【新】七年级 数学 人教版 单项式和多项式讲义(知识点+练习题)【精编版】

单项式和多项式

☆☆☆知识讲解

1、代数式：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数、表示数的字母连结而成的式子叫做代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。

说明：代数式书写时需注意：

（1）数与字母、字母与字母相乘时乘号省略不写，数字要写在字母前面，如1

2

ab ； （2）数字因数是1或－1时，“1”省略不写，如－mn ； （3）带分数与字母相乘时要化成假分数，如：ab 211要写成ab 2

3

的形式； （4）除号要改写成分数线，如：a ÷b 要写成

b

a ； （5）书写单位时要把代数式用括号括起来，如（1

2

ab ＋2R π）平方米。

2、单项式：只含有数字或字母的乘积的式子叫做单项式．

①定义中的“积”是对数与字母而言的，只能是乘法或乘方运算，而不能是加、减、除等其他运算. 如ab 2＋2，

32y x -，m

n

2等都不是单项式. ②单独的一个数或一个字母也是单项式.

（1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

（2）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项数的次数．

3、多项式：几个单项式的和叫做多项式.

（1）多项式的项：是指在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．

多项式的项包括它前面的性质符号。

（2）多项式的项数：一个多项式中有几个单项式就有几项，这个多项式就叫几项式。 （3）常数项：在多项式中，不含有字母的项叫做多项式的常数项。

（4）多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.

（5）降（升）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降（升）幂排列．

4、整式：单项式与多项式统称为整式. 注意：分母中含有字母的代数式是分式

例题剖析

1. 对单项式、多项式、整式进行判断

例1 判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式．

(1)－3xy 2；

(2)2x 3＋1；

(3)

21

(x ＋y ＋1)； (4)－a 2； (5)0；

(6)

y

x 2； (7)

3

2xy

； (8)

x

21；

(9)x 2＋

x 1－1； (10)1

1+x ；

2、单项式、多项式的次数和项

例2 指出下列各单项式的系数与次数：

（1）;832ab （2）-mn 3; （3）3

43

2y x π （4）－3；

例3 填空：

（1）多项式2x 4-3x 5-2π4是

次

项式，最高次项的系数是

，四次项的系

数是

，常数项是

，补足缺项后按字母x 升幂排列得

；

（2）多项式a 3-3ab 2 +3a 2b-b 3是

次

项式，它的各项的次数都是

，按字母b 降幂排列得

.

典型例题

例1、 用代数式表示：一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，则这个两位数可表示为___________。

【变式练习】用代数式表示

（1）a 的2倍与b 的一半之和的平方，减去a 、b 两数平方和的2倍。 （2）314

与x 的积与3除y 的商的和。

例2、指出下列多项式的项和次数：

(1)3x －1＋3x 2； (2)4x 3＋2x －2y 2。

【变式练习】给出多项式6a 2b 2－3ab ＋4a 4b －8b 5＋7a 3，分别回答下列问题： （1）是几项式？ （2）是几次式？

（3）字母a 的最高次数是多少？ （4）字母b 的最高次数是多少？ （5）把多项式按a 的降幂重新排列 （6）把多项式按b 的降幂重新排列。

例3、如果3

32--n y

x a 是关于x,y 的单项式，且系数为-7

4

，次数10，求a,n 的值。

【变式练习】已知代数式3x n －(m －1)x ＋1是关于x 的三次二项式，求m 、n 的条件。

例4、用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖____________块（用含n 的代数式表示）．

