圆锥曲线存在性问题

圆锥曲线中的存在性问题

一、基础知识

1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在

2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y

（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：

（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。

（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法：

①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解

②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题：

例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b

+=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交

于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2

。 （1）求,a b 的值

（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由

解：（1）::3

c e a b c a =

=?=

则,a b =

=，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时

:0l y x c x y c =-?--=

2

O l d -∴=

=

解得：1c =

a b ∴== 椭圆方程为：22

132

x y +=

（2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-

OP OA OB =+ 012

012

x x x y y y =+?∴?=+?

联立直线与椭圆方程：()221236

y k x x y =-???+=?? 消去y 可得：()222

2316x k x +-=，整理可得：

()2

222326360k

x k x k +-+-=

2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232

k k

y y k x x k k k k +=+-=-=-++

22264,3232k k P k k ??

∴- ?++??

因为P 在椭圆上

2

2

2

22

642363232k k k k ????∴?+-= ? ?++????

()()()2

2

42222272486322432632k k k k k k ∴+=+?+=+

(

)2224632k k k ∴=+?=

当k =

):1l y x =-

，3,2

P ? ??

当k =

):1l y x =-

，322P ??

???

当斜率不存在时，可知:1l x =

，1,

,1,33A B ??- ???

?，则()2,0P 不在椭圆上

∴综上所述：):1l y x =-，3,2P ? ??或):1l y x =-，32P ? ?? 例2：过椭圆()22

22:10x y a b a b

Γ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左

焦点，已知1AF B 的周长为8，椭圆的离心率为2

（1）求椭圆Γ的方程

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且

O P O Q ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由

解：（1）由1AF B 的周长可得：482a a =?=

c e c a ∴=

=?= 2221b a c ∴=-= 椭圆2

2:14

x y Γ+= （2）假设满足条件的圆为2

2

2

x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内

01r ∴<<

若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y

PQ 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴=

=?=+

0OP OQ OP OQ ⊥??= 即12120x x y y +=

联立方程：2

2

44

y kx m x y =+???

+=?()222148440k x kmx m +++-=

2121222844

,4141

km m x x x x k k -∴+=-=++

()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++ ()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++

()222

2

244814141m km k km m k k -??=?++?-+ ?++??

222

544

41

m k k --=+ 225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立

将()

2221m r k =+代入可得：()()

22251410r k k +-+=

()()225410r k ∴-+= 245

r ∴=

∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=

当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =

若:PQ x =,5

555P Q ???- ? ? ????

0OP OQ ∴?= :PQ x ∴=

若:PQ x = 综上所述，圆的方程为：22

45

x y +=

例3：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点(，离心率为1

2

，左，右焦点分别为

()1,0F c -和()2,0F c

（1）求椭圆C 的方程

（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ① 证明：1k k ?为定值

② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由

解：（1）依题意可知：1

2

c e a =

=可得：::2a b c =

∴椭圆方程为：22

22143x y c c

+=

，代入(可得：1c =

∴椭圆方程为：22

143

x y +

= （2）① 证明：设()()1122,,,B x y D x y ，线段BD 的中点()00,N x y 设直线l 的方程为：()4y k x =+，联立方程：

()2

2

43412

y k x x y ?=+??+=?? 化为：()2222343264120k x k x k +++-= 由0?>解得：2

1

4

k < 且22121222

326412,4343k k x x x x k k --+==++ 2120216243x x k x k +∴==-+ ()00212443k

y k x k =+=+

01034y k x k ∴=

=- 13344

k k k k ∴=-?=- ② 假设存在实数k ，使得1F N AD ⊥，则11F N AD k k ?=-

1202202

12434

16114134F N

k y k k k k x k k +∴===+--++ ()22

22422

AD k x y k x x +=

=

++ ()1222441142

F N AD k x k

k k k x +?=

?=--+

即(

)

2

2

2

22

2224164182282k x k k x k x k +=-+-?=--<- 因为D 在椭圆上，所以[]22,2x ∈-，矛盾

所以不存在符合条件的直线l

例4：设F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，点31,2P ??

