a E )4,(),4,(2 22211x x B x x A ，x y x y 2 1 4'2=∴= , )(21 41121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-),(2 1 421121x a x x -=--∴整理得：082121=--ax x 同理可得：2 22280x ax --= 8 ,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 )2 4,(2+a a AB 中点为可得，又22 12 121212124442 AB x x y y x x a k x x x x - -+====-- 2(2)()22a a AB y x a ∴-+=-直线的方程为，2()2 a y x AB =+∴即过定点0,2. 例2、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点，直线l 的方程为0012 x x y y +=， 直线0l 过P 点与直线l 垂直，点M （-1，0）关于直线0l 的对称点为N ，直线PN 恒 过一定点G ，求点G 的坐标。 解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-，即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n 则0000001 212022x n m y x n m y x y ?=-?+??-??--=??，解得3200020432 0000 2002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ?+--=?-??+--?=?-? ∴ 直线PN 的斜率为4320000032 00004288 2(34) n y x x x x k m x y x x -++--==---+
课时达标检测(四十九) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 Word版含解析
课时达标检测（四十九） 圆锥曲线中的定点、定值、存在 性问题 [一般难度题——全员必做] 1．(2018·郑州质检)已知动圆M 恒过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切． (1)求圆心M 的轨迹方程； (2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点． 解：(1)由题意得，点M 与点(0,1)的距离始终等于点M 到直线y ＝－1的距离，由抛物 线的定义知圆心M 的轨迹是以点(0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p 2 ＝1，p ＝2.∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y . (2)设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)，联立????? x 2＝4y ， y ＝kx －2，消去y 整理得x 2－4kx ＋8＝0， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8. k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2 ＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1)． 即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1(x 1－x 2)4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24 ， ∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋x 1x 24＝x 1－x 24 x ＋2，即直线AC 恒过定点(0,2)． 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆E ：x 24 ＋y 2＝1上的非坐标轴上的点，且4k OA ·k OB ＋1＝0(k OA ，k OB 分别为直线OA ，OB 的斜率)． (1)证明：x 21＋x 22，y 21＋y 22均为定值； (2)判断△OAB 的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：(1)证明：依题意，x 1，x 2，y 1，y 2均不为0， 则由4k OA ·k OB ＋1＝0，得4y 1y 2x 1x 2 ＋1＝0， 化简得y 2＝－x 1x 24y 1 ，
高考数学 考前30天冲刺押题系列 专题05 圆锥曲线(下)理(教师版)
【名师备考建议】 鉴于圆锥问题具有综合性强、区分度高的特点，名师给出以下四点备考建议： 1、主观形成圆锥的知识结构；椭圆、双曲线、抛物线，在这三类曲线身上是有很多的基本性质具 有相关性，因此，在复习备考的过程中，应当主观的形成对三类圆锥曲线方程以及性质的认识，形成一张深刻记忆的知识列表；同时对基本的题型也要有一定的把握； 2、认真研究三年高考的各种题型；由于圆锥曲线的难度系数较高，不易把握，但仍然有理可循； 复习备考的过程中，无论是老师还是学生都应当认真研究近三年文理科的出题方向，至于从何研究，可以从近三年的质检卷、名校卷以及高考卷中得到启示，努力理清每一道问题的思路、做法，这样可以有效的培养解题意识； 3、熟练掌握部分题型的解题模式；三轮复习中，由于做题的经验得到一定的积累，多多少少对题 目的解题方法和手段有了一定的认识，比如，直线与圆锥曲线的问题，大部分是必须联立直线与圆锥曲线的方程进行解题，这是一种模式；再比如，圆锥曲线的探究性问题，可以先采用一些特殊值进行计算，得到结论以后加以证明；这都是必须熟练掌握的解题模式； 4、调整对待圆锥曲线的心理状态；由于圆锥曲线问题的综合性较强，并且经常作为倒二题出现， 这就要求学生合理的分配自己的时间；如果实在无法求解，无须在此问题上进行逗留，以免失去了做压轴题和检查的时间；对于优等生来说，必须精益求精；对于中等生来说，只需尽其所能；对于差等生来说，一定不必强求. 【高考冲刺押题】 e=，椭圆上的点到焦点【押题6】已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率 2 M m，且与椭圆C交于相异两点,A B，且的最短距离为2，直线l经过y轴上一点(0,) =． 3 AM MB
圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题 、基础知识 1在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数） 存在，并用代数形式进行表示。 再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素， 则假设成 立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1 ）点：坐标 x 0,y 0 （2 ）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3 ）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2 ）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素， 则可将核心变量参与到条件中， 列出关于该变量与辅助变 量 的方程（组），运用方程思想求解。 、典型例题: 于A,B 两点，当I 的斜率为1时，坐标原点 0到I 的距离为 在，求出所有的 P 的坐标和I 的方程，若不存在，说明理由 解：（1） e C 2 3 a : b : c '3^2 :1 a 3 2 2 例1 :已知椭圆C :笃每 1 a a b 0的离心率为 过右焦点F 的直线I 与C 相交 （1 ）求a,b 的值 （2） C 上是否存在点P ，使得当I 绕F 旋转到某一位置时，有 0P 成立？若存