【变式练习】用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律．拼成若干个图案：

(1)第4个图案中有白色地面砖 块； (2)第n 个图案中有白色地面砖 块．

（1） （2） （3）

思维误区

误区一、单项式系数判断错误

例1、（1）单项式3x 4

10?的系数是 ； （2）-πr 2

h 的系数是

（3）4

y 3-2x 的系数是 ；

误区二、单项式与多项式的次数判断错误 例2、填空（1）单项式y 33

2

x 的次数是 （2）多项式1xy 2y 42

++x 是 次三项式。

方法规律

知识方法

关键

1、单项式：数或者字母的乘积叫单项式；数字因数是单项式的系数，所有字母的指数和是单项式的次数

不含加减运算，系数也包括前面的符号，不含系数中的指数；π是常数 2、多项式：几个单项式的和叫多项式

一个多项式含有几个单项式该多项式就有几项 多项式的次数是多项式次数最高的项的次数决定的

代数和、每项包含它的符号；次数不是所有项的次数

3、整式：单项式和多项式的和称为整式

分母不含字母

课堂巩固练习 一、选择题

1、在下列代数式：

x

y x abc ab 3

,,0,32,4,3---中，单项式有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 2、在下列代数式：

21ab ，2b a +，ab 2+b+1，x 3+y

2，x 3+ x 2－3中，多项式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、 下列代数式中，不是整式的是（ ）

A.a

b

a +2 B.41+a C.0 D.π

b a 2

4、下列说法正确的是( )

A ．x 的指数是0

B ．x 的系数是0

C ．－10是一次单项式

D ．－10是单项式 5、多项式－23m 2

－n 2是（ ）

A ．二次二项式

B ．三次二项式

C ．四次二项式

D 五次二项式 6、在多项式x 3－xy 2＋25中，最高次项是( )

A ．x 3

B ．x 3，xy 2

C ．x 3，－xy 2

D ．25

7、如果2－（m ＋1）a ＋a n -3是关于a 的二次三项式，那么m ，n 应满足的条件是（ ）

A ．m ＝1，n ＝5

B ．m ≠1，n ＞3

C ．m ≠－1，n 为大于3的整数

D ．m ≠－1，n ＝5

8．x 减去y 的平方的差，用代数式表示正确的是（ ）

A 、2

)(y x - B 、2

2

y x -

C 、y x -2

D 、2

y x -

9、如果一个多项式是五次多项式，那么（ ）

A ．这个多项式最多有六项；

B ．这个多项式只能有一项的次数是六；

C ．这个多项式一定是五次六项式；

D ．这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数是五. 10、在含盐30％的盐水x 千克中，注入20%的盐水y 千克，此时盐水中含盐（ ）． A 、)(y x +千克 B 、)(y x -千克 C 、)2.03.0(y x +千克 D 、]2.0)3.0[(?+y x 千克

二、填空题

11、单项式－

3

1x 2

的系数是__________，次数是__________． 12、多项式34232-+x x 是________次________项式，常数项是________； 13、多项式

1(2)72

m

x m x -++是关于x 的二次三项式，则m= ______． 14、五次单项式2(3)k

k

x y -的系数为

15、多项式5x 3－xy 2＋1－y 按字母y 的降幂排列是___________ _． 16、某商品先提价20%，后又降价20％出售，已知现价为a 元，则原价为 元．

三、解答题

17、把下列各代数式填入相应的大括号

7x -，13x ，23314,,5,,,,,373x y ab y x a x +-+π 231

1,,8,121

x m x a x m -++-+

单项式集合：｛ ｝ 多项式集合：｛ ｝ 整式集合： ｛ ｝

18、如果单项式3a 2b 4

3-m 的次数与单项式

3

1x 3y 2z 2

的次数相同，试求m 的值。

19、已知多项式，453121

225x

y x y x y m +--，

（1）求多项式中各项的系数和次数。 （2）若多项式是八次三项式，求m 的值。

20、小红和小兰房间窗户的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径分别相同）.