???在椭圆E 上，直线

0:34100l x y --=与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切

（1）求椭圆E 的方程

（2）过点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由 解：（1）

0l 与圆相切

10

25

O l d r -∴=

== 2a ∴= 将31,2P ??

???代入椭圆方程

22214x y b +=

可得：b =∴椭圆方程为：22

143

x y +

= （2）由椭圆方程可得：()1,0F 设直线():1l y k x =-，则()3

:12

PQ y k x -=- 联立直线l 与椭圆方程：

()2

2

13412

y k x x y ?=-??+=??消去y 可得：()2222

4384120k x k x k +-+-= ()()()2

222218443412144144k k k k ∴?=-+-=+

()2122

12143

k AB x k +∴=-==

+

同理：

联立直线PQ 与椭圆方程：

()223123412y k x x y ?=-+?

?

?+=?

消去y 可得：()()22224381241230k x k k x k k +--+--= ()()()22

2222181244123431444k k k k k k k ?????=----+=++ ?????

PQ ∴==

因为四边形PABQ 的对角线互相平分

∴四边形PABQ 为平行四边形

AB PQ ∴= (

)22

12143

k k +∴

=+解得：34

k =

∴存在直线:3430l x y --=时，四边形PABQ 的对角线互相平分

例5：椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，P 为椭圆1

C 上任意一点，且12PF PF ?的最大值的取值范围是22,3c c ????

，其中c = （1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围

（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得11BAF BF A λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -

()()12,,,PF c x y PF c x y ∴=---=--

22212PF PF x y c ∴?=+-

由22221x y a b +=可得：222

22b y b x a

=-代入可得： 222

2

2

222

22212221b c PF PF x y c x b c x b c a a ???=+-=-+-=+- ???

[],x a a ∈- ()

212

max

PF PF b ∴?=

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2334c a

c b c c a c c c a

?≤?∴≤≤?≤-≤??≥??

21114222

e e ∴≤≤?≤≤ （2）当1

2

e =

时，可得：2,a c b == ∴双曲线方程为22

2213x y c c

-=，()()12,0,,0A c F c -，设()00,B x y ，000,0x y >>

当AB x ⊥轴时，002,3x c y c ==

13tan 13c BF A c ∴=

= 14B F A π∴∠= 因为1

2

BAF π

∠= 112BAF BF A ∴∠=∠

所以2λ=，下面证明2λ=对任意B 点均使得11BAF BF A λ∠=∠成立 考虑100

1100tan ,tan 2AB BF y y BAF k BF A k x c x c

∠=-=-

∠==-+

()

()

0001012

2

2

2100

00222tan tan 21tan 1y y x c BF A

x c

BF A BF A

x c y

y x c ?

+∠+∴∠=

==

-∠+-??- ?+??

由双曲线方程222213x y c c

-=，可得：222

0033y x c =-

()()()()2

2

2222

2000000003322422x c y x c x c x cx c x c c x ∴+-=+-+=-++=+-

()()()

000

11000

2tan 2tan 222y x c y BF A BAF x c c x c x +∴∠=

=

=∠+--

112BAF BF A ∴∠=∠

结论得证

2λ∴=时，11BAF BF A λ∠=∠恒成立

例6：如图，椭圆()22

22:10x y E a b a b

+=>>

的离心率是2，过点()0,1P 的动直线l 与椭

圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E

截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程

（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得对于任意直线l ，

QA PA QB

PB

=

恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由

解：（1

）2

c e a =

=

:::1:1

a b c ∴= ∴椭圆方程为22

2212x y b b

+=

由直线l 被椭圆E

截得的线段长为

点

)

在椭圆上

2

22

21122b b b

+=?= 24a ∴= ∴椭圆方程为22

142

x y +

= （2）当l 与x 轴平行时，由对称性可得：PA PB =

1QA PA QB

PB

∴

=

=即QA QB =

Q ∴在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设()00,Q y

当l 与x

轴垂直时，则(

(,0,A B

1,1PA PB ∴=-=+

00QA y QB y =-=+

QA PA QB

PB

∴=?

