状态空间表达式
2.5 控制系统的状态空间表达式
2.5 控制系统的状态空间表达式
随着科学技术的发展,被控制的对象越来越复杂,对自动控制的要求也越来越高。面对时变系统,多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能的严格要求,传统的控制理论已不能适用。同时,计算机技术的发展也要求控制系统地分析,设计中采用计算机技术并在控制系统的组成中使用计算机。因此,适用这些要求的控制系统的另一种数学描述方法----状态空间就应运而生。 2.5.1 状态变量
在对系统动态特性描述中,足以表征系统全部运动状态的最少一组变量,称之为状态变量。只要确定了这组变量在t=时刻的值以及时的输入函数,则系统在任何时刻的运动
状态就会全部确定。状态变量互相间是独立的,但对同一个系统,状态变量的选取并不是唯一的。一个用n 阶微分方程描述的系统,有n个独立变量,这n个独立变量就是该系统的状态变量。
若用表示这n个状态变量,则可以把这n个状态变量看作是向量x(t)
的分量。我们称x(t)为状态变量,它是一个n维向量,记为
分别以状态变量作为坐标而构成的n维空间,称为状态空间。系统在t时刻的状态,就是状态空间的一点。系统在时刻的状态称为初始点,随着时间的变化,
x(t)从初始点出发在状态空间描述出一条轨迹,称为状态轨迹。状态魁及表征了系统状态的变化过程。
2.5.2 状态空间表达式
1. 状态方程
由系统的状态变量和输入函数构成的一阶微分方程组,称为系统的状态方程。
对于线性系统,可以写成如下形式
(2.59)
记为
(2.60)
式中x(t)是n维列向量
u(t)是r维输入向量
A是n*n维矩阵,称为系数矩阵
B是n*r矩阵,称为输入矩阵或控制矩阵
若矩阵A和B的元素都是常数,则状态方程是线性定常的。若A和B中有随时间变化的元素,状态方程就是线性时变的。状态方程中不能含有x(t)的高于一阶导数的项和输入函数的导数项。对于非线性系统,状态方程可以写成如下形式
(2.61)
记为
(2.62)
式中f为向量函数。
2. 输出方程
描述系统的输出变量与状态变量和输入变量关系的方程,称为输出方程。
线性系统的输出方程具有以下形式
(2.63)
记为
(2.64)
式中y(t)为m维列向量,称输出向量C为m*n维矩阵,称为输出矩阵
D为m*r维矩阵,称为直接传输矩阵
线性定常系统的输出矩阵和直接传递矩阵的所有元素均为常量。
非线性系统的输出方程可表示为
(2.65)
式中g称为向量函数。
输出方程中不含有变量的任何导数项。
3. 状态空间表达式
系统的状态方程和输出方程总称为系统的状态空间表达式
(2.66)
或
(2.67)
传递函数是系统输出与输入之间关系的数学描述,它所描述的系统的动态特性并不涉及系统内部各种变量的问题,是从外部看到的系统的一种整体特性,我们称其为外部特性。应该说,传递函数对系统特性的描述是不完全的。在状态空间表达式中,状态方程反映了输入对系统内部状态的
影响,即输入改变了系统的状态,而输出方程则反映了状态变量对输出变量的影响,即状态改变产生了输出改变。状态空间表达式包含了系统运动的内部信息(状态)和外部信息(输出),是对系统动态特性的完整描述。
图2.35是系统状态空间表达式的结构图。图中用双线箭头表示向量信号。
图2.35 控制系统状态空间表达式的结构图
2.5.3 状态空间表达式的建立
建立控制系统的状态空间表达式,可以根据系统运动的内在机理直接建立状态方程和输出方程,也可以根据系统的微分方程,传递函数或结构图来建立。后者称为模式转换问题。
1. 由微分方程建立状态空间表达式
(1)不含输入函数倒数项的n阶线性系统。
设n阶线性系统的微分方程具有如下形式
(2.68)
当等初始值及在时的输入函数已知时,系统在t时刻的行为就可以完全确定。所以,可以选取共n个变量为系统的状态变量
方程(2.68)可以写成
这就是n阶线性系统的状态方程,记为
(2.69)
式中
维矩阵
维矩阵
维矩阵
输出方程为
记为
式中
维矩阵
具有上面A矩阵形式的矩阵称为友矩阵。友矩阵的特点是主对角线右上方的元素为1,最后一行的元素可取任何值,其余元素为零。
(2)含有输入导数项的n阶线性系统
设n阶线性系统的微分方程具有如下形式
(2.71)
对于这种情况,若仍按不含输入导数项的微分方程的处理办法,状态方程就会出现输入函数的导数项,这是不允许的。
我们可以这样来选取状态变量
式中
状态方程可写为
(2.72)
输出方程为
(2.73)
状态空间表达式记为
(2.74) 式中系数矩阵仍为友矩阵
维矩阵
控制矩阵为
维矩阵
输出矩阵为
维矩阵
而
因为描述线性定常系统的高阶微分方程是单输入单输出系统,所以状态方程中输入函数只有一个,输出方程中输出变量也只有一个,与其相关的矩阵形式也较为简单。
例20 某线性定常系统的微分方程为
写出其状态空间表达式。
解先把方程变为式(2.68)的形式
设状态变量为
则状态空间表达式为
其中
例21 控制系统的微分方程为
写出其状态空间表达式。
解这是输入函数具有导数项的微分方程。先计算:
参照式(2.72),(2.73),可得到状态方程
输出方程为
状态空间表达式为
2.由传递函数建立状态空间表达式
已知控制系统的传递函数,可以求取其拉普拉斯的反变换,得到系统的微分方程,再根据微分方程写出系统的状态空间表达式。
