北师大版初中数学图形的全等 教案

2图形的全等

1.通过实例理解图形全等的概念和特征,并能识别图形的全等.

2.掌握全等三角形对应边、对应角相等的性质,并能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题.

1.借助具体情境和图案,经历观察、发现和实践操作叠合图形等过程,了解全等图形的概念与特征,掌握判断全等图形的方法.

2.通过欣赏、观察、动手操作,使学生体验数学的思想方法及数学的应用价值.

使学生感受合作的快乐与成功的喜悦,树立学习的信心,体会数学知识在现实生活中的应用价值.

【重点】理解图形的全等与全等图形的特征,并能识别图形的全等.

【难点】掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质.

【教师准备】多媒体课件.

【学生准备】预习教材P92~94.

导入一:

请观察生活中的几组图片,这些图片有何特征?(多媒体出示)

[处理方式]学生观察三组图片,可以回答出:图中两面五星红旗、两张图片、两张邮票,它们的形状、大小相同,能够完全重合.继而教师提出:你能再举出一些例子吗?学生就可以想到同一张底片洗出的相同尺寸的照片,形状、大小也是相同的.出示一组利用全等图形组成的图案.

引出本节课题:板书课题:图形的全等.

[设计意图]利用生活中的全等形图片导入新课,让学生初步感知全等形的特点,这样不仅可以调动学生的积极性,也能让学生感受数学无处不在.

导入二:

[处理方式]请同学们观察这些图片有何特征?教学中要充分让学生列举生活中的例子,并试着用一个名词概括这些例子.请大家想一想在你周围有没有全等的图形?请看我手里的照片,同一底片,相同的两张是全等的,不同的两张是不全等的.同一人的两只手掌,老师的手掌和学生手掌.

活动目的:设置有趣的生活图片,一组是实物图形,一组是几何图形.让学生通过观察,对全等图形有一个感性认识.

探究活动1全等图形的定义和性质

思路一

观察下列同一类的图形有什么特点?

[处理方式]学生思考后口答,这些图形中,同一类图形是完全一样的,即不仅要形状相同,而且要大小相等,如果把它们叠放在一起,它们就能重合.教师从而得出全等图形的定义.即:两个能够完全重合的图形称为全等图形.

【巩固训练】

下图中,(4)和(7),(5)和(10)为什么不是全等图形?

全等图形的性质是形状和大小完全相同.(学生总结全等的特征,教师出示课件展示)

[处理方式]让学生口答问题(4)和(7)两个图形面积相同,但形状不同,(5)和(10)两个图形形状相同,但大小不同.

教学中要充分让学生列举生活中的例子.

[设计意图]让学生思维动起来,充分调动学生的学习积极性,达到事半功倍的教学效果.

思路二

教师板书:能够完全重合的两个图形称为全等图形.

[处理方式]教师提出这组几何图形中,有些是完全一样的,如果把它们叠在一起,它们就能够完全重合.你能从图中找出这样的图形吗?学生可以找出两个小圆,两个锐角三角形完全一样.进而明确全等的概念.

[设计意图]设置一组几何图形,让学生通过观察、思考,对全等图形有一个感性认识.同时使学生对全等的概念有了一个更清楚的理解——全等图形的形状和大小都相同.

问题1

你能说出生活中全等图形的例子吗?

利用视频播放敦煌和科隆教堂的图案.

问题2

请观察下面三组图形,它们是不是全等图形?为什么?与同伴进行交流.

问题3

如果两个图形全等,它们的形状和大小一定都相同吗?

教师板书:全等图形的形状和大小都相同.

[处理方式]问题1,学生思考回答生活中的例子,观察三个利用全等设计的生活中的图案,观看播放敦煌和科隆教堂的图案的视频.感受全等在生活中的存在.问题2,学生思考并回答(1)中的两个图形形状相同,但大小不同;(2)中的两个图形面积相同,但形状不同;(3)中的两个图形不仅形状相同,大小也相同.问题3,学生明确,既然是全等图形,那么就能重合,形状与大小自然相同.

[设计意图]学生在一个开放的环境下给出很多生活中的例子,从中获取了大量的信息.事实上,同学们通过观察都能看出全等图形的形状和大小都相同,这就是图形全等的性质.

探究活动2全等三角形的有关概念及表示法

思路一

【活动内容1】全等三角形定义.

教师板书:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

如图(多媒体出示图).

△ABC与△DEF能够完全重合,它们是全等三角形.其中顶点A,D重合,它们是对应顶点;AB边与DE边重合,它们是对应边;∠A与∠D重合,它们是对应角.你能找出其他的对应顶点、对应边和对应角吗?

教师板书:全等三角形的对应边相等,对应角相等.(教师强调如何用符号语言表示)

因为△ABC≌△DEF,所以AB=DE,AC=DF,BC=EF(全等三角形的对应边相

等),∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F(全等三角形的对应角相等).

【活动内容2】全等三角形的表示.

△ABC与△DEF全等,记作:△ABC≌△DEF,读作:△ABC全等于△DEF,记两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.

观察图中的全等三角形应怎样表示.