=

01y =或02y = ,P Q 不重合 02y ∴=

()0,2Q ∴

下面判断()0,2Q 能否对任意直线均成立

若直线l 的斜率存在，设:1l y kx =+，

()()1122,,,A x y B x y

联立方程可得：()222224

124201

x y k x kx y kx ?+=?++-=?=+?

由

QA PA QB

PB

=

可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA ∠

∴只需证明0QA QB QA QB k k k k =-?+=

()()1122,,,A x y B x y ∴

1212

22

,QA QB y y k k x x --∴=

= ()()()211221121212121212

22222QA QB

x y x y x y x y x x y y k k x x x x x x -+-+-+--∴+=+==

① 因为()()1122,,,A x y B x y 在直线1y kx =+上，1122

1

1y kx y kx =+?∴?

=+?代入①可得：

()()()

()

211212121212

12

1122QA QB x kx x kx x x kx x x x k k x x x x +++-+-+∴+=

=

联立方程可得：()222224

124201x y k x kx y kx ?+=?++-=?=+?

121222

42

,1212k x x x x k k

∴+=-

=-++ 222

24212120212QA QB

k

k k k k k k ?-+

++∴+=

=-

+ 0QA QB k k ∴+=成立

QP ∴平分BQA ∠ ∴由角平分线公式可得：

QA PA QB

PB

=

例7：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，4,33b P ??

???

是C 上的一点，以AP 为

直径的圆经过椭圆C 的右焦点F （1）求椭圆C 的方程

（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由

解：由椭圆可知：()()0,,,0A b F c AP 为直径的圆经过F F A F P

∴⊥ 0FA FP ∴?=

()4

,,,3

3b FA c b FP c ??=-=- ???

2

22

44003333b b c c c c ??∴--+=?-+= ???

由4,33b P ?? ???

在椭圆上，代入椭圆方程可得：

22

22

11611299

b a a b ?+?=?= 2

222240

1332b c c b c b c a ?-+=??==?

?+==?

∴椭圆方程为2

212

x y +=

（2）假设存在x 轴上两定点()()1122,0,,0M M λλ，()12λλ< 设直线:l y kx m =+

12M l M l d d --∴=

=

所以依题意：

()1222

12122

11

M l M l k km m d d k λλλλ--+++?=

=

=+ ①

因为直线l 与椭圆相切，∴联立方程：

()222

22

21422022

y kx m k x kmx m x y =+??+++-=?+=? 由直线l 与椭圆相切可知()()()

2

2

2

4421220km k m ?=-+-=

化简可得：22

21m k =+，代入①可得：

()()22121222212122

21

12111

k km k k km k k k λλλλλλλλ++++=?++++=++

()()2121210k km λλλλ∴+++=，依题意可得：无论,k m 为何值，等式均成立

1211221

21

101λλλλλλλλ

=-?=-??

∴+=???=??

所以存在两定点：()()121,0,1,0M M -

例8：已知椭圆22

1:41C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是1C 上任意一点，O 是坐

标原点，12OQ PF PF =+，设点Q 的轨迹为2C

（1）求点Q 的轨迹2C 的方程

（2）若点T 满足：2OT MN OM ON =++，其中,M N 是2C 上的点，且直线,OM ON 的斜率之积等于1

4

-

，是否存在两定点，使得TA TB +为定值？若存在，求出定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由

（1）设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则22

0041x y +=

由椭圆方程可得：12,22F F ????-

? ? ? ?????

12OQ PF PF =+ 且1002003

3,,,22PF x y PF x y ????=---=-- ? ? ? ?????

()002,2Q x y ∴-- 00002222

x x x x y y y

y ?

=-?=-??∴??

?=-??=-??代入到22

0041x y +=可得： 2

214

x y += （2）设点(),T x y ，()()1122,,,M x y N x y

2OT MN OM ON =++

()()()()12121122,,2,,x y x x y y x y x y ∴=--++ 2121

22x x x y y y =+?∴?=+?