则a , 3c, b ,2c，依题意可得：F c,0，当I的斜率为1时 d o 解得: 、、3,b 椭圆方程为: X2 2 y 2 (2)设P x o,y o ,X i,y i ,B X 2,y2 当l斜率存在时，设 X o X1 X2 联立直线与椭圆方程: 3k2 2 x2 6k2x X 1 6k2 X 23k2 2 6k2 3k2 2' 6k2 3k2 2 4 2 72 k 48k y o y1 y 2 2 2x 3y 3k2 y1 Y2 k y2 消去 6 X-| x2 y 可得：2x2 3k2 2k 6k3 3k2 2k 2 1 6，整理可得: 4k 3k2 2 4k 3k2 2 因为P在椭圆上 2 6 3k 2 2 2 24 k 3k 3k2 24k2 6 3k2 .2 .2 时，I 3 V2 2，2 当斜率不存在时，可知4,B 3 2,0不在椭圆上 1, 3
圆锥曲线经典结论总结(教师版)
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+.
智行数学-圆锥曲线(带答案,教师专用)
智行数学-圆锥曲线（带答案，教师专用） 一、单选题(注释) 1、已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则此双曲线的方程为（）A．B．C．D． 2、F1，F2是双曲线的左、右焦点，过左焦点F1的直线 与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的离心率是（） A．B．C．2 D． 3、在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于( ) A．B．C．D． 4、已知圆M经过双曲线的两个顶点，且与直线相切，则圆M方程为（） A．B． C．D． 5、已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是， 的等差中项，则椭圆的方程是（） A．B． C．D． 6、以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为 A．B．C．D． 7、若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 =" 1" 所表示的曲线不可能是（）A．直线B．圆C．椭圆或双曲线D．抛物线 8、方程的两个根可分别作为的离心率。 A．椭圆和双曲线B．两条抛物线C．椭圆和抛物线D．两个椭圆
评卷人得分 二、填空题(注释) 10、若一条抛物线以原点为顶点，准线为，则此抛物线的方程为 . 11、双曲线的渐近线方程是_▲____ 13、中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为 . 14、椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当 的周长最大时，的面积是． 17、若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，且 ，则此双曲线的离心率为▲ . 评卷人得分 三、解答题() 与直线相切，是 抛物线上两个动点，为抛物线的焦点，的垂直平分线与轴交于点，且. （1）求的值; （2）求点的坐标; （3）求直线的斜率的取值范围. 19、已知抛物线，为抛物线的焦点，椭圆；（1）若是与在第一象限的交点，且，求实数的值； （2）设直线与抛物线交于两个不同的点，与椭圆交于两个 不同点，中点为，中点为，若在以为直径的圆上，且 ，求实数 的取值范围. 20、（本小题满分12分） 已知定直线l:x=1和定点M(t,0)(t∈R),动点P到M的距离等于点P到直线l距离的2倍。（1）求动点P的轨迹方程，并讨论它表示什么曲线； （2）当t=4时，设点P的轨迹为曲线C，过点M作倾斜角为θ(θ>0)的直线交曲线C
圆锥曲线三大难点解读
圆锥曲线三大难点解读 山东 王中华 李燕 2006年高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略． 难点一、最值与定值（定点）问题 圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解． 定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0) x y Q a b a b +=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）在Q 的方程中，令2 1cos sin a θθ=++， 2sin 0b θθπ? ?=< ?2??≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，此时，设l 与 x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，ABD △的面积最大？ 分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为2 2 2 2 2 0b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2 a 、 2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ， ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121 2 S y y =-， 当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大． 点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高． 注：与最值相关的试题，还有江西卷理科第9题、北京卷理科第19题、全国卷I 理科第20题、文科第21题、山东卷文科第21题等． 例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>u u u r u u u r ．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM u u u u r ·AB u u u r 为定值；
圆锥曲线中离心率及其范围地求解专题(教师版)
