索罗模型

索洛经济增长模型

一、问题的提出

1.什么因素决定了经济增长？

2.经济增长的一般趋势是什么？

3.为什么国家或地区之间存在着收入差异？

4.穷国能否赶上富国？

二、生产函数

1.投入与产出的函数形式

A

t

t

K

t

F

Y

L

(

))

)(

),

(

(

)(t

其中，Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为知识或劳动的有效性，t表示时间

注意：AL为有效劳动，此种形式的技术进步为“劳动增进型”或“哈罗德中性”

思考：如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中性），结果会有何不同？[只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在相一致]

2.生产函数的特性假设

（1）规模报酬不变：

F(cK,cAL)=cF(K,AL)，对于c ≥0

含义：经济足够大，专业化收益被穷尽；其他投入品（如自然资源）相对不重要

令c=1/AL,则),(1

)1,(AL K F AL

AL K F =

令有效劳动的人均资本k=K/AL ，有效劳动人均产量y=Y/AL ，则y=f(k),总产量Y=ALf(k)

（2）边际产品递减：

f(k)满足f(0)=0,f’(k)>0,f”(k)<0，f’(k)是资本的边际产品 【证明】

Y=ALf(k)两边分别对K 、L 求导数：

资本的边际产品为：)('1

)('k f AL

k ALf K Y ==??

有效劳动的边际产品为：

)(')(])

()[(')()(2

k kf k f AL K

k ALf k f AL Y -=-+=?? （3）稻田条件：

∞=→)('lim k f o k ,0)('lim =∞→k f k

一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示

f(k)

k

一个特殊的生产函数：C-D 生产函数

)(),(1AL K AL K F αα-=，10<<α

αα

k AL

K AL K F k f ===)()1,()(

思考：试证明C-D 生产函数满足3个特性假设。

3．生产投入品的变动

假设时间t 是连续的（非离散的）

（1）劳动力的增长：n t L dt t dL t L t L ==?

)(/]/)([)(/)( （2）知识的增长：g t A dt t dA t A t A ==?)(/]/)([)(/)(

其中n 为人口增长率，g 为技术进步率，均为外生参数，表示不变增长速度

思考：L ，A 为何种形式的增长方式？（指数形式增长，证明） （3）资本的增长：)()(]/)([)(t K t sY dK t dK t K δ-==?

其中s 为储蓄率，δ为资本折旧率，均为外生变量

三、平衡增长路径

1．k 的动态学 （1）k(t)的动态方程

已知 )()()

()(t L t A t K t k =, 先做变换，两边取自然对数

)(ln )(ln )(ln )(ln t L t A t K t k --=

对t 求导数，得：)()

()()()()()()(t L t L t A t A t K t K t k t k ?

???--= )()

()

()()()()()()()()()(t k t L t L t k t A t A t L t A t K t K t K t k ?

???

--=

代入，有：g t k n t k t L t A t K t sY t k )()()

()()

()()(---=

?

δ )()()()

()()

(t gk t nk t k t L t A t Y s

---=δ

)()()())((t gk t nk t k t k sf ---=δ )()())((t k g n t k sf δ++-=

)()())(()(t k g n t k sf t k δ++-=?

是索洛模型的基本微分方程，

它表明)(t k ?

是k 的方程。

含义说明：人均实际投资))((t k sf 用于两方面：一是“资本的深化”，即)(t k ?，二是“资本的广化”（“持平投资”），即)()(t k g n δ++。

（2）稳态均衡

定义“稳态”：一种其中各种数量都以不变速度增长的状况，即

)(t k ?

=0。

当))((t k sf >)()(t k g n δ++时，)(t k ?

>0（储蓄大于投资） 当))((t k sf <)()(t k g n δ++时，)(t k ?<0（储蓄小于投资） 当))((*

t k sf =)()(*

t k g n δ++时，)(t k ?=0（储蓄等于投资），即

实际投资与持平投资相等。无论k 从何处开始，它都收敛于k*。

（3）图示： 稳态均衡图示1

)()(t k g n δ++

))((t k f ))((t k sf

k* k

稳态均衡图示2

)(δ++g n

k k sf /)(

k* k

证明：

0')(')(]/)([]/)([2

2<-=--==k F s

k k kf k f s dk k k f d s dk k k sf d AL

稳态均衡图示3（k 的相图）

2.平衡增长路径

当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？

注意：区分各变量（X ）与时间（t ）之间的变化关系，即X(t)、lnX(t)、 [dX(t)/dt]/X(t)。

结论：在索洛模型中，无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数，且是外生决定的。特别是，在该路径上，人均产出的增长率仅取决于技术进步率。

四、非均衡动态与收敛

考察两个非均衡问题：

（1）当经济增长处在非稳态时（k ≠k*时）各变量如何向稳态调整？（如何收敛？）

（2）向稳态调整有多快？（收敛的速度和时间？） 1．非均衡动态

定义k 的增长率)(/)(/δγ++-==?

g n k k sf k k k ， 当))((t k sf >)()(t k g n δ++时，)(t k ?>0； 当))((t k sf <)()(t k g n δ++时，)(t k ?

