概率论论文-概率论在生活中的应用

概率论论文

--概率论在生活中的应用

概率论在生活中的应用

【摘要】概率作为数学的一个重要部分，在生活中的应用越来越广，同样也在发挥着越来越广泛的用处。加强数学的应用性，让我们用数学知识和数学的思维方法去看待，分析，解决实际生活问题，在数学活动中获得生活经验，这是当前课程改革的大势所趋。加强应用概率的意识，不仅仅是学习的需要，更是工作生活必不可少的。人类认识到随机现象的存在是很早的，但书上讲的都是理论知识，我们不仅仅要学好理论知识，应用理论来实践才是重中之重。学好概率论，并应用概率知识解决现实问题已是我们必要的一种生活素养。

【关键词】概率论经济生活保险彩票

1. 在求解最大经济利润问题中的应用

如何获得最大利润是商界永远追求的目标,随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。

例 1某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量x (单位:吨) 服从

()300500，

上的均匀分布,每售出1吨该原料,公司可获利1.5千元;若积压1 吨,则公司损失0.5千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?

分析:此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案.

解 设公司组织该货源a 吨,则显然应该有300a 500≤≤,又记y 为在a 吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即

()y g x = ,由题设条件知:

当x a ≥时,则此a 吨货源全部售出,共获利1.5a ；

当x a <时,则售出x 吨(获利1.5x ) 且还有a x -吨积压(获利()0.5a x --) ,所以共获利1.5x

()0.5a x --，由此得

(){1.52 0.5a X a

X a X a x Y g ≥-<==

从而得

()()()()

500

3001

200

x y g x p x dx g x dx E +∞-∞==?? ()5003001120.5 1.5200200

a

a x a dx a dx -+=??

()221

900300200

a -+-=

上述计算表明()y E 是a 的二次函数,用通常求极值的方法可以求得,450a =吨时,

能够使得期望的利润达到最大。

2.大数定律在保险业的应用

保险业是根据大数定律的法则，集中众多企业或者个人的风险，建立抵御风险的社会

机制。但是保险业的产生不仅仅是为了避险，当然也有利润这只无形的手的驱使，有利润才能保证保险业真正的发展下去，壮大起来。同时大数定律不仅仅用于计算保险公司避险需要的客户数，也需要用来计算产生的利润的合理范围。为了抵御风险，保险公司需要大数目的客户，那么这些企业或者个人是如何愿意自己交出保险费投保的呢？其实这也是企业或者个人为了自己的利益着想，不但是避险，也是一种投资，这就是保险业能够产生发展的一个基础。

例如某企业有资金Z 单位，而接受保险的事件具有风险，当风险发生时遭受的经济损失为

1Z 个单位，那么在理性预期的条件下，该企业只能投入的资金1Z Z -单位。假设企业

投入资金与所得利润之间的函数关系为()

f Z ，显然有

()()

f Z f Z K --，当

1K Z =时为

预期风险条件下利润损失额。当

()()0

f Z f Z K --≥时，企业就需要有避险的需求，且

随差额的增大而增大。这就是企业的避险需求，也是保险业产生的基础。

具有同种类风险，且风险的发生相互独立的众多企业，当风险发生的时候，需要一定的经济补偿，以使损失最小或得以继续某项生产活动，在这里看来，风险的发生，在整体上看是必然的，但从局部看，是随机的，所以这种补偿在风险没有发生时是一种预期。

假设这种随机现象为

(1,2,....,)i X i n =，则i X 的概率分布为：

上表中，P 为风险发生的概率，1Z 为风险发生时企业的损失额。那么知道该事件的数

学期望为

()1i E X Z P

=。

根据契贝晓夫大数定律，当

1Z 有限时，0ε?>，

111lim 0n

i n i P X

Z P n ε→∞

=??-≥= ???∑.

0ε?>，上述式子可以表述为：n 个具有某种同类风险，且风险的发生是相互独立的，

当风险发生时预计得到补偿的平均值与其各自的期望值之差，可以像事先约定的那样小，以

致在企业生产过程中可以忽略不计。

定理[1]

6 在n 重伯努利实验中，事件A 在每次试验中出言的概率为p ，(01)p <<，

n μ为n 此试验中出现A 的次数，则

2

2lim t

x n P x e dt

-→∞

??<=????。

定理[1]

7 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望

和方差E （X k ）=μ,D (X k )=σ2≠0(k =1,2,…).则随机变量

σ

μ

n n X

X D X E X Y n

k k

n

k k n k k n

k k n -=?

?? ??-=∑∑∑∑====1

111

)

(

的分布函数F n （x ）对于任意x 满足

?∑∞--=∞→∞→=??

??

???

???????≤-=x t n k k n n n t x n n X P x F .

21lim )(lim 212d e πσμ

根据上述中心极限定理，由事先约定的0β>，则

11121n i i P X Z P n εβ=?????-≥≈-Φ≤ ? ? ??????∑

这样，由事先给定的P εβ、、确定出参加某种风险保障的企业最小数目n.