圆锥曲线中离心率及其围的求解专题 【高考要求】 1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其围等问题的求解策略； 3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。 【热点透析】 与圆锥曲线离心率及其围有关的问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的离心率（a,b,c ）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化围； （3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 2.解题时所使用的数学思想方法。 （1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。 （2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。 （3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。 （4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。 【题型分析】 1. 已知双曲线22 122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线2C 的顶点在原点， 准线与双曲线1C 的左准线重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离 心率为（ ） A ． B C D ． 解：由已知可得抛物线的准线为直线2 a x c =- ，∴ 方程为2 2 4a y x c =；
圆锥曲线的方程(教师版)
圆锥曲线的方程 一、单选题 1．（2020·全国课时练习）一动圆P 过定点(4,0)M -，且与已知圆22:(4)16N x y -+=相切，则动圆圆心 P 的轨迹方程是（ ） A ．22 1(2)412x y x -= B ．221(2)412 x y x -=- C ．22 1412 x y -= D ．221412 y x -= 【答案】C 【解析】 【分析】 分两圆内切和外切两种情况进行讨论可得4PN PM -=，结合双曲线的定义可求出其圆心的轨迹方程. 【详解】 由已知得(4,0)N ，当两圆内切时，定圆N 在动圆P 的内部，有||||4PN PM =-； 当两圆外切时有||||4PN PM =+，故4PN PM -=，由双曲线的定义知， 点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线，且24,4a c ==，所以224,12a b ==， 故圆心P 的轨迹方程为22 1412 x y -=. 故选：C 【点睛】 本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线轨迹方程的求解，考查了两圆相切问题，属于基础题. 2．（2020·全国课时练习）已知点(,)P x y =P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．两条射线 D ．双曲线的一支 【答案】B 【解析】 【分析】
根据两点间距离公式化简条件，再根据双曲线定义判断，即可选择. 【详解】 设(1,0),(1,0)A B -，则由已知得||PA PB -=‖∣P 到两个定点A ?B 的距离之差的绝对值等于常 ，又||2AB =2<，所以根据双曲线的定义知，动点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】 本题考查双曲线的定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．（2020·全国课时练习）已知平面上的定点12,F F 及动点M ，甲：12MF MF m -=(m 为常数)，乙：点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的定义以及必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】 根据双曲线的定义，乙?甲，但甲乙，只有当120m F F <<时，点M 的轨迹才是双曲线. 故选：B. 【点睛】 本题考查了双曲线的定义，考查了必要不充分条件，属于基础题. 4．（2020·全国课时练习）若方程22 141 y x m -=+表示双曲线，则实数m 的取值范围是（ ） A ．13m -<< B ．1m >- C ．3m > D ．1m <- 【答案】B 【解析】 【分析】 根据双曲线的标准方程列式可得结果. 【详解】
圆锥曲线解答题中存在性问题 (2)
圆锥曲线解答题中存在性问题 121,1)1.3 123,1.2 1XOY B A O P AP BP P AP BP x M N P F x -=??1.在平面直角坐标系中，点与点（关于原点对称，是动点， 且直线与的斜率之积等于-（）求动点的轨迹方程； （）设直线和分别与直线交于点。问：是否存在点， 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存 在，说明理由。 2.已知椭圆E 经过点A （2,3），对称轴为坐标轴，焦点F ，在轴上，离 心率e=（）求1223E F AF E ∠椭圆的方程； （）求的角平分线所在直线l 的方程； （）在椭圆上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出； 若不存在，说明理由。 3.已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2,3），且点F （2,0）为其右 焦点。 （1）求椭圆C 的方程； （2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线 OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由。 1122112222 12121222114.:2. 12,11A B A B B F B F x y C A A B B F F a b A B S S C P A B OP AP PB ===?=如图，椭圆+=1的顶点为，，，，焦点为，，（）求椭圆的方程； （）设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于点，与椭圆相交于两点的直线，，是否存在上述直线，使成立？若存在， 求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
2 15.2 312 . x C PA PB PM m -?=已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点（，）.过点P （2,1）的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M.(1)求椭圆C 的方程； （2）求直线l 的方程以及点M 的坐标； （3）是否存在过点P 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点A,B ，满足 ？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由 226.:36,20. 1. 220.;M x y N P M Q NP G P MP NQ GQ NP G C l C A B O OS OA OB l OASB l ++==?==+已知圆（点），为圆上的动点，在上，在M 上，且满足，（）求点轨迹方程（）过点（，）作直线与曲线交于、两点，为原点，且是否存在直线，使四边形对角线相等?若存在，求出直线若不存在，请说明理由. 7.如图，A 、B 、22 221(0),2. 12x y a b A BC a b O AC BC BC AC C E E P Q PC QC x PQ +=>>⊥==C 是椭圆E ：上的三点，其中点的坐标为（），过椭圆的中心，且（）求点的坐标及椭圆的方程； （）若椭圆上存在两点、，使得直线与直线关于直线的斜率.