设直线,OM ON 的斜率分别为,OM ON k k ，由已知可得：21211

4

OM ON y y k k x x ?=

=- 121240x x y y ∴+=

考虑()()22

2221214242x y x x y y +=+++()()

2222

11221212444416x y x y x x y y =+++++ ,M N 是2C 上的点 22

112

2

2244

44

x y x y ?+=?∴?+=?? 22444420x y ∴+=+?=

即T 的轨迹方程为

221205x y +=，由定义可知，T 到椭圆22

1205

x y +=焦点的距离和为定值 ,A B ∴为椭圆的焦点

(

))

,A B

∴

所以存在定点,A B

例9：椭圆()22

22:10x y E a b a b +=>>的焦点到直线30x y -=

的距离为5

，离心率为

5

，抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程 （2）是否存在常数λ，使得1AB CD

λ

+为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由

解：（1）设,E G 的公共焦点为(),0F c

2F l d c -∴=

=

?=

c e a a ∴=

=?= 2221b a c ∴=-= 2

2:15

x E y ∴+=

28y x ∴=

（2）设直线():2l y k x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y

与椭圆联立方程：()()2222

22

25120205055y k x k x k x k x y ?=-??+-+-=?+=?? 22121222

20205

,1515k k x x x x k k -∴+==++

)22

115k AB k

+∴==

+

直线与抛物线联立方程：()()2222

2

248408y k x k x k x k y x

?=-??-++=?

=?? 2342

48

k x x k

+∴+= CD 是焦点弦 ()2342

814k CD x x k

+∴=++=

(

)

2

22222420181k

k AB CD k λλ++∴+=+==+ 若

1AB CD λ+为常数，则204+

= λ∴=例10：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()22

22:10x y C a b a b

+

=>>直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆

C 的

右焦点时，弦AB （1）求椭圆C 的方程

（2）是否存在点E ，使得

22

11EA EB

+为定值？若存在，请求出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由

解：（1）依题意可得：3

c e a

=

=

:

:a b c ∴=

当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时，AB 为通径

223

b AB a ∴==

,a b ∴==

22

162

x y ∴+= （2）思路：本题若直接用用字母表示,,A E B 坐标并表示,EA EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。因为E 要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出E 点及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得22

11

EA EB

+为定值。 解：（2）假设存在点E ，设()0,0E x 若直线AB 与x

轴重合，则(

))

,A B

00EA x EB x ∴=+=

(

)()()

2

02

2

2

2

2

20

111

1

2126x EA

EB

x

x

x

+∴

+

=

+

=

-+-

若直线AB 与x 轴垂直，则,A B 关于x 轴对称

∴设()()00,,,A x y B x y -，其中0y >，代入椭圆方程可得：

220162x y y +=?=

E A E B ∴=2

2

2

2

00

112

6

623

x x EA

EB

∴

+

=

=

--

()

()()()22222

00002

2

20

212

62666666x x x x x x

+∴

=

?+-=---，可解得：

0x =

2

2

2

116

26x EA

EB

+

=

=- ∴若存在点E

，则()E

。若)

E

，设()()1122,,,A x y B x y

设:AB x my =+C

联立方程可得：2236

x y x my ?+=??=+??，消去y 可得：

((

)2

22236330my y m y ++=?++-=

1212

223

,33

y y y y m m ∴+=-

=-++

(

)

()2

2

222

222

11111

11

111m y y m y EA

x y

=

=

=

++-+，同理：()222

2

11

,1m y EB =+ ()()()()()2

22

121212

222222222222

121212

21

1

111111y y y y y y m y m y m y y m y y EA EB +-+∴+=+==++++

代入121222

3

,33

y y y y m m ∴+=-

=-++可得：

()()()()

()

()

222

2

222222

22

2

2

2

212633233111818291913133m m m m m m m EA EB m m m ++???-?- ?++??+??+====++??+- ?+??

+ 所以

2

2

11EA

EB

+

为定值，定值为2

若()

E ，同理可得

2

2

11EA

EB

+

为定值2

综上所述：存在点()

E ，使得

2

2

11EA

EB

+

为定值2

三、历年好题精选

1、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>

过点2P ?

，

离心率为

1

2

，过直线:4l x =上一点M 引椭圆E 的两条切线，切点分别是,A B （1）求椭圆E 的方程

（2）若在椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>上的任一点()00,N x y 处的切线方程是

00221x x y y

a b

+=，求证：直线AB 恒过定点C ，并求出定点C 的坐标 （3）是否存在实数λ，使得AC BC AC BC λ+=?恒成立？（点C 为直线AB 恒过的

定点），若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由

2、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点与抛物线2

4y x =的焦点重合，

31,2D ??