例如：当=0.01

=0.0012P ε、，则当约定=0.001β时，一定有n 130≥,也就是说当n 130≥时，上述的结果成立。

依据上述结果，从两个方面来看，

从微观上看，因为01P <<,则1

1Z PZ >，由前面说的企业是看利润递增的原则，显

然有

()()

11f Z Z f Z PZ -<-。此时企业产生参加社会保险的动机，也就是企业参加社会

保险比自保更有利。

从宏观上看，如果有n 个具有同类风险的企业存在且都实行自保，显然在理性预期的条件下，为抵御风险而失去的利润总额为

()()()

111

n

i i i D f Z f Z Z ==--∑。

其中

()

i f Z 表示第i 个企业的利润函数（i=1,2,…..n ）.

而这n 企业全部参加社会保险后，为了抵御风险而失去的利润总额为

()()()

211

n

i i i D f Z f Z PZ ==--∑。

则由于参加社会保险而产生的社会总效益为：

()()()

12111

n

n i i i D D D f Z PZ f Z Z ==-=---∑

由于

()()

11

f Z Z f Z PZ

-<-

，i=1,2,……n.

所以此效益随着n的增大而增大。[3]

综上所述，企业参加社会保险的动机便是在于参加社保比自保更加的有利，利润的驱使，这也是企业参加保险的重要动机，因此保险业这个行业以存在和发展，也发展了众多的保险公司。

保险公司同样也需要评估是否可保的问题，上面的叙述可以得知，可保的条件有：

1、风险事故造成的损失应当是可以估计的。

2、有大量独立的同质风险单位存在，即是各风险单位遭遇风险事故造成损失的概率和损失规模大致相近，同时各风险单位要相互独立，相互的发生不会产生影响。这些都是大数定律的基本要求。

3.概率论在彩票活动中的应用

据钱江晚报报道，彩票市场越来越火爆，据了解，南京某一期电脑福利彩票有一懂概率统计的彩民一个人中1个一等奖、3个二等奖、33个三等奖，有一期彩票有9注号码中一等奖，从而引发了无数彩民自己预测号码的愿望，概率统计方面的书籍也一下子走俏，许多平时见到符号就头疼的彩民也捧起概率书兴趣盎然地啃起来。

东南大学经管院陈建波博士指出，概率书上讲的都是理论知识，一大堆数学计算公式，如何把概率书的理论运用到彩票选号中来，才是许多彩民关心的问题。实际上，概率统计学主要有两个方面的应用：一个方面是利用概率公式计算各种数字号码出现的概率值，然后选择最大概率值数字进行选号。举一个简单的例子，类似“1234567”七个数一直连续的彩票号码与非一直连续的号码出现的概率比例为：29：6724491（1：230000）左右，由于出现的概率值极低，因此一般不选这种连续号码。另一方面的应用是统计，即把以前所有中奖号码进行统计，根据统计得到的概率值来预测新的中奖号码，例如五区间选号法，就是根据统计进行选号的。南京的“专业”彩民则介绍一条选号规则——逆向选号法。从摇奖机的构造角度来说，它要保证每个数字中奖的概率都一样。虽然摇一次奖无法保证，摇100次奖也无法保证，但摇奖的次数越多，各个数字中奖的次数也必定越趋于平均。就像扔硬币，一开始就扔几次可能正反面出现的次数不一样，但随着扔的次数的增加，正反面出现的次数就会越来越接近。从这个角度考虑，在选号时就应该尽量选择前几次没中过奖的数字。这就是逆向选号法，即选择上一次或前几次没中奖的数字……这也说明了概率的无所不在。

但由于传统的数学教育属于知识传授型，比较注重课程各自的系统性、独立性和方法的应用，人为地割裂了数学理论和教学方法与现实世界的联系，不注意我们学生对数学方法产生的背景和思想的理解，使我们不善于利用所学到的数学知识、数学方法分析解决实际问

题，只是生搬硬套，而真正在实际中有重要应用的值的数理统计部分往往被轻视，使得有些人在学完这门课之后只知道几个抽象的分布，甚至连最简单的数据处理方法都不会应用．而基于概率统计在我们的生活中几乎无处不在，学好概率尤其是能够将学习的概率统计应用与实践中对我们确实是较困难而又受益非浅的事啊。

【参考文献】

【1】刘桂莲.论概率和数理统计在企业风险分析中的应用[J].商丘职业技术学院学报,2005 ,4.

【2】孙玉芬.概率统计在商品生产和销售中的一些应用[J].保山师专学报,2003 ,22.

【3】薛蓓蕾.人身保险中的数学计算[J].哈尔滨高等专科学校学报.1999.

【4】王东红.大数定律和中心极限定理在保险业中的应用[J].数学的实践和认识.2005.35.

【5】何英凯.大数定律与保险财政稳定性研究[J].税务与经济.2007.4.

【6】王勇.概率论与数理统计.高等教育出版社.2007.