相似三角形讲义

相似三角形

知识点1 相似图形

形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 知识点2 比例线段的相关概念

如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是n

m

b a =，或写成n m b a ::=． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．

在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注意：

(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．

(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a

d

c b =．

例题

⒈若AB=1m ，CD=25cm ，则AB ∶CD= ；若线段AB=m, CD=n ， 则AB ∶CD= .

⒉若MN ∶PQ=4∶7，则PQ ∶MN= ， MN= PQ ， PQ= MN 。

知识点3 比例的性质 基本性质：

(1)bc ad d c b a =?=::； (2)b a c b c c a ?=?=2::． 注意：

由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除 了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． 更比性质(交换比例的内项或外项)：

()()()a b

c d a c d c b d b a

d b

c a ?=??

?=?=???=??

，

交换内项，交换外项．

同时交换内外项

反比性质(把比的前项、后项交换)：

c

d a b d c b a =?=． 合比性质：

d

d c b b a d c b a ±=±?=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间

发生同样和差变化比例仍成立．如：???????+-=+--=-?=d

c d c b a b a c

c

d a a b d c b a 等等．

等比性质：

如果)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么

b a

n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：

(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．

(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立． 例题

1若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中a=5㎝，b=7㎝，c=4㎝，则,d= ． 2若a ·b=c ·d 则有a ∶d= ；若m ∶x=n ∶y, 则x ∶y= . 3已知4x －5y=0，则（x ＋y ）∶（x －y ）的值为 ．

4若x ∶y ∶z=2∶7∶5，且x －2y ＋3z=6，则x= ，y= ，z= ；

5设x 3 =y 5 =z 7 ，则x+y y =__ _，y+3z 3y-2z

=__ __.

；其中032≠+-f d b ．

知识点4 比例线段的有关定理

平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：

(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． (2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．

定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点5 黄金分割

把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段

AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2

1

5-=

≈0.618AB ．例题 1已知点C 是线段AB 的黄金分割点,且AC>BC,则AC ∶AB= .

知识点6 相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．

相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意：

①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．

④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．

知识点7 相似三角形的基本定理

定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似．

定理的基本图形：

用数学语言表述是： BC DE // ，

ADE ?∴∽ABC ?．

知识点8 相似三角形的等价关系

(1)对称性：若ABC ?∽'''C B A ?，则'''C B A ?∽ABC ?．

(2)传递性：若ABC ?∽C B A '?''，且C B A '?''∽C B A ''''''?，则ABC ?∽C B A ''''''?． 知识点9 三角形相似的判定方法

1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．

6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对

应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．

直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。

证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2，

即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。

这就是勾股定理的结论。

例题1如图1，D 、E 是ΔABC 的边 AB 、AC 上的点, DE 与 BC 不平行,

请填上一个你认为合适的条件: 使得ΔADE ∽ΔACB. 2.已知：ΔABC , P 是边 AB 上的一点,连结 CP.(如图2) (1)当∠ACP 满足 条件时,ΔACP ∽ΔABC. (2)当 AC ∶AP= 时, ΔACP ∽ΔABC

3在ΔABC 和ΔA ′B ′C ′中, ∠A=∠A ′= 40°∠B = 80°∠B ′= 60°则ΔABC 和ΔA ′B ′C ′ 。(填“相似”与“不相似”)

知识点10 相似三角形性质

(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．

(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．

(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．

(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．

例题1.在如图3的ΔABC 中,DE ∥BC, 且 AD= 3

2

BD,

DE = 4cm , 则BC = 。 2．如图4在ΔABC 中, DE ∥BC, BC = 6cm ，

S ΔADE ∶S ΔABC =1∶4 , 则DE 的长为 。 3.两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为 36cm ， 则另一个三角形的周长是 ．

知识点11 相似多边形

如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比(相似系数)．

知识点12 相似多边形的性质

(1)相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比．

(2)相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．

(3)相似多边形面积比等于相似比的平方．

注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．

例题1 把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到倍，其面积扩大到倍．知识点13与位似图形有关的概念

1. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个

图形叫做位似图形.

2. 这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

拓展：

（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.

（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.

（3）位似图形的对应边互相平行或共线.

知识点14 位似图形的性质

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 拓展：位似图形有许多性质，它具有相似图形的所有性质.

知识点15 画位似图形

1. 画位似图形的一般步骤：

（1）确定位似中心

（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.

（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.

（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.

2. 位似中心的选取：

（1）位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外.

（2）位似中心可取在多边形的一条边上.

（3）位似中心可取在多边形的某一顶点上.

说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小.

知识点16 相似三角形常见的图形

（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC

（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；

（3）满足

1、AC=AD·AB，

2、∠ACD=∠B，

3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．

（

4）当

AD AE

或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．

（3）（4）

练习题

1、

如图1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.

2.如图2,AD∥EF∥BC,则图的相似三角形共有_____对.

3.如图3,正方形ABCD中,E是AD的中点,BM⊥CE,AB=6,CE=35,则BM=______.

4.ΔABC的三边长为2,10,2,ΔA'B'C'的两边为1和5,若ΔABC∽ΔA'B'C',则ΔA'B'C'的笫三边长为________.

5.两个相似三角形的面积之比为1∶5,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_____.

6.如图4,RtΔABC中,∠C=900,D为AB的中点,DE⊥AB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为__________.

7.如图5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.

8.如图6,矩形ABCD 中,AB=8,AD=6,EF 垂直平分BD,则EF=_________.

9.如图7,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=

,S ΔBCD ∶S ΔABC =2∶3,则CD=______.

10.如图8,梯形ABCD 中,AD ∥BC,两腰BA 与CD 的延长线相交于P,PF ⊥BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=_____.

11.如图9,ΔABC 中,DE ∥BC,AD ∶DB=2∶3,则S ΔADE ∶S ΔABE =___________.

12.如图10,正方形ABCD 内接于等腰ΔPQR,∠P=900,则PA ∶AQ=__________. 13.如图11,ΔABC 中,DE ∥FG ∥BC,AD ∶DF ∶FB=1∶2∶3,

则S 四边形DFGE ∶S 四边形FBCG =_________.

14.如图12,ΔABC 中,中线BD 与CE 相交于O 点,S ΔADE =1,则S 四边形BCDE-=________.

15.已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证:ΔAEF ∽ΔACB.

16.已知:如图,ΔABC 中,∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC. 求证:AB·BC=AC·CD.

17.已知：ΔACB 为等腰直角三角形，∠ACB=900 延长BA 至E ，延长AB 至F ，∠ECF=1350。 求证：ΔEAC ∽ΔCBF

18．已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC ∽ΔEAD.

19．已知:如图,CE 是RtΔABC 的斜边AB 上的高,BG ⊥AP 。

求证:(1)CE 2=AE·EB ; (2) AE·EB=ED·EP

20已知，如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，且AD=AC ，DE ⊥BC ，

DE 与AB 相交于点E ，?EC 与AD 相交于点F ． （1）求证：△ABC ∽△FCD ；

（2）若S △FCD =5，BC=10，求DE 的长。