[处理方式]利用Flash播放全等三角形的定义使学生明确对应顶点,对应边,对应角的含义.再根据图形说出对应顶点,对应边,对应角.由全等可知AB=DE,AC=DF,BC=EF,∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.学生还应明确全等的记法:△ABC≌△DEF.表示时通常把对应顶点的字母写在对应的位置上.提醒学生注意“全等于”与“≌”的区别.

[设计意图]通过两个全等的三角形图片自然过渡到下一知识,用精心设计的问题进行活动,不断地制造思维兴奋点,再加上学生在学习过程中的活动,让学生脑、嘴、手动起来,充分调动了学生的学习积极性,达到事半功倍的教学效果.

思路二

问题1

怎样的三角形是全等三角形?

问题2

全等三角形的对应边和对应角有何关系?

[处理方式]根据全等图形的定义类比并动画演示得出全等三角形的定义,让学生口答出.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.比如,在图中,△ABC与△DEF能够完全重合,它们是全等的.其中顶点A,D 重合,B,E重合,C,F重合,它们是对应顶点;AB边与DE边重合,BC边与EF边重合AC边与DF边重合,它们是对应边;∠A与∠D重合,∠B与∠E重合,∠C与∠F重合,它们是对应角.全等三角形对应角相等,对应边相等.△ABC与△DEF全等,我们把它记作“△ABC≌△DEF”.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.常用几何语言表示:

如图所示,因为△ABC≌△DFE(已知),

所以AB=DF,AC=DE,BC=FE(全等三角形的对应边相等),

∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠E(全等三角形的对应角相等).

问题3

怎样确定全等三角形的对应角、对应边呢?

[处理方式]小组之间先进行讨论回答,教师根据学生回答进行归纳总结(课件展示).

规律总结:确定对应角、对应边的方法.

1.找对应边的方法.

(1)有公共边的,公共边一定是对应边.

(2)全等三角形对应角所对的边是对应边.

(3)两个对应角所夹的边是对应边.

(4)两个全等的三角形中,一对最长的边是对应边,一对最短的边也是对应边.

2.找对应角的方法.

(1)有对顶角或公共角的,对顶角或公共角一定是对应角.

(2)全等三角形对应边所对的角是对应角.

(3)两条对应边所夹的角是对应角.

(4)两个全等的三角形中,一对最大的角是对应角,一对最小的角也是对应角.

探究活动3全等三角形中重要线段之间的关系

【活动内容1】议一议.

(1)教材图4 - 24是两个全等三角形,请画出一组对应边的高,测量这组高的长度,你有什么发现?全等三角形对应边的中线相等吗?还有哪些相等的线段?举例说明.

[处理方式]学生分组画出一组对应边上的高、对应边的中线、对应边的角平分线然后测量发现结论.全等三角形对应边的高、对应边的中线相等,还有全等三角形的对应线段(对应角的平分线)都相等.

(2)如图(教材图4 - 24),已知△ABC≌△A'B'C',你如何在△A'B'C'中画出与线段DE相对应的线段D'E'?

[处理方式]首先用直尺和圆规找出D点的对应点D',E点的对应点E',再连接D'E'.

[设计意图]让学生知道三角形的对应顶点,对应边和对应角,并指出其中的对应角和对应边.三角形中还有高线、中线、角平分线等特殊的线段的性质.学生找到对应边和对应角,并能正确解题,分析能力、表达能力得以提高.

【活动内容2】做一做.

一个等边三角形,你能把它分成两个全等的三角形吗?三个呢?四个呢?

[处理方式]小组间相互交流,讨论.答案如下图所示:

变式:沿着图中的虚线,用两种方法将下面的图形划分成两个全等的图形.

[处理方式]小组间相互交流,讨论.答案如下图所示:

[知识拓展]

1.全等图形关注的是两个图形的形状和大小,而不关心图形所在的位置.

2.全等的两个图形,形状和大小是相同的,而且面积也相等,但是面积相等的两个图形不一定是全等图形.

3.全等三角形是全等图形的一种,两个全等三角形叠放在一起完全重合,完全重合的三角形是全等三角形.

4.表示全等时,对应顶点要写在对应的位置.

1.全等图形和全等三角形的概念:

全等图形:能够完全重合的两个图形称为全等图形.

全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

2.全等图形的性质、全等三角形的性质:

全等图形的性质:全等图形的形状和大小都相同.

全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.

3.全等三角形对应边上的高、对应边上的中线相等,还有全等三角形的对应线段(对应角的平分线)都相等.

1.若△ABC≌△DEF,且AB=4 cm,BC=5 cm,DF=3 cm,则AC的长为 ()

A.4 cm

B.5 cm

C.3 cm

D.2 cm

解析:因为△ABC≌△DEF,AC与DF是对应边,所以AC=DF=3 cm.故选C.

2.如图所示,△ABC≌△FED,且BC=ED.试说明AB∥EF,AD=FC.

解:因为△ABC≌△FED,且BC=ED,所以∠A=∠F,所以AB∥EF(内错角相等,两直线平行).因为

△ABC≌△FED,所以AC=DF(全等三角形的对应边相等),所以AC- DC=DF- DC,即AD=FC.