<0。

非稳态动态图示1

))

k

非稳态动态图示2

)δ++g

这表明k 离k*越远，其增长率（正或负）越大，即0<λk 。（思考：这意味着什么样的理论预测？与现实是否相符？）

接下来，可以证明索洛模型中的其他变量X 的非均衡动态增长率（λX ）与λk 保持比例或线形关系，例如：

λαλλk K k y k f k kf k f k k f y y ====?

?)](/)('[)(/)('/

g n k K ++=λλ

因此，对k 的非均衡动态分析可以同样适用于X ，即0<λX 。 结论（索洛模型的收敛性）：每个经济都收敛于其自身的稳态，而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自身的稳态值越远，其增长率就越快。

2．绝对收敛与相对收敛

对索洛模型的收敛性的实证检验（样本的同质性与异质性），产生绝对收敛与相对收敛的概念。

条件收敛的图示：

)δ++g

k 含义：当穷国人均初始资本存量较小，而富国的储蓄率较高时，富国会比穷国有更高的增长率。因此，一旦控制了稳态的决定的情况下，条件收敛将成立。

3．收敛的速度

考察收敛的速度的意义在于如果收敛的速度很快，就集中研究稳态情况，如果收敛的速度很缓慢，研究动态过程就更有意义。

关键在考察k 以多快的速度趋近k *。

由平衡增长的条件可知：)(k k k =?

，在k=k*处对)(k k ?

作一阶泰勒级数近似，可得：

*))()((

*k k

k k k k k k -??≈=?

?

)(*)(')(*δ++-=

??=?

g n k sf k

k k k k

)(*)

(*)

('*)(δδ++-++=

g n k f k f k g n

)](1*)([δα++-=g n k K

因此*])()[*)]((1[)(k t k g n k t k K -++--≈?

δα

含义：在平衡增长路径上，k 向k*收敛的速度与k 与k*之间的距离成比例。

令*)()(k t k t x -=，“收敛系数”))(1(δαλ++-=g n K ，则)()(t x t x λ-≈?

，所以x 的路径为e x t x t λ-=)0()(（指数增长）

，即： *))0((*)())(1(k k e k t k t g n K -≈-++--δα

可以证明，*))0((*)())(1(y y e y t y t g n K -≈-++--δα。

举例：假设%6=++δg n ，K α=1/3，则%4=λ（表示k 和y 向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初始收入差距）的一半约需18年时间。

证明：5.0=-e t λ，1804.0/2ln /)5.0ln(≈=-=λt

五、黄金分割律、最优消费和黄金率资本存量水平

产出、储蓄和消费的关系：有效劳动的平均消费)()(k sf k f c -= 令c=c*（处在平衡增长路径上），则：*)(*)(*k sf k f c -= 由于))((*t k sf =)()(*t k g n δ++， 所以，*)(*)(*k g n k f c δ++-=

目标为人均消费最大化，令0*/*=??k c ，则

δ++=g n k f gold *)('，即为最优消费的一阶条件，该 *k gold 为黄金

资本存量水平，最优消费*)(*)(*gold gold gold k sf k f c -=，这被称为“黄金分割律”。 图示：

)('k f )(k f

)()(t k g n δ++ c gold

)(k sf

k*gold k

再考虑储蓄率s 变化对消费c*的影响。 由平衡增长路径的稳定条件可知：

),,,(**δg n s k k =，由此*)(*)(*k g n k f c δ++-=两边对s 求导，

有：

s

g n s k g n g n s k f s c ??++-=??)