例22 已知控制系统的闭环传递函数为
写出其状态空间表达式。
解先写出
对上式进行拉普拉斯反变换,得到
再计算
状态空间表达式为
其中
根据已知的传递函数,引入一个中间变量Z(s),用下面的方法也可以建立系统的状态空间表达式。
设已知的传递函数具有下面的形式
(2.7
5)
引入中间变量z(s),即令
(2.76)
其中
(2.77)
(2.78)
因而有
(2.79)
(2.80) 选取中间变量z(t)及其各阶导数为状态变量:
由(2.79)式可得到状态方程,由(2.80)式可得到输出方程
其中
维矩阵
维矩阵
维矩阵
从式(2.80)可以看出,输出变量只与m+1个状态变量有关,通常情况下m 例23 已知 将其转换为状态空间表达式。 解设中间变量为Z(s),则有 由此写出状态空间表达式 引入中间变量,画出结构图,根据结构图也可以写出状态空间表达式。 例24 设系统的传递函数为 (2.83) 引入中间变量,得到 (2.84) (2.85) 根据(2.84)式可以画出系统的结构图,如图(2.36)所示。作图的过程是:先画出数目与传递函数阶次相同的积分环节,积分环节按串联连接。从最左端积分环节开始,每个积分环节的输出取作状态变量,式(2.84)的系数作为反馈回路的系数。根据结构图可以写出状态空间表达式 图2.36 控制系统的结构图 (2.86) (2.87) 结构图中,前向通路、反馈通路的系数和状态空间表达式的A,B,C三个矩阵的元素间都有确定的对应关系。读者熟练后,可直接根据传递函数画出结构图,从而写出状态空间表达式。也可以根据状态空间表达式画出结构图,进而写出系统的传递函数。 给定一个系统的传递函数,若存在一个状态空间表达式仍保持了原传递函数的输入输出关系,我们称此传递函数是可实现的。传递函数可以实现的充分必要条件:它必须是一个真有理函数,即传递函数分母的阶次n与分子阶次m必须满足。从一个传递函数出发,用不同的方法,可以建立无穷多个状态空间表达式。所以,传递函数的实现不是唯一的。 第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量,推导其状态空间表达式。其中,u 、y 分别为系统的输入、输出,1α、2α、3α均为标量。 图系统结构图 解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图,且图中每个积分 器的输出即为状态变量,这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系,又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。 着眼于求和点①、②、③,则有 ①:2111x x x +=α ②: 3222x x x +=α ③:u x x +=333α 输出y 为1y x du =+,得 11 12223331000100 1x a x x a x u x a x ???????? ????????=+???????????????????????? []123100x y x du x ?? ??=+?? ???? 》 已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++ ;(2) u u y y -=+ 32; (3) u u y y y y 75532+=+++ 。试列写出它们的状态空间表达式。 (1) 解 选择状态变量1y x =,2y x =,3y x =,则有: 1223 31231 543x x x x x x x x u y x =??=?? =---+??=? 状态空间表达式为:[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????---???????? ????=?????? (2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件 下取拉氏变换得: 3222332()3()()() 11()1223()232 s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s +=---== ++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为 1122330100001031002x x x x u x x ?? ????????????????=+? ?????????????????????-?? ?? 123110 2 2x y x x ?????? =- ?????????? [ (3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件 下取拉氏变换得: 第2章 状态空间表达式的解 第1节 线性定常齐次状态方程的解 线性定常齐次状态方程 0(0)x Ax x x ==& 的解为 0()At x t e x = (0)t > 式中,2 2 () 2!!k At k t At e I At A k ∞ ? ==+++=∑ L 证明: 用拉普拉斯变换法。 