3.如图所示,△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,求△AEC各内角的度数.

解:因为△ABC≌△AEC,∠ABC与∠AEC,∠ACB与∠ACE,∠BAC与∠EAC是对应角,所以

∠ABC=∠AEC,∠ACB=∠ACE,∠BAC=∠EAC,因为∠B=30°,∠ACB=85°,所以

∠ABC=∠AEC=30°,∠ACB=∠ACE=85°,∠BAC=∠EAC=180°- 115°=65°.

图形的全等

探究活动1全等图形的定义和性质

探究活动2全等三角形的有关概念及表示法

探究活动3全等三角形中重要线段之间的关系

一、教材作业

【必做题】

教材第95页习题4.5知识技能第1,2题.

【选做题】

教材第95页习题4.5知识技能第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE的长是 ()

A.5

B.4

C.3

D.2

2.如图所示,AC⊥BE,AC=EC,CB=CF,把△EFC绕点C按逆时针方向旋转90°,则点E落在()

A.B点处

B.C点处

C.A点处

D.以上都不对

3.如图所示,△ABC≌△DCB,其中A和D是对应顶点,AC和DB是对应边,指出其他的对应边和对应角.对应边:,对应角:.

4.如图所示,△ABE≌△ACD,AB与AC,AD与AE是对应边,∠A=43°,∠B=30°,求∠ADC的大小.

【能力提升】

5.如图所示,若△AOB≌△AOC,则∠ADC与∠AEB相等吗?说明理由.

【拓展探究】

6.如图所示,在△ABC中,D,E分别是AC,BC上的点,若△ADB≌△EDC≌△EDB,求∠C的度数.

【答案与解析】

1.A(解析:因为BE=4,AE=1,所以AB=5,又因为△ABC≌△DEF,所以AB=DE=5.)

2.C(解析:由AC⊥BE,AC=EC,CB=CF可知△ABC≌△EFC,又因为把△EFC绕点C按逆时针方向旋转90°,所以点E落在A点处.)

3.AB与DC,BC与CB∠A与∠D,∠ABC与∠DCB,∠ACB与∠DBC

4.解:因为∠A=43°,∠B=30°,所以∠AEB=107°,又因为△ABE≌△ACD,所以∠ADC=∠AEB=107°.

5.解:∠ADC=∠AEB.理由如下:因为△AOB≌△AOC,所以∠B=∠C,又因为∠DOB=∠EOC,所以

∠BDO=∠CEO,故∠ADC=∠AEB.

6.解:因为△ADB≌△EDB≌△EDC,所以∠ADB=∠EDB=∠EDC,∠DEC=∠DEB=∠A,又因为

∠ADB+∠EDB+∠EDC=180°,∠DEB+∠DEC=180°,所以∠EDC=60°,∠DEC=90°.在△DEC

中,∠EDC=60°,∠DEC=90°,所以∠C=30°.

1.放开学生的手脚,能够使每个学生都动起手进行分割全等图形,使每个学生都参与,培养了学生的动手习惯.

2.在设计中关注学生的人文价值和情感态度,强调知识的主动获得,鼓励学生的积极参与和探究信心的扶植,照顾到学生的年龄特点和已有经验水平,培养学生的主体意识和合作意识.

3.在培优补差方面,注意设计问题的层次性,由浅入深,逐步递进,从简单到复杂,逐渐开放,使不同层次的学生都有所收获,有所成功,充分体现新课程“面向全体,让不同的学生在学习上都能得到发展”的思想.

分割全等图形的时候只是展示的学生的成果,学生的想法及做法没有完全展现.

充分利用多媒体把抽象的全等图形转化成易懂的知识展现给学生.可以多让学生举例说明生活中的全等图形.

随堂练习(教材第94页)

1.解:所有大三角形全等,找所有小三角形全等.找对应边和对应角略.

2.解:因为△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,所以∠E=∠B=30°,∠ACE=∠ACB=85°,∠CAE=180°- 30°- 85°=65°(全等三角形对应角相等).

习题4.5(教材第95页)

知识技能

1.解:全等图形有(1)和(8);(2)和(12);(4)和(9);(5)和(11).

2.解:∠A=∠B,∠D=∠C,∠AOD=∠BOC.

3.解:因为△ABC≌△A'B'C',所以∠C'=∠C=25°,B'C'=BC=6 cm,A'C'=AC=4 cm.

问题解决

4.解:因为AC=0.2 m,所以BC=2AC=0.4 m,所以BD=7BC=2.8 m.

6.解:如图所示,可任选两种.

把下列各图分成若干个全等图形,请在原图上用虚线标出来.

解:如图所示.

【变式训练】

1.把一个正方形划分成四个全等的部分,这个问题对于各位同学来说易如反掌,图(1)和图(2)是小明和小彬的分划图,但请他们将正方形分成五个全等的部分时,他们一时感到为难,你会吗?

解:如图所示.

2.如图所示,把这个“T”形图形分成四个全等的部分,试试看.

解:如图所示.