（1）窗户中能射进阳光的部分的面积分别是多少？（窗框面积忽略不计）

（2）你能指出其中的单项式或多项式吗？它们的次数分别是多少？

林汉填第6讲课后作业（时间：60分钟，满分：76分）

一、选择题（21分）

1、下列说法正确的是（ ）

A ．3 x 2

―2x+5的项是3x 2

，2x ，5 B ．

3x －3

y 与2 x 2

―2x y －5都是多项式 C ．多项式－2x 2

+4x y 的次数是3

D ．一个多项式的次数是6，则这个多项式中只有一项的次数是6

2、如果一个多项式的各项的次数都相同，则称该多项式为齐次多项式．例如：x 3+2xy 2+2xyz+y 3是3次齐次多项式．若x m+2y 2+3xy 3z 2是齐次多项式，则m 等于（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3、随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为（ ）

A 、元)54

(m n + B 、元)4

5(m n + C 、元)5(n m + D 、元)5(m n + 4、若多项式x x a x a a +-+-)1()1(3

，是关于x 的一次多项式，则a 的值为（ ）． A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、不能确定

5、a 是一个三位数，b 是一个两位数，若把b 放在a 的左边，组成一个五位数，则这个五位数为（ ）． A 、a b + B 、a b +10 C 、a b +100 D 、a b +1000

6、现规定一种运算：a *b ＝ab ＋a －b ，其中a ，b 为有理数，则3*5的值为（ ）

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14

7、二次三项式c bx ax ++2为关于x 的一次单项式的条件是（ ） A ．a ≠0，b=0，c=0 B ．a=0，b ≠0，c=0 C ．a=0，b=0，c ≠0

D ．a=0，b=0，c=0

二、填空题（15分）

1、从甲地到乙地时速度为1u 千米／时，返回时速度为2u 千米／时，那么其平均速度为_____千米/时．

2、x 克浓度为40％的盐水中有盐_____克，水_____克．

3、若某三位数的个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c ，则这个三位数为_____．

4、如果mx n y 是关于x ，y 的一个单项式，且系数是9，次数是4，那么多项式mx 4-ny m-n 是______次式．

5、已知单项式2x m+1是一次单项式，多项式3x n-1-x 3-7是四次式，则代数式1-n 2-m 2004的值为________．

三、解答题（每题10分，共40分）

1、已知5323++?xy y

x n

m

为四次多项式，求整数n m 、的值．

2．观察下列单项式：-x ，3x 2，-5x 3，7x 4，…，-37x 19，39x 20，…写出第n 个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路：

（1）这组单项式的系数的符号规律是____________，系数的绝对值规律是__________________； （2）这组单项式的次数的规律是；_________________

（3）根据上面的归纳，可以猜想第n 个单项式是（只能填写一个代数式）_________________； （4）请你根据猜想，写出第2008个、第2009个单项式，它们分别是___________，____________．

3、如图，在长方形ABCD 中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积.

4、按下图方式摆放餐桌和椅子：

（1）1张餐桌可坐4人，2张餐桌可坐 人. （2）按照上图的方式继续排列餐桌，完成下表.

桌子张数 3 4 n

可坐人数

林汉填第6讲易错回顾

2、数轴上，原点及原点右边的点所表示的数是（ ）

A 正数

B 负数

C 非正数

D 非负数

3、若0

a

的值（ ）

A 是正数

B 是负数

C 是非正数

D 是非负数 三、计算（每小题5分，共30分）

)9()5()91()49(-+--+--

1、（8分）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“＜”连接起来。

3.5，-2，-1.5，0，3

2

-，212。

2、（8分）若

0)2

3(22

=++-y x ，求x y 的值是多少？

3、（8分）已知a 、b 互为相反数，且c 、d 互为倒数，又m 的倒数等于它本身，则m m b a m

cd

-++)(的值是多少？

4、（12分）某检修站，工人乘一辆汽车沿东西方向的公路检修线路，约定向东为正，向西为负，从A 地出发到收工时，行走记录为（单位：千米）：15，-2，+5，-1，+10，-3，-2，+12，+4，-5，+6。

（1）计算收工时，工人在A 地的哪一边，距A 地多远？

（2）若每千米汽车耗油0.1升，求出发到收工时共耗油多少升？