,,,(*)]

()),,,(*('[*δδδ s g n s k ??),,,(*δ>0,因此s

c ??*

的符号决定于)),,,(*('δg n s k f 与

)(δ++g n 的大小。

当gold k k **<，)),,,(*('δg n s k f >)(δ++g n , s

c ??*

>0 当gold k k **>，)),,,(*('δg n s k f <)(δ++g n ,s

c ??*

<0 因此s 与c*的关系为： c* c gold

s gold s

六、储蓄率变动的影响

下面考察政策控制变量s 的变动的影响，包括： （1） 对稳态均衡的影响；

（2） 两个稳态均衡之间的动态路径；

（3）对长期增长的影响程度；

（4）对长期增长的影响持续时间。

1．储蓄率变化的比较静态均衡

图示1

δ

k

)t

)(

k

图示2

+

+g

)δ

k 2. 储蓄率变化的动态影响

（1）对k的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平。k

t 思考：s与k的动态变化有何不同？

（2）对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长速度。

思考：如何证明？提示：Y/L=Af(k)。

Y/L增长率

t ln(Y/L)

t 思考：储蓄率变动对K 、Y、K/Y的动态影响如何？

结论：

（1）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响。或者说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应。

（2）只有技术进步率的变化有增长效应。

（3）政策含义：投入驱动的增长不会持续。

3.储蓄率变化对产出的长期影响

考察储蓄率s变化对有效劳动人均产出y的影响（弹性分析）。

由),,,(**δg n s k k =可知：

s

g n s k k f s y ??=??)

,,,(**)

('*δ 由平衡增长的条件0=?

k 得到：

),,,(*)()),,,(*(δδδg n s k g n g n s k sf ++=

两边对s 求导数，

s

k g n k f s k k sf ??++=+??*

)

(*)(**)

('δ 解得：

*)

(')(*)(*k sf g n k f s k -++=??δ 则*)

(')()

(*)('*k sf g n k f k f s y -++=??δ 两边同乘s/y*，并用*)(*)(k g n k sf δ++=代换s ，得到：

*)(')()

(*)('*)(**k sf g n k f k f k f s s y y s -++=??δ

*)]

(/*)('*)()[()

(*)('*)(*)(2

k f k f k g n g n k f k f k f k g n δδδ++-++++=

*)]

(/*)('*)()*)[((*)

('*)(k f k f k g n g n k f k f k g n δδδ++-++++=

*)]

(/*)('*[1*)(/*)('*k f k f k k f k f k -= 定义*)(/*)('*k f k f k 为k=k*处的产出的资本弹性*)(k K α，它也是资本收入占总收入的份额。（思考：为什么？）

因此*)(1*)(**k k s y y s K K αα-=??，s

y y s ??*

*为产出的储蓄率弹性。

举例：设*)(k K α=1/3，则

s

y y s ??*

*=1/2，当储蓄率增加10%时，

人均产出长期内仅变化5%。

结论：储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响。

4．储蓄率变化的影响时间

注意“收敛系数”))(1(δαλ++-=g n K 与s 无关。

前例：假设%6=++δg n ，K α=1/3，则%4=λ（表示k 和y 向k*和y*每年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离的一半约需18年时间。

因此，当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。第1年增长0.04(5%)=0.2%，18年后增长0.5(5%)=2.5%。

结论：储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。

七、对索洛模型的总结和评论

1．主要结论

（1）无论从任何一点出发，经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径上，每个变量的增长率都是常数。

（2）在其他外生变量相似的条件下，人均资本低的经济有更快的人均资本的提高，人均收入低的经济有更高的增长率。

（3）人均产出（Y/L ）的增长来源于人均资本存量和技术进步，但只有技术进步才能够导致人均产出的永久性增长。

（4）通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的

“黄金律”增长。

（5）储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响；储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响，且作用缓慢。

2．批评

（1）未能够解释长期经济增长的真正来源。把技术进步（劳动的有效性）看成为外生给定的，而这恰恰是长期经济增长的关键。因此，索洛模型是通过“假定的增长”来解释增长的。

（2）理论预测与实际数据不符。如果资本取得的市场收益大致体现了其对产出的贡献，那么实物资本积累的变化既不能很好地解释世界经济增长，也不能说明国家间的收入差距。

例如：根据C-D 生产函数，αk k f y ==)(，一般的α=1/3，设穷国变量带*，若10*/=y y ，则100010*//1==αk k 。（如此大的资本存量差异！）

资本的边际产品y

k k f MP K α

αααα/)1(1)('--===，若

10*/=y y ，则100/1*/=K k MP MP 。（如此高的资本报酬率差异！）

八、经验检验

1．增长因素分析（经济增长核算） 2．收敛性（绝对收敛和相对收敛） 3．储蓄（投资）、人口与产出的关系

作业：

求在平衡增长路径上每单位有效劳动的平均产出y*对人口增长

=1/3，g=2%,δ=3%，则当n从2%降至1%率n的弹性。如果α

K

时，y*将上升多少？