???

是椭圆C 上的一点 （1）求椭圆C 的方程

（2）设,A B 分别是椭圆C 的左右顶点，,P Q 是椭圆C 上异于,A B 的两个动点，直线

,AP AQ 的斜率之积为1

4

-，设APQ 与BPQ 的面积分别为12,S S ，请问：是否存在常数

()R λλ∈，使得12S S λ=恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由

3、已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点(，离心率为1

2

，左，右焦点分别为

()1,0F c -和()2,0F c

（1）求椭圆C 的方程

（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ① 证明：1k k ?为定值

② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由

4、已知圆(2

2:36M x y ++=，定点)

N

，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP

上，点G 在MP 上，且满足2,0NP NQ GQ NP =?= （1）求点G 的轨迹C 的方程

（2）过点()2,0作直线l ，与曲线C 交于,A B 两点，O 是坐标原点，设OS OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OASB 的对角线相等（即OS AB =）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由

5、（2014，福建）已知双曲线()22

22:10,0x y E a b a b

-=>>的两条渐近线分别为1:2l y x =，

2:2l y x =-

（1）求双曲线E 的离心率

（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线12,l l 于,A B 两点（,A B 分别在第一、四象限），且OAB 的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有

一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在请说明理由

习题答案：

1、解析：（1）1

::2:2

c e a b c a =

=?=

椭圆过点P ?

22

33

14a b ∴

+=，再由::2:a b c =可解得：2,a b == ∴椭圆方程为：22

143

x y +

= （2）设切点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，直线上一点()4,M t ，依题意可得： 两条切线方程为：

1122143

143x x

y y x x y y ?+=???

?+=?? ，由切线均过M 可得：1122

13

13

y t

x y t x ?

+=????+=??

()()1122,,,A x y B x y ∴均在直线13

t

x y +=上

因为两点唯一确定一条直线

:13

t

AB x y ∴+

=，即过定点()1,0，即点C 的坐标为()1,0 （3）11

AC BC AC BC AC BC AC BC

AC BC

λλ++=??=

=

+

? 联立方程：()222211262703

3412ty x t y ty x y ?

+=?

?+--=??+=? 121222

627

,1212t y y y y t t

∴+=

=-++，不妨设120,0y y ><

12,AC y BC y =

=

=

=

2112121111y y AC BC y y y y ??-∴+=-==???

?

493===

4

3

λ∴?=

，使得AC BC AC BC λ+=?恒成立 2、解析：（1）抛物线2

4y x =的焦点为()1,0 1c ∴=

依题意可知：22222221

914,341a b a b a b c ?+=?

?==??-==?

∴椭圆方程为：22

143

x y +

= （2）由（1）可得：()()2,0,2,0A B -，若直线PQ 斜率存在

设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y

A ∴到直线PQ

的距离1d =

B 到直线PQ

的距离2d =

1

11222

1

22122

PQ d k m

S d S d k m

PQ d ?-+∴===

+? 联立方程：()222

22

34841203412

y kx m k x kmx m x y =+??+++-=?+=? 2121222

8412

,4343km m x x x x k k -∴+=-=++ ()()121212121

4220224

AP AQ y y k k y y x x x x ?=

?=-?+++=++ （*） ()()()22

2

2

121212122

31243

m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+ ()()()22

121212216164222443k km m x x x x x x k -+++=+++=

+ ，代入到（*）可得： 2222

2

16163202043

m km k m km k k --=?--=+ 2m k ∴=或m k =-

当2m k =时，():22PQ y kx k k x =+=+，交点与A 重合，不符题意

m k ∴=-，代入到

1

2

S S 可得： 1122333k S S S S k

-==?=，即3λ= 3、解：（1）依题意可知：1

2

c e a =

=

可得：::2a b c = ∴椭圆方程为：22

22143x y c c

+=

，代入(可得：1c =

∴椭圆方程为：22

143

x y +

=