常微分方程在数学建模中的应用

常微分方程在数学建模中的应用

这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型

由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.

例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.

解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段内,人口的增长量为

t t rN t N t t N ?=-?+)()()(,

并设0t t =时刻的人口为0N ,于是

?????==．

，

00)(d d N t N rN t N

这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为

)(00e )(t t r N t N -=,

此式表明人口以指数规律随时间无限增长.

模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为9

1006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是

)

1961(02.09

e

1006.3)(-?=t t N .

这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人

口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）．

但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.

例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地

球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.

1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于???

?

??-

m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.

解 由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为

??

???=???? ??-=，，000)(1d d N t N N N N r t N

上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,

)

(00e

11)(t t r m m

N N N t N --???

? ??-+=

.

下面,我们对模型作一简要分析.

（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值m N ； （2）当m N N <<0时,01d d >???

? ??-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；

（3）由于N N N N N r t N m m ???? ??-???? ??-=211d d 222,所以当2m N N <时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 2

2

N

,t N d d 单减,即人口增长率t N d d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早

会达到零,这是减速生长期；

（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, m N 的值也就越大；

(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数

为9

1006.3?时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得

????

?

?-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ???

?

?

??-=m N 9

1006.31029.002.0, 从而得 91086.9?=m N ,

即世界人口总数极限值近100亿.

值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用.

二、市场价格模型

对于纯粹的市场经济来说,商品市场价格取决于市场供需之间的关系,市场价格能促使商品的供给与需求相等(这样的价格称为(静态)均衡价格).也就是说,如果不考虑商品价格形成的动态过程,那么商品的市场价格应能保证市场的供需平衡,但是,实际的市场价格不会恰好等于均衡价格,而且价格也不会是静态的,应是随时间不断变化的动态过程.

例3 试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型

解 假设在某一时刻t ,商品的价格为)(t p ,它与该商品的均衡价格间有差别,此时,存在供需差,此供需差促使价格变动.对新的价格,又有新的供需差,如此不断调节,就构成市场价格形成的动态过程,假设价格)(t p 的变化率

t

p

d d 与需求和供给之差成正比,并记),(r p f 为需求函数,)(p g 为供给函数（r 为参数）,于是

()()[]??

???=-=，，

0)0(,d d p p p g r p f t

p

α 其中0p 为商品在0=t 时刻的价格,α为正常数.

若设b ap r p f +-=),(,d cp p g +=)(,则上式变为

??

???=-++-=，，0)0()()(d d p p d b p c a t p

αα ① 其中d c b a ,,,均为正常数,其解为

c

a d

b c a d b p t p t c a +-+??? ??

+--

=+-)(0e

)(α.

下面对所得结果进行讨论:

（1）设p 为静态均衡价格 ,则其应满足

0)(),(=-p g r p f ,

即

d p c b p a +=+-,

于是得c

a d

b p +-=

,从而价格函数)(t p 可写为 p p p t p t c a +-=+-)(0e )()(α , 令+∞→t ,取极限得

p t p t =+∞

→)(lim

这说明,市场价格逐步趋于均衡价格.又若初始价格p p =0,则动态价格就维持在均衡价格

p 上,整个动态过程就化为静态过程；

（2）由于

t c a c a p p t

p

)(0e )()(d d +-+-=αα , 所以,当p p >0时,

0d d t

p ,)(t p 单调增加向p 靠拢.这说明：初始价格高于均衡价格时,动态价格就要逐步降低,且逐步靠近均衡价格;否则,动态价格就要逐步升高.因此,式①在一定程度上反映了价格影响需求与供给,而需求与供给反过来又影响价格的动态过程,并指出了动态价格逐步向均衡价格靠拢的变化趋

势.

三、混合溶液的数学模型 例 4 设一容器内原有100L 盐,内含有盐10kg,现以3L/min 的速度注入质量浓度为0.01kg/L 的淡盐水,同时以2L/min 的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.

解 设t 时刻容器内的盐量为)(t x kg,考虑t 到t t d +时间内容器中盐的变化情况,在dt 时间内

容器中盐的改变量=注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量

容器内盐的改变量为x d ,注入的盐水中所含盐量为t d 301.0?,t 时刻容器内溶液的质量浓度为

t

t x )23(100)

(-+,假设t 到t t d +时间内容器内溶液的质量浓度不变（事实上,容器内

的溶液质量浓度时刻在变,由于t d 时间很短,可以这样看）.于是抽出的盐水中所含盐量为

t t

t x d 2)23(100)

(-+,这样即可列出方程

t t

x

t x d 1002d 03.0d +-

=,

即

t

x t x +-=100203.0d d . 又因为0=t 时,容器内有盐10kg,于是得该问题的数学模型为

d 20.03d 100(0)10x x t t

x ?+=?+??

??=?

，, 这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为

2

4

)

100(109)100(01.0)(t t t x +?++=. 下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:t 时刻容器内溶液的质量浓度为

3

4

)100(10901.0100)()(t t t x t p +?+

=+=, 且当+∞→t 时,01.0)(→t p ,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.

溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量1V 注入质量浓度为1C 的溶液 （指同一种类溶液,只是质量浓度不同）,假定溶液立即被搅匀,并以

2V 的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.

首先设容器中溶质的质量为)(t x ,原来的初始质量为0x ,t =0时溶液的体积为2V ,在d t 时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即

t V C t V C x d d d 2211-=,

其中1C 是流入溶液的质量浓度, 2C 为t 时刻容器中溶液的质量浓度,，t

V V V x

C )(2102-+=

于是,有混合溶液的数学模型

11220d d (0)x

C V C V t

x x ?=-???=?