圆锥曲线存在性问题
圆锥曲线存在性问题Revised on November 25, 2020
圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 例1：已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与 C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为 2 。
（1）求,a b 的值 （2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由 解：（1 ）::3 c e a b c a = =?= 则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时 2 O l d -∴= = 解得：1c = a b ∴== 椭圆方程为：22 132 x y += （2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =- 联立直线与椭圆方程：()22 1236 y k x x y =-???+=?? 消去y 可得：()222 2316x k x +-=，整理可得： 22264,3232k k P k k ?? ∴- ?++?? 因为P 在椭圆上 当k = 时，):1l y x =- ，3,22P ? ?? 当k = ):1l y x =- ，32P ? ?? 当斜率不存在时，可知:1l x = ，1,,1,33A B ???- ? ????，则()2,0P 不在椭圆上 ∴ 综上所述：):1l y x =- ，3,22P ?- ?? 或):1l y x =- ，3,22P ? ??
84《圆锥曲线-双曲线》基础知识--教师版
二.双曲线 注意:牢记双曲线的两种定义,在解题时,要善于应用几何上或代数上的意义。
一.过焦点弦长公式的推导(注意分类,不要求记忆,但要熟练推导过程) ㈠焦点在x 轴上: 1.过左焦点且相交于同一支: 过双曲线22 221x y a b -=左焦点)0,(1c F -的直线交双曲线的左支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;11a ex AF --=;21a ex BF --=焦点弦a x x e AB 2)(21-+-= 2.过左焦点且相交于两支 过双曲线22 221x y a b -=左焦点)0,(1c F -的直线交双曲线的左右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;11a ex AF --=;21a ex BF +=焦点弦a x x e AB 2)(21++= 3.过右焦点且相交于同一支 过双曲线22 221x y a b -=右焦点)0,(2c F 的直线交双曲线的右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;12a ex AF -=;22a ex BF -=焦点弦a x x e AB 2)(21-+= 4.过右焦点且相交于两支 过双曲线22 221x y a b -=右焦点)0,(2c F 的直线交双曲线的左右支分别于点),(),,(2211y x B y x A ,则: ;12ex a AF -=;22a ex BF -=焦点弦a x x e AB 2)(21++-= ㈡焦点在y 轴上:分别同上面的情况 1.过下焦点且相交于同一支 2.过下焦点且相交于两支 3.过上焦点且相交于同一支 4.过上焦点且相交于两支 二.焦点三角形:如图 设若双曲线方程为22 221x y a b -=,21,F F 分别为它的左右焦点,),(00y x P 为双曲线上任意一点,则有: 性质1.若12F PF ,∠=θ则2 cot .2 21θ b S F PF =?;特别地,当12F PF 90∠=时,有2 21b S F PF =? 021y c S PF F ?=? 性质2.双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时,切点为左顶点,且当P 点在双曲线右支时,切点为右顶点。 性质3.双曲线的焦点21F PF ?中,1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β
最新圆锥曲线轨迹问题(教师版)
第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题（教师版） 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）限（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这 种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系，点Q （2，0），圆C 方程为 12 2=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则 2 22ON MO MN -=。),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ化简得 0)41(4))(1(2 2222=++-+-λλλx y x 当1=λ时，方程为54x =，表示一条直线。 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 【练习】如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ， （M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -， ，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) y x Q M N O
[高中数学]圆锥曲线专题-理科
圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD 与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O
二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D （0,-1）为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由
专题-圆锥曲线与方程(教师)
专题-圆锥曲线与方程 抓住3个高考重点 重点1 椭圆及其性质 1．椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点M 都有1212||||2||2MF MF a F F c +=>= 椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点M 都有 || ,(01)MF e e d =<< 2．求椭圆的标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆定义，确定2 2 ,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程． （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出2 2 ,a b ，从而写出椭圆的标准方程． 3．求椭圆的标准方程需要注意以下几点？ （1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为2 2 1(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠或22 221x y m n += （2）与椭圆2222 221()x y m n m n +=≠共焦点的椭圆方程可设为22222 21(,)x y k m k n m k n k +=>->-++ （3）与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为22 122x y k a b +=（10k >，焦点在x 轴上）或 22 222 y x k a b +=（20k >，焦点在y 轴上） 4．椭圆的几何性质的应用策略 （1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了． （2）椭圆的离心率2 21c b e a a ==-当e 越接近于1时，椭圆越扁，当e 越接近于0时， 椭圆越接近于圆， 求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次方程，再结合2 2 2 a b c =+即可求出椭圆的离心率 [高考常考角度] 角度1若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)2 1,1(作圆12 2=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好 经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 14 52 2=+y x . 解析:方法一：设过点)21,1(的直线方程为：当斜率存在时，1 (1)2 y k x =-+，即22120kx y k -+-=