对 x A x =& 作拉氏变换,得 0()()sX s x AX s -= 1 0()()X s sI A x -=- 11 0()[()]x t L sI A x --=- 因为 2 23111()()sI A I A A I s s s -+++=L 故 1 223111()sI A I A A s s s --=+++L 12023111()[]x t L I A A x s s s -=+++L 2201()2! I At A t x =+++L 0At e x = 顺便可知 ])[(1 1---=A sI L e At 第2节 矩阵指数函数At e 1、At e 的定义和性质 (1)定义 2 2 () 2!!k At k t At e I At A k ∞ ==+++=∑ L 式中 A —线性定常系统系统矩阵,n n ?阶; At e —矩阵指数函数,n n ?阶时变矩阵。 若A 中各元素均小于某定值,At e 必收敛;若A 为实矩阵,At e 绝 对收敛。 (2)基本性质: ◆组合性质: ) (2121t t A At At e e e += 其中21,t t 为相衔接的两时间段。 推论1:I e e e e A t t A t A At ===--0 ) () ( 推论2:) (1 ][t A At e e --= 2-3 由控制系统的方块图求系统状态空间表达式 系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型,具有形象、直观的优点,常为人们采用。 要将系统方块图模型转化为状态空间表达式,一般可以由下列三个步骤组成: 第一步:在系统方块图的基础上,将各环节通过等效变换分解,使得整个系统只有标准积分器(1/s )、比例器(k )及其综合器(加法器)组成,这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。 第二步:将上述调整过的方块图中的每个标准积分器(1/s )的输出作为一个独立的状态变量i x ,积分器的输入端就是状态变量的一阶导数 dt dx i 。 第三步:根据调整过的方块图中各信号的关系,可以写出每个状态变量的一阶微分方程,从而写出系统的状态方程。根据需要指定输出变量,即可以从方块图写出系统的输出方程。 例2-5 某控制系统的方块图如图2-6所示,试求出其状态空间表达式。 解: 该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。对于一阶惯性环节,我们可以通过等效变换,转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。 图2-6所示方块图经等效变换后如下图所示。我们取每个积分器的输出端 信号为状态变量1x 和2x ,积分器的输入端即1x 和2x 。 图2-6 系统方块图 从图可得系统状态方程: ()??? ??? ?+--=-+-==u T K x T x T K K x K u T K x T x x T K x 11211131131121222 2111 取y 为系统输出,输出方程为:1x y = 写成矢量形式,我们得到系统的状态空间表达式: []?????????? ?=???? ??????+? ???????=x y u T K x K K T K x 010******** 2.5 控制系统的状态空间表达式 2.5 控制系统的状态空间表达式 随着科学技术的发展,被控制的对象越来越复杂,对自动控制的要求也越来越高。面对时变系统,多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能的严格要求,传统的控制理论已不能适用。同时,计算机技术的发展也要求控制系统地分析,设计中采用计算机技术并在控制系统的组成中使用计算机。因此,适用这些要求的控制系统的另一种数学描述方法----状态空间就应运而生。 2.5.1 状态变量 在对系统动态特性描述中,足以表征系统全部运动状态的最少一组变量,称之为状态变量。只要确定了这组变量在t=时刻的值以及时的输入函数,则系统在任何时刻的运动 状态就会全部确定。状态变量互相间是独立的,但对同一个系统,状态变量的选取并不是唯一的。一个用n 阶微分方程描述的系统,有n个独立变量,这n个独立变量就是该系统的状态变量。 若用表示这n个状态变量,则可以把这n个状态变量看作是向量x(t) 的分量。我们称x(t)为状态变量,它是一个n维向量,记为 分别以状态变量作为坐标而构成的n维空间,称为状态空间。系统在t时刻的状态,就是状态空间的一点。系统在时刻的状态称为初始点,随着时间的变化, x(t)从初始点出发在状态空间描述出一条轨迹,称为状态轨迹。状态魁及表征了系统状态的变化过程。 2.5.2 状态空间表达式 1. 状态方程 由系统的状态变量和输入函数构成的一阶微分方程组,称为系统的状态方程。 对于线性系统,可以写成如下形式 (2.59) 记为 (2.60) 式中x(t)是n维列向量 u(t)是r维输入向量 A是n*n维矩阵,称为系数矩阵 B是n*r矩阵,称为输入矩阵或控制矩阵答案 控制系统的状态空间描述 习题解答
状态空间表达式的解
第2章(2) 控制系统的状态空间表达式
状态空间表达式