，

． 该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.

四、振动模型

振动是生活与工程中的常见现象.研究振动规律有着极其重要的意义.在自然界中,许多振动现象都可以抽象为下述振动问题.

例5 设有一个弹簧,它的上端固定,下端挂一个质量为m 的物体,试研究其振动规律. 解 假设（1）物体的平衡位置位于坐标原点,并取x 轴的正向铅直向下（见图4）.物体的平衡位置指物体处于静止状态时的位置.此时,作用在物体上的重力与弹性力大小相等,方向相反；（2）在一定的初始位移0x 及初始速度0v 下,物体离开平衡位置,并在平衡位置附近作没有摇摆的上下振动；（3）物体在t 时刻的位置坐标为)(t x x =,即t 时刻物体偏离平衡位置的位移；（4）在振动过程中,受阻力作用.阻力的大小与物体速度成正比,阻力的方向总是与速度方向相反,因此阻力为t

x

h

d d -,h 为阻尼系数；（5）当质点有位移)(t x 时,假设所受的弹簧恢复力是与位移成正比的,而恢复力的方向总是指向平衡位置,也就是总与偏离平衡位置的位移方向相反,因此所受弹簧恢复力为kx -,其中k 为劲度系数；（6）在振动过程中受外力)(t f 的作用.在上述假设下,根据牛顿第二定律得

)(d d d d 22x f kx t x

h t

x m +--= , ①

这就是该物体的强迫振动方程.

由于方程①中, )(t f 的具体形式没有给出,所以,不能对式 ①直接求解.下面我们分四种情形对其进行讨论.

1. 无阻尼自由振动

在这种情况下,假定物体在振动过程中,既无阻力、又不受外力 作用.此时方程①变为

0d d 22=+kx t

x

m ,

令

2ω=m

k

,方程变为 0d d 2

22=+x t

x ω,

特征方程为 02

2

=+ωλ, 特征根为

ωλi 2,1±=,

通解为 t C t C x ωωcos sin 21+=,

或将其写为

???? ?

?++

++=t C C C t C C C C C x ωωcos sin 22

212

2

2211

22

2

1

图4

()t t A ω?ω?cos sin sin cos +=

，

)

sin(?ω+=t A 其中 2

221C C A +=

,22

2

1

2sin C

C C +=

?,22

21

1cos C

C C +=

?.

这就是说,无阻尼自由振动的振幅2

221C C A +=,频率m

k

=

ω均为常数. 2.有阻尼自由振动

在该种情况下,考虑物体所受到的阻力,不考虑物体所受的外力.此时,方程①变为

0d d d d 22=++kx t x

h t

x m ,

令

2ω=m k ,δ2=m

h

,方程变为 0d d 2d d 222=++x t x

t

x ωδ, 特征方程为022

2=++ωδλλ,特征根 2

2

2,1ωδδλ-±-=.根据δ与ω的关系,又分

为如下三种情形：

(1)大阻尼情形, δ>ω.特征根为二不等实根,通解为

t

t

C C x )(2)(12222e

e ωδδωδδ-+--+-+=

(2)临界阻尼情形,ωδ=.特征根为重根,通解为

t

t C C x δ-+=e

)(21

这两种情形,由于阻尼比较大,都不发生振动.当有一初始扰动以后,质点慢慢回到平衡

位置,位移随时间t 的变化规律分别如图5和图6所示.

图5 图6

(3)小阻尼情形,δ<ω.特征根为共轭复根,通解为

)sin C sin

C (e 222221t t x t δωδωδ-+-=- 将其简化为

)sin(

e 22?δωδ+-=-t A x t

其中,cos ,sin ,2

2

2

112

2

2

122221C C C C C C C C A ++=

+=?

?振幅A t

δ-e 随时间t 的增加而

减小.因此,这是一种衰减振动.位移随时间t 的变化规律见图7.

3.无阻尼强迫振动

在这种情形下,设物体不受阻力作用,其所受外力为简谐力pt m t f sin )(=,此时,方程①化为

pt m kx t x

m sin d d 22=+,

pt x t

x sin d d 2

22=+ω, 根据p i 是否等于特征根ωi ,其通解分为如下两种情形：

（1）当ω≠p 时,其通解为 图7

t C t C pt p

x ωωωcos sin sin 1

212

2++-=

, 此时,特解的振幅

2

21

p -ω为常数,但当p 接近于ω时,将会导致振幅增大,发生类似共振的

现象；

（2）当ω=p 时,其通解为

t C t C pt t p

x ωωcos sin cos 21

21++-

=, 此时,特解的振幅

t p

21

随时间t 的增加而增大,这种现象称为共振,即当外力的频率p 等于物体的固有频率ω时,将发生共振.

4.阻尼强迫振动

在这种情形下,假定振动物体既受阻力作用,又受外力pt m x f sin )(=的作用,并设

ωδ<,方程①变为

pt x t x

t

x sin d d 2d d 222=++ωδ ,

特征根0,i 22≠-±-=δδωδλ,则p i 不可能为特征根,特解为

pt B pt A x cos sin *+=,

其中2

22222

24)(p p p A δωω+--=

,2

22224)(2p

p p

B δωδ+--=

, 还可将其化为

*22

22222

1[()sin 2cos ]()4x w p pt p pt w p p

δδ=

---+, 由此可见,在有阻尼的情况下,将不会发生共振现象,不过,当ω=p 时,

pt p

x cos 21

*δ-

=, 若δ很小,则仍会有较大的振幅；若δ比较大,则不会有